Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Factorización de polinomios - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 6 de marzo de 2024 por Carolina H.

23 visualizaciones

División de polinomios
Teorema del resto
División de Ruffini
Raíz de un polinomio
Factorización con Ruffini
Teorema del factor
Factorización de polinomios

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vale, vamos a repasar cómo se dividían polinomios. 00:00:00
Entonces, en este caso tenemos un polinomio de tercer grado con un polinomio que es el dividendo, 00:00:05
que es 3x al cubo menos 5x cuadrado más x menos 1, sabemos que es de tercer grado porque su monomio de mayor grado es de grado 3, 00:00:11
y lo vamos a dividir entre un polinomio de segundo grado que es x al cuadrado menos x más 1, 00:00:21
y sabemos que es de segundo grado, porque su monomio de mayor grado es de grado 2, ¿de acuerdo? 00:00:26
Entonces, lo que hacemos es que cogemos y este primer monomio, 00:00:31
a ver, un momentito, este primer monomio lo dividimos entre este primer monomio, 00:00:36
y lo que resulte lo damos aquí, entonces 3x al cubo entre x al cuadrado es un 3 y una x, 00:00:42
y el signo positivo, y lo dejamos ahí. 00:00:47
Y lo que hago ahora es que multiplico este 3x por todo este divisor para saber qué es lo que tengo. 00:00:49
Entonces, al multiplicar por todo el divisor me quedaría 3x por x cuadrado, 3x al cubo. 00:00:59
Y lo que voy a hacer es quitárselo al dividendo, porque en una división tengo que quitar el cociente por el divisor, 00:01:05
se lo tengo que quitar al dividendo para saber cuánto resto me queda. 00:01:11
Entonces, para poderlo quitar y que no se me olvide, lo voy a poner con signo contrario. 00:01:14
Voy a sumar el opuesto en lugar de restar, entonces 3x por x cuadrado, 3x al cubo, pues voy a poner el opuesto que es menos 3x al cubo. 00:01:18
3x por menos x más por menos menos, 3x cuadrado, como es menos 3x cuadrado, yo voy a restarlo y para eso voy a sumar el opuesto que será más 3x cuadrado. 00:01:28
Y ahora 3x por más 1 más 3x 00:01:40
Como voy a restarlo pongo el opuesto que sería menos 3x 00:01:45
Y lo que hago ahora es sumar 00:01:49
Entonces estos dos evidentemente se van a ir 00:01:53
Porque por eso he cogido así este cociente 00:01:58
Dividiendo uno entre otro 00:02:01
Ahora aquí me quedaría menos 5x cuadrado más 3x cuadrado 00:02:04
Si debo 5 y tengo 3 00:02:09
Debo 2x cuadrado más x menos 3x menos 2x y el menos 1 lo bajo 00:02:10
Entonces ahora el nuevo polinomio que tengo que dividir es menos 2x cuadrado menos 2x menos 1 00:02:17
Que lo tengo que dividir entre x cuadrado menos x más 1 00:02:24
¿En qué me voy a fijar ahora? 00:02:27
En el monomio principal que tengo en este nuevo polinomio que es este 00:02:29
Y en este monomio que tengo aquí 00:02:32
Entonces voy a dividir uno entre otro 00:02:35
Si yo divido menos 2x cuadrado entre x cuadrado, ¿qué me da? 00:02:38
No, x cuadrado con x cuadrado se anulan, así que me queda solo el menos 2. 00:02:42
Entonces, lo que yo voy a hacer ahora es coger y multiplicar este menos 2 por todo el divisor 00:02:53
y restárselo, lo que me dé, se lo restaré al dividendo. 00:03:01
Entonces, iré poniendo los opuestos, sumo el opuesto. 00:03:05
Menos 2 por x cuadrado 00:03:07
Menos 2x cuadrado 00:03:10
El opuesto 00:03:11
Más 2x cuadrado 00:03:12
Menos 2 por menos x 00:03:15
Más 2x 00:03:17
Y menos 2 por más 1 00:03:19
Menos 2 00:03:23
Que si yo lo cambio 00:03:25
Más 2 00:03:26
¿Y dónde tengo un error? 00:03:27
Que no habéis cambiado 00:03:29
Hay un error 00:03:30
Menos 2 por x cuadrado 00:03:36
Menos 2x cuadrado 00:03:43
Lo tengo que poner positivo 00:03:43
Menos 2 por menos x 00:03:44
Más 2x 00:03:46
¿Y cómo lo tengo que poner aquí? 00:03:49
Negativo, porque tengo que poner el opuesto para restarlo 00:03:51
¿Ha quedado claro? 00:03:54
Ese es el típico error que se suele cometer en este tipo de ejercicios 00:03:57
Sabéis operar, pero luego el problema es que no cambiáis todos los signos 00:04:00
¿Vale? 00:04:04
Y ahora agrupo 00:04:07
Esto se anula, mira 00:04:09
Menos 2x menos 2x 00:04:11
No se anula 00:04:13
Menos 2 menos 2 00:04:15
Debo es 2 menos 4x 00:04:16
Y ahora menos 1 más 2 00:04:18
Más 1 00:04:21
¿Puedo seguir dividiendo? 00:04:23
¿Por qué no, Manu? 00:04:26
¿Qué tendría que dividir? 00:04:34
Un menos 4x 00:04:36
¿Entre qué grado? 00:04:37
Entre un x cuadrado 00:04:39
¿Puedo dividir x entre x cuadrado? 00:04:40
No puedo seguir dividiendo 00:04:43
Porque el grado del polinomio resto, que es este, es más pequeño que el grado del polinomio divisor 00:04:46
Así que no puedo dividir 00:04:53
Cuando puedo dividir como muchos, cuando tienen el mismo grado 00:04:54
¿Ves que aquí tenías menos 2x cuadrado y un x cuadrado? 00:04:58
Eso sí puedo, pero si no, no 00:05:01
Así que, ¿qué me queda? 00:05:03
Vamos a borrar esto 00:05:06
¿Ya he terminado? 00:05:07
Entonces, me quedaría el polinomio dividiendo, que es 3x al cubo 00:05:09
menos 5x cuadrado 00:05:14
más x menos 1 00:05:18
sería igual 00:05:20
a mi polinomio divisor 00:05:22
¿quién es el polinomio divisor? 00:05:23
porque el dividendo 00:05:25
según la prueba de la división que aprendimos de pequeñitos 00:05:26
el dividendo será igual 00:05:30
divisor 00:05:31
por el cociente 00:05:33
más el resto 00:05:38
pues la misma prueba de la división 00:05:40
me tiene que servir con polinomios porque yo he hecho una división 00:05:42
así que mi polinomio dividendo 00:05:45
Que es 3x al cubo menos 5x cuadrado 00:05:47
Más x menos 1 que es este de aquí 00:05:49
¿A qué sería igual? 00:05:51
A mi divisor 00:05:53
¿Quién es mi polinomio divisor? 00:05:54
Y esto lo voy a multiplicar por 00:05:57
El divisor cociente que es 3x menos 2 00:06:05
Más el polinomio resto que es 00:06:10
Menos 4x más 1 00:06:14
Si yo hago este polinomio por este polinomio 00:06:16
Y le añado este polinomio 00:06:21
Me tiene que salir este 00:06:22
Esa es la prueba de la división que vosotros vais a hacer 00:06:24
Para practicar las operaciones con polinomios 00:06:26
¿De acuerdo? 00:06:28
Aquí no puedo aplicar el teorema del resto 00:06:31
Porque el teorema del resto 00:06:34
Solo me sirve para divisores 00:06:35
Que tienen que esto sea de la forma 00:06:37
X menos A 00:06:40
¿Os acordáis? 00:06:41
Cuando mi divisor es de la forma X menos A 00:06:43
El resto de dividir un polinomio 00:06:46
Entre X menos A era P de A 00:06:48
el valor numérico de ese polinomio para x igual a 00:06:50
