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Tema 5.- Funciones 3ª Sesión 07-05-2026 - Contenido educativo

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Subido el 8 de mayo de 2026 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 7 de mayo. 00:00:00
Estuvimos viendo la semana pasada las funciones lineales y haciendo ejercicio sobre ellas. 00:00:05
Hoy lo que vamos a ver es las funciones cuadráticas. 00:00:13
¿Qué es una función cuadrática? 00:00:16
Pues como yo os pongo, es la que tiene como expresión algebraica 00:00:19
la variable dependiente igualada a un polinomio de grado 2. 00:00:23
O sea que ahora van a aparecer cuadrados en la variable independiente y esos cuadrados van a hacer que la representación gráfica que hagamos de ella sea distinta. 00:00:29
Hasta ahora hemos estado representando rectas, aquí lo que van a aparecer son lo que llamamos parábolas. 00:00:43
en esa función cuadrática 00:00:49
los coeficientes de la x cuadrado, la x y la c 00:00:53
que es el término independiente, pues van a ser lo mismo que 00:00:58
cuando hacíamos ecuaciones de segundo grado, números reales 00:01:02
los que me dé la gana, siempre que la a no sea 00:01:06
un 0, porque si la a es un 0, ese término desaparece y me quedaría con una 00:01:10
función lineal, entonces vamos a ver que 00:01:14
la gráfica es una parábola de estas funciones. Y 00:01:18
parábolas tenemos de dos tipos. Digo que una parábola es 00:01:22
convexa, y lo vamos a dibujar, 00:01:26
convexa es que tengo así, 00:01:33
¿por qué no me deja? Convexa es 00:01:38
cuando tengo, bueno, no me deja 00:01:44
verlo, luego lo vemos en los ejercicios, cuando está abierta hacia 00:01:47
arriba y eso será así cuando el coeficiente de las x al cuadrado sea mayor que 0. ¿Vale? 00:01:52
Así. No me deja pintar aquí. Bueno, luego lo hacemos en los ejercicios. Y cóncava cuando 00:02:02
está abierta hacia abajo. Y eso ocurrirá cuando el coeficiente de las x al cuadrado 00:02:10
la A sea un número negativo, ¿vale? Entonces, el coeficiente A me dice si la parábola es 00:02:17
convesa o cóncava. Positivo-convesa, negativo-cóncava. Para que os acordéis un poco mejor de cuál 00:02:26
es cada una. Pues cuando es convesa, positivo, como si fuese una sonrisa. Y cuando es cóncava, 00:02:34
negativo como si estuviese enfadado. Ahora, el término independiente, la c, me va a decir 00:02:41
a qué altura esa parábola va a cortar al eje y, o sea que me va a dar el punto de corte 00:02:49
con el eje y, que será el que tenga de coordenadas 0 para las x y c para las y. Luego otra cosa 00:02:55
que será de especial importancia en las parábolas 00:03:05
es el cálculo de su vértice, que es 00:03:09
el punto en el que paso de 00:03:13
decrecer a crecer o de crecer a decrecer, dependiendo 00:03:16
si es cóncava o convexa, o sea que va a ser un mínimo 00:03:21
cuando sea convexa y un máximo cuando sea cóncava 00:03:25
¿qué es eso de mínimo o máximo? pues un punto decimos que es 00:03:29
en un mínimo cuando es el valor más bajo que tiene la función y es máximo cuando 00:03:33
alcanza el valor más alto que puede tomar esa función en su variable dependiente. 00:03:38
La forma de calcular el vértice va a ser la siguiente. Calcularemos primero lo que 00:03:45
vale su acisa, o sea, lo que vale la x y va a salir una expresión que ya nos conocíamos 00:03:51
