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Geometría 3D. Ecuación de recta y plano.

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Subido el 13 de noviembre de 2019 por Pablo Jesus T.

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Vamos a intentar explicar a nuestros alumnos la ecuación vectorial de una recta, que a algunos se les resiste. 00:00:13
En la vista 3D, pues voy a poner el punto 1, 2, 3, solamente tengo que ponerlo entre paréntesis, y ya lo tomo como un punto. 00:00:21
Ahora voy a poner el vector 3, 1, menos 1, entonces escribo vector, y aquí viene el primer truco. 00:00:31
si yo pusiera ahí entre paréntesis 00:00:38
o unos nuevos paréntesis 00:00:41
por cierto, 3, 1, menos 1 00:00:43
me pintaría el vector siempre saliendo del 0, 0, 0 00:00:44
entonces para que sepáis como truco 00:00:48
la manera de poner un vector que salga de A 00:00:50
pues simplemente poner A 00:00:52
y otra vez A 00:00:53
más, es decir 00:00:55
ahora pongo el vector 00:00:57
3, 1, menos 1 00:00:59
y eso ya me va a hacer un vector 00:01:03
el fijo 00:01:06
en A, el vector libre 3, 1, menos 1 00:01:08
bueno, aquí tenemos nuestro vector U 00:01:11
de acuerdo, y ya tenemos 00:01:14
ahí lo veis, un punto y un vector, para hacer una recta 00:01:18
pues es tan simple como escribir recta 00:01:22
el punto va a ser A, el vector director pues va a ser U 00:01:25
muy bien, pues ya tenemos nuestra recta 00:01:31
recordar que para volver a la vista normal 00:01:35
de partida pues se hace con esta herramienta 00:01:38
la recta por supuesto la vamos a poner en azul 00:01:43
que se vea bien, vale, y ya 00:01:46
lo tenemos, una recta, ¿cómo haríamos la 00:01:50
forma vectorial? lógicamente primero de todo voy a definir 00:01:55
un punto genérico que esté sobre la recta, que se llama B 00:01:58
pero, ¿veis el que tiene un poquito de diferente color? yo le voy 00:02:02
renombrar a punto P 00:02:06
entonces este punto P 00:02:09
si doy elige y mueve 00:02:12
el móvil, le puedo poner 00:02:14
donde me dé la gana, ahora está obligado 00:02:16
a moverse sobre la recta 00:02:19
si yo defino 00:02:20
ahora el vector 00:02:23
que será el vector 00:02:26
y entre paréntesis 00:02:30
el punto P 00:02:32
eso va 00:02:35
Siempre desde el origen, como os he dicho antes. Y el vector A, pues ya está. Ahora nos faltan varias cosas. Representar el vector OP como OA más lambda V. 00:02:36
Para calcular lambda, pues he hecho un pequeñísimo truco mirando simplemente las ecuaciones y la manera adecuada es hacer, dividir el producto escalar de u por el vector ap, 00:02:57
que por cierto, bueno, lo podríamos 00:03:21
podemos si queréis 00:03:25
incluso hacer antes 00:03:27
me ahorro un poquito de escribir 00:03:29
hago el vector AP 00:03:30
A, P 00:03:32
vale, lo único que si le pinto así 00:03:35
recordar que me le va a pintar saliendo del origen 00:03:38
entonces voy a poner 00:03:42
y que vaya 00:03:46
hasta A más P no 00:03:48
le vamos a tener que pintar luego 00:03:54
desde el punto A 00:03:58
bueno, no, del punto A al punto P 00:03:59
pero es que me le va a pintar 00:04:02
en P 00:04:03
entonces en vez de hacerlo 00:04:06
con los instrumentos esto 00:04:08
vamos a hacerlo con la herramienta vector 00:04:10
de acuerdo al vector de A 00:04:12
a P 00:04:14
vale, aquí está el vector A P 00:04:16
así sí que me le pinta correctamente 00:04:19
bueno, los vectores 00:04:24
los tres vectores que hemos pintado 00:04:26
los vamos a poner en rojo 00:04:30
el vector AP está ahí dibujado 00:04:32
no le veis bien 00:04:35
así ahora cuando lo pongo así se ve mejor 00:04:38
pero está ahí dibujado 00:04:41
de hecho, tampoco es que hiciera falta dibujarlo 00:04:43
para lo que queremos comprobar 00:04:47
pero me viene bien, decía que el anda, es decir, el número de veces 00:04:51
que voy a utilizar para ir 00:04:56
de A a P, va a ser el producto escalar 00:05:01
de U por A 00:05:04
dividido por U por U 00:05:08
¿de acuerdo? este producto escalar realmente me va a dar el módulo 00:05:13