¿os acordáis? 00:06:52
vamos a comprobar ahora con el segundo ejemplo que pusimos 00:06:54
¿dudas con esto? 00:06:56
vale 00:07:01
vamos con el segundo ejemplo que pusimos 00:07:01
que era este, x cuadrado menos 2 00:07:03
¿vale? entonces 00:07:06
si yo divido esto entre x cuadrado menos 2 00:07:07
voy a hacer una cosa 00:07:10
lo voy a poner directamente con x menos 2 00:07:12
en lugar de x cuadrado, para poder aplicar luego 00:07:13
el teorema del resto y repasar 00:07:16
¿de acuerdo? entonces en lugar de x cuadrado lo voy a dividir 00:07:17
entre X menos 2. Vale, vamos a empezar dividiendo. ¿Qué tengo que empezar a dividir? 3X al 00:07:19
cubo. ¿Entre quién? Entre X. Si divido 3X al cubo entre X, ¿qué me da? 3X al cuadrado. 00:07:26
Muy bien, Marisa. 3X al cuadrado. Pues ahora multiplico 3X al cuadrado por todo el divisor 00:07:35
Y lo que me dé lo pongo aquí debajo 00:07:44
Así que 3x al cuadrado por x 00:07:46
3x al cubo 00:07:49
¿Y yo qué pongo aquí? 00:07:50
Ahí pones menos 3x al cubo 00:07:51
Muy bien 00:07:54
Ahora, 3x al cuadrado por menos 2 00:07:55
Menos 00:07:57
3 por 2 00:08:01
Ah, lo multiplicamos 00:08:03
Claro 00:08:05
Menos 6x al cuadrado 00:08:05
¿Y yo qué pongo aquí? 00:08:07
Más 6x al cuadrado 00:08:09
Más 6x al cuadrado 00:08:10
Y ahora opero 00:08:12
y esto se va a ir, me va a quedar 00:08:13
x cuadrado más x menos 1 00:08:16
¿Ahora qué divido? 00:08:19
Manu 00:08:21
x al cuadrado por 00:08:22
vale, x al cuadrado entre x 00:08:24
me ha encantado tu 00:08:27
rectificación, sí señor 00:08:28
entonces, ¿qué quedaría? 00:08:32
x, ¿no? 00:08:34
más x, acuérdate que tienes que poner el signo 00:08:35
el único en el que lo puedo quitar es en el de delante 00:08:38
si es positivo, el resto los tengo que poner todos 00:08:40
así que, más x 00:08:42
Pues ahora multiplico más x por todos los demás. 00:08:44
¿Qué me quedaría? 00:08:49
El cuadrado de x, más x al cuadrado. 00:08:50
¿Pongo? 00:08:54
El opuesto menos x al cuadrado. 00:08:55
Muy bien, más. 00:08:56
Más 2x, se pone el opuesto, sería menos x. 00:08:58
No, más x por menos 2, menos 2x. 00:09:03
El opuesto sería más 2x. 00:09:07
Y ahora vuelvo a sumar. 00:09:11
Estos se van 00:09:12
¿Y qué me quedan? 00:09:14
3X menos 1 00:09:16
¿Puedo seguir dividiendo? 00:09:17
¿Por qué sí? 00:09:20
Sí señor, porque son semejantes 00:09:23
Son del mismo grado 00:09:25
No tienen por qué ser semejantes 00:09:26
Pero sí del mismo grado 00:09:27
Son del mismo grado 00:09:28
Entonces podría dividir 3X entre X 00:09:29
¿Cuánto va a dar? 00:09:32
¿Más? No 00:09:35
¿Más entre más? Más 00:09:36
3 entre 1, 3 00:09:38
Y X entre X, 1 00:09:40
Así que ya está, me da más 3 00:09:42
3x entre x es 3 00:09:45
Mirad, lo podéis hacer en un papel si os cuesta verlo 00:09:48
Claro, pues lo haces en un papel y ya está 00:09:54
No tienes problemas, te lo haces en un ladito y ves lo que te da 00:09:57
¿Vale? 00:10:02
Parece que tienes un ojo de sucio 00:10:05
Y ahora, entonces, más 3 por x más 3x 00:10:07
Pues aquí sería menos 3x 00:10:11
Y más 3 por menos 2 00:10:12
Menos 6, aquí sería entonces 00:10:14
Más 6 00:10:16
Y si opero, me va a dar 5 00:10:17
Así que 00:10:20
¿Quién es mi dividendo? 00:10:22
Y acuérdate que el dividendo 00:10:27
Era igual al divisor 00:10:33
Por el cociente más el resto 00:10:35
Así que va a ser igual a quién? 00:10:37
No, x menos 2 00:10:40
Que le hemos quitado el cuadrado 00:10:41
Por 00:10:42
No hace falta el puntito, ya lo sabéis 00:10:45
Y luego 00:10:48
Más 5 00:10:52
El teorema del resto que me decía 00:10:54
Como estoy dividiendo entre x 00:10:57
Menos 2 00:11:00
Si yo hago el valor numérico 00:11:02
De mi polinomio 00:11:04
Si esto lo llamo p de x 00:11:05
Te voy a poner este nombre 00:11:07
Si yo hago el valor numérico 00:11:09
De este polinomio 00:11:11
Que es mi dividendo 00:11:13
para x igual a 2 00:11:16
que es el valor que anula el divisor 00:11:20
si yo hago p de 2 00:11:22
el teorema del resto me dice 00:11:24
que ¿qué me tiene que salir? 00:11:26
¿no? 00:11:28
¿cuál ha sido tu resto? 00:11:30
pues me tiene que salir 5 00:11:32
voy a ver 00:11:34
sería 3x al cubo 00:11:35
menos 5x cuadrado 00:11:39
más x menos 1 00:11:40
para hacer el valor numérico hemos dicho que 00:11:42
Donde pone x ponemos un paréntesis 00:11:44
Y ahora dentro del paréntesis si quiero calcular p de 2 00:11:52
¿Qué tengo que meter? El 2 00:11:57
Y entonces me quedará 00:11:59
Recuerda que haces primero la potencia 00:12:05
Así que 2 por 2 es 4, por 2 es 8, por 3 es 24 00:12:08
Aquí primero hacemos la potencia 00:12:12
2 por 2 es 4, por 5 es 20 00:12:15
Pues menos 20 más 2 menos 1. 24 menos 20, 4 más 2, 6 menos 1, 5. Confirmado. De que el valor que anula mi divisor, si mi divisor es x menos 2, el valor que anula el divisor se llama, o sea, lo pones ahí, es 2. 00:12:17
¿Vale? Eso es la raíz del divisor 00:12:46
Entonces vamos a definir lo que es la raíz del divisor 00:12:49
La raíz de un polinomio que el otro día no lo definimos 00:12:51
Y ahora lo vamos a necesitar 00:12:53
Entonces, ya hemos visto que si yo meto en el divisor 00:12:55
El valor donde pone x, pongo 2 00:12:58
Mi divisor se anula 00:13:00
Pues ese valor se le llama raíz del divisor 00:13:02
No tiene nada que ver con las raíces cuadradas 00:13:05
¿Vale? Es un nombre en álgebra 00:13:07
Entonces, la raíz sería x igual a 3 00:13:09
¿Y si fuera x más 2? 00:13:14
Menos 2 00:13:17
Entonces, se llama raíz de un polinomio 00:13:18
Se llama raíz de un polinomio 00:13:22
Al valor que anula ese polinomio 00:13:26
O sea, al valor que hace que ese polinomio valga cero 00:13:30
Se llama raíz de un polinomio 00:13:34
Al valor que hace que ese polinomio valga cero 00:13:37
¿Vale? 00:13:43
Entonces, la raíz de un polinomio es el valor que hace que mi polinomio valga 0. 00:14:04
Si yo calculo, ¿cómo reformularía entonces el teorema del resto? 00:14:10
Pues, el valor numérico del dividendo para la raíz del divisor es el resto de dividir, el dividendo entre el divisor. 00:14:14
Cuando el divisor tiene la forma x más, o sea, x menos a, ¿vale? 00:14:24
Porque la raíz sería a. 00:14:30
Entonces, cuando yo cojo un polinomio P de X y lo divido entre un polinomio de la forma X menos A, 00:14:31
aquí del cociente no tengo ni idea, pero sé que el resto que me va a dar aquí dentro es P de A. 00:14:47
¿Por qué? Porque A es la raíz del divisor. 00:14:56
¿Lo entendemos? 00:15:00
¿Todos? 00:15:04
Entonces, fíjate, esto es interesante 00:15:05