de antemano, que es que va a ser menos b partido de 2a. Y si recordáis, esto lo teníamos 00:03:58
en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado, que era la parte que estaba 00:04:05
fuera de la raíz, porque la solución de la ecuación de segundo grado era menos b 00:04:11
más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a. Entonces, lo que 00:04:16
me está saliendo aquí es la parte de fuera 00:04:22
de la raíz en esa expresión de la solución. 00:04:25
Cuando yo tenga la variable independiente, o la cisa, 00:04:30
¿cómo podré calcular su ordenada? ¿Cómo podré calcular la y? Pues 00:04:34
simplemente yéndome la ecuación de la función cuadrática 00:04:38
y sustituyendo las x por el valor 00:04:42
que me haya dado aquí, ¿vale? O sea, si aquí me ha salido un 2 00:04:46
pues yo aquí digo a por 2 al cuadrado más b por 2 más c 00:04:50
nada más, y ya tendría las coordenadas 00:04:54
de ese punto del vértice 00:04:58
¿qué otra cosa puedo sacar de esta cuenta? 00:05:00
de esta x 00:05:07
de lo que es la coordenada x del vértice, pues que va a haber 00:05:09
una simetría respecto a la recta vertical que pase por ese punto 00:05:13
¿qué es eso de que hay simetría? 00:05:18
pues que si yo doblo la función justo por la recta que pasa por ese punto 00:05:21
las dos ramas de la parábola coincidirían 00:05:25
bueno, esto que estamos viendo así un poco en teoría 00:05:30
lo vamos a ir haciendo en ejercicios 00:05:34
y por último, pues haciendo todo este estudio 00:05:36
podremos representar la parábola si 00:05:40
dibujo también sus puntos de corte con el eje X 00:05:43
¿Y cómo calcularé los puntos de corte con el eje x? Pues hallando las soluciones de la ecuación de segundo grado que tengo dentro de mi función. ¿Por qué? Pues porque cuando yo corte al eje x las y van a valer cero. 00:05:48
entonces solo tendré que venir a mi expresión de la función 00:06:04
poner un 0 aquí y me quedará una ecuación de segundo grado 00:06:08
que sabemos resolver con la fórmula de forma incompleta 00:06:12
como queráis y corresponde en cada momento pero la podremos resolver 00:06:16
con facilidad 00:06:20
bueno pues vamos a ver esto que hemos dicho aquí y como lo dibujamos 00:06:23
y lo vamos haciendo paso a paso nosotros 00:06:28
en nuestra tableta, entonces vamos a coger la función 00:06:32
podéis ver aquí luego ordenadita, pero para que os podáis ir explicando 00:06:35
los pasos, digo, tengo la 00:06:40
perdón, que me he perdido, tengo la función 00:06:41
y igual a x cuadrado más 2x 00:06:51
menos 3x cuadrado más 2x menos 3 00:06:57
yo pretendo dibujar la gráfica 00:07:02
De esta función, donde este es el eje X, este es el eje Y. 00:07:06
Entonces, ¿qué es lo primero que voy a hacer? 00:07:12
Pues lo primero que hago es ver si es cóncava o convexa. 00:07:15
Digo, concavidad, a ver que pongo más firme esto, concavidad o convexidad. 00:07:19
Pues si me fijo, yo en mi ecuación tengo que la A vale 1, la B vale 2 y la C vale menos 3. 00:07:35
Voy a poner más fino que así no me gusta, escribo un poco mal. 00:07:52
Bueno, pues como la A que vale 1 es un número mayor que 0, hemos visto antes que puedo decir que la función es convexa. 00:08:02
Y que sea convexa es que va a ir con sus ramas hacia arriba, va a tener esta forma. 00:08:13
Segundo paso, ¿qué es lo segundo en lo que nos fijamos? 00:08:23
