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AN3. Ejercicio 1 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 18 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12

arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17

de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio 00:00:22

propuesto 1. En este ejercicio se nos pide calcular la tasa de variación media en el 00:00:34

intervalo 2, 6 y las tasas de variación instantánea en las abstizas x igual a 2 y x igual a 6 00:00:50

de varias funciones. Vamos a comenzar con la función f de x igual a 1, es una función 00:00:56

constante. La tasa de variación media se va a calcular como el cociente incremental 00:01:01

con su definición. f de 6 menos f de 2, siempre la diferencia de las imágenes en el extremo 00:01:06

final menos en el extremo inicial del intervalo, dividido entre 6 menos 2, la diferencia de 00:01:11

los orígenes, siempre extremo final menos extremo inicial. f de 6 y f de 2 son idénticamente 00:01:16

igual a 1, así que tenemos 1 menos 1 dividido entre 6 menos 2. 1 menos 1 es idénticamente igual a 0, 00:01:22

así que 0 entre 4 igual a 0. Esta tasa de variación media es igual a 0. Desde el punto de vista 00:01:28

geométrico, la pendiente de la recta que pasa por los puntos con abstisa x igual a 2 y x igual a 6 00:01:33

de la función, son los puntos 0, 1, perdón, 2, 1 y 6, 1, es la pendiente de esta recta es 0. Es una recta 00:01:39

constante. En cuanto a la tasa de variación instantánea, en la abstisa x igual a 2, lo que 00:01:46

vamos a hacer es el límite, cuando h tiende a cero, h va a ser la amplitud de un cierto 00:01:51

intervalo, de el intervalo que se genera, como extremo inicial vamos a poner la abstisa 00:01:55

x igual a 2 y como extremo final 2 más esta amplitud que sería h. Así pues, límite 00:02:01

cuando h tiende a cero de la tasa de variación media de ese intervalo ficticio, ese intervalo 00:02:07

auxiliar que nosotros vamos a construir, sería límite de cociente incremental f de 2 más 00:02:12

h, el extremo superior, el extremo final del intervalo, menos f de 2, dividido entre 00:02:17

h, entre la amplitud del intervalo, puesto que restaríamos 2 más h menos 2, nos quedaría 00:02:23

esta h. f de 2 más h y f de 2, ambas, son idénticamente igual a 1, así que tendríamos 00:02:27

límite cuando h tendrá 0 de 1 menos 1 partido por h. 1 menos 1 es idénticamente nulo, 0 00:02:34

entre cualquier cantidad va a ser idénticamente igual a 0, y lo que tenemos es el límite 00:02:40

de 0 que es igual a 0. Así pues, la recta tangente de la gráfica de la función en la abscisa x igual 00:02:45

a 2 va a tener pendiente 0, va a ser una recta horizontal. El mismo argumento podríamos emplear 00:02:51

para deducir que la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 6 va a ser también igual 00:02:56

a 0, al igual que cualquier tasa de variación instantánea. En el caso de la siguiente función 00:03:01

f de x igual a x lo que tenemos es una recta, se trata de la bisectriz del primer y tercer 00:03:07

cuadrantes. La tasa de variación media se calcula con el cociente incremental que hemos mencionado 00:03:12

anteriormente en el apartado anterior, f de 6 menos f de 2 dividido entre 6 menos 2. En este 00:03:17

caso las imágenes serían 6 y 2 puesto que f de x es igual a x. Lo que tenemos es 4 entre 4 que es 00:03:23

igual a 1. Así pues, en este caso lo que tenemos es que la pendiente de la recta que pasa por los 00:03:29

puntos 2, 2 y 6, 6, esos dos puntos de la función f de x igual a x es igual a 1. Vamos a calcular 00:03:35

a continuación la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 2 con el límite cuando h 00:03:44

tiende a 0 del cociente incremental que habíamos discutido en el apartado anterior. El límite de f 00:03:49

de 2 más h menos f de 2 dividido entre h. f de 2 más h es 2 más h, f de 2 es igual a 2 y en este 00:03:55

caso en el numerador lo que tenemos es h. Como tenemos el límite cuando h tendrá 0 de h entre 00:04:04

h que es idénticamente igual a 1, lo que tenemos es que en este caso esta tasa de variación 00:04:09

instantánea es igual a 1. Así pues la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función 00:04:13

en el punto con la abstisa x igual a 2 tiene pendiente igual a 1. Lo mismo, la misma discusión 00:04:18

para el caso de la tasa de variación instantánea en la abstisa x igual a 6 y de hecho para cualquier 00:04:23

punto de la función. En el apartado C lo que tenemos es la función f de x igual a x al cuadrado. 00:04:29

