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EvAU Junio 2022 - Matemáticas II - Ejercicio B3 - Contenido educativo

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Subido el 18 de agosto de 2023 por David M.

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Realizamos el ejercicio B3 de Matemáticas II EvAU junio 2022
Publicado también en, https://www.youtube.com/c/LaWebdelProfedeMates

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¡Hola! Bienvenidos a la web del Profe de Mates. Vamos a resolver el ejercicio B3 de la convocatoria 00:00:00
ordinaria junio 2022 de Matemáticas 2 de la Comunidad de Madrid. Este ejercicio dice 00:00:23
lo siguiente. Sea en el plano pi que es x más y más z igual a 1 y la recta R1 que viene 00:00:29
dada por paramétricas x es igual a 1 más lambda y igual a 1 menos lambda y z igual 00:00:35
a menos 1 con lambda perteneciente a los reales. Y también tenemos el punto P que viene dado por 00:00:39
las coordenadas 0, 1, 0. Apartado A nos piden verificar que la recta R sub 1 está contenida 00:00:45
en el plano pi y que el punto P pertenece al mismo plano, o sea, al plano pi. El apartado B nos pide 00:00:51
hallar una ecuación de la recta contenida en el plano pi que pase por el punto P y sea perpendicular 00:00:58
a r sub 1 y el apartado c que es el que más vale calcule una ecuación de la recta r sub 2 que pase 00:01:03
por p y sea paralela a r sub 1 y dice luego halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados 00:01:11
sobre las rectas r sub 1 y r sub 2 comenzamos pues con el apartado a en el que vemos que 00:01:19
representando la figura pues de lo que se trata es de comprobar que el plano contiene a la recta 00:01:25
de tal modo que por ejemplo el punto vamos a llamarle p prima que p prima puede ser veis las 00:01:33
paramétricas verdad pues el punto que define esas paramétricas es el punto 1 1 menos 1 bueno pues 00:01:38
eso primera cosa que vamos a comprobar es que pertenece al plano pi para pertenecer al plano 00:01:45
pi lo que necesitamos ver es que cumple con la ecuación del plano pi vamos a sustituir x y z 00:01:50
en la ecuación que define al plano, x más y más z, que sería menos 1, 1 más 1 menos 1, eso da 2 menos 1, que eso es 1, 00:01:56
con lo cual efectivamente x más y más z termina dando 1. Así que el punto P' pertenece a pi. 00:02:07
Segunda cosa que vamos a verificar es que dado un vector director de la recta R1, por ejemplo, 00:02:19
pues viendo las paramétricas vemos que un vector de r sub 1 serían las coordenadas 1 menos 1 0 ya 00:02:25
que como podéis observar lambda estaría multiplicado por 1 menos 1 y 0 en cada una de las coordenadas 00:02:34
este vector tiene que ser a la fuerza perpendicular con el vector normal del plano pi y cuál es el 00:02:41
vector normal del plano pi y cuáles son las coordenadas de ese vector normal al plano pi 00:02:50
pues es muy fácil observamos la ecuación de pi que es x más y más z igual a 1 los coeficientes de x 00:02:58
de y de z es un vector normal al plano pi así que lo que vamos a comprobar es que el vector 00:03:04
director de la recta 1, ese que hemos tomado, es perpendicular al vector normal al pi. ¿Y eso cómo 00:03:13
se hace? Pues multiplicando escalarmente a un vector por otro. Si eso nos da 0, es que son 00:03:21
perpendiculares muy bien pues vamos allá sería 1 menos 1 0 por 1 1 1 eso nos va a dar 1 por 1 que 00:03:29
sería 1 menos 1 por 1 que sería menos 1 y 0 por 1 que sería 0 esto da 1 menos 1 que es 0 así que 00:03:43
efectivamente se cumple que el ángulo que forman estos dos vectores en 90 grados así que conclusión 00:03:51
un vector director de la recta R1 es perpendicular al vector normal del plano pi. Con estas dos 00:03:57
condiciones ya verificadas, podemos asegurar que entonces la recta R está incluida en el plano pi. 00:04:06
Si recordáis, también se nos preguntó si el punto P, que era 0, 1, 0, pertenecía al plano pi. Bueno, 00:04:17
Pues eso es muy fácil, vamos a hacer exactamente lo mismo que hicimos con P'. 00:04:26
El punto P, que tiene de coordenadas 0, 1, 0, pertenecerá al plano pi, 00:04:29
si y solo si, sustituido en la ecuación del plano, la verifica. 00:04:36
La ecuación del plano era x más y más z igual a 1, 00:04:43
si sustituimos la x por 0, la y por 1 y la z por 0, efectivamente da 1. 00:04:47
