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Problema polinomios: el salto de la rana - Contenido educativo

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Subido el 21 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de problema de factorizar un polinomio y calcular sus ceros o raíces.

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Se ha observado el salto de una rana durante 12 segundos. 00:00:00

La expresión que determina la altura a lo largo de este tiempo es h de t igual a t a la cuarta menos 16 t cubo más 73 t cuadrado menos 90 t. 00:00:03

Determina cada cuántos segundos pisó la rana al suelo y expresa el polinomio h de t factorizado. 00:00:15

Bueno, vamos a ver que para responder realmente a la pregunta respondemos a la vez a la b. 00:00:22

Porque como lo que tenemos que hacer para ver cuántas veces pisa el suelo la rana, si nos fijamos, ¿cuándo pisa el suelo la rana? Cuando la altura de la rana es respecto al suelo, ¿vale? H igual a 0, ¿vale? Voy a ponerlo aquí. 00:00:26

si h es igual a 0 00:00:44

la rana está en el suelo 00:00:46

o sea, si la altura es 0, la rana está en el suelo 00:00:48

entonces lo único que tengo que buscar son 00:00:50

los ceros de ese polinomio, es decir, las raíces de ese polinomio 00:00:52

que no es otra cosa 00:00:55

que resolver la ecuación de cuarto grado 00:00:56

t a la cuarta menos 16t cubo 00:00:59

más 73t cuadrado 00:01:01

menos 90t igual a 0 00:01:02

y para resolver esa ecuación 00:01:04

lo que hacemos es factorizar el polinomio 00:01:06

y como sabemos que 00:01:09

los factores del polinomio 00:01:10

son de la forma x menos a, donde a es una raíz del polinomio, es decir, x igual a es raíz de h de t, 00:01:12

pues buscar las raíces implicará buscar los factores, ¿vale? Como sabemos. 00:01:24

Entonces, por eso vamos a resolver las dos preguntas a la vez, realmente. 00:01:30

Entonces, ¿cuáles son las posibles raíces que tiene este polinomio? 00:01:34

Pues como no tiene término independiente, en principio lo primero que tenemos que hacer es factorizarlo sacando el factor t que está repetido, si saco t de aquí me queda t multiplicado por t cubo menos 16t cuadrado más 73t menos 90. 00:01:39

Y ahora, este otro polinomio que tengo aquí, tiene un término independiente que es 90. 00:02:02

Entonces las posibles raíces, bueno, como 90, voy a escribirlo aquí, 90 si lo factorizamos es 10 por 9, es decir, 2 por 5, que son 10, por 9, que son 3 al cuadrado. 00:02:11

Esto significa que 90 va a tener como divisores, a ver si no me olvido de ninguno 00:02:22

Más menos 1, más menos 2, más menos 3 00:02:28

Voy a intentar ir por orden 00:02:34

El siguiente sería 2 por 3, si os fijáis, 2 por 3 serían 6 00:02:36

El siguiente sería 3 a la cuadrada, que son 9, luego más menos 9 00:02:46

más o menos 2 por 5 son 10, luego más o menos 10, que es el siguiente a 9, ¿vale? 00:02:51

El siguiente sería más o menos 15, que son 5 por 3. 00:03:02

El siguiente más o menos 18, si no me equivoco, que son 2 por 9. 00:03:09

¿Cuál más tenemos? 00:03:19

Ya he dicho 3 por 5, que son 15. Yo creo que ya el siguiente sería 10 por 3, que son 30. 9 por 5, que son 45. Creo que no me estoy dejando ninguno. 00:03:21

Y 5, vale, yo creo que ya el siguiente es más menos 90, ¿vale? Espero no haberme dejado ninguno, pero de todas formas da igual porque vamos a ver que la raíz de ese polinomio está entre los primeros números, ¿vale? 00:03:42

