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Ecuación matricial - Contenido educativo

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Subido el 20 de diciembre de 2024 por Araceli A.

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Vamos a ver una ecuación matricial, ¿vale? Este tipo de ecuación matricial es importante controlarla porque es de las que se resuelven fácilmente despejando. 00:00:02
Recordad que solo en el último término, si no nos sale la ecuación despejando, recurriremos a buscar nuestra matriz incógnita, que en este caso es la x que tenéis aquí, 00:00:11
a base de rellenarla, en este caso debéis ver claramente que tiene que ser 2 por 2 para poderla multiplicar por a y por b, x y y derecha, rellenarla de letras, 00:00:23
Con lo cual en este caso serían cuatro incógnitas y directamente hacer el sistema. 00:00:32
Sin embargo, en este caso que se puede despejar, ahora vamos a ver cómo, va a ser mucho más sencillo despejar. 00:00:37
Entonces, vamos a intentar el método de despejar. 00:00:44
A por X por B es igual a C. Esa es nuestra ecuación. 00:00:47
No pone el por, pero os lo pongo a ver para recordar. 00:00:54
Entonces, si nosotros queremos dejar sola la X, que esa es la idea de despejar, 00:00:57
la tenemos que quitar esta A primero y luego ya nos preocuparemos de la B 00:01:01
entonces para quitar esta A lo que vamos a hacer es introducir por la izquierda la inversa de A 00:01:05
¿vale? para eso si os dais cuenta la A tiene inversa porque su determinante es 1 menos 0 00:01:12
es distinto de 0, o sea que nos va a funcionar, existe A inversa 00:01:17
¿vale? existe A inversa porque el determinante de A 00:01:20
vale 1 y es distinto de 0 00:01:30
por lo tanto podemos multiplicar por la izquierda 00:01:34
nuestra ecuación por A inversa 00:01:38
tanto en el primer miembro como en el segundo miembro 00:01:41
vamos a multiplicar por la izquierda 00:01:43
acordaros que en una ecuación matricial 00:01:46
la izquierda y la derecha no son equivalentes a la hora de multiplicar 00:01:48
¿de acuerdo? por lo tanto 00:01:55
si nosotros hemos multiplicado por la izquierda en el primer miembro 00:01:56
para que sea equivalente a la ecuación 00:02:00
hay que multiplicar por la izquierda en el segundo 00:02:02
una vez visto esto, pues A inversa por A 00:02:04
deberíamos saber que es la matriz de identidad 00:02:07
esa es la definición de inversa 00:02:09
¿vale? entonces la identidad por X y por B 00:02:11
es igual a A inversa por C 00:02:14
debemos saber que la identidad es como un 1 00:02:17
es decir, que deja igual a X por B 00:02:21
nos queda igual 00:02:24
La identidad es el 1 de las matrices, por lo tanto cualquier matriz multiplicada por la izquierda o por la derecha por la identidad se queda igual. 00:02:25
Es como si hacemos 1 por x, es x. 00:02:34
Ahora, ¿qué tenemos que hacer? Pues ahora nos sigue estorbando la b, pero podemos hacer un poco el mismo truco. 00:02:39
Vamos a ver con quién es b. Nuestra b es 1, 2, 1, 3. 00:02:45
Pues sí que existe la inversa, ¿no? 00:02:48
Porque si calculamos el determinante de esta matriz, pues nos va a dar 3 menos 2, que es 1, ¿vale? 00:02:50
Tampoco es 0, por tanto, podemos multiplicar por b inversa, porque existe ya que el determinante de b es 1 y es distinto de 0. 00:02:58
Por tanto, pues lo vamos a hacer, porque así dejaremos sola la x, que eso es lo que pretendemos. 00:03:09
Pero cuidado, aquí hay que multiplicar por la derecha, ¿vale? 00:03:13
Si tenemos x por b, para que nuestra inversa quede al lado de la b, la tenemos que multiplicar por la derecha, 00:03:16
porque sabéis que el producto de matrices no es conmutativo, por lo tanto, si la multiplicáramos por la izquierda, 00:03:24
nunca la vamos a poder poner al lado de la b, entonces para que se vaya, la tenemos que poner por la derecha. 00:03:31
Y si multiplicamos por la derecha en el primer miembro, para que se mantenga la igualdad, 00:03:37
hay que multiplicar por la derecha en el segundo 00:03:41
porque insisto una vez más 00:03:44
el producto de matrices 00:03:46
no es conmutativo 00:03:48
no es lo mismo multiplicar por la izquierda 00:03:50
que por la derecha 00:03:52
vale, volvemos a aplicar el mismo truquito 00:03:54
b por b inversa sigue siendo la identidad 00:03:57
x por la identidad es x 00:04:00
por lo tanto ya hemos despejado 00:04:02
el resultado es que x es a inversa por c por b inversa 00:04:03
vale, esta es la fórmula que nos va a permitir 00:04:07
sacar el valor de la X 00:04:10