Lo que pasa es que hacer así las divisiones es laborioso 00:15:07
Entonces, para hacer divisiones que sean de otro tipo 00:15:11
Que no sean entre x menos a 00:15:16
No puedo hacer nada más que dividir 00:15:18
Me tengo que coger paciencia y dividir 00:15:20
Pero, para divisiones entre un divisor que tiene la forma de un binomio de grado 1 00:15:22
Un señor, un tal Ruffini 00:15:28
Ideó un algoritmo muchísimo más sencillo 00:15:33
¿De acuerdo? 00:15:41
Que nos va a permitir dividir muy rápidamente 00:15:42
Sin tener tantas X que son las que nos lían 00:15:45
¿Vale? 00:15:47
Porque los números con las X normalmente es lo que nos lían 00:15:48
Entonces, me voy para atrás 00:15:50
Vamos a hacer esta misma división 00:15:52
A través del algoritmo de Ruffini 00:15:55
Os voy a quitar ya lo del teorema del resto 00:15:57
que no lo necesitamos ahora 00:16:00
y lo que vamos a hacer 00:16:01
es dividir, voy a quitaros esto 00:16:04
bueno, lo voy a dejar 00:16:06
entonces, ¿cómo se hace el algoritmo de Ruffini? 00:16:07
el algoritmo de Ruffini me dice 00:16:10
me vas a poner dos líneas 00:16:12
y arriba, aquí 00:16:15
me vas a poner 00:16:16
sin las x, solo 00:16:18
los coeficientes del polinomio 00:16:20
que yo tenga, si hay algún grado 00:16:23
que me falta, tienes que poner un 0 00:16:25
porque lo que sí que es importante es que sea completo 00:16:26
Imaginaos que yo no tuviera aquí 5x cuadrado 00:16:28
Pues aún así tendría que poner un 0 en el lugar de la x cuadrado 00:16:32
¿Ha quedado claro? 00:16:35
Entonces, ¿quiénes son los coeficientes que veis aquí? 00:16:37
El 3, el menos 5, acuérdate 00:16:40
Más 1 y menos 1, que es el término independiente 00:16:45
Y entonces él dice, bueno, pues dividir es súper fácil 00:16:51
Lo único que me tienes que poner aquí 00:16:56
Como es el teorema del resto 00:16:58
Es con la raíz 00:16:59
Pues lo que me tienes que poner aquí 00:17:00
Es la raíz del divisor 00:17:01
Aquí tienes que poner la raíz de mi divisor 00:17:03
Entonces 00:17:06
Yo estoy dividiendo aquí 00:17:11
Entre x menos 2 00:17:13
¿Quién será la raíz? 00:17:15
Pues lo que yo tengo que poner aquí es 2 00:17:17
Que es la raíz del divisor 00:17:20
Porque si yo meto aquí un 2 00:17:22
Esto vale 0 00:17:23
¿Lo entendemos? 00:17:24
Vale, entonces, siempre funciona el algoritmo de la misma manera 00:17:26
El número que tengo aquí, lo bajo 00:17:30
Y siempre hago aquí una multiplicación 00:17:34
3 por 2 00:17:38
Ahora lo bajo 00:17:39
Menos 5 más 6 00:17:44
Aquí sumo 00:17:47
Y aquí multiplico 00:17:49
Entonces, menos 5 más 6 es 1 00:17:51
1 por 2 00:17:56
Y lo coloco aquí 00:17:59
Más 1 más 2 00:18:00
Más 3 por 2 00:18:02
Más 6 00:18:07
Acostumbrados a poner los signos 00:18:11
Excepto en el primero 00:18:12
Y más 6 menos 1 00:18:13
Más 5 00:18:15
Este de aquí siempre es el resto 00:18:18
Y ahora fíjate en el cociente 00:18:20
¿Cuál sería el cociente? 00:18:24
Tengo 3 números 00:18:28
Este es el término independiente, este es el término lineal, ¿este por qué x va a estar acompañado? 00:18:29
3x cuadrado, entonces mi cociente sería 3x cuadrado más x más 3, más 1x más 3, ¿lo veis? 00:18:37
Mira, 3x cuadrado más x más 3. 00:18:49
Pero, ¿ahí dónde es la x cuadrada? 00:18:57
porque este hemos dicho que es el de x al cubo 00:19:00
este el que hemos dicho es que es el coeficiente de x cuadrado 00:19:04
este es el de x y este es el de 00:19:07
el término independiente, el de grado 0 00:19:09
¿eso lo ves? 00:19:12
pues si yo ahora hago la división, este tiene que ser 00:19:15
el término independiente, este tiene que ser el que va acompañado 00:19:18
de la x y este el de x al cuadrado 00:19:22
y podría seguir dividiendo, claro 00:19:23
lo que yo quisiera 00:19:27
entonces fíjate 00:19:28
que lo que sucede es que 00:19:34
aquí me sale el cociente 00:19:36
y ahí me sale el resto 00:19:39
super fácil 00:19:44
pero solo me sirve 00:19:47
el problema es que este algoritmo que es sencillito 00:19:52
solo me sirve cuando divido entre 00:19:54
divisores del tipo x menos a 00:19:56
o x más a 00:20:00
vamos a hacer una división 00:20:01
Claro, de grado 1 00:20:03
Y además del término de coeficiente principal 1 00:20:05
Tiene que ser x más a o x menos a 00:20:08
Si es 2x, no 00:20:10
Vale, entonces, por ejemplo 00:20:11
Dame un polinomio 00:20:14
¿De qué grado? El que tú quieras 00:20:16
Venga, dámelo 00:20:18
Dámelo, dámelo 00:20:19
3x a la 4 00:20:21
No, es que no me has dado un polinomio 00:20:23
Me has dado un monomio 00:20:28
Menos 5x cuadrado 00:20:29
Más 8 00:20:32
Y lo vamos a dividir entre 00:20:33
X más 3, venga 00:20:35
Entre X 00:20:43
O X más 4 00:20:45
Se podría hacer con 2 tercios 00:20:47
Da igual, ¿vale? 00:20:50
Entonces, voy a dividir estos dos 00:20:51
¿De acuerdo? 00:20:54
Entonces, voy a hacerlo por Ruffini 00:20:55
Pongo las dos rayas 00:20:56
¿Qué pongo aquí arriba? 00:21:04
¿No? 00:21:07
Porque esto es cuadrado 00:21:11
O sea, cuarta y esto es cuadrado 00:21:13
Y me falta uno en medio 00:21:15
Así que, cero 00:21:16
Luego 00:21:18
Luego 00:21:20
Cero 00:21:22
Y luego, porque he dicho que lo que yo tengo que hacer 00:21:24
Es el polinomio completo 00:21:28
Si yo no tengo x al cubo 00:21:29
Es que su coeficiente es cero 00:21:31
Cero por x al cubo es cero 00:21:33
¿Vale? Entonces para que yo no tenga 00:21:36
Término en x al cubo 00:21:38
Significa que su coeficiente vale cero 00:21:39
Pues lo tengo que poner 00:21:41
El orden 00:21:41
¿Vale? 00:21:44
Porque este sería el término independiente 00:21:46
El término lineal 00:21:48
El término cuadrático 00:21:49
El término al cubo 00:21:50
Y el término a la cuarta 00:21:52
Y evidentemente como voy a dividir entre x más 1 00:21:53
Que es de grado 1 00:21:57
Aquí este primer término 00:21:58
¿De qué me va a quedar? 00:21:59
De grado 00:22:00
Si este era de grado 4 00:22:01
De grado 3 00:22:03
Va a ser 00:22:08
Este será el coeficiente por x3 00:22:09
x al cubo 00:22:12
¿Lo vemos? 00:22:13
Sí. 00:22:14
Vale. 00:22:14
Entonces, ¿qué sería? 00:22:16
¿Qué valor tengo que poner a la izquierda? 00:22:19
El 4. 00:22:22
¿No? 00:22:23
El 1. 00:22:23
Porque si yo meto aquí un 4, ¿se hace 0? 00:22:24
No, es un menos 4. 00:22:27
Es un menos 4. 00:22:29
Yo tengo que meter menos 4 para que se anule, así que la raíz del divisor es menos 4. 00:22:31
Así que aquí pongo la raíz del divisor. 00:22:35
Ojo que esto es importante. 00:22:41
La raíz del divisor, el valor que anula el divisor 00:22:43
¿Ha quedado claro? 00:22:46