Como digo siempre, empezamos por el más pequeño, que es lo más cómodo. Entonces vamos a empezar a factorizar el polinomio este de aquí, c cubo menos 16t cuadrado más 73t menos 90, utilizando el factor x menos 1, es decir, la raíz x igual a 1, sería la primera que podemos probar. 00:04:07

Entonces, 1, menos 16, 73 y menos 90. Aquí pongo un 1, ¿vale? Entonces, bajo este 1, 1 por 1 es 1, menos 16 más 1 son menos 15, perdón, ¿qué estoy haciendo? 00:04:24

Bueno, 1 por 1 es 1, menos 16 más 1, menos 15, ahora sí, menos 15 más 1, perdón, por 1, son menos 15, 73 menos 15 son 58, 58 por 1, 58, y 90 menos 58 son 32. 00:04:39

vale, el resto no es 0 00:05:05

así que este factor no nos vale 00:05:08

vamos a probar con el menos 1 00:05:09

es decir, con el factor x más 1 00:05:11

vale, que es la raíz 00:05:14

menos 1 00:05:15

entonces 00:05:17

bajo el 1 00:05:19

1 por menos 1 es menos 1 00:05:22

menos 16 menos 1 son menos 17 00:05:25

menos 17 por 1 son 17 00:05:27

73 más 17 son 00:05:29

me llevo una 00:05:33

90 00:05:36

90 por menos 1 00:05:37

son menos 90 00:05:41

cuidado con esto 00:05:43

vale, entonces esto queda menos 180 00:05:44

si no me he equivocado 00:05:46

vale, parece que lo teníamos, pero no 00:05:47

porque este es por este negativo 00:05:50

me da menos 180 00:05:52

hay un muy típico 00:05:53

aquí emocionarse y sumarlo 00:05:56

y no 00:05:58

es menos 90 menos 90 00:05:59

Pues nada, pasamos al siguiente que sería el factor x menos 2 que sería la raíz x igual a 2 00:06:02

Pongo aquí de nuevo los coeficientes 00:06:11

La parte del tanteo es un poco la parte realmente larga de todo esto 00:06:13

1 por 2 son 2, menos 16 más 2 son menos 14 00:06:20

Menos 14 por 2 son menos 28 00:06:24

73 menos 28 son 45 00:06:28

y 45 por 2 son 90, menos 90 más 90, ahora sí, estos son 0, ¿vale? Entonces ya tenemos que el polinomio ese de t es t por, y ahora en lugar de poner este polinomio podemos escribir t menos 2 por este polinomio de aquí, 00:06:32

que sería t al cuadrado menos 14t más 45. 00:06:54

Y ahora, para factorizar este otro, como tengo aquí muchos divisores posibles, 00:07:03

pues por si acaso es uno de los grandes, vamos a hacerlo mejor por el método de resolver la ecuación de segundo grado, 00:07:08

que siempre va a ser más rápido y más fácil que probar el tanteo de Ruffini. 00:07:16

Vale, entonces voy a resolver esa ecuación. Tendríamos, si h de t es, o sea, tendríamos esta ecuación, vale, o sea, la ecuación t cuadrado menos 14t más 45 igual a 0. 00:07:23

entonces en esta ecuación A vale 1, B vale menos 14 y C vale 45 00:07:48

escribimos la solución que en la incógnita aquí es T 00:07:56

con lo cual escribo T es igual a menos B que sería más 14 00:08:00

porque B es menos 14, más menos raíz cuadrada de B al cuadrado 00:08:05

que sería 14 al cuadrado que son, o menos 14 al cuadrado 00:08:09

es lo mismo que 4 al cuadrado, que son 196, 196 menos 4 por a y por c, sería 4 por 1 y por 45, que son 180, ¿vale? 00:08:14

4 por 45 es el doble de 2 por 45, pues son 90, pues 180. Partido 2 por a, que es 1, ¿vale? Luego 2 por 1, entonces esto me queda 14 más menos, 00:08:25

del cuadrado de 196 menos 180 son 16, partido por 2, tengo entonces 14 más menos 4 partido por 2. 00:08:37

