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2020_2021_MatemáticasII_3Extraordinaria_B2 - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2021 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a resolver la convocatoria de julio de 2021, convocatoria extraordinaria, 00:00:00
ejercicio de la opción B, el número 2 de Madrid, y aquí lo tenemos, es una función 00:00:21
con un valor absoluto, piden estudiar continuidad, derivabilidad, extremos relativos y un área. 00:00:27
Así que un ejercicio completito, pero muy estándar, muy estándar. 00:00:35
para ello lo primero que vamos a ver es ver esta función 00:00:40
es una función polinómica de grado 3 00:00:45
que cambia en 0 porque lo que anula el valor absoluto es 0 00:00:48
si nosotros lo viéramos la función en GeoGebra 00:00:53
pues aquí la tenemos 00:00:56
es continua en 0 00:00:59
y va a ser no derivable en 0 00:01:03
porque tiene un pico 00:01:07
¿De acuerdo? 00:01:09
Normalmente nosotros, yo os aconsejo que no trabajéis con esta función así 00:01:12
Sino que realmente la convirtáis en una función a trozos 00:01:16
Cuando la x es negativa, el valor absoluto le va a cambiar el signo 00:01:21
Así que lo sustituiríamos por menos x 00:01:25
Menos menos x más x para los negativos 00:01:28
Y cuando la x es positiva, el valor absoluto se puede quitar porque no hace nada 00:01:32
Entonces me quedaría esta otra rama 00:01:36
es el mismo dibujo, si yo lo pinto y oculto el otro veis que es el mismo 00:01:39
exactamente, obviamente, si no estaría mal 00:01:44
y entonces para todos los cálculos vamos a trabajar con esta 00:01:47
vemos para el apartado A que ya estamos viendo que es continua 00:01:52
y vamos a ver que no es derivable porque si yo 00:01:56
bueno aquí tenemos continua porque el límite por la izquierda y por la derecha 00:01:59
y del valor de la función en cero da siempre 2 00:02:04
Como se ve en el dibujo, si yo cojo la pendiente de la recta tangente en un punto y le muevo, ahí voy a coger el punto C, pues resulta que veis que ahí es casi 1, pero cuando me muevo un poquito pasa a ser menos 1. 00:02:08
Hay un pico y por tanto no será derivable. 00:02:24
Si yo hago la función derivada de las dos ramas, la de arriba es 3x cuadrado más 1 y 3x cuadrado menos 1, 00:02:28
que si la pinto se ve claramente que no es continua. 00:02:36
Si g' no es continua, f no es derivable. 00:02:40
Además vemos que el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha es menos 1. 00:02:44
O sea que la función no es derivable. 00:02:49
¿De acuerdo? Pues eso lo vamos a poner ya en el examen por escrito, porque no lo podemos contestar en geografía, ¿verdad? 00:02:53
Entonces, nosotros lo que hacemos es definir la función f de x como una función a trotos. 00:03:04
Hemos dicho que va a ser x cubo más x más 2 si x es menor o igual que 0 y x cubo menos x más 2 si x es mayor que 0. 00:03:11
Esto, el igual, se puede poner en cualquiera de las dos rounds, lo cual, por cierto, confirmaría la continuidad, porque el valor absoluto de 0 es 0. 00:03:25
Bien, entonces para ver la continuidad nosotros hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cubo más x más 2, está claro que es 2, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, x cubo menos x más 2 también es 2, 00:03:36
Por lo tanto, existe límite cuando x tiende a 0 de f de x y es 2. 00:04:01
Por otro lado, existe f de 0 y es 2 y por tanto coinciden el límite cuando x tiende a 0 de f de x coincide con f de 0. 00:04:09
2 es igual a 2 00:04:27
y por tanto es continua 00:04:29
en x igual a 0 00:04:31
que es donde podría no serlo 00:04:36
entonces si es continua en x igual a 0 00:04:38
es lo que nos piden 00:04:42
el polinomio sería continuo en todo el resto 00:04:44
y ahora la derivabilidad 00:04:47
la derivabilidad tal y como parece que quieren 00:04:49
que lo escribáis en el evau, lo que haríamos es escribir el límite cuando x tiende a 0 00:04:54