Calculamos la tasa de variación media con el cociente incremental que hemos discutido 00:04:37

anteriormente. Las imágenes van a ser 6 al cuadrado y 2 al cuadrado respectivamente. En 00:04:40

este caso tenemos 32 entre 4 que es igual a 8. La pendiente de la recta que une los puntos 2, 00:04:46

4 y 6, 36 dentro de la gráfica de la función f de x igual a x al cuadrado va a tener como 00:04:53

pendiente 8. Para la tasa de variación instantánea en x igual a 2 vamos a hacer 00:05:00

límite cuando h tendrá 0 de f de 2 más h menos f de 2, la diferencia entre las 00:05:06

abstizas de ese intervalo ficticio auxiliar, dividido entre h. Lo que tenemos 00:05:12

es 2 más h elevado al cuadrado menos 2 al cuadrado. Operando en el numerador nos 00:05:17

va a quedar 4h más h al cuadrado que al dividir entre h nos va a quedar el 00:05:23

límite cuando h tiende a 0 de 4 más h, en este caso el límite es 4. Eso quiere decir que la recta 00:05:28

tangente a la gráfica de la función igual a x al cuadrado en la abscisa x igual a 2 tiene pendiente 00:05:34

4. Operando de igual manera, para determinar la tasa de variación instantánea en la abscisa x 00:05:38

igual a 6, en este caso sería f de 6 más h menos f de 6 en el numerador, que sería 6 más h al cuadrado 00:05:45

menos 6 al cuadrado, lo que tenemos es, en última instancia, el límite cuando h tiende a 0 de 12 más h. 00:05:52

Entonces h desaparece al hacer el límite y nos va a quedar 12. 00:05:58

Fijaos en algo que en este momento ya resulta interesante. 00:06:03

En el caso en el que en el apartado a teníamos una función constante, la tasa de variación media era igual a 0. 00:06:07

De hecho, todas las tasas de variación media, todas, independientemente de cuál sea el intervalo, iban a ser 0. 00:06:14

Las tasas de variación instantánea también son 0, todas, independientemente de la abscisa, donde determinemos la tasa de variación instantánea. 00:06:19

Cuando la función es una recta, todas las tasas de variación media, con independencia de cuál sea el intervalo, van a tomar el valor de la pendiente de esta recta. 00:06:27

Aquí la pendiente es 1 y vemos que tenemos el valor 1. 00:06:36

De igual manera, todas las tasas de variación instantánea, con independencia de la abstisa, van a tomar el valor de esa pendiente, 1, como hemos podido comprobar aquí. 00:06:40

En cualquier otro caso, siempre que no se trate de una función que sea una recta, en este caso horizontal la pendiente es 0, en este caso oblicua y la pendiente era igual a 1, 00:06:49

va a ser habitual que las tasas de variación media y las tasas de variación instantánea sí dependan de cuál sea el intervalo o de cuál sea la abstisa en la cual estemos determinándolo. 00:06:58

Por último, para cerrar este ejercicio, tenemos la función f de x igual a x al cubo. 00:07:08

En cuanto a la tasa de variación instantánea, el cociente incremental nos pide calcular f de 6 menos f de 2 en el numerador. 00:07:14

Sería 6 al cubo menos 2 al cubo igual a 208. 00:07:21

Al dividir entre 4 en el dominador, lo que obtenemos como tasa de variación media es el valor 52. 00:07:24

Si calculamos la tasa de variación instantánea en la abscisa x igual a 2, 00:07:30

tenemos que hacer límite cuando h tiende a 0 de el cociente incremental con el numerador f de 2 más h menos f de 2 dividido por h. 00:07:34

En este caso tendríamos que calcular en el numerador 2 más h al cubo menos 2 al cubo. 00:07:42

Desarrollando el cubo de este binomio, lo que tenemos es 12h más 6h al cuadrado más h al cubo, una vez que hemos restado 8, dividido entre h. 00:07:48

Así pues, tenemos que hacer límite cuando h tiende a 0 de 12 más 6h más h al cuadrado, 00:07:58

eliminando los términos, puesto que h tiende a 0, que contienen a la h, nos queda 12. 00:08:03

Operando análogamente para la tasa de variación instantánea en x igual a 6, lo que tenemos