Esto me da lugar a dos soluciones de t, si t, una de ellas sería t igual a 14 más 4, que son 18 entre 2, 00:08:47

es decir, t igual a 9 segundos 00:08:57

y la otra sería t igual a 14 menos 4 00:09:03

que son 10 partido por 2 00:09:09

que son t igual a 5 segundos 00:09:10

entonces si estas son las raíces 00:09:14

eso quiere decir que los factores son 00:09:17

t menos 9 y t menos 5 00:09:19

con lo cual h de t factorizado 00:09:22

sería t por t-2 por, y ahora en lugar de escribir este polinomio, escribo t-9 y t-5, ¿vale? 00:09:24

Es decir, en realidad el problema no es nada complicado, sencillamente se trata de factorizar. 00:09:35

Y ahora una vez que hemos factorizado, o incluso ya lo hemos ido haciendo mientras, hemos ido sacando las raíces, ¿vale? 00:09:44

que serían todos los que nos han dado resto cero, ¿vale? 00:09:55

Que con Ruffini solamente ha sido este, pero luego hemos hecho, al principio de todo, 00:10:00

hemos hecho sacar esa t, entonces sacar esa t, ¿qué implica? 00:10:06

Sacar esa t implica que t igual a cero, si t es un factor, t igual a cero es una raíz. 00:10:11

Luego t igual a cero también es una solución de esa ecuación, ¿vale? 00:10:20

Con lo cual la voy a poner aquí, voy a poner t igual a cero, porque también es una solución, y voy a poner t igual a dos, que es la que hemos hecho con Rufián. 00:10:23

Y la comprobación de esto, para que quede claro, es que evidentemente si yo aquí meto el valor t igual a cero, ¿vale? Esto me va a dar cero, cero por algo me va a dar cero. 00:10:34

pero es que si yo lo pongo, si yo el valor t igual a 0 lo pongo por ejemplo aquí 00:10:49

perdón, si aquí pongo t igual a 0 no da 0, pero si pongo t igual a 2 da 0 00:10:54

entonces t igual a 2 también es una raíz de h porque en el momento que esto valga 2 00:10:59

este factor me va a dar 0 y por lo tanto el polinomio me va a dar 0 00:11:04

si t vale 9, este factor t menos 9 me va a dar 0 y por lo tanto el polinomio me va a dar también 0 00:11:11

¿vale? y si t igual a 5 00:11:18

que sería esta raíz de aquí 00:11:21

pues lo mismo, este factor me va a dar 0 00:11:22

y por lo tanto el polinomio me va a dar 0 00:11:25

por cierto, una cosa que no 00:11:27

que no he puesto y es importante poner 00:11:29

las unidades en todas las soluciones ¿vale? 00:11:31

estamos hablando de segundos 00:11:33

¿por qué hablamos de segundos? pues porque 00:11:34

porque me están diciendo 00:11:37

que 00:11:39

el tiempo son 12 segundos 00:11:40

y la altura a función de tiempo es h 00:11:43

Bueno, no nos dicen qué unidades, podemos suponer que son metros, ¿vale? 00:11:47

Y la t está en segundos, porque la t sí que nos dicen que son segundos, todo, pero la h no nos dice nada, 00:11:55

pueden ser metros, pueden ser centímetros, bueno, ahora veremos cómo de realista es la solución para ver si son metros o centímetros. 00:12:01

Porque a lo que voy ahora es que, bueno, ya hemos resuelto realmente las dos preguntas que nos hacen, 00:12:08

Que es determinar cada cuántos segundos piso la rana en el suelo. 00:12:14

Pues cada 0, o sea, al principio, evidentemente, parte del suelo, ¿vale? 00:12:18

Porque hemos visto que 0 es directamente una raíz del polinomio, 00:12:23

que lo podemos haber visto nada más empezar, o sacando factor, porque aquí está claro, ¿no? 00:12:27