En el término independiente, ya hemos usado el coeficiente de las x al cuadrado, vamos a utilizar el término independiente. 00:08:27
Entonces decíamos, el punto de corte con el eje y siempre va a ser de la forma 0. 00:08:34
Pues entonces en este caso tendremos que nuestro punto de corte será el 0-3. ¿Qué quiere decir esto? Pues que si yo me vengo aquí a mi gráfica y digo 1, 2 y 3, mi corte con el eje Y estará aquí, ¿vale? En ese punto que es el 0-3. 00:08:47
bueno, pues seguimos viendo cosas 00:09:15
digo, de momento, solo sé que las ramas de la parábola van hacia arriba 00:09:19
porque es conversa y que pasa por ese punto 00:09:23
vamos a seguir estudiando cosas, digo, tercero, el vértice 00:09:26
bueno, pues lo vamos a poner así, que la coordenada x del vértice 00:09:31
hemos dicho que salía de la expresión menos b partido de 2a 00:09:36
pues vamos a nuestra función 00:09:41
y vemos cuánto vale cada cosa. La b valía 2. Entonces tendré menos 2 entre 2 por 1 que valía la a. 00:09:44
O sea que tengo menos 2 entre 2 menos 1. Y ahora para hallar la coordenada y del vértice, ¿qué hacíamos? 00:09:53
Pues nos veníamos a la ecuación de la función y sustituíamos todas las x por un menos 1. 00:10:02
O sea que tengo menos 1 al cuadrado más 2 por menos 1 y menos 3, o sea, estoy sustituyendo aquí en la ecuación de la función para poder calcular cuánto vale la variable dependiente una vez que sabemos el valor de la independiente. 00:10:08
Bueno, pues hacemos estas cuentas y me queda menos 1 al cuadrado, 1 00:10:31
2 por menos 1, menos 2 00:10:35
Y ahora menos 3 00:10:38
Pues tengo 1, menos 2, menos 1 y menos 3, menos 4 00:10:40
Entonces, el vértice me ha salido que tiene coordenadas 00:10:44
Menos 1, menos 4 00:10:49
Pues vamos a dibujar donde está ese punto 00:10:52
Menos 1, pues a la izquierda 00:10:55
y menos 4, 1, 2, 3 y 4 por aquí abajo 00:10:59
pues el punto que estoy buscando está 00:11:03
voy a borrar este de aquí, que nos está fastidiando 00:11:07
lo pongo mejor en el otro lado, que sea el punto 00:11:11
0, menos 3 00:11:15
y el vértice está aquí abajo, en el punto 00:11:18
menos 1, menos 4, y yo sé que mi parábola 00:11:23
ahí va, hacia arriba, hacia así, vale, pues 00:11:27
muy bien, si yo fuese capaz ahora 00:11:32
de calcular 00:11:36
quiénes son estos dos puntos, pues ya tendría el dibujo de mi parábola 00:11:40
bastante bien hecho y bastante definido 00:11:44
a ver que lo hacemos un poquito mejor, vale 00:11:48
bueno, pues vamos a ver quiénes son esos dos puntos 00:11:54
Y esos dos puntos serán los que cortan al eje X. 00:11:58
Pues nos vamos a nuestras cuentas y digo, a ver, ¿en qué punto voy a cortar al eje X? 00:12:02
Cuarto, corte con el eje X. 00:12:16
Pues cuando yo corto al eje X, las Y van a valer cero. 00:12:25
porque cualquier punto del eje x tiene coordenadas 00:12:29
algo cero, me muevo solo a izquierda o a derecha 00:12:34
pero no me muevo nada hacia arriba o hacia abajo, entonces esto sería lo mismo que decir 00:12:38
que quiero ver cuando cero es igual a x al cuadrado 00:12:42
más, ahí como la función que se me ha olvidado 00:12:46
2x menos 3 00:12:50
x al cuadrado más 2x menos 3 00:12:52
Y esto es resolver una ecuación de segundo grado, que lo hacíamos usando la fórmula. La fórmula recordamos que era como menos b más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac partido de 2a. 00:12:57