por la izquierda de f' de x con la rama de arriba. Pero lo podemos poner como f de x, 00:05:03
x cubo más x más 2 menos f de 0 partido por x menos 0. 00:05:11
Bueno, esto es el límite cuando x tiende a 0 super menos de x cubo más x partido por x, 00:05:24
que es el límite cuando x tiende a 0 super menos de x cuadrado más 1, que es 1. 00:05:32
Sin embargo, cuando hacemos el límite, cuando x tiende a 0 super más, nosotros tenemos x cubo menos x más 2, menos 2, y partido x menos 0. 00:05:41
Esto sería el límite cuando x tiende a 0 super más de x cubo menos x partido por x, que es el límite cuando x tiende a 0 super más de x cuadrado menos 1 y da menos 1, como hemos visto en GeoGebra. 00:05:53
Por lo tanto, no es derivable en x igual a cero. 00:06:11
Ya tenemos nuestro apartado A. 00:06:19
El apartado B nos dice calcular los extremos relativos. 00:06:22
Pues para calcular los extremos relativos, vamos a volver un momento a GeoGebra. 00:06:27
Y ahí tenemos que los extremos relativos hay dos. 00:06:36
el punto A que es un mínimo relativo 00:06:41
es el punto más bajo de todos los que están a su alrededor 00:06:45
y el punto B que es el punto más bajo de todos los que están a su alrededor 00:06:47
inicialmente lo que nosotros haríamos sería igualar 00:06:51
la derivada a 0 00:06:54
cuando igualamos la rama de la izquierda 00:06:56
3x cuadrado más 1 a 0 no hay solución 00:06:59
sería compleja 00:07:01
pero cuando igualamos 3x cuadrado menos 1 a 0 00:07:03
la rama de la derecha nos da dos soluciones 00:07:06
Una negativa no tiene sentido porque es para x mayor que 0 su dominio, así que tenemos raíz de 3 partido por 3. 00:07:09
Si nosotros, ese es el candidato a extremo relativo al mínimo, lo sustituimos en la función, nos va a dar esto, que va a ser la coordenada y del punto a, que es 1,62, redondeado, aunque nosotros lo vamos a dejar en simbólico. 00:07:16
Y luego, lógicamente, el cero, si nosotros hemos visto que la función crece en la izquierda y decrece en la derecha, en el cero hay un extremo relativo. 00:07:37
Eso lo tendremos que demostrar porque en la igualdad no sale. 00:07:51
¿Vale? Así que vamos a volver a la pizarrilla y vamos ya con nuestro apartado b, que estábamos diciendo f' de x sería 3x cuadrado más 1 si x menor que 0 y 3x cuadrado menos 1 si x mayor que 0. 00:07:57
daros cuenta que no es continua 00:08:23
porque el igual no puede ser 00:08:26
no hay ningún punto donde 00:08:27
que la derivada sea cero 00:08:30
no era derivable en cero 00:08:33
está escrito encima justo 00:08:34
bien, entonces 3x cuadrado más 1 00:08:35
igual a cero 00:08:38
no tiene solución real 00:08:39
y 3x cuadrado menos 1 00:08:41
igual a cero 00:08:48
sí, ¿verdad? 00:08:50
x sería 00:08:53
al menos la raíz de un tercio 00:08:54
o el valor que a nosotros nos vale realmente es más, y si lo racionalizamos, raíz de tres partidos. 00:08:56
Este es el candidato a extremo relativo. 00:09:06
Si nosotros hiciéramos la segunda derivada, es 6x, el meter un valor positivo daría mayor que cero, 00:09:10
lo cual nos dice que es un mínimo relativo. 00:09:19
¿Vale? Y para hallar el punto, el punto P, que tendríamos raíz de 3 partido por 3, necesitamos sustituir en f, f de raíz de 3 partido por 3, que era x cubo, raíz de 3 partido por 3 al cubo, como estamos en la rama positiva, menos x y más 2. 00:09:22
¿Vale? Así que esta es la imagen 00:09:53
Bueno, esto serían 3 raíces de 3 partido por 27 00:09:57
Lo podéis, mira, en vez de hacerlo yo a mano 00:10:02
Que a mí me gusta mucho a mano 00:10:05
Pero lo podemos hacer aquí 00:10:06
Sería raíz cuadrada de 3 partido por 3 00:10:08
Ya lo he hecho mal porque no me he salido 00:10:13
Raíz cuadrada de 3 partido por 3 00:10:16
Todo eso, cubo, menos, otra vez a la derecha, menos raíz de 3, un golpe a la derecha, partido por 3, y más 2, un golpe a la derecha, 00:10:19