de dividir A por U como vectores, o sea, como la longitud de los vectores. 00:05:17
Como veis, me lo da además con el signo correcto, porque al hacer el producto escalar 00:05:25
también tiene en cuenta si es coseno de 180 o coseno de 0, en este caso como es negativo esto. 00:05:30
Bueno, esto lo que quiere decir es que para ir de O a P hay que ir de OA y luego poner 00:05:37
menos 2,17 veces 00:05:44
P, de acuerdo 00:05:45
ya de paso vamos a aprender pues que el vector 00:05:47
si vamos a 00:05:51
configuración 00:05:53
se puede escribir en latex 00:05:54
poniendo 00:05:57
over 00:05:59
right 00:06:03
arrow 00:06:05
y entre llaves 00:06:07
pues 00:06:10
si doy enter pues ya habéis visto 00:06:13
el vector OP 00:06:18
si selecciono 00:06:19
CTRL-C 00:06:22
y me voy a W 00:06:23
pues puedo hacerlo aquí lo mismo 00:06:25
que es OA 00:06:27
y por último 00:06:29
pues lo puedo hacer en AP 00:06:34
que es AP 00:06:37
ahí lo tenéis 00:06:40
y ya está, lo que pasa es que AP 00:06:42
es lambda a veces U 00:06:44
entonces ya para rematarlo 00:06:46
fijaros que además 00:06:49
puedo mover P, esto me hace que realmente se entienda la ecuación, pero vamos a escribirla, simplemente aquí volveremos a utilizar en fórmula látex lo mismo, 00:06:50
O P 00:07:06
Quitamos las llaves 00:07:08
Igual 00:07:10
Estoy utilizando control C 00:07:13
A o A 00:07:17
Y ahora pondremos 00:07:18
Mirad como nos va quedando 00:07:22
Vamos a poner detrás 00:07:24
Maslanda V 00:07:26
O Maslanda U, perdón 00:07:28
Maslanda U, que se me va todo el rato el nombre 00:07:31
Maslanda U 00:07:33
Bien, para hacerlo bonito bonito 00:07:34
lo que voy a hacer es que el signo me le ponga 00:07:36
el, si es negativo lo pone automáticamente, pero si es positivo 00:07:41
no, entonces podemos hacer una pequeña trampa 00:07:45
aquí primero voy a escribir lambda porque luego lo voy a necesitar 00:07:48
vaya, vamos a 00:07:53
borrarlo y vamos a ponerlo con lambda, y ahora editar 00:07:57
bueno, pues nos vamos a poner, lo voy además a copiar con control c 00:08:00
y voy a escribir delante, si lambda mayor que 0, entonces como es positivo no le pone signo 00:08:05
y yo quiero que le ponga un más, y si es negativo lo pone por defecto, así que le pongo que no ponga nada 00:08:14
y detrás finalmente pues lambda, eso si vais a vista previa pues ya lo tenemos 00:08:23
Y detrás todavía U. Por cierto, para poner U, pues podemos poner vec y entre llaves U. 00:08:32
Ahí está perfecta nuestra ecuación vectorial. 00:08:42
¿Que no la veis bien? Vamos a ponerla un poquito más grande. 00:08:45
Ahí estamos, texto, mediano y color, pues podemos elegir un verde. 00:08:54
no os asustéis que en cuanto le de ok nos lo pone bien 00:09:00
bueno y ya hemos terminado nuestra construcción 00:09:07
en la que cualquier alumno debería entender 00:09:11
como la ecuación vectorial de cualquier punto sobre la recta 00:09:14
es esta que tenemos aquí 00:09:19
vamos a explicar ahora como ver la ecuación vectorial de un plano 00:09:22
Tenemos el punto A, que podrá ser 1, 2, 3 00:09:28
El vector, a ver que lo escriba bien 00:09:33
Vector, vamos a poner, como queremos poner un vector libre, pero como vector fijo en A 00:09:41
Pues ponemos A más 00:09:48
Y ahora escribimos las coordenadas del vector libre 00:09:50
Que vamos a poner 3,1 menos 1 00:09:54
como veis, hasta ahora he utilizado los mismos datos que en el vídeo anterior 00:09:58
ahora vamos a hacer otro vector V 00:10:03
que le vamos a poner también que pase por A 00:10:06
y ahora vamos a poner unas coordenadas distintas 00:10:15
que podrían ser 1,3 o menos 3,2 00:10:20
bueno, coma 2 00:10:27
ahora, vale 00:10:29
entonces el vector libre 00:10:31
1 menos 3, 2 00:10:33
pues está ahí, y como veis 00:10:34
tenemos el vector 00:10:37
u y el vector v 00:10:40
con esto se define un plano 00:10:41
si queremos ver el plano 00:10:43
pues 00:10:45
si escribimos plano 00:10:47
veis que 00:10:49
lo que me pide es un plano 00:10:50