Vale, pues ahora, venga 00:22:48
Bajo el 3 00:22:50
Y ahora, aquí que escribo 00:22:53
Más por menos 00:22:57
Menos 00:22:59
Menos 12 00:23:01
Y ahora, aquí que escribo, aquí abajo 00:23:03
Menos 12 por 4 00:23:05
Por menos 4 00:23:07
Más 48 00:23:08
Menos 5 00:23:11
Más 43 por menos 4 00:23:12
¡Uh! Nos va a salir enorme 00:23:17
160 00:23:19
312, sí 00:23:21
No, 122, no 00:23:26
Ah, 172, sí 00:23:28
Menos 160, menos 12 00:23:30
Sí, menos 172 00:23:31
Y aquí pondré menos 172 00:23:33
Y aquí 00:23:35
Son menos 400 00:23:36
7 por 4, 28 00:23:54
Menos 680 00:23:56
Y 4 por 2 es 8 00:24:00
Menos 688 00:24:01
Más 8 00:24:02
Menos 680 00:24:05
Si no nos hemos equivocado 00:24:06
¿Cómo comprobaría que está bien? 00:24:09
¿Quién es el resto? 00:24:12
Menos 680 00:24:16
¿Quién es el cociente? 00:24:17
¿Quién es el cociente? 00:24:23
3x al cubo 00:24:26
X cuadrado 00:24:28
Más 43X 00:24:31
Menos 172 00:24:34
¿Lo veis? 00:24:35
Entonces yo podría poner que 00:24:39
Si esto es P de X 00:24:41
Si al dividendo lo llamo P de X 00:24:42
Yo puedo poner que 00:24:45
P de X que es el dividendo 00:24:50
¿A quién es igual? ¿Quién es mi divisor? 00:24:51
Si esto es X menos 4 00:24:56
Mi divisor tiene que ser X más 4 00:24:57
Mi divisor que es X más 4 00:24:59
¿Por quién es mi cociente? 00:25:01
Menos 12x cuadrado 00:25:03
No te comas las x 00:25:10
Y luego menos 680 00:25:11
¿Vale? 00:25:21
Fíjate 00:25:24
Esto me sirve para factorizar 00:25:24
Vamos a ponernos aquí 00:25:26
¿Qué significaba factorizar? 00:25:28
¿Qué era factorizar? 00:25:31
Bueno, sacar factores 00:25:34
¿Y qué era sacar factores? 00:25:35
Escribir algo en forma de 00:25:37
¿Sí es factorizar? 00:25:38
Como una 00:25:41
¿En qué operación tienes factores? 00:25:47
En la suma tenemos sumandos 00:25:56
En la resta 00:26:05
Minuando y sustraendo 00:26:06
¿Dónde tenemos factores? 00:26:08
En una multiplicación 00:26:11
Entonces factorizar es escribir como una 00:26:14
Multiplicación 00:26:17
¿Te acuerdas? 00:26:18
Factorizar es escribir como una multiplicación 00:26:20
Entonces, yo aquí tengo mi dividendo 00:26:25
Y lo he escrito como una multiplicación 00:26:28
Pero para que estuviera escrito por una multiplicación 00:26:31
Que no tengo que tener 00:26:33
¿Qué me sobra ahí para poderlo escribir como una multiplicación? 00:26:34
El resto 00:26:39
¿Te acuerdas que en divisibilidad decíamos 00:26:40
Es interesante porque si yo consigo divisiones de resto 0 00:26:43
Puedo escribirle el número como resultado de una multiplicación 00:26:46
12 es 3 por 4 00:26:49
Porque da el resto 0 00:26:51
Pues aquí me da igual 00:26:52
Es lo mismo 00:26:53
Si yo consiguiera divisiones con resto 0 00:26:55
Estaría describiendo el dividendo 00:26:58
Como una multiplicación 00:27:00
Estaría factorizando el dividendo 00:27:02
¿Lo veis? 00:27:04
¿Qué es lo que hago para factorizar polinomios? 00:27:05
Utilizo la división de Ruffini 00:27:08
Pero no conozco el divisor 00:27:10
Pero yo sí sé que el resto tiene que dar 0 00:27:13
Entonces voy a adivinar 00:27:17
Si es posible encontrar un divisor que dé de resto 0 00:27:18
¿Vale? Y para eso utilizo Rufín 00:27:21
Entonces, cuando yo quiero factorizar 00:27:24
Por ejemplo, vamos a hacer esto 00:27:26
Yo quiero escribir como producto de factores 00:27:42
30R al cubo 00:27:46
Más 6R cuadrado 00:27:55
Más 5R 00:27:59
Más 1 00:28:00
Este es mi polinomio 00:28:01
¿De quién depende? Ahora no es PDX, será PD 00:28:03
¿Cuál es la variable? 00:28:05
Yo este polinomio lo quiero factorizar 00:28:06
¿Vale? 00:28:12
Vuelvo a hacer Ruffini 00:28:14
Sé que tengo que hacer una división 00:28:15
En que el divisor tenga de la forma 00:28:19
X menos A 00:28:21
Pero yo ahora no sé que A tengo que poner aquí 00:28:23
Sí sé lo que pongo aquí 00:28:25
Que pongo 30 más 6 00:28:28
Más 5 y más 1 00:28:30
¿Os acordáis? 00:28:32
Ahora bien, yo sí sé más cosas 00:28:33
Ah, no lo conozco 00:28:36
No tengo ni repajo la idea de lo que vale 00:28:38
Y eso es lo que estoy buscando 00:28:40
Porque estoy buscando el divisor que hace que funcione 00:28:41
¿Vale? 00:28:43
Pero lo que sí que sé es que 00:28:44
Si quiero factorizar, ¿a quién el resto que tengo que tener? 00:28:46
Un cero 00:28:50
Entonces tengo otra pista 00:28:51
¿Cuál? 00:28:54
Si aquí tengo que tener un cero, ¿qué otra pista conozco? 00:28:57
¿Qué tiene que haber aquí? 00:29:01
Un menos 1. 00:29:03
Aquí tengo que tener un menos 1. 00:29:04
Y este viene de multiplicar lo de aquí, que es 30, que también lo conozco. 00:29:06
Esto es 30, ¿no? 00:29:17
Entonces, 30 por esto es lo que tengo que poner aquí. 00:29:19
Esto tiene que ser un múltiplo de A, sí o sí. 00:29:25
Luego significa que A tiene que ser un divisor de ese número. 00:29:30
Si menos 1 es un múltiplo de A, A tiene que ser un divisor de ese número, sí o sí. 00:29:33
¿Vale? Entonces, ¿qué puedo probar? ¿Cuáles son los divisores del menos 1? 00:29:38
Ahora puedo usar además los dos signos. 00:29:43
¿El divisor del 1? El 1. 00:29:45
Luego, o soy un 1, los valores posibles de A, o es 1, o es menos 1. 00:29:49
No hay más valores posibles para hacer la división por Ruffini. 00:29:58
Pues 1 o es menos 1. 00:30:04
Si no, no es posible factorizarlo por un número entero. 00:30:06
¿Eso lo veis? 00:30:09
entonces vamos a dividir, elegimos 00:30:09
tanteamos, hay que hacer la división 00:30:12
y comprobar si da o no da 00:30:15
y ver cuál da, vamos a empezar por ejemplo 00:30:16
con el más uno 00:30:18
que yo ya sé que no va a dar 00:30:20
pero vamos a ponerlo, luego me decís por qué lo sé 00:30:22
pongo aquí más uno 00:30:25
treinta por uno 00:30:26
treinta más seis, treinta y seis 00:30:27
treinta y seis, treinta y seis más cinco 00:30:35
cuarenta y uno, uy 00:30:37
aquí tendría que poner cuarenta y uno 00:30:38
no me vale 00:30:41
¿lo veis? no me da menos 1 00:30:42
a borrar 00:30:44
os recomiendo que escribáis 00:30:46
lo que está en negro, que lo escribáis a boli 00:30:49
y el resto lo hacéis a lápiz 00:30:52
entonces si no es más 1 00:30:54
que el más 1 no me vale 00:30:55
¿cuál es el que puedo poner? 00:30:57
menos 1, voy a probar 00:30:59
30 por menos 1 00:31:00
menos 30 00:31:02
más 6 00:31:05
menos 24 00:31:06
por menos 1 00:31:09
Espérate, a ver si me he equivocado 00:31:11
Al escribir el polinomio 00:31:19
¿Por qué no? 00:31:21
Tendría que salir 00:31:43
Más 24, 20, pues no hay 00:31:44
No sale 00:31:46
O sea, no puede, este no tiene raíces enteras 00:31:48