para eso tendríamos que calcular la inversa de A y la inversa de B 00:04:13
vamos a calcularlas aquí, vale, entonces estas son matrices 2x2 00:04:18
con lo cual no tiene mucho trabajo calcular sus inversas 00:04:22
primero sacamos el determinante, bueno la A encima es la identidad 00:04:25
con más motivo, vale, lo que podemos hacer pues sabemos que 00:04:29
la inversa de A es la identidad, así que directamente podríamos poner 00:04:34
que A inversa sigue siendo la identidad 00:04:37
aún así si no nos damos cuenta 00:04:40
pues podréis hacer el determinante de A 00:04:42
es igual a 1 00:04:45
la traspuesta de A 00:04:46
sería ella misma 00:04:49
para dejarse la identidad 00:04:51
pero bueno, traspondríamos 00:04:52
y si hacéis la adjunta de la traspuesta 00:04:54
pues claramente el adjunto del 1 es el 1 00:04:58
el adjunto del 0 es el 0 00:05:04
el adjunto del 0 es el 0 y el adjunto del 1 es 0 00:05:06
y los signos se mantienen 00:05:10
ahora tendríamos que dividir por el determinante que es 1 00:05:12
bueno, ya sabemos que la inversa de A es lo mismo 00:05:16
la identidad, ¿vale? 00:05:20
lo podríamos haber ahorrado este cálculo 00:05:21
porque es la identidad y deberíamos saber que la inversa de la identidad sigue siendo la identidad 00:05:23
¿qué pasa con la matriz B? 00:05:28
bueno, pues esa ya no es la identidad 00:05:30
si tendremos que hacer los cálculos 00:05:31
Tenemos que nuestra matriz B en este ejercicio es 1, 2, 1, 3 00:05:33
Sabemos que su determinante es 3 menos 2, que es 1 00:05:42
Y vamos a calcular primero la traspuesta 00:05:49
Cambiando filas por columna nos queda 1, 2, primera columna 00:05:53
1, 3, segunda columna 00:05:58
Ahora tenemos que hacer la adjunta de la traspuesta 00:06:00
para hacer la adjunta de la traspuesta 00:06:03
vamos calculando los adjuntos de cada elemento 00:06:06
el adjunto del 1 sería el 3 00:06:09
y este no se cambia el signo 00:06:11
el adjunto del 1 sería el 2 00:06:13
este sí se le cambia el signo 00:06:15
porque es fila 1 con una 2 impar 00:06:17
el adjunto del 2 sería el 1 00:06:19
y este sí que se le cambia el signo 00:06:22
y el adjunto del 3 sería el 1 00:06:23
y este no se le cambia el signo 00:06:29
todo esto lo tendríamos que dividir 00:06:31
por el determinante de B pero vamos 1 00:06:32
nos queda exactamente esa matriz 00:06:34
la inversa de b 00:06:36
sería eso dividido por 1 00:06:40
es decir eso 00:06:42
3 menos 2 00:06:43
menos 1, 1 00:06:45
vale, con esto ya 00:06:48
solo nos falta para hacer el ejercicio 00:06:49
aplicar la fórmula 00:06:52
nuestra x va a ser igual 00:06:53
a la inversa de a 00:06:55
que es la identidad 00:06:58
no lo podríamos haber ahorrado realmente 00:06:59
porque la identidad por cualquier cosa 00:07:02
nos va a dar cualquier cosa 00:07:04
lo vamos a poner a c, que esa matriz nos la da el enunciado y es 00:07:05
menos 2, 1, 3, 4 00:07:09
y le vamos a poner la b inversa que nos la acabamos de calcular 00:07:12
y es 3, menos 2, menos 1 00:07:17
como habíamos comentado anteriormente 00:07:21
cualquier matriz por la identidad, si no lo podéis comprobar 00:07:26
nos da esa matriz, con lo cual la primera parte de la multiplicación 00:07:30
multiplicación nos va a dar menos 2, 1, 3, 4 y la segunda parte es 3, menos 2, menos 1, 1 00:07:34
multiplicamos filas por columnas, ¿de acuerdo? entonces primero vamos a hacer la primera 00:07:48
fila multiplicando la primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda 00:07:56
y nos va a dar menos 6, menos 1, menos 7 00:08:05
luego tendremos que multiplicar menos 2, 1 por menos 2, 1 00:08:09
que nos va a dar 4 y 1, 5 00:08:13
después tendríamos que hacer el producto de la segunda fila 00:08:15
primero por la primera columna 00:08:22
que nos va a dar, esto es un 3, ¿verdad? 00:08:25
ya no sé si es un 3 o un 1, sí 00:08:31
a ver, si lo he hecho menos 6, sí 00:08:33
3 por 3 es 9 00:08:34
menos 4 es 5 00:08:37
y luego 3 es 4 por menos 2 es 1 00:08:40
nos va a dar menos 6 más 4 00:08:45
menos 2 00:08:48
con eso ya tenemos resuelto el ejercicio 00:08:49
porque este es el resultado de la X que es la matriz incógnita 00:08:54
que nos está pidiendo 00:08:57
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Araceli Alonso
Subido por:
Araceli A.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
35
Fecha:
20 de diciembre de 2024 - 17:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
09′ 08″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
174.50 MBytes

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