5. Mediana y baricentro | Mediateca de EducaMadrid

Vamos con otra construcción sobre triángulos. Tenemos aquí un triángulo. Vamos a construir ahora una cosa que se llama una mediana de cada lado. Las medianas son segmentos que hacen que al triángulo le pase una cosa curiosa. 00:00:01

Mirad, la mediana de este lado, de este lado que tenemos aquí abajo, es el segmento, habéis visto que acabo de marcar el punto medio, ¿no? Bueno, pues ese es el segmento que va de su punto medio al vértice opuesto. Vamos a marcarlo. Eso es la mediana. 00:00:21

¿Qué nos marca? Esa es la mediana, ya está, nada más 00:00:40

Este segmento hace una cosa muy curiosa con el triángulo 00:00:43

Y es que divide al triángulo en dos triángulos, claro, lo veis 00:00:49

Bueno, pues estos dos triángulos tienen exactamente el mismo área 00:00:53

Igual, ¿por qué? ¿Por qué tienen la misma área? 00:00:57

Esto no lo podemos plantear, ¿no? ¿Por qué? 00:01:00

Bueno, pues pensad un poco, mirad este triángulo de aquí 00:01:03

Este tiene una base y una altura 00:01:07

La altura es esta de aquí 00:01:13

Esa es la altura 00:01:15

Si queréis voy a colocar el triángulo apoyado así sobre una base 00:01:16

Para que lo tengáis más claro 00:01:22

Y voy a trazar la altura 00:01:23

La altura es esta de aquí 00:01:26

Que la vamos a poner para que os quede un poquito más claro 00:01:39

y vamos a borrar 00:01:44

esta es la altura, el segmento morado 00:01:52

esa es la altura, entonces el área 00:02:01

del triángulo grande 00:02:04

es toda la base por altura 00:02:06

entre dos, el área de este triangulito de aquí 00:02:12

Y este que quedaría aquí sería base por la misma altura entre dos. 00:02:16

¿Qué diferencia hay? Que la base es la mitad. 00:02:22

Si la base es la mitad, pues justo al hacer base por altura entre dos nos sale la mitad de área. 00:02:25

Y aquí igual, en este triángulo de aquí, recordad que para este triángulo obtuso que nos sale ahí, 00:02:30

lo voy a marcar aquí para que quede más claro con otro color. 00:02:38

mirad, ese triángulo que tengo ahí 00:02:43

este tiene esta base 00:02:46

y ojo, tiene esta altura también 00:02:50

es lo alto que es el triángulo 00:02:53

aunque se salga la altura del lado 00:02:55

porque claro, esto es obtuso y pasa eso 00:02:57

entonces, hemos dicho 00:02:59

es base, que es la mitad del triángulo original 00:03:01

la misma altura entre dos 00:03:04

o sea, el área va a ser la mitad del área del triángulo original 00:03:06

¿verdad? 00:03:09

vale, bueno pues 00:03:10

Entonces, con todo esto, que repito, es una curiosidad, ¿vale? Es la forma de dividir un triángulo en dos triángulos del mismo área. 00:03:11

Bueno, pues ya tengo aquí una mediana. ¿Podría calcular el resto de medianas? ¿Y qué creéis que va a pasar? 00:03:24

Bueno, pues va a pasar lo mismo que pasa con las mediatrices y las pisectrices, que ya las hemos visto, ¿no? Las medianas son muy fáciles de trazar. Vuelvo a hacer el punto medio de este, mira, ya que estoy, el punto medio de este también, y ahora voy a trazar el segmento que va de ese punto medio al vértice opuesto y de este punto medio al vértice opuesto y tachán, pues claro, me sale aquí un punto. 00:03:31

este punto es estupendo 00:03:58

porque este punto que me dice 00:04:01

bueno, tampoco, no me dice nada de distancias 00:04:04

como pasaba con el circuncentro y con el incentro 00:04:07

pero sí me dice 00:04:10

me dice una cosa muy importante 00:04:11

me dice, bueno, dos cosas muy importantes 00:04:14

como este triángulo de aquí 00:04:17

tenía el mismo área que esta de aquí 00:04:19

y eso pasa con todos los triángulos que nos salen 00:04:21

o sea, con todas las medianas que hemos hecho 00:04:25

lo que acabamos de conseguir es que este triángulo de aquí, y este, y este, y este, y este, y este, 00:04:26

los seis tengan la misma área, ¿vale? 00:04:33

O sea que es una forma de dividir el triángulo en seis triángulos de la misma área. 00:04:37

Pero además pasa una cosa también muy curiosa, que es que esto se llama el varicentro, ¿vale? 00:04:41

Os lo voy a poner ya. 00:04:49

Varicentro. 00:04:52

Pues el baricentro tiene dos características curiosas. El baricentro cumple que, primero, divide cada mediana en dos tercios, un tercio. O sea, este trocito de mediana es el doble que esta. Este trocito de aquí es el doble que este y este de aquí es el doble que este. Eso es una de las características. 00:04:52

La otra característica es que imaginaos por un momento que cogéis este triángulo, lo recortáis en cartón y queréis sostenerlo con un dedo sin que se caiga. 00:05:18

Pues tendríais que poner el dedo justo aquí. Es el centro del triángulo de forma que no se cae. Es el centro gravitatorio del triángulo. 00:05:31

Por ejemplo, si quisierais hacer una lámpara con forma de este triángulo, pues la tendríais que agarrar de aquí para que se quedara recta, ¿vale? 00:05:44

Os recuerdo como siempre, en todas las construcciones, si yo muevo el triángulo, el baricentro se mueve. 00:05:54

En este caso, el baricentro siempre tiene que caer dentro, no puede caer fuera, porque claro, si es el centro gravitatorio, no me podría caer fuera, ¿no? 00:06:01

Y además divide el triángulo en seis triángulos de la misma área 00:06:11

Pues ya está, ya tenéis otro punto notable, varicentro 00:06:15

Donde se juntan las tres medianas, que bastaría con haber calculado dos 00:06:20

Porque si dos ya se juntan en un punto, la tercera pasa por ese punto 00:06:24

Pero para calcularlo habría bastado con dos 00:06:29