Este polinomio no tiene raíces enteras 00:31:52
¿Vale? No tiene factores enteros 00:31:53
Voy a coger otro 00:31:55
Este no tiene raíces enteras 00:31:56
Porque para el 1 00:31:58
Tendría que ser un negativo 00:32:01
Vale, cojo otro, espera 00:32:02
Perdonadme 00:32:10
Vamos a coger este 00:32:13
Vamos a hacerlo también con la R 00:32:36
Para que os acostumbréis a usar otras letras 00:32:44
4R al cubo 00:32:46
Menos R al cuadrado 00:32:48
Vamos a hacer este 00:32:50
A ver, 4R al cubo 00:32:53
Menos R al cuadrado 00:32:56
Menos 4R más 1 00:32:57
Vamos a hacer este 00:32:58
Porque quiero que salga con raíces enteras 00:33:00
El otro se puede factorizar pero con raíces fraccionarias 00:33:02
Y quiero raíces enteras 00:33:05
Que estamos aprendiendo 00:33:07
Lo siento 00:33:07
Hacemos lo mismo 00:33:11
Colocamos la división de Ruffini 00:33:12
Y colocamos arriba 00:33:15
Los coeficientes de mi 00:33:16
Entonces 00:33:18
Es que además quería que tuviera uno 00:33:20
Para que primero solo tuviera dos posibilidades 00:33:22
¿Cuáles pueden ser los posibles valores 00:33:24
De lo que yo meta aquí? 00:33:26
De la caja 00:33:28
Me fijo en este 00:33:29
Aquí tengo que tener un 0 00:33:31
Por tanto, esto tiene que ser menos 1 00:33:33
Y esto tiene que ser múltiplo de aquí, de A 00:33:35
Luego eso significa que A tiene que ser un divisor de menos 1 00:33:39
Divisores del 1 00:33:42
¿Cuáles son los posibles divisores del 1? 00:33:44
Más 1 y menos 1 00:33:48
Son los únicos valores que yo puedo probar aquí dentro 00:33:50
¿Vale? 00:33:53
Elegimos 1, el que queráis 00:33:55
Más 1 00:33:57
Vale, pues 4 por más 1, más 4, menos 1, más 4, 3, 3 por más 1, 3, menos 4, más 3, menos 1, menos 1 por más 1, menos 1. 00:33:58
Mira, aquí lo has encontrado. 00:34:10
¿Vale? 00:34:13
Entonces, yo escribiría P de R como qué. 00:34:14
¿Quién es mi divisor? 00:34:21
Pero eso también valdría, ¿no? 00:34:23
No lo sé, voy a ver. 00:34:26
De momento, más 1 es... 00:34:27
Entonces, ¿quién es mi divisor? 00:34:29
¿X? 00:34:31
No, fíjate que tienes aquí más 1. 00:34:34
Así que ¿quién es mi divisor? 00:34:37
Perdona. 00:34:42
Lo siento, pensaba que lo tenías. 00:34:47
No, mira. 00:34:53
¿Quién es mi divisor? 00:34:54
Si esta es la raíz del divisor, más 1 es la raíz del divisor, ¿quién tiene que ser mi divisor? 00:34:55
¿X? 00:35:03
Menos 1. 00:35:06
Para que se anule con el más 1. 00:35:07
¿Vale? Entonces, ¿quién es mi divisor? Bueno, en este caso no es X, que es la R. R menos 1. ¿Quién es mi cociente? Cuadrado, muy bien, más 3R, acuérdate del signo, menos 1. 00:35:10
¿Y quién es mi resto? 00:35:33
Cero. 00:35:36
Pues acabo de escribir mi dividendo como una multiplicación. 00:35:37
¿Podría seguir? 00:35:44
Sí, ¿verdad? 00:35:46
Porque aquí yo tengo uno que se ha recuadrado. 00:35:47
Yo puedo volver a intentar dividir. 00:35:49
Pues entonces, en lugar de decir que he terminado, voy a intentar seguir. 00:35:51
Entonces, si intento seguir, ¿yo ahora qué tendría que dividir? 00:35:56
Este de aquí, ¿no? 00:35:59
Que es este de aquí. 00:36:00
Voy a llevarme esto lejos 00:36:01
Para poder seguir dividiendo hacia abajo 00:36:04
Voy a llevarme esto 00:36:07
Aquí 00:36:09
¿Vale? 00:36:20
Me lo llevo aquí, hasta aquí hemos llegado, ¿no? 00:36:32
Lo he escrito ya como una factorización 00:36:34
Pero todavía puedo hacerlo mejor 00:36:37
Porque este polinomio de aquí 00:36:39
Todavía lo puedo hacer otra vez por Ruffini 00:36:42
Fíjate, me vuelvo 00:36:46
Ahora el resto estaría aquí 00:36:48
Que es el último término, ¿no? 00:36:50
Este tiene que ser un 0 00:36:51
Así que aquí tiene que haber un qué? 00:36:52
Un más 1 00:36:55
Por tanto, voy a coger divisores de este valor 00:36:56
Que son los mismos, más 1 y menos 1 00:36:59
Voy a volver a probar con el más 1 00:37:03
A ver si sale 00:37:06
Bajo el 4, 4 por 1 es 4 00:37:06
Son 7, 7 por 1 es 7 00:37:11
No, no sale 00:37:12
No sale porque aquí tendría que tener un 7 00:37:13
Y lo que quiero es un más 1 00:37:16
Así que en este caso, el más 1 ya no me vale. ¿Cuál es el otro que puedo probar? Menos 1. Vamos a ver. 4 por menos 1. Voy a quitar este para que lo veáis. Menos 4. 3 menos 4, menos 1. Menos 1 por menos 1, más 1. ¡Sí que sale! 00:37:19
Vamos, entonces 00:37:40
Aquí lo que voy a hacer es 00:37:43
Es este el que estoy factorizando ahora 00:37:45
Este es el nuevo divisor que he factorizado, ¿no? 00:37:47
Entonces, el primero lo arrastro 00:37:50
El R menos 1 00:37:52
Lo sigo arrastrando porque lo tenía de antes 00:37:53
Por 00:37:56
¿Quién es el siguiente? 00:37:57
Si tengo 00:38:00
Este 00:38:02
¿Quién es mi divisor? 00:38:03
Más 1 00:38:07
No es un divisor 00:38:08
¿Qué polinomio es mi divisor? 00:38:09
R más 1 00:38:13
¿Vale? 00:38:15
Entonces pondría R menos 1 00:38:18
Por R más 1 00:38:20
¿Y ahora quién es mi cociente? 00:38:21
¿No? 00:38:25
Menos 1 00:38:27
¿Vale? 00:38:27
4R menos 1 00:38:36
Así que acabáis de encontrar 00:38:38
la factorización de este polinomio, esta suma se puede poner como esta multiplicación 00:38:40
y eso es muy interesante porque yo aquí no puedo encontrar las raíces de P de R, es 00:38:48
decir, los valores que anulan P de R, yo tendría que resolver esto, 4R al cubo menos R al cuadrado 00:38:54
menos 4R más 1 igual a 0, que es una ecuación complicada si quiero encontrar los valores 00:39:01
que hacen que esto valga cero. 00:39:08
¿Lo veis? 00:39:10
Yo no sé qué valores tengo que meter aquí 00:39:11
para que mi polinomio valga cero. 00:39:14
No encuentro las raíces 00:39:16
que serían las soluciones de esa ecuación. 00:39:18
¿Lo veis? 00:39:20
Sin embargo, 00:39:21
sin embargo, 00:39:22
tenerlo factorizado es un chollo. 00:39:31
Porque para que una multiplicación valga cero, 00:39:33
¿qué es lo que tiene que pasar? 00:39:36
¿Cuál es la única posibilidad 00:39:40
para que una multiplicación valga cero? 00:39:41
¿Que se multiplique por qué número? 00:39:44
No, un número por el mismo es un cuadrado. 00:39:48
¿Que se multiplique por cero? 00:39:51
Pues la única opción es que yo multiplique, que esté multiplicando por cero. 00:39:54
Entonces, si yo quiero encontrar las raíces de P de R, lo que estoy intentando es encontrar que P de R valga cero. 00:39:59
Pero esto es P de R, esta multiplicación valga cero. 00:40:08
Luego tengo tres posibilidades. 00:40:12
La primera, que el primer factor valga cero 00:40:13
Para que r menos uno valga cero 00:40:16
¿Cuánto tiene que valer la r? 00:40:18
Uno 00:40:23
Complicado, ¿eh? 00:40:24