Pues si sustituimos lo que varía cada uno de estos coeficientes, tenemos el valor de la x. 00:13:18
Entonces, menos b, menos 2, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que era 2 al cuadrado, 00:13:26
y ahora menos 4, por la a que vale 1 y por la c que vale menos 3. 00:13:34
Todo ello dividido entre 2 por 1 que vale la a. 00:13:40
Vale, pues seguimos las cuentas y tengo menos 2 más menos la raíz cuadrada de 2 al cuadrado que es 4 y ahora menos 4 por 1 menos 4 y por menos 3 más 12 dividido entre 2 por 1 que es 2. 00:13:44
Sigo las cuentas y tengo menos 2 más menos la raíz cuadrada de 16, todo ello dividido entre 2. 00:14:00
Entonces, si seguimos por aquí abajo, tengo menos 2 más menos 4, que es la raíz cuadrada de 16, todo ello dividido entre 2. 00:14:09
Pues mis dos soluciones, como siempre. 00:14:20
Una cogiendo la suma, menos 2 más 4 dividido entre 2, que me daría 2 entre 2, 1, y mi segunda solución, menos 2 menos 4 dividido entre 2, pues menos 6 entre 2, menos 3. 00:14:23
Entonces, ¿qué puntos me ha producido cada una de estas opciones? Pues esta me está produciendo el punto 1, 0 y esta me produce el punto menos 3, 0. 00:14:44
pues me voy a mi gráfica 00:14:59
que me he comido igual 00:15:02
igual a menos 3 00:15:08
nos vamos a nuestra gráfica 00:15:14
y digo 00:15:20
este es el punto 00:15:21
1, 0 00:15:23
y este es el menos 3, 0 00:15:28
este sería el 1 00:15:32
este sería el 2 y este sería el 3 00:15:33
por último y que me vale también 00:15:35
de comprobación hemos dicho 00:15:39
que el eje de simetría 00:15:41
eje de simetría 00:15:42
era la recta vertical 00:15:49
recta 00:15:53
x igual a lo que valiese el vértice, o sea que en este caso 00:15:56
x igual a menos uno. ¿Cuál es la recta vertical 00:16:01
x igual a menos uno? Pues es esta 00:16:05
paralela al eje 00:16:09
a ver, que aquí con la tablet se hacen fatal las rectas 00:16:12
paralela al eje X 00:16:17
y que pasa por ese vértice 00:16:21
esa es mi recta X igual a 1 00:16:23
X igual a 1, y si os fijáis 00:16:29
ahí se ve la simetría que estábamos diciendo antes 00:16:36
porque si yo miro lo que pasa 00:16:41
desde donde pasa esa recta a ese punto estoy dando uno y dos saltitos 00:16:47
y si me voy a ese otro punto estoy dando uno y dos saltitos 00:16:52
o sea que si yo doblase por esta recta la parábola 00:16:56
este punto coincidiría encima de este porque están los dos a la misma distancia 00:17:00
de ese eje de simetría 00:17:06
bueno pues esto va a ocurrir en todas las parábolas 00:17:09
Que la rama izquierda va a ser simétrica a la rama derecha, siempre, sea condesa como esta, sea cóncava, sea como sea, estas ramas continuarían hasta el infinito. 00:17:12
Bueno, pues estos son los pasos que hay que dar para representar una función cuadrática. 00:17:28
ay, perdón, los teníamos aquí 00:17:37
puestos en la teoría y si os fijáis 00:17:45
esa es nuestra función, aquí os había puesto una tabla 00:17:49
de valores como hacíamos en las funciones lineales 00:17:51
pero no me interesa hacer nunca tabla de valores 00:17:54
para hacer una función cuadrática porque puedo tener la mala suerte 00:17:57
de que al hacerlo me salgan todos en la misma rama 00:18:00
y no consiga dibujar bien 00:18:04
la gráfica, mientras que si hacemos esos 5 pasitos 00:18:07
que hemos hecho antes, con que encuentre tres puntos 00:18:10
o cuatro de esa gráfica me vale, donde van a ser el vértice 00:18:14