Si aquí sustituimos 0, 0 menos 0 más 0 menos 0 es 0. 00:12:30

Entonces, a los 0 segundos está en el suelo, 00:12:35

luego salta, vuelve a pisar el suelo en los 2 segundos, 00:12:38

salta, vuelve a pisar el suelo 00:12:42

a 5 segundos, salta y vuelve a pisar 00:12:43

el suelo a los 9 segundos, ¿vale? 00:12:45

¿Qué se puede hacer de más 00:12:49

en este problema? Pues esto 00:12:51

conociendo 00:12:53

lo que son las funciones, que es algo 00:12:56

que vemos en el tema de funciones 00:12:57

podemos representar 00:12:59

esto, ¿vale? Este polinomio 00:13:01

porque no deja de ser una función, una función polinómica 00:13:03

que se llama, ¿vale? 00:13:05

Porque es un polinomio, entonces como 00:13:07

es una función polinómica 00:13:09

podemos representarla 00:13:11

¿vale? además es una función 00:13:13

continua porque las funciones polinómicas mientras no tengan 00:13:14

denominadores con 00:13:17

con 00:13:19

polinomios 00:13:20

van a ser siempre continuas, que ya veremos lo que significa eso 00:13:22

entonces yo puedo representarla 00:13:25

para todo, cualquier valor de t 00:13:27

puedo representarla en los 12 00:13:29

primeros segundos, que es lo interesante 00:13:31

de este problema 00:13:32

por cierto, importante 00:13:33

todas estas soluciones son menos de 00:13:36

de 12 segundos, por eso nos valen todas 00:13:39

si me dijeran 00:13:41

se ha observado el salto de la rana durante 00:13:42

5 segundos 00:13:45

¿vale? cada cuantos segundos 00:13:47

se ha observado el salto de la rana, pues evidentemente 00:13:49

esta solución la tenemos que descartar, porque no está 00:13:51

dentro del periodo de tiempo que nos dicen 00:13:53

porque 9 segundos es más ya de los 5 segundos 00:13:54

en los cuales se ha determinado 00:13:57

que la ecuación del salto de la rana 00:13:59

es esta 00:14:01

entonces si la ecuación es esta solamente 00:14:02

durante los 12 primeros segundos, luego ya no nos tiene 00:14:05

porque servir, ¿vale? Luego ya la rana puede saltar en función de otra ecuación distinta. 00:14:07

Bien, eso para empezar. Luego, lo que decía, se puede representar esta función, que para 00:14:13

representar la función, pues lo que hacemos es dar valores de t, representar los valores 00:14:19

de t en el eje x y dar valores de h y representar los valores de h en el eje y, que ya lo veremos 00:14:22

en el tema de funciones. Cuando representamos esa función obtenemos esto, ¿vale? Que si 00:14:26

Si lo veis bien, lo que representa es una función, esta curva, que es continua, porque podemos seguir la línea y no hay ningún salto, ¿vale? 00:14:32

Vamos siguiendo siempre el punto inmediatamente después, ya sea al bajar o al subir. 00:14:46

Entonces, como veis, aquí la rana toca el valor de 0, o sea, cruza el eje X, que en este caso se llama eje T, porque es el tiempo, ¿vale? 00:14:51

Es decir, pasa por h igual a 0, porque h igual a 0, démonos cuenta, está aquí, h igual a 0, ¿vale? 00:15:04

Esto es h igual a 0, h igual a 200, h igual a 400, h igual a 600, ¿sí? 00:15:14

Entonces, ¿cada cuánto tiempo vale h igual a 0? Pues, al principio, aquí vale 0, ¿vale? 00:15:21