La segunda posibilidad 00:40:27
No, no tiene truco 00:40:28
La segunda posibilidad 00:40:31
Que r más uno valga cero 00:40:32
Esa es otra opción 00:40:34
Porque si r más uno vale cero 00:40:36
Si esto es cero 00:40:37
Mi polinomio vale cero 00:40:39
Porque estoy multiplicando por cero 00:40:41
Así que 00:40:43
para que R más 1 valga 0 00:40:44
¿cuánto tiene que valer R? 00:40:47
menos 1 00:40:51
y si quiero que 4R menos 1 valga 0 00:40:52
¿cuánto tiene que valer R? 00:40:57
un cuarto 00:41:03
no, un cuarto 00:41:04
porque está multiplicado por 4 00:41:07
y 4R tiene que ser 1 00:41:09
que si 4 veces R tiene que ser 1 00:41:11
R tiene que ser una cuarta parte de 1 00:41:13
un cuarto 00:41:15
así que fíjate que de aquí 00:41:16
que yo no podía encontrar las raíces 00:41:18
y ver qué valores vale cero 00:41:20
si hago una factorización 00:41:22
lo tengo chupado 00:41:24
porque puedo encontrar cuáles son los valores 00:41:25
que hacen que eso valga cero 00:41:28
que coincidiría 00:41:29
con las soluciones de la ecuación 00:41:33
si yo hago 4r cubo 00:41:34
menos r cuadrado menos 4r más 1 00:41:36
igual a cero, si lo quiero encontrar 00:41:38
lo único que tengo que hacer es factorizarlo 00:41:40
y encuentro sus soluciones 00:41:41
¿lo veis? ¿ha quedado claro? 00:41:43
¿vale? 00:41:47
Entonces, lo que estoy haciendo es encontrar la factorización de P de R, esta es la factorización, es decir, escribir P de R como una multiplicación de factores, ¿vale? 00:41:47
Los factores serían R menos 1, R más 1 y 4R menos 1, y las raíces de esos factores son las raíces de P de R. 00:42:08
Los valores que anulan esos factores son los valores que anulan el polinomio, ¿vale? 00:42:17
Entonces, lo bueno es que si tengo las raíces, tengo los factores. 00:42:23
Y si tengo los factores, tengo las raíces. 00:42:27
Eso se llama teorema del factor. 00:42:29
Lo vamos a escribir también, ¿vale? 00:42:31
Teorema del factor. 00:42:33
El cociente sería... 00:42:35
4r menos 1. 00:42:38
Lo tengo aquí. 00:42:41
Es el cociente de la última. 00:42:44
¿Vale? 00:42:47
Esta de aquí sería mi divisor, r más 1, por mi cociente, que es 4r menos 1. 00:42:47
¿Ha quedado claro? 00:42:56
Vale, entonces, el teorema del factor me dice, si un valor es raíz de un polinomio, 00:42:58
coma, es decir, anula ese polinomio, 00:43:09
si un valor a, perdón, si un valor a es raíz de un polinomio, es decir, anula ese polinomio, 00:43:22
es raíz de un polinomio, es decir, si un valor A es raíz de un polinomio, es decir, anula ese polinomio, 00:43:28
lo que te estoy diciendo es que P de A es cero, si un valor A es raíz del polinomio, significa que P de A es cero, ¿no? 00:43:37
Entonces, claro, entonces, X menos A es factor del polinomio. 00:43:48
Un momentito, no. 00:44:07
X menos A es exacta, X menos A es factor de P de X. 00:44:25
No. 00:44:31
Depende de si tiene resto o no tiene resto. 00:44:33
Yo llamo factores cuando escribo una factorización. 00:44:36
Cuando no hay resto, cuando el resto es cero. 00:44:39
¿Vale? 00:44:42
¿Ha quedado claro? 00:44:43
Sí, bueno, eso lo tenéis claro. 00:44:44
Yo llamo factores cuando escribo una factorización. 00:44:46
¿Vale? 00:44:49
Entonces no hay resto. 00:44:49
Si yo tengo una división aquí 00:44:50
Hemos hecho una división con resto 00:44:52
Aquí no hay una factorización 00:44:58
Entonces cuando digo que tengo factores 00:44:59
Cuando tengo divisiones sin resto 00:45:03
Entonces aquí sí 00:45:05
R-1 es un factor de PDR 00:45:06
R-1 es un factor de PDR 00:45:09
Y 4R-1 es un factor de PDR 00:45:11
¿Ha quedado claro? 00:45:14
Entonces factorizar es escribir un polinomio 00:45:15
Como un producto de factores 00:45:17
Vamos a factorizar otro 00:45:19
¿Vale? 00:45:20
Una pregunta, como el orden de los factores no altera el producto, ¿importa el orden en que encuentras las raíces? 00:45:23
No, no, claro. 00:45:31
Ninguno. 00:45:32
Yo podía haber puesto primero intentarlo con el menos uno, sí, y en el siguiente ya no hubiera podido y hubiera tenido que coger más uno. 00:45:34
¿Os acordáis cuando hacíamos, esto es como la descomposición en factores primos, os acordáis, que me daba igual encontrar un factor con otro? 00:45:42
ibas tanteando, utilizábamos los criterios de divisibilidad para ir tanteando factores que yo conocía que me daban resto cero, pues ahora es igual, yo voy tanteando para encontrar raíces que sé que me van a dar resto cero, es lo mismo, ¿lo veis? 00:45:48
Es el algoritmo análogo 00:46:04
En la descomposición factorial 00:46:07
Pero algebraica 00:46:08
¿De acuerdo? 00:46:09
Entonces vamos a hacer otro 00:46:11
Por ejemplo 00:46:12
Venga, este 00:46:13
Una pregunta, perdona 00:46:17
Las raíces siempre tienen que ser números enteros 00:46:25
¿Pueden ser fracciones? 00:46:28
Las raíces pueden ser números enteros 00:46:29
Pueden ser fracciones 00:46:31
Pueden ser muchas cosas 00:46:33
Lo que pasa es que con Ruffini 00:46:35
yo solo puedo encontrar 00:46:36
raíces de números 00:46:38
que sean números enteros 00:46:41
por eso antes, en el polinomio que pusimos 00:46:42
al principio os dije, tiene raíces 00:46:45
pero no son enteras, fíjate 00:46:47
que en este 00:46:49
nos ha salido una raíz que no era entera 00:46:51
pero nunca la hubiera encontrado 00:46:53
con Ruffini, siempre me va a salir 00:46:55
aquí al final 00:46:57
como haya dos, tengo un problema 00:46:58
con Ruffini, no puedo factorizar, tendré que 00:47:01
buscar otra herramienta 00:47:03
¿Vale? Iremos poco a poco 00:47:05
Pero de momento sí que hay muchas cosas 00:47:06
Que puedo factorizar utilizando Ruffini 00:47:08
No puedo factorizarlo todo 00:47:10
No puedo factorizar cualquier tipo de 00:47:12
De polinomio que tenga raíces no enteras 00:47:14
Pero sí puedo encontrar raíces enteras 00:47:17
Entonces Ruffini me sirve 00:47:19
Para encontrar raíces enteras 00:47:20
De polinomios, factores 00:47:22
Cuyas raíces son enteras 00:47:24
¿De acuerdo? Para eso sí lo puedo usar 00:47:26
¿Vale? 00:47:28
Entonces, este por ejemplo 00:47:31
Lo quiero factorizar 00:47:32
¿Vale? 00:47:37
Este es p de x porque mi variable es x 00:47:39
Que va a ser lo más habitual 00:47:41
Entonces, empiezo con Ruffini 00:47:43
¿Qué tendría que poner? 00:47:46
Las rayas 00:47:48
Muy bien 00:47:52
Esto normalmente os encanta 00:47:53
Hacer Ruffini os encanta 00:47:56
4 más 3 00:47:57
Más 16 00:48:00
Más 12 00:48:03
Y aquí me tiene que salir un 0 00:48:05
Luego aquí tengo que tener 00:48:06
Pues entonces 00:48:08