Pues nos da 18 menos 2 raíz de 3 partido por 9 00:10:42
Que es lo que daba la algebra 00:10:49
Que era el 1,6 este 00:10:53
¿Vale? 00:10:55
Entonces 18 menos 2 raíz de 3 partido por 00:10:56
Vamos a ponerlo así 00:10:59
18 menos 2 raíz de 3 partido por 3 00:11:03
Mi opinión es que es mejor dejarlo simbólico 00:11:06
Si alguien quiere poner el 1,6 00:11:13
pues le ponga, pero vamos, esto es mucho más correcto 00:11:14
vale, ya tenemos este mínimo relativo 00:11:19
si os dais cuenta 00:11:24
cuando yo me acerco a 0 00:11:26
el límite 00:11:31
cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:11:33
de f' de x 00:11:38
hemos dicho que es 1 00:11:39
pero claro, es un poquito más de 1 00:11:43
¿os dais cuenta? porque es menos 0,001 00:11:50
al hacerle el cuadrado positivo por 3 positivo y eso se lo sumo a 1 00:11:56
o sea que es mayor que 0, por lo tanto crece en ese lado 00:11:59
pero cuando me muevo por la derecha 00:12:06
x tiende a 0 super más f prima de x también tiende tiende a menos 1 que le suma un poquito es decir 00:12:10
también eso sí que es cierto es menos uno un poquito por encima pero eso es negativo sea 00:12:21
menos 0,99 así que decrece y por tanto si cuando me acerco a cero por la izquierda crece y me 00:12:28
acercó a cero por la derecha decrece en el punto 0 2 hay un máximo relativo es 00:12:35
muy normal que éste os lo hubierais olvidar pero hay un máximo relativo en 00:12:44
el 0 2 y con esto hemos terminado el apartado b 00:12:51
Ahora viene el apartado C, que nos pide una integral entre menos 1 y 1. 00:13:01
Vamos a verlo rápidamente con GeoGebra. 00:13:08
En realidad nos pide el área entre la función f, 00:13:15
vamos a optar el a y el b, 00:13:20
entre las funciones de azul, 00:13:22
igual a 0, x igual a menos 1 y x igual a 1. 00:13:25
Por tanto, lo que me están pidiendo es ese área morada. 00:13:30
El algebra nos dice que nos da 3, incluso hemos hecho aquí la integral indefinida, ¿de acuerdo? Vamos a ver cómo se haría con cuentas y a ver si nos da 3, si lo hacemos bien, ¿verdad? 00:13:33
Bueno, el apartado C, entonces, lo que vamos a tener que hacer es el área, va a ser la integral entre menos 1 y 0 de la función que va a la izquierda de 0, 00:13:49
es decir, x cubo más x más 2 más la integral entre 0 y 1 de x cubo menos x más 2, ¿vale? 00:14:16
Esta integral es muy sencilla, es x a la 4 partido por 4 más x cuadrado partido por 2 más 2x 00:14:35
a evaluar entre menos 1 y 0 00:14:44
vamos a poner 00:14:48
paréntesis 00:14:50
x a la 4 00:14:51
partido por 4 00:14:54
menos x al cuadrado 00:14:56
partido por 2 más 2x 00:14:58
entre 0 00:15:00
y 1 00:15:02
ahora pues vamos a 00:15:03
evaluar para 0 00:15:06
vale 0 00:15:08
menos para menos 1 00:15:09
pues tendríamos menos 1 a la 00:15:13
cuarta es 1, 1 cuarto, menos 1 al cuadrado es 1, 1 medio, 1 cuarto más 1 medio, menos 2, 1 cuarto 00:15:16
más 1 medio, se puede hacer de cabeza, y yo tardaría menos, porque ya me he equivocado, con la calculadora, 00:15:24
más un medio, más dos, otra vez, y eso nos da once cuartos, positivo, no, es menos dos, así que, cuidado con esto, a ver, menos cinco cuartos, menos cinco cuartos, y ahora más, ahora evaluamos en uno, 00:15:34
que es un cuarto menos un medio más dos, un cuarto menos un medio más dos, un cuarto, a ver si ahora ya no me equivoco, menos un medio más dos, sí, la segunda es igual, más dos, que nos da siete cuartos, y evaluándolo en cero es cero, 00:16:12
Así que tengo 5 cuartos más 7 cuartos, 12 cuartos, 3 unidades cuadradas. 00:16:40
Y eso es lo que nos daba GeoGebra y ese es el área y ya estaría el ejercicio terminado. 00:16:50
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
121
Fecha:
24 de agosto de 2021 - 20:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JOSÉ GARCÍA NIETO
Duración:
16′ 58″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
323.89 MBytes

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