Así que conclusión de todo esto es que el punto P sí pertenece al plano pi, que era lo que se pedía. 00:04:52
Vamos entonces con el apartado B, que nos pide hallar una ecuación de la recta contenida en el plano pi 00:05:00
que pase por P y sea perpendicular a R1. 00:05:06
Vamos a representar la situación. Aquí tenemos, imaginaros el plano pi otra vez. 00:05:12
la recta R1 y vamos a tener que calcular la recta R2 que hace 90 grados con la recta R1 y que pasa 00:05:16
por el punto P. Aquí tendríamos el punto P. Recordar que una manera de representar una recta 00:05:28
en el espacio es mediante la intersección de dos planos. R2 pertenece ya directamente al plano 00:05:34
x más y más z igual a 1. Necesitaríamos otro plano para poder determinarla. ¿Qué plano podemos 00:05:40
tomar? Podemos tomar el plano que sea perpendicular al plano pi y por ende a la recta r sub 1 y que 00:05:48
pasa por el punto p. ¿Y cuál es la ecuación de este plano que le vamos a llamar pi prima? Como es un 00:05:57
plano, que es perpendicular a la recta R1, su vector normal es el vector director de 00:06:03
la recta R1. Un vector perpendicular o normal a pi' es cualquier vector director de R1. 00:06:11
Como un vector director de R1 era, lo dijimos antes, 1, menos 1, 0, la ecuación de un plano pi prima que sea perpendicular a R1 tendrá por ecuaciones x menos y igual a k. 00:06:35
¿De dónde vamos a sacar la k? 00:06:54
Pues hemos dicho que el plano pi prima tiene que tener al punto p como uno de sus puntos. 00:06:56
Así que tiene que verificar sus ecuaciones. 00:07:04
Si x menos y es igual a k, entonces como el punto p, acordaros que sus coordenadas eran 0, 1, 0, 00:07:06
pues tiene que verificar que 0 menos 1 es igual a k. 00:07:14
O sea que la k es menos 1. 00:07:17
Así que el plano pi' tendrá por ecuación x menos y igual a menos 1. 00:07:19
Este plano nos serviría como plano para describir a la recta R2, lo voy a poner aquí, x menos y igual a menos 1, 00:07:26
ya que la intersección de x más y más z igual a 1 y x menos y igual a menos 1 00:07:37
produciría una recta que estaría contenida en el plano pi 00:07:42
y que sería perpendicular a la recta R sub 1. 00:07:47
Así que con esto tenemos ya resuelto el apartado B. 00:07:51
Si os habéis fijado, técnicamente el apartado no está bien descrito 00:07:54
porque dice haya una ecuación, ¿lo veis? 00:07:59
Hay una ecuación, no, una recta siempre está definida en el espacio por dos ecuaciones, de planos, lógicamente, pero bueno, vamos a dejarlo ahí. 00:08:02
Vamos a ver el apartado C, dice, calcule una ecuación de la recta R2, seguimos con la matraca, fijaros, una ecuación, las rectas en R3 están definidas por dos ecuaciones, 00:08:13
que pase por P y sea paralela a R1. 00:08:24
Y luego ya nos dicen, hay el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas R1 y R2. 00:08:28
Para que la recta R2 sea paralela a la recta R1, 00:08:34
el espacio de dirección de la recta R2 tiene que ser el mismo que el espacio de direcciones de R1. 00:08:38
Es decir, que los vectores directores de R2 son los mismos que los vectores directores de R1, 00:08:44
o en dado caso, proporcionales. 00:08:50
Así que si tomamos las paramétricas de R1, la primera de las preguntas es muy sencilla. 00:08:52
Porque se trataría de establecer las mismas paramétricas, pero ahora variando el punto de incidencia de la recta. 00:08:59
Que ahora ya no va a ser 1, 1, menos 1, sino que va a ser el 0, 1, 0, que era el punto P. 00:09:09
El vector director que vamos a establecer en estas paramétricas va a ser exactamente el mismo que para R1. 00:09:15
El punto es lo único que varía. R2 es una recta paralela a R1 y que pasa por P. 00:09:22
Vale, pues ya tenemos resuelto lo primero. 00:09:40
Lo segundo, nos dicen que calculemos el área de cualquier cuadrado que se pueda crear a partir de R1 y R2, que son paralelas. 00:09:44
Y ese cuadrado tiene que tener uno de sus lados sobre la recta R1 y otro de sus lados sobre la recta R2. 00:09:57
Así que, si por ejemplo tomamos que este sea el punto P, que ya sabéis que es el 0, 1, 0, 00:10:03
el cuadrado vendrá dado por el lado que va a ser la distancia entre R1 y R2. 00:10:11
Ese sería el cuadrado. 00:10:18
Así que vamos a calcularnos la distancia entre el punto P y la recta R1. 00:10:20
el lado del cuadrado 00:10:25
es la distancia de R1 00:10:29
a R2 00:10:40
¿vale? o sea que L, L es el lado del cuadrado 00:10:43