el corte con el eje Y y los cortes con el eje X 00:18:18
ya está, si quiero luego hacer algún punto más 00:18:23
pues sustituyendo puedo encontrar por este, puedo hacerlos por simetría 00:18:26
pues el simétrico del corte con el eje Y que estaba 00:18:30
en el 0-3 pues va a ser 00:18:34
el menos 2 menos 3, si yo calculo un punto por aquí arriba 00:18:38
haciendo una sustitución en la ecuación 00:18:43
como si hiciese la tabla de valores, pues no hago luego lo mismo para calcular 00:18:47
este, sino que le calculo por simetría, bueno, vamos a ver 00:18:51
otra parábola que nos salga distinta y volvemos 00:18:55
a repasar todos los pasos, porque aquí siempre es lo mismo, en este tema 00:18:59
solo, en nuestra parte del tema, perdón, solo os voy a pedir que 00:19:03
sepáis representar estas funciones cuadráticas. No os voy a 00:19:07
poner problemas, aunque en la hoja de ejercicios aparecen 00:19:11
problemas, eran un poco para que veáis que se puede 00:19:15
hacer también aplicación a cosas de la vida 00:19:19
diaria, porque me aparece ahí de cómo se lanzan, por ejemplo, 00:19:23
misiles, de cómo se calculan rendimientos de cuentas, 00:19:27
de tal y cual, haciendo funciones cuadráticas. Nosotros nos vamos a 00:19:30
limitar, que es lo que nos piden, a saber representar 00:19:34
estas funciones cuadráticas. Bueno, vamos a hacer ahora esta que nos viene aquí. 00:19:38
Y igual a menos x cuadrado más 2x. 00:19:43
Vamos a por ella y la volvemos a hacer paso a paso para volver a recordar todos los 00:19:46
pasitos. Pues tenemos la ecuación 00:19:50
igual a menos x al cuadrado más 00:19:57
2x, creo que era. Vamos a ver que no me confunda. 00:20:03
vale, pues vamos a por ella 00:20:08
y yo os aconsejo que lo que vayáis 00:20:11
calculando, lo vayáis dibujando, porque así me ayuda 00:20:15
a ver si voy bien o me están saliendo cosas raras 00:20:20
dijimos, lo primero de los coeficientes 00:20:23
saco toda la información que pueda, aquí tengo que la A vale 00:20:28
menos 1, que la B va a valer 2 00:20:32
y que la c va a valer cero, porque no hay término independiente. 00:20:36
Entonces, la primera información la sacábamos del coeficiente a, 00:20:40
que era la concavidad y conversidad. 00:20:45
Midad y conversidad. 00:20:48
Quiero saber si es cóncava o conversa. 00:20:54
Como a es igual a menos uno y el menos uno es menor que cero, 00:20:57
pues entonces va a ser en este caso cóncava. 00:21:04
O sea, que va a ir hacia abajo, al revés que antes. 00:21:07
Carita triste, que decíamos, carita alegre cuando es con besa. 00:21:14
Segundo paso, corte con el eje Y. 00:21:19
Pues hemos dicho que el corte con el eje Y salía del término independiente, que era el 0C. 00:21:29
Pues en este caso el corte con el eje Y va a ser el 0, 0, por el lado. 00:21:38
c vale 0, pues ya puedo ir dibujando, voy a cortar aquí 00:21:42
en el 0, 0, bueno, vamos a por el tercer paso 00:21:47
con eso solo no tengo mucha información, vamos a calcular 00:21:54
el vértice de esta parábola 00:21:58
coordenada x, hemos dicho que sabía hacer 00:22:03
menos b, partido de 2a 00:22:07
menos b, en este caso es menos 2 00:22:09
2a sería 2 por menos 1 que valía la a 00:22:13
entonces me queda menos 2 entre menos 2 00:22:18
1, el vértice tiene de acisas 00:22:22
el valor 1, ¿cuál será la ordenada? ¿cuánto valdrá la i? 00:22:26