Pero a los 2 segundos también vale 0, efectivamente, lo hemos dicho aquí. 00:15:27

a los 5 segundos 00:15:30

4, 5 y 6 00:15:34

también vale 0 00:15:37

y a los 9 segundos también vale 0 00:15:38

y además esta gráfica nos está diciendo otra cosa 00:15:43

interesante 00:15:45

¿qué es lo que nos dice esta gráfica? 00:15:47

pues que la rana 00:15:50

no es que pise el suelo 00:15:52

es que lo atraviesa 00:15:54

porque vemos que aquí 00:15:56

Y en este cacho de aquí, de gráfica, todo esto que voy a poner aquí de color verde, todo esto es en ese tiempo, entre 5 y 9 segundos, 00:15:57

entre los 5 y los 9 segundos 00:16:14

y entre los 0 y los 2 segundos 00:16:17

entre 0 segundos y 2 segundos 00:16:20

y entre 5 segundos y 9 segundos 00:16:23

la rana está en alturas negativas 00:16:26

es decir, está más debajo de lo que hemos llamado suelo 00:16:29

más debajo de h igual a 0 00:16:32

con lo cual, la única explicación que se me ocurre a mí 00:16:35

para que este problema siga teniendo sentido 00:16:38

es que la rana en realidad no esté saltando en el suelo 00:16:41

sino que esté dando brincos, por ejemplo, lo típico que se apoyan 00:16:45

en nenúfares o en hojas dentro de un estanque 00:16:49

y entonces al pisar el nenúfar se hunden un poco 00:16:54

¿vale? Otra cosa interesante es que el último 00:16:57

salto es altísimo, ¿vale? Fijaos que no llegamos a 00:17:01

h igual a 12, h igual a 12 está aquí 00:17:05

perdón tengo a la 12 está aquí entonces y esta línea todavía no llega esto seguiría por aquí 00:17:09

vale y todavía no llega aquí saltaría muchísimo la rana con lo cual no creo que esto sean metros 00:17:15

vale porque no va a llegar un kilómetro de altura el kilómetro fijaos mil metros estaría el 00:17:22

kilómetro estaría aquí el kilómetro estaría aquí y hombre no va a llegar al kilómetro porque no 00:17:27

tiene mucho sentido. Entonces, quizás el enunciado podría haberlo dicho para que tuviera 00:17:35

más sentido que para aquí, ¿vale? O sea, que esta ecuación solamente vale hasta t, 00:17:39

o este polinomio, mejor dicho, h de t, solamente está definido hasta t igual a 10. Una cosa 00:17:44

muy típica en funciones es que definimos las funciones en un intervalo, es decir, es 00:17:49

muy típico decir en funciones esto, ¿vale? Que h de t es el polinomio que nos han dado, 00:17:55

o ya si lo queremos factorizado, factorizado, pero ponemos esto, ¿vale? Ponemos una cosa, esto se llama, sí, le para todo, ¿vale? 00:18:00

Que es como una A al revés, para todo T que esté comprendido entre los valores 0 y 10 segundos. De esta manera, o 0 y 12, como dice el enunciado, ¿vale? 00:18:09

De esta manera, decimos que solamente la función, aseguramos que se cumple hasta ahí, luego ya no está definida la función, ¿vale? Y lo digo porque si no, no tendría mucho sentido. 00:18:23

De todas formas, 200 metros, pues tampoco tiene sentido, probablemente esta altura tenga más sentido que esté en centímetros, y que por ejemplo el altisegundo llegue a los 2 metros, o incluso un poquito más, bueno, pues esto podría estar en centímetros, yo creo que tendría más sentido. 00:18:37