y una recta 00:10:54
o sea un punto y una recta o tres puntos 00:10:55
entonces lo más sencillo 00:10:59
lo vamos a hacer jugando con la recta de la parte anterior 00:11:03
para no tener que calcular incluso los puntos 00:11:08
y que no me salgan ahí más puntos, escribo plano 00:11:11
voy a poner que pase por el punto 00:11:14
no, voy a necesitar tres puntos porque si pusiera la recta anterior 00:11:17
no tendría, es decir, voy a escribir el punto B, venga, vamos más rápido, A más U 00:11:23
sería el punto B, y A más UB 00:11:27
pues sería el punto C, que son los extremos 00:11:31
de los vectores fijos A, B, A, C, que definen 00:11:35
los vectores libres U, U, V, ¿de acuerdo? 00:11:39
Bueno, ahora si cogemos la herramienta plano, por ejemplo, y pinchamos 00:11:43
en A, en B y en C 00:11:47
pues nos sale la ecuación de un plano 00:11:50
que por cierto la tenemos aquí abajo 00:11:53
y una cosa muy espectacular 00:11:56
es que yo puedo ver ese plano 00:12:01
dando en representación 2D 00:12:02
es decir, aquí estoy viendo el plano este 00:12:04
como esos dos vectores están sobre el plano 00:12:07
si yo me fuera al sitio adecuado 00:12:10
debería verlos 00:12:13
efectivamente 00:12:18
he movido los ejes 00:12:19
puedo quitar o no, o dejarlos, también con la cuadrícula 00:12:21
y en los vectores u y v 00:12:25
que están sobre el plano, si me pongo así, estoy viéndolo 00:12:27
completamente lateral 00:12:32
pues son estos dos vectores, y si me interesa, pues puedo trabajar la vista 2D 00:12:36
en particular me va a interesar ahora para que veáis como pongo el punto P 00:12:41
voy a definir un punto P 00:12:45
que va a estar en el plano 00:12:47
pues ahí por ejemplo 00:12:51
como veis el punto D está obligado 00:12:55
a moverse en el plano como se está viendo 00:12:59
perfectamente en el otro 00:13:03
en el dibujo de aquí 00:13:05
lo cual es bastante espectacular 00:13:07
ahora pues por supuesto a D le renombro 00:13:10
como hemos hecho en el vídeo anterior 00:13:14
a P, defino el vector P 00:13:17
ahora va a ser un poco repetitivo, defino el vector 00:13:22
A, que son vectores que 00:13:28
salen del origen y que me permiten 00:13:33
ir hasta A, para después desde ahí con una combinación lineal 00:13:37
de U y V, pues ir hasta 00:13:41
hasta P, ¿de acuerdo? 00:13:45
Bueno, aquí, como nos costaría ver la descomposición factorial de P, pero ya que estamos lo vamos a hacer bien y vamos a hallar las coordenadas del punto P en la base UV. 00:13:49
para eso lo que vamos a hacer 00:14:10
aunque sería mucho más fácil definir un lambda y un mu 00:14:13
y ver que cualquier combinación lineal moviendo con dos deslizadores 00:14:16
lambda y mu genero cualquier p 00:14:23
pero no, quiero que sea que me den lambda y mu moviendo yo p 00:14:25
entonces cojo la herramienta recta paralela 00:14:29
y digo bueno pues para hallar la coordenada en u 00:14:35
voy a hacer la paralela V que pasa por P, pues la paralela V que está aquí, que pasa por el punto P que está aquí, eso es, y este punto es el que me va a interesar, como puede ser que no hiciera intersección con el vector, pues vamos a hacerlo bien, bien, y vamos a hacer la recta de A a B, 00:14:39
Como veis, podemos trabajar incluso sobre el plano en 2D, lo cual nos da una gran, gran ventaja. 00:15:03
Y ahora lo que vamos a hacer es el punto de intersección entre F y G. 00:15:09
Ese punto de intersección entre F y G, que es D, ahora hacemos el vector AD, 00:15:16
vector 00:15:21
que le ha llamado C 00:15:27
y lo único que tenemos que hacer ahora para hallar 00:15:30
nuestro lambda, pues como hemos visto 00:15:34
en la otra construcción, es el producto 00:15:36
escalar de UC 00:15:39
partido por U 00:15:41
¿de acuerdo? y eso nos va a dar 00:15:47
el lambda 00:15:50
que es 0.83 00:15:52
vamos a ocultar aquí 00:15:53
todo lo que hemos hecho 00:15:56
para sacarlo 00:15:58
incluyendo 00:16:00
este punto E 00:16:02
que nos lo está duplicando 00:16:04
pequeño error 00:16:07