pues dijimos que era sustituir aquí en la ecuación 00:22:31
menos 1 al cuadrado 00:22:34
más 2 por 1, pues tengo menos 1 00:22:37
más 2, 1 otra vez, entonces el vértice encontrado que está en el punto 1, 1, ya que sería la vx, vi, poniendo las coordenadas, vamos a ver dónde está el punto 1, 1, el 1 en las x, 1 en las y es, pues busco su encuentro y tengo ahí mi vértice. 00:22:42
ahora, decíamos que la parábola iba hacia abajo 00:23:10
entonces, si va hacia abajo 00:23:15
pues hará esto, por este lado 00:23:17
y por el otro lado tendría que hacer lo mismo, ¿no? 00:23:22
pues fijaos que si aquí ya pensásemos en ese eje de simetría 00:23:26
nos podemos ahorrar cuentas, porque digo el eje de simetría 00:23:32
va a ser esta recta, la recta 00:23:36
x igual a 1 00:23:42
¿vale? pues si resulta 00:23:46
que la parábola simétrica con respecto a esa recta 00:23:50
este punto que coordenar va a tener, pues si de aquí 00:23:55
a aquí he dado un saltito, de aquí a aquí otro saltito 00:23:58
si este era el 0, 0, este era el 1, 1 00:24:02
y yo me muevo 1 a la derecha de ese 1 pues estaré en el punto 2, 0 00:24:06
luego ya tendría mi parábola, no me haría falta 00:24:12
volverme loco haciendo más cuentas 00:24:16
pero vamos a comprobar haciéndolas y así practicamos 00:24:19
que va a ser así la cosa, o sea que nos va a salir eso 00:24:23
o sea que si queréis ponemos aquí ese quinto paso 00:24:27
que era eje de simetría que le hemos usado ya 00:24:30
pero le hemos usado, sin decir quién era el eje de simetría 00:24:37
es la recta X igual a 1 00:24:42
que es esta recta que hemos dibujado aquí en línea discontinua 00:24:45
entonces el punto 0,0 y el punto 2,0 son simétricos 00:24:48
vamos a ver que es verdad, que cuando yo haga los puntos de corte 00:24:52
con el eje X, me van a salir ese punto 0,0 00:24:57
y ese punto 2,0 00:25:00
Bueno, pues cuarto paso que decíamos, cortes con el eje x y dijimos que cuando cortamos al eje x la coordenada y tenía que valer 0 y si la coordenada y vale 0 pues tenemos la ecuación igual a menos x cuadrado más, ¿cuánto era? 00:25:03
más 2x 00:25:27
más 2x, tengo que resolver esta ecuación 00:25:33
la puedo resolver como incompleta, vamos a hacerla con las dos 00:25:38
fórmulas, como incompleta y con la fórmula 00:25:43
ecuación incompleta, porque me falta el término 00:25:45
independiente, y en ese caso dijimos que podíamos sacar factor 00:25:52
común a las x, entonces tengo x por menos x 00:25:56
más 2 si es un factor común y eso va a ser igual a 0 00:26:00
cuando se cumpla uno de estos dos casos o que la x sea 00:26:04
0 y ya tendríamos la solución o 00:26:08
que el menos x más 2 sea 0 00:26:12
en este caso la x va a valer 2 00:26:16
¿vale? pues ya lo tenemos 00:26:20
las cortes con el eje x son el 0 00:26:23
0 y el 2, 0 00:26:28
los puntos que habíamos dicho antes, vale 00:26:31
como incompleta, ahora con fórmula para ver que sale lo mismo 00:26:35
y repasarla para los que no se acuerdan de las incompletas 00:26:40
con fórmula, pues tengo x igual a 00:26:43
menos b, más menos la raíz cuadrada 00:26:48
b al cuadrado menos 4ac, partido de 2a 00:26:51
Pues nada, tengo menos b, que es menos 2, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que sería 2 al cuadrado. 00:26:57
Y ahora menos 4 por la a, que vale menos 1, y por la c, que vale 0, y partido entre 2 por menos 1. 00:27:07