Y cuando se hunde, pues se hunde algo así como, no sé exactamente qué valor tiene aquí, ¿vale? Podríamos deducirlo un poquito, podríamos incluso calcularlo, pero por aquí tendrá como, pues a ver, aquí está el 200, aquí está el 100, aquí está el 50, pues 50 centímetros, es decir, medio metro de profundidad. 00:18:53

bueno, igual es demasiado también para hundirse 00:19:19

y aquí se hunde hasta 2 metros de profundidad 00:19:22

igual es mucho 00:19:23

para luego poder volver a saltar 00:19:24

fijaos, es que vuelve a saltar 00:19:27

sin despegarse 00:19:29

quiere decir, no hay un 00:19:31

parón, precisamente es lo que significa 00:19:34

una función continua, no hay un parón 00:19:35

entonces bueno, podría ser 00:19:36

ya digo, esta última parte del ejercicio 00:19:39

lo que nos pedían en el ejercicio 00:19:42

realmente era 00:19:43

sencillamente hacer 00:19:44

hacer esto 00:19:47

Y eso lo hemos hecho 00:19:48

Hacer esta ecuación 00:19:51

Factorizar este polinomio 00:19:52

Y sacar las 00:19:55

Las soluciones de la ecuación 00:19:57

H igual a 0, es decir, las raíces del polinomio 00:19:59

Eso lo hemos hecho y ya está 00:20:01

No hay que complicarse 00:20:03

Además la vida 00:20:05

Lo único que quería hacer esto 00:20:05

Un poco por interpretar el resultado 00:20:08

Y porque esta gráfica 00:20:09

Por interpretar el resultado 00:20:11

Y 00:20:13

y porque vierais 00:20:14

pues un poco para qué sirve 00:20:19

lo que vamos a ver en la siguiente unidad 00:20:23

que son las funciones 00:20:26

y de hecho aquí se ve otra cosa muy interesante 00:20:27

que es que una función 00:20:31

si tiene un valor negativo por aquí 00:20:33

y tiene un valor positivo por aquí 00:20:36

siempre que la función sea continua 00:20:38

tiene que pasar por el cero 00:20:40

porque si tiene que cambiar de signos 00:20:41

porque pasa por el cero, ¿vale? 00:20:43

Esto es un teorema importantísimo en matemáticas, 00:20:45

que es que todas las funciones continuas que tienen en un intervalo, 00:20:47

es decir, entre dos valores, por ejemplo, entre 0 segundos y 5 segundos, 00:20:51

tienen dos valores, dos signos distintos, ¿vale? 00:20:55

Por ejemplo, en un segundo el signo negativo, ¿vale? 00:20:59

Hemos dicho que vale como medio centímetro. 00:21:02

Y en cuatro segundos el signo de la función es positivo, 00:21:04

pues eso quiere decir que hay un cambio de signo, 00:21:11

y por lo tanto que pasa por el cero, ¿vale? 00:21:13

Y eso es un teorema importantísimo en matemáticas. 00:21:15

Entonces, bueno, es un poco porque veis para qué sirve todo lo que estamos haciendo. 00:21:18

Pero vamos, que esta última parte del ejercicio no era necesaria. 00:21:21

Lo importante es que sepáis hacer para este examen, para esta parte del curso, 00:21:24

que sepáis resolver ecuaciones de cuarto grado en este caso. 00:21:30

Esta ecuación de cuarto grado, aunque sea de cuarto grado, 00:21:35

no se puede resolver por el método de las bicuadradas 00:21:37

porque tiene un término en x al cubo, en este caso en t al cubo, ¿vale? 00:21:39

Que sepáis factorizar el polinomio, que era lo importante, ya sabemos que lo interesante es que una vez que lleguemos a un polinomio de segundo grado, el polinomio de segundo grado lo factoricemos resolviendo la ecuación, puesto que así no tenemos que ir hasta t igual a 9 y t igual a 5, que fijaos, estaban, ah mira, el 5 me lo comí, eso el 5 me lo comí, iba a decir que estaban lejos, pero es que el 5 además no lo había puesto. 00:21:43

Entonces, voy a ponerlo para que esté correcto. Entonces, lo que digo, que sepáis manejar esto al final es lo importante y que entendáis por qué se hace así. 00:22:09

Luego ya esta última parte, pues bueno, es un poco porque veáis la representación de un polinomio que es lo que vamos a hacer en el tema de funciones. 00:22:22

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Idioma/s:

Autor/es:

Andrés Benito Platón

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