¿Qué divisores voy a poder probar? 00:48:11
Divisores del 12 00:48:13
Más 1 menos 1 00:48:14
Criterios de divisibilidad 00:48:17
Más fácil 00:48:20
Primero, empieza por los pequeños 00:48:22
Ya que tienes que encontrar 00:48:24
No busques lo grande, busques los pequeños 00:48:27
Más 2 menos 2 00:48:28
Más 3 menos 3 00:48:31
Más 4 menos 4 00:48:34
Más 6 menos 6 00:48:37
Más 8 menos 8 00:48:40
No, y más 12 menos 12 00:48:42
Acuérdate que iban por parejas 00:48:44
El 1 con el 12, el 2 con el 6 00:48:45
Y el 3 con el 4 00:48:48
¿Te acuerdas cuando hacíamos divisibilidad? 00:48:49
Al hacer los divisores 00:48:52
Para esto servía 00:48:54
Calcular los divisores de un número 00:48:55
Para luego utilizarlo 00:48:57
Al hacer Ruffini, por ejemplo 00:48:59
¿Vale? Entonces, elegir uno con el que probar 00:49:01
¿tú crees que con el positivo va a dar? 00:49:03
esto tiene relación con lo de antes 00:49:07
porque sabía yo que el positivo no daba 00:49:08
¿creéis que el positivo va a dar? 00:49:10
¿por qué no, Manuel? 00:49:13
¿qué tienes aquí? 00:49:18
pues en algún momento tendré que multiplicar por negativo 00:49:20
si yo tengo aquí 00:49:23
todos los sumando positivos 00:49:24
tendré que poner un negativo 00:49:27
o no voy a tener un negativo ni de coña 00:49:29
eso ya fíjate que me quita 00:49:30
este no puede ser, este no puede ser 00:49:32
este no puede ser, este no puede ser 00:49:33
Pensar ahorra mucha faena 00:49:35
Me acabo de quitar la mitad de un plumazo 00:49:38
Entonces, ¿cuál puede ser? 00:49:41
¿Con cuál empiezo? 00:49:45
Pues con el primero y el más pequeño 00:49:47
Yo empiezo con el más fácil y voy complicando 00:49:48
Así que, menos uno 00:49:51
Y fijaos que los que no pueden ser así 00:49:53
Los que no pueden ser en este 00:49:56
Ya no pueden ser en los siguientes 00:49:58
O sea que estos de aquí 00:49:59
Me los puedo ventilar para cualquier tipo 00:50:01
de división posterior que vaya a hacer 00:50:04
estos ya nunca van a poder ser 00:50:06
pues si no han sido en el primero no pueden ser en ningún otro 00:50:08
vale, pues entonces pondría aquí 00:50:10
un 4 00:50:12
¿qué pongo aquí? 00:50:13
menos 4, ¿aquí? 00:50:16
menos 1 00:50:20
más 1 00:50:21
17, esto no tiene pinta 00:50:23
vale, fuera 00:50:25
el menos 1 no me vale 00:50:27
¿cuál? 00:50:33
4 por menos 2 00:50:34
menos 8 más 3 00:50:38
menos 5 por menos 2 00:50:40
más 10 00:50:42
26, tampoco tiene pinta 00:50:44
ay porras 00:50:46
mierda, perdonad 00:50:57
perdonad, perdonad, voy a cambiar 00:51:01
no me he dado cuenta que os he puesto uno 00:51:02
que tiene, sí, pero raíz fraccionaria 00:51:04
perdón, perdón, perdón, perdón 00:51:07
perdón, perdón, perdón, lo siento, lo siento, lo siento 00:51:09
empezamos 00:51:10
Sí, es que es un cuarto 00:51:12
¿Vale? 00:51:15
Perdonad, perdonad, me he dado cuenta al hacerlo 00:51:17
Así a ojo 00:51:18
Vamos a ver 00:51:22
Voy a poner el 3x cuadrado 00:51:22
No, perdón, 3x al cubo 00:51:27
Menos 3a cuadrado 00:51:29
Menos 3x cuadrado 00:51:31
Menos 2x 00:51:33
Más 2 00:51:37
Perdonad 00:51:44
Entonces pondré aquí el 3 00:51:45
El menos 3, el menos 2 00:51:46
Y el más 2 00:51:49
¿Vale? Entonces, ¿quiénes son los divisores que voy a probar? 00:51:49
¿De quién? 00:51:54
De este, ¿no? 00:51:55
Del menos 2 00:51:57
O sea, el de atrás, cambio de signo 00:51:58
Como el signo me da igual, pues del 2 00:52:00
¿Qué serían entonces? 00:52:02
Más 1, menos 1 00:52:04
Más 2 y menos 2 00:52:05
Vamos a probar con el más 1 00:52:08
Que sería 3 por más 1 00:52:10
3, 0 más 1 00:52:12
Y menos 2 por más 1 00:52:16
Menos 2, anda mira 00:52:18
A la primera, pensaba que iba a ser el menos 00:52:19
Vale, a la primera 00:52:22
Entonces, esto de aquí, ¿cómo quedaría factorizado? 00:52:23
Si esto es más 1, ¿quién es el divisor? 00:52:28
Lo ponemos aquí 00:52:31
X menos 1 00:52:32
Si X igual a 1 es raíz 00:52:37
X igual a menos 1 es el factor 00:52:42
¿Te acuerdas? Teorema del factor. Así que voy a poner mi divisor x-1. ¿Y quién es mi cociente? 3x cuadrado menos 2. ¿Vale? ¿De acuerdo? 00:52:44
¿No? Y ahora, para esto es para lo que servía, lo que os servía, lo que yo os enseñé de factorizar. 00:53:12
Tengo un cuadrado aquí, ¿lo veis? Y tengo otro cuadrado aquí, porque eso siempre puede ser el cuadrado de una raíz. 00:53:19
Y están restados. Entonces, si yo tengo una resta de números potencialmente al cuadrado, lo que yo tengo es una suma por una resta. 00:53:28
Yo esto ya no lo puedo hacer más por Ruffini. Vamos a comprobar que no hay más. 00:53:38
Si yo hiciese con el más 1 00:53:42
Vamos a comprobarlo 00:53:46
Si yo hiciese con el más 1 00:53:51
Me quedaría 3 por 1, 3 00:53:52
3, 3, no me vale 00:53:54
Porque aquí tengo que tener un 0 00:53:56
Perdón 00:54:06
Aquí tengo que tener un 0 00:54:06
¿Vale? 00:54:10
Para que haya un factor 00:54:12
El más 1 ya he visto que no 00:54:13
Voy a probar con el menos 1 00:54:14
3 por menos 1, menos 3 00:54:16
Esto es más 3, no me vale 00:54:18
No me da cero 00:54:21
¿Qué otro tengo? 00:54:23
3 por más 2 00:54:29
Más 6 00:54:30
Y 6 por más 2 00:54:31
Más 12 00:54:33
No me vale 00:54:33
Y con el menos 2 00:54:34
3 por menos 2 00:54:41
Menos 6 00:54:42
Y menos 6 00:54:43
Más 12 00:54:44
No me vale 00:54:45
Tengo un problema 00:54:46
No tengo más raíces enteras 00:54:49
No puedo encontrar esto así 00:54:52
Entonces necesito otra herramienta 00:54:56
Y por eso se enseñó las identidades notables 00:55:00
Porque si yo tengo una resta de cuadrados 00:55:02
Eso podrías verlo 00:55:04
Dado que ese último polinomio 00:55:06
Ya no es x menos a 00:55:08
Ya no te va a entrar 00:55:10
Si yo tengo x cuadrado menos a cuadrado 00:55:11
Eso es igual a 00:55:15
x más a por x menos a 00:55:16
¿Te acuerdas? 00:55:19
Vale 00:55:21
Y yo tengo ahí 00:55:22
3x cuadrado menos 2 00:55:23
Para empezar 00:55:26
Yo tengo que tener 00:55:31
Este 00:55:32
Voy a ver que tengo que poner 00:55:37
Como si fuera una nube 00:55:40
¿No? 00:55:42
Y donde pone A 00:55:58
Voy a poner una caja 00:55:59
A ver que meto dentro 00:56:01
Entonces, ¿qué tengo que meter? 00:56:10
Si yo quiero 00:56:12
Que en mi nube esté 00:56:13
3X cuadrado 00:56:16
¿Qué es lo que tengo que meter en el paréntesis? 00:56:17
3X cuadrado 00:56:21
No, fíjate que el cuadrado lo tengo aquí, perdón, ¿qué tengo que escribir en mi nube para que esto esté al cuadrado? 00:56:22
Una x sola, vale, una x sola, y en lugar de 3, ¿qué tengo que poner? 00:56:38