pues tenemos menos 2 más menos la raíz cuadrada de 4 00:27:18
porque todo esto otro va a ser 0 00:27:25
ahí, perdón, todo esto otro va a ser 0 00:27:30
al estar multiplicando por ese 0 ahí 00:27:40
no lo puedo quitar directamente 00:27:43
y esto partido de menos 2 00:27:46
Pues tenemos entonces que nuestra solución es x igual a menos 2 más menos 2 de la raíz cuadrada de 4 dividido entre menos 2 00:27:49
Primera solución x1 pues menos 2 más 2 partido de menos 2 por 0 entre menos 2 que es 0 00:28:03
Que era esta primero que dijimos aquí 00:28:13
segunda solución 00:28:15
x2 igual a 00:28:18
menos 2, menos 2 00:28:20
entre menos 2 00:28:22
pues menos 4 entre menos 2 00:28:23
que es la solución que dijimos aquí 00:28:27
o sea que lo hagamos como lo hagamos 00:28:30
nuestras soluciones 00:28:32
son las mismas 00:28:34
si me acuerdo de cómo era la ecuación 00:28:36
incompleta, pues la ecuación incompleta 00:28:38
que es más rápido 00:28:40
y si no, pues con la formulita 00:28:40
Pero fijaos que si hubiese sido cuco y voy mirando las cositas, pues ni siquiera tengo que hacer lo que hemos estado diciendo de los cortes con el eje X, porque ya con la simetría de esa cisa del vértice ya sabía quiénes eran el resto de puntos. 00:28:44
¿vale? entonces me puedo ahorrar mucho trabajo 00:29:06
como os he dicho antes, si voy dibujando poco a poco las cosas 00:29:10
bueno, pues esta era la ecuación que salía en el segundo 00:29:14
ejemplo, que hemos hecho paso a paso, aquí la tenéis 00:29:21
vamos a ver algún ejercicio 00:29:25
por ejemplo, este de x al cuadrado menos 4x más 3 00:29:29
x al cuadrado menos 4x 00:29:34
más 3. A ver, igual a x al cuadrado menos 4x más 3. Los mismos pasos otra vez. Voy 00:29:37
a ir dibujando lo que me vaya saliendo. Primero, digo quién es la A, que es 1, la B, que es 00:29:59
Menos 4, la c, que es 3. 00:30:11
Y ahora digo, concavidad y convexidad. 00:30:14
Pues como la a es 1 y eso es mayor que 0, pues convexa. 00:30:28
O sea, carita sonriente. 00:30:36
Segundo paso, corte con el eje i. 00:30:42
Pues dijimos que cortábamos en el punto 0, c. 00:30:51
Pues en este caso el 0, 3. Y nos lo vamos dibujando. Digo, 1, 2 y 3. 1, 2 y 3. 1, 2 y 3. 1, 2 y 3. Pues el 0, 3 es ese de arriba. 0, 3. 00:30:54
Tercero, el vértice 00:31:17
Y hemos dicho que la coordenada x del vértice era 00:31:23
Menos b partido de 2a 00:31:32
Pues menos menos 4 partido de 2 por 1 00:31:34
4 entre 2 a 2 00:31:39
Y por tanto la coordenada y que va con ella 00:31:43
Va a ser 2 al cuadrado menos 4 por 2 00:31:47
y más 3, pues 4 menos 8 00:31:52
más 3, pues eso me da menos 1 00:31:56
pues el vértice que está buscando está en el 2 00:32:00
menos 1, pues 1 y 2 y menos 1 00:32:03
mi vértice está ahí 00:32:08
¿vale? mi vértice está ahí 00:32:11
y la parábola va hacia arriba, pues tiene pinta 00:32:15
de que va a ser así la cosa, ¿vale? 00:32:19
Tengo que ver cuánto vale este corte y este corte 00:32:29
y me tienen que salir simétricos porque 00:32:34
acordaos que teníamos que el eje de simetría de esta parábola 00:32:37
va a ser la recta que pasa por el 00:32:41
vértice y como el vértice tiene coordenadas 2 menos 1 00:32:45
pues este eje de simetría es la recta X igual a 2 00:32:49
y este punto y este tendrán que ser simétricos 00:32:53
fijaos, si utilizamos esa simetría 00:33:03
también podría decir 00:33:07
cuánto vale esta coordenada de este punto 00:33:08
sin hacer nada 00:33:11
para moverme desde el eje Y 00:33:12
al eje de simetría 00:33:14
he hecho uno y dos saltitos 00:33:16
por el eje de simetría de ese punto 00:33:19
va a ser uno y dos saltitos 00:33:20
pues este sin hacer nada 00:33:22
va a ser el punto 00:33:24
cuatro, tres 00:33:26
en sus coordenadas. Bueno, vamos a ver 00:33:29
los cortes con el eje X, que ya el dibujo me está diciendo que van a salir 00:33:33
el 1, 0 y el 3, 0. Vamos a ver que es 00:33:37
verdad, que ya, que los estoy viendo 00:33:41
en el dibujo, no me va a engañar ya 00:33:45
la cuenta. Entonces, cuarto 00:33:49
cortes con eje 00:33:53
x. Entonces hemos dicho que en este caso 00:33:59
las y son 0 y si las y son 0 tengo la ecuación 00:34:03
0 igual a x al cuadrado menos 4x 00:34:07
más 3, que la resolvemos por ser completa 00:34:11
usando la fórmula menos b más menos 00:34:18
la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac 00:34:22
partido de 2a, pues a la sustituir 00:34:26
menos b, menos menos 4, más menos la raíz cuadrada de ese menos 4 al cuadrado, y era menos 4, por la a, que vale 1, y por la c, que vale 3, dividido entre 2 por 1. 00:34:29
seguimos por aquí abajo con las cuentas 00:34:49
pues menos por menos más 4 00:34:52
más menos la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado sería 16 00:34:54
y menos 4 por menos por 3 00:34:58
menos 12 dividido entre 2 00:35:01
pues tengo 4 más menos 00:35:03
la raíz cuadrada de 4 otra vez 00:35:06
dividido entre 2 00:35:09
pues x igual a 4 más menos 2 entre 2 00:35:10
Pues primera solución, 4 más 2 entre 2, y a 6 entre 2, a 3. 00:35:17
Segunda solución, 4 menos 2 entre 2, por 2 entre 2, a 1. 00:35:28
Entonces, los puntos son el 3, 0 y el 1, 0, que son justo los que a mí me estaba diciendo ya el dibujo que iban a salir, el 3, 0 y el 1, 0, ese de ahí y ese de ahí, pues ya lo tenemos. 00:35:35
como veis todo el rato son las mismas cuentas 00:36:02
todo el rato los mismos pasos 00:36:06
pues es hacerlos con cuidadito para no equivocarme en las cuentas 00:36:09
y si voy dibujando los resultados de cada paso 00:36:12
si me equivoco en las cuentas del paso siguiente 00:36:16
me van a empezar a salir cosas raras y no voy a dar cuenta 00:36:19
entonces mi consejo es que a la que vais calculando 00:36:22
vayáis dibujando 00:36:25
bueno, pues esto es lo que entra de esta parte del tema 00:36:27
de funciones cuadráticas, como decía el resto de ejercicios 00:36:31
de problemas y tal, no hay que hacerlos 00:36:35
solo tendréis que, si queréis, pues practicar 00:36:38
con alguno de estos, o alguno que tengamos 00:36:43
que sea pregunta, pero me den la solución de la cuenta 00:36:46
que alguno habrá por ahí, vale, bueno pues 00:36:50
lo vamos a dejar aquí. El próximo día 00:36:54
empezaremos tema nuevo, ¿vale? 00:36:58
Estadística, que es 00:37:03
un tema bastante fácil. Venga, buena tarde y hasta el próximo jueves. 00:37:05
Materias:
Matemáticas
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Autor/es:
Angel Sanchez Sanchez
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Angel Luis S.
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Fecha:
8 de mayo de 2026 - 8:03
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Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
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