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Teorema de Rouché - Frobenius (3) - Contenido educativo

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Subido el 16 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Bien, a ver, vamos a ver qué pasa con este caso especial de sistemas homogéneos. 00:00:04
Recordamos que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema homogéneo si todos los términos independientes son nulos. 00:00:10
Un sistema de esta forma, donde todos los términos independientes son cero. 00:00:16
Vale, los sistemas homogéneos van a ser siempre compatibles, puesto que la matriz ampliada lo único que aporta es una columna de todo cero. 00:00:22
el determinante de la matriz ampliada, o el rango de la matriz ampliada, va a ser siempre el mismo que el de la matriz de coeficientes, 00:00:31
ya que no me aporta ningún elemento anudo. 00:00:39
Entonces, los sistemas homogéneos decimos que son todos compatibles. 00:00:43
Y de hecho, todos tienen al menos una solución, que es la solución nula, donde todas las incógnitas valgan cero. 00:00:47
Es decir, que X1 valga 0, que X2 valga 0, que Xn valga 0. Si yo sustituyo en cada una de estas ecuaciones las incógnitas por 0, se van a cumplir todas las ecuaciones porque todos van a ser 0. 00:00:57
Luego, todos los sistemas homogéneos son compatibles. Todos tienen al menos la solución nula, que es la que conoceremos como solución trivial. 00:01:13
Entonces, en este caso, como todos tienen la solución trivial, aquí el estudio se centra en saber si además de la solución trivial tienen otras 00:01:22
Es decir, en saber, en averiguar si los sistemas son indeterminados 00:01:31
Diremos que un sistema homogéneo es compatible e indeterminado cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas 00:01:36
Dado el siguiente sistema homogéneo, estudia el número de soluciones y resuélvelo 00:01:47
Vale, aquí tenemos un sistema homogéneo 00:01:59
Todos los términos independientes son nulos 00:02:06
Sistema homogéneo 00:02:11
Este sistema solo tiene asociada realmente la matriz de coeficientes 00:02:12
Puesto que la matriz ampliada es la misma que la matriz A 00:02:16
Ya que solo aportaría una columna de todos ceros 00:02:19
Luego sería 1, menos 1, 2, 1, menos 1, 3, 0, 2, 2, 0, 1, menos 1, menos 2, 3, 1, 4. 00:02:22
Esta sería la matriz de coeficientes. 00:02:38
Bien, los sistemas homogéneos recordamos que son todos compatibles, 00:02:40
todos tienen al menos la solución trivial que la solución que la x, la y, la z y la t 00:02:45
fuesen todos ceros, esa sería la solución trivial 00:02:51
lo único que hay que estudiar es si es compatible determinado 00:02:55
entonces la solución trivial sería la única solución del sistema 00:02:58
o si es compatible indeterminado 00:03:01
y entonces habría infinitas soluciones 00:03:05
vale, para eso lo que hacemos es estudiar el determinante de A 00:03:08
calculamos el determinante de A 00:03:12
Determinante de 1, menos 1, 2, 1 00:03:14
Menos 1, 3, 0, 2 00:03:18
2, 0, 1, menos 1 00:03:20
Menos 2, 3, 1, 4 00:03:23
Vamos a intentar eso 00:03:25
Hacer ceros debajo de 00:03:27
O sea, que en una columna o una fila haya 3 ceros 00:03:28
Y solo un término no nulo 00:03:32
Y desarrollamos por adjuntos 00:03:35
Podríamos, venga, dejamos 00:03:36
Vamos a pivotar con esta 00:03:38
Entonces, dejamos la tercera fila fija 00:03:40
Y entonces lo que voy a hacer 00:03:44
A la primera fila 00:03:47
Le voy a calcular 00:03:49
A realizar la transformación 00:03:51
La primera fila menos dos veces la tercera 00:03:53
Por ejemplo 00:03:56
Entonces la primera menos dos veces esta 00:03:57
La primera uno menos cuatro 00:03:59
Menos tres 00:04:02
Menos uno 00:04:03
Ahora sería dos 00:04:05
Menos dos 00:04:08
Cero 00:04:10
Y ahora sería 1 más 2, 3 00:04:11
Venga, esta de aquí se quedaría igual 00:04:14
Porque tengo todos ceros 00:04:18
Y la cuarta fila, por ejemplo 00:04:19
Sería la cuarta menos la tercera 00:04:24
Menos 2, menos 2, menos 4 00:04:26
3 menos 0, 3 00:04:30
1 menos 1, 0 00:04:31
Y 4 menos 1, 5 00:04:33
Vale, pues ahora desarrollo 00:04:36
por la tercera columna 00:04:38
entonces esquema de signos 00:04:41
más, menos, más, menos, más 00:04:45
luego el 1 que multiplica 00:04:47
al menos que resulta 00:04:49
de suprimir 00:04:51
los elementos de la tercera fila 00:04:52
tercera columna 00:04:54
luego me queda el menos 3, menos 1, 3 00:04:55
menos 1, 3, 2 00:04:58
menos 4, 3, 5 00:05:00
este determinante 00:05:03
que lo desarrollamos 00:05:04
y nos queda 00:05:06
menos 45 00:05:07
Más 8 00:05:09
Menos 9 00:05:12
Más 36 00:05:14
Más 18 00:05:17
Y menos 5 00:05:20
Venga, agrupamos 00:05:22
Términos negativos 00:05:24
Menos 5 00:05:25
O sea, menos 45, menos 5 00:05:26
Menos 50, menos 59 00:05:28
Y más, y ahora ponemos aquí 00:05:30
8 más 36 00:05:33
4 y 18, 62, luego esto me queda 3, distinto de 0, hemos encontrado que el rango de esta matriz, o sea, el rango de la matriz A es 4, 00:05:38
porque hemos encontrado un menor de orden 4 que es distinto de 0. 00:05:59
Por lo tanto, sistema, y es igual al número de incógnitas, que os lo he dicho, perdón, incógnitas, 00:06:05
por lo tanto, sistema compatible determinado. 00:06:15
Luego, la única solución sería la solución trivial. 00:06:19
Sería la solución x igual a 0, y igual a 0, z igual a 0, t igual a. 00:06:23
Cero. Y esa sería la única solución. 00:06:29
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
100
Fecha:
16 de octubre de 2020 - 20:53
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
07′ 04″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
517.78 MBytes

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