es igual a la distancia entre R1 y R2 00:10:47
o lo que es lo mismo es la distancia entre R1 00:10:53
y P, para ello lo que voy a hacer es en vez de seguir 00:10:57
fórmulas lo que voy a calcularme es el plano que es perpendicular a r1 y r2 y que pasa por el punto 00:11:01
p que le vamos a llamar pi prima porque es el mismo plano que hemos calculado en el apartado b 00:11:09
recordar que calculamos en el apartado b en el apartado b lo que calculamos fue un plano que 00:11:15
que era perpendicular a R1, lo veis, y que tenía P como uno de sus puntos, 00:11:24
o sea que ese plano es pi prima, que es x menos y, igual a menos 1. 00:11:31
Así que sea pi prima, que es x menos y, igual a menos 1, 00:11:37
que es este plano que hemos dibujado aquí, x menos y, igual a menos 1. 00:11:44
Pasa por el punto P y es perpendicular a la recta R1. 00:11:48
Pues vamos a intersecar ahora al plano pi prima, x menos y igual a menos 1, con la recta R1. 00:11:50
¿Cuáles serán las paramétricas de la recta R1? 00:11:58
Pues las tenemos en el propio enunciado, con lo cual, si queremos calcular pi prima intersección R1, 00:12:01
que vamos a llamar ese punto Q, lo único que tenemos que hacer es sustituir las paramétricas de R1 en la ecuación del plano. 00:12:09
Que sería 1 más lambda menos 1 menos lambda igual a menos 1. 00:12:18
Calculamos lambda, que sería 1 más lambda menos 1 más lambda igual a menos 1. 00:12:25
O sea que el 1 y el menos 1 se largan. 00:12:33
Quedaría 2 lambda igual a menos 1, así que lambda es menos 1 medio. 00:12:36
Para el valor de lambda menos 1 medio, encontramos al punto Q. 00:12:43
entonces el punto Q tendrá por coordenadas la sustitución de lambda en las paramétricas de R1 00:12:47
es decir, 1 menos 1 medio, que sería 1 medio, o sea 0,5 00:12:53
1 menos menos 1 medio, que sería 3 medios, o sea 1,5 00:12:59
y la tercera coordenada lógicamente va a ser menos 1 00:13:06
total, que el lado L del cuadrado, que era la distancia, acordaros 00:13:10
de la recta R1 al punto P 00:13:17
es igual que la distancia entre el punto Q 00:13:20
vamos a poner Q aquí 00:13:23
y el punto P 00:13:24
o sea, lo que es el módulo del vector PQ 00:13:25
raíz cuadrada 00:13:29
¿de quién? 00:13:33
pues restamos las coordenadas 00:13:35
sería 0,5 menos 0 al cuadrado 00:13:36
más 1,5 menos 1 al cuadrado 00:13:41
y la tercera coordenada sería menos 1 menos 0 al cuadrado. 00:13:46
Echamos la cuenta, sería la raíz cuadrada de 0,5 al cuadrado que sería 0,25 00:13:54
1,5 menos 1 que sería 0,5 al cuadrado, otra vez 0,25 00:13:59
y menos 1 menos 0 que sería menos 1 al cuadrado sería 1. 00:14:05
Así que el lado del cuadrado sería la raíz cuadrada de 1,5. 00:14:11
Como el área de cualquier cuadrado es el lado al cuadrado, el área del cuadrado será L al cuadrado, es decir, 1,5 unidades cuadradas. 00:14:18
Y ahí lo tenemos. 00:14:37
Ese es el resultado del apartado C de este ejercicio de geometría analítica. 00:14:38
Y con esto acabamos el ejercicio B3 de la convocatoria ordinaria de Madrid 2022 en Matemáticas 2. 00:14:43
Espero que lo hayáis entendido. 00:14:51
Efectivamente, y lo sé, hay otras maneras diferentes de resolver el apartado B, el apartado C, sobre todo, mediante una fórmula. 00:14:53
Sí, sé que muchos de vosotros os sabéis esa fórmula, pero lo que digo siempre, ¿esa fórmula la vas a llevar toda tu vida en la cabeza? 00:15:01
No, no la vas a llevar en tu cabeza toda tu vida. 00:15:07
Es más, es probable que de aquí a un año quizá no la recuerdes. 00:15:10
Sin embargo, estos razonamientos que he hecho yo en el apartado C, esos sí que los puedes llevar tú siempre en la cabeza. 00:15:15
Razonamiento lógico, razonamiento deductivo, con lo cual podrías llegar a resolver el problema sin necesidad de estar aprendiéndote fórmulas que luego probablemente las olvides igual que yo. 00:15:21
Me despido ya, emplazándote a un nuevo vídeo de la web del Profe de Mates. 00:15:33
Un saludo, hasta el próximo vídeo. 00:15:37
¡Suscríbete al canal! 00:15:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
David (El Profe de Mates)
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
37
Fecha:
18 de agosto de 2023 - 13:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ROSA CHACEL
Duración:
16′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
617.30 MBytes

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