La raíz cuadrada de 3, no, la raíz cuadrada de 3, porque si haces la raíz cuadrada de 3 al cuadrado, ¿qué te da? 00:56:47
3, y entonces, ¿qué tengo que poner en el cuadrado? 00:56:56
La raíz cuadrada de 2 00:56:59
Entonces esto me quedaría 00:57:02
La raíz de 3x 00:57:07
Más raíz de 2 00:57:09
Y esto es raíz de 3x 00:57:11
Menos raíz de 2 00:57:13
Así que esta factorización sería 00:57:14
X menos 1 00:57:17
Por raíz de 3 00:57:19
Por x menos raíz de 2 00:57:20
Por raíz de 3 por x 00:57:23
Más raíz de 2 00:57:25
Que sean números raros no significa que raíz de 2 00:57:26
Sea distinto de 5 00:57:29
no se entera 00:57:30
¿ha quedado claro? 00:57:32
pero para eso necesitaba conocer bien las identidades notables 00:57:34
y reconocerlas para ayudarme cuando me sale el cuadrado 00:57:37
si fuera un más 00:57:39
no puedo factorizar 00:57:40
si esto fuera un más, aquí 00:57:41
no puedo encontrar dos valores 00:57:44
que multiplicados me den eso 00:57:47
porque el cuadrado de algo nunca me puede dar ahí negativo 00:57:48
¿entendemos? 00:57:51
entonces necesitaría 00:57:54
para que eso fuera 00:57:56
necesitaría un tercer término 00:57:56
¿No os acordáis? Si yo tengo un binomio al cuadrado, si es negativo, yo tengo que tener tres términos. 00:57:59
Uno por el x cuadrado, otro por la x y otro por el término independiente, que lo hemos estado trabajando estos días. 00:58:04
¿Os acordáis ayer con el tablero? 00:58:09
Entonces, solo puedo factorizar cuando me falta la x lineal, cuando me falta la x, 00:58:11
solo puedo factorizar si tengo de la forma 3x cuadrado menos 2. 00:58:18
Si es un más, lo dejo de grado 2 y ya está, no se puede factorizar más. 00:58:21
¿Ha quedado claro? Es como cuando he encontrado un primo. 00:58:26
un número primo no lo puedo factorizar más 00:58:29
pues esto igual 00:58:31
cuando tenéis un binomio 00:58:32
de la forma así 00:58:34
no podéis factorizar más 00:58:36
es el número primo que habéis encontrado 00:58:39
¿vale? 00:58:41
¿de acuerdo? 00:58:43
vale, probáis 00:58:45
no sé qué hora es 00:58:49
voy a dejar aquí la lección y ya probamos 00:58:50
vale, vamos a factorizar 00:58:53
uno más 00:58:56
¿y Carolina cómo grabas? 00:58:56
¿la pantalla está quedando grabada? 00:58:59
Sí, sí, sí, está quedando grabada, está aquí. 00:59:00
Vamos a ver, si yo tuviera... 00:59:03
Y luego la camarita que está al lado. 00:59:06
Y si yo pusiera esto. 00:59:29
Y si yo pusiera esto. 00:59:36
¿Podría hacer Ruffini? 00:59:39
¿Qué me falta? 00:59:42
El término independiente. 00:59:45
Entonces, fíjate que todos tienen X. 00:59:47
¿Qué puedo hacer? 00:59:49
¿Y saca el factor común? 00:59:54
Sacar factor común es factorizar 00:59:57
Entonces antes de liarte a Ruffini 00:59:59
Primero intenta sacar factor común 01:00:02
Que te va a solucionar mucho la vida 01:00:05
Resolver mucho la vida 01:00:06
Entonces fíjate, que yo aquí podría sacar factor común 01:00:07
¿No? 01:00:10
Que sería 01:00:11
Una X 01:00:12
¿Y de los números puedo sacar algo? 01:00:15
Sí, tercia 01:00:17
Dímelo bien 01:00:18
¿Qué hay factor ahí en los tres? 01:00:19
¿Qué número se repiten los 3? 01:00:28
El 3, el 6, el 3. 01:00:31
¿De qué tabla son todos números? 01:00:32
No, de 3. 01:00:34
Puedo sacar 3x. 01:00:37
Factor común que multiplique a quién. 01:00:40
Pues divido 3x al cubo entre x, x cuadrado. 01:00:43
Esto lo hemos hecho, ¿os acordáis? 01:00:47
Ahora, más 6x cuadrado entre 3x, más 2x, más 1. 01:00:49
Ya tengo una factorización 01:00:58
¿Hay algo que reconocéis? 01:01:02
¿Sí? ¿Cuál? 01:01:11
Por X, no 01:01:15
3X por X cuadrado más 2X más 1 01:01:16
¿Vale? 01:01:18
Todavía tenéis que 01:01:19
Todavía tenéis que 01:01:21
Que factorizar el segundo que os queda 01:01:24
¿Cuál? 01:01:27
Eso si queréis lo hacemos con 01:01:29
Ah, lo has visto 01:01:31
Vamos a comprobarlo 01:01:35
Imagínate que no lo veis, que es un binomio al cuadrado. 01:01:36
Vamos a factorizar, ¿con quién? 01:01:38
Con Ruffini, ¿no? 01:01:41
¿Por qué no se me para? 01:01:43
Entonces tenemos, 1, voy a factorizar este, más 2 y más 1. 01:01:47
1 más 2 y más 1, ¿vale? 01:01:55
Entonces, aquí tengo que tener un 0, por tanto este es un menos 1. 01:01:58
¿Cuáles son los únicos divisores que puedo probar? 01:02:02
Más 1 y menos 1. 01:02:04
Más 1 y menos 1 01:02:07
Pues voy a probar, por ejemplo, con el más 1 01:02:14
1 por más 1 01:02:16
1, 2 y 1, 3 01:02:19
Con el más 1 no sale, ¿no? 01:02:21
Vale 01:02:25
Entonces, ¿cuál podría poner? 01:02:25
Menos 1 01:02:28
1 por menos 1 01:02:29
Menos 1 01:02:30
Y aquí sale 1 01:02:31
Y 1 por menos 1 01:02:32
Míralo, aquí está 01:02:34
Menos 1 01:02:34
Con este sale 01:02:35
Entonces, yo escribiré 01:02:36
3x por 01:02:39
Y este polinomio de aquí, ¿quién es? 01:02:41
Si la raíz es menos 1, ¿quién es el divisor? 01:02:43
Muy bien, Marisa, x más 1 01:02:50
Así que será x más 1 por, ¿y quién es mi cociente? 01:02:53
1 por x más 1 01:02:58
Pues x más 1 otra vez 01:03:01
Binomio al cuadrado 01:03:03
Cuadrado del primero, x cuadrado 01:03:09
Más cuadrado del segundo, más 1 01:03:12
Más dos veces el primero por el segundo 01:03:15
1 por x es x por 2 01:03:17
Más 2x 01:03:18
Lo que hemos estado desarrollando 01:03:20
De las identidades notables 01:03:23
¿Os acordáis? 01:03:24
Vale, entonces si no te das cuenta no pasa nada 01:03:26
Lo puedes factorizar también así 01:03:28
Claro, si te das cuenta 01:03:29
Factoriza mucho más rápido 01:03:32
Porque no tienes que hacer Ruffini 01:03:34
Para poder, por identidades notables 01:03:36
Escribes directamente esto 01:03:38
¿Ha quedado claro? 01:03:39
¿Cómo se integra todo? 01:03:40
Entonces, pasos para factorizar 01:03:42
Primero, saco factor 01:03:43
común 01:03:46
luego hago Ruffini 01:03:47
tanteando con los divisores 01:03:50
del término independiente 01:03:53
¿vale? y escribo cada 01:03:54
factorización a través de dividendo 01:03:56
es igual a divisor por porciento 01:03:58
¿vale? si x es igual a 01:04:00
a es una raíz, x menos a es un factor 01:04:02
¿ha quedado claro? 01:04:04
vale, pues ahora ya cortamos la clase y luego 01:04:06
os voy a dar unos polinomios 01:04:08
tenéis una ficha de polinomios para practicar 01:04:10
¿vale? venga 01:04:12
Chao. 01:04:14
Idioma/s:
es
Autor/es:
Carolina Hassmann
Subido por:
Carolina H.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
23
Fecha:
6 de marzo de 2024 - 11:35
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
1h′ 04′ 17″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
129.25 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid