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¿Qué son los fractales?
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Hola de nuevo, gentes matemáticas.
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Hoy voy a hablaros de una cosa súper chula, pero dificililla.
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Los fractales.
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Mirad estas cosas tan raritas.
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Estos son los fractales.
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Seguro que si os enseño dibujos o fotos de cosas fractales y de cosas que no lo son,
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más o menos me podríais decir cuáles son fractales y cuáles no.
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Pero si os pidiera definir qué es un fractal, la cosa se pone más chunga, ¿verdad?
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Bueno, pues aquí estamos en Derivando para ayudaros un poquito.
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Estas son algunas de sus características.
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Primero, los fractales tienen autosimilaridad.
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¿Cómo te quedas?
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Esa palabra me encanta.
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La autosimilaridad quiere decir que si miramos una parte del fractal a mayor escala, parece igual.
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No distinguimos el cambio de escala.
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Esto en algunos se da de forma exacta, pero no en todos.
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Mira los ejemplos.
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El copo de Koch.
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El triángulo de Sierpinski.
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Estos son exactamente autosimilares.
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Otros no lo son exactamente, pero se parecen mucho.
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Como el fractal de Mandelbrot, que por cierto, que Mandelbrot fue el que inventó la palabra fractal, que significa roto.
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Mira qué pelillos más graciosos tiene el hombre.
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Bueno, otra característica que tiene que tener un objeto para ser fractal es que su dimensión fractal tiene que ser mayor que su dimensión topológica.
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Vamos a ver si puedo explicar esto sin liarte mucho.
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La dimensión topológica es la de toda la vida.
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Una línea tiene dimensión 1, un círculo, un cuadrado, dimensión 2, la esfera 3 y así.
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Y la dimensión fractal, pues hay varias definiciones distintas y no todas equivalentes siempre.
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Así que vamos a usar una más o menos sencilla de ver, una que se llama deconteo de cajas.
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¡Qué horror de nombre, ¿verdad?
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Bueno, vamos a ver cómo funciona.
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Mira, tengo una línea recta. No es fractal, ¿verdad?
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Divido el papel en en no es cuantas cajas y cuento cuántas de ellas tocan la línea.
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Ahora divido el tamaño de las cajas en un factor de dos y cuento cuántas cajas tocan ahora mi línea.
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Si sigo así, al dividir el tamaño de las cajas entre 2, doblaré el número que tocan la línea.
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Las cajas tienen dimensión 2, topológica de toda la vida, y el número de cajas que tocan se multiplica por 2, que es 2 elevado a 1.
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Y ese 1 es la dimensión de cajas de la línea.
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Si en lugar de la línea lo hacemos con una figura plana, pongamos un cuadrado, resulta que el número de cajas que lo tocan en cada paso se multiplica por 4.
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Y 4 es 2 elevado a 2, que es la dimensión de cajas del cuadrado.
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Como ves, para el cuadrado y para la línea, la dimensión de cajas coincide con la de toda la vida.
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Bueno, pues para los fractales no coincide. ¡Ripa!
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Por ejemplo, la dimensión de cajas del triángulo de Sierpinski, ese que hemos visto,
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es logaritmo de 3 partido por logaritmo de 2, que es más o menos 1,58.
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Bueno, y la última cosa que tiene que tener un fractal es que los fractales no son diferenciables en ningún punto.
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¿Cómo te quedas?
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Esto es una cosa más bien técnica, pero que algunos igual podéis pillar bastante.
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A los que os suene lo que es una derivada, sabéis que hay funciones que tienen derivada en todos sus puntos y otras que no, que tienen piquitos, puntos especiales donde no existe derivada.
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Pues bueno, en un fractal todos los puntos son piquitos, puntos raros, vaya, que desde el punto de vista de las curvas los fractales son mega raros.
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Bueno, pues ya nos hemos hecho idea de qué son los fractales y tú estás como, venga, ¿y esto para qué me sirve a mí?
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Pues para un montón de cosas que no sabías y que mejoran tu vida.
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Se utilizan para estudiar muchos fenómenos, desde el estudio de las enzimas a los terremotos,
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desde los movimientos de la bolsa hasta la compresión de imágenes de ordenador,
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desde la neurociencia a los sistemas dinámicos.
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Y aunque yo te los he presentado desde el punto de vista matemático,
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lo cierto es que tienen también representación en la naturaleza y en el arte.
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¿Sabías que incluso se ha intentado usar el estudio de la dimensión fractal
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para determinar la autenticidad de los cuadros de Pollock, que valen millones de euros?
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En fin, que los fractales son mucho más que unas formas curiosas que quedan guay como fondo de pantalla friki en el ordenador.
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¿Sabes qué relación tienen el número Pi con el Quijote?
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¿O el pintor del Renacimiento Durero con los cuadrados mágicos?
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- Paloma S.
- Licencia:
- Dominio público
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- Fecha:
- 4 de abril de 2017 - 19:20
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ALPEDRETE
- Duración:
- 04′ 08″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
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