que tiene GeoGebra 00:16:08
y ahí está todo perfecto 00:16:10
pero ya tengo mi lambda 00:16:13
ahora para hacer mi moon 00:16:14
pues haré 00:16:16
lo mismo, ahora hago la paralela AU que pasa por P, la paralela AU que pasa por el punto 00:16:19
P, tengo que hacer la recta AC, tengo que hacer la intersección entre las dos rectas 00:16:32
rectas que lo puedo hacer aquí, aquí se ve bien, el punto E, pues ya está, tengo que 00:16:44
hacer el vector AE, que lo ha llamado de Dinamarca, y ahora simplemente para hallar 00:16:55
nuestro mundo pues sería vd partido vv y menos 1,35 no puede ser 00:17:08
las veces que hace falta no porque tiene que ser positivo algo estoy llamando mal 00:17:23
Es el vector V por el vector AE. No es menos 1,35, es 1,35. Hay que ver bien. 00:17:30
Bueno, ahora oculto todo y ya tengo, nos vuelve a crear aquí un punto porque sí, 00:17:42
tengo perfectamente nuestro lambda y nuestro mu 00:17:52
con lo cual ya simplemente 00:17:57
si lo queremos ver el vector AP 00:17:59
sería la combinación lineal, pero ni siquiera vamos a ponerlo 00:18:03
simplemente con texto, es decir, vamos a poner aquí 00:18:13
como hemos hecho antes, fórmula Lattes 00:18:17
ahora no tendré el override, pero bueno, voy a 00:18:20
buscarlo aquí que también está en fórmula lácteos perdón 00:18:25
y lo tenemos de raid vamos a poner open 00:18:31
como lo ha puesto de bien igual pues control c control v voy a poner 00:18:40
oa y luego será ya sabéis que no ponemos más si no ponemos una combinación para landa por un 00:18:48
entonces ponemos aquí landa pinchamos dentro control c y ahora adelante escribimos sí 00:19:00
lambda es mayor que 0 00:19:12
pues nada menos que ponme 00:19:15
un más 00:19:18
y si no 00:19:20
es menor que 0 00:19:24
pues no me pongas nada 00:19:25
detrás ponemos un lambda 00:19:26
y si no me he equivocado 00:19:29
me falta 00:19:32
el vector u 00:19:34
vec 00:19:36
overwrite arrow 00:19:39
es cuando tengo más de una letra 00:19:42
si no, oye, nos ha quedado perfecto 00:19:44
repetimos, por supuesto para la V 00:19:49
voy a seleccionar esto con control C 00:19:52
aquí voy a marcar que me ponga Mu 00:19:55
no me lo llamo Mu, me lo llamo E 00:19:59
pero bueno, vamos a intentar luego cambiarle el nombre 00:20:05
también es más fácil con E 00:20:09
Damos control V y aquí ponemos E y aquí ponemos E y detrás también podemos volver, si se nos da bien el control C y el control V, pues poner V y mirar la vista previa. 00:20:12
me ha puesto un paréntesis 00:20:34
como e 00:20:39
es 1,35 00:20:43
¿por qué en vez de 1,35 00:20:53
hay una i delante ahí 00:20:58
en vez de un sí 00:21:01
bueno, pues ya tenemos nuestra fórmula vectorial 00:21:02
que como antes la podemos seleccionar 00:21:08
vamos a dar propiedades 00:21:14
ponerla en grande 00:21:19
o en mediano, en un color verde 00:21:23
oscuro, vamos a volver a dar aquí ok 00:21:26
para que nos lo ponga bien 00:21:34
y aquí arriba dejamos la ecuación vectorial 00:21:35
por aquí hay cosas que han empezado a verse 00:21:41
como esta recta 00:21:45
un punto F que nos ha creado 00:21:48
sin venir a cuento 00:21:53
y bueno 00:21:55
pues yo creo 00:21:59
que el vector V 00:22:00
pues lo tenemos ahí bien 00:22:03
0,83 veces U 00:22:06
más 1,35 veces V 00:22:10
lo bonito que tiene es que ahora yo puedo mover 00:22:12
P lo que me dé la gana 00:22:14
y arriba me va saliendo 00:22:17
la combinación lineal 00:22:20
es decir, puedo ir 00:22:22
de O a P 00:22:23
siempre 00:22:25
con la ecuación vectorial de arriba 00:22:27
podríamos como en el vídeo de la recta 00:22:30
cambiar estos valores 00:22:34
pero ya lo hemos explicado antes 00:22:36
para cortar el vídeo 00:22:37
pues terminamos aquí 00:22:39
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
112
Fecha:
13 de noviembre de 2019 - 18:30
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
22′ 41″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
66.26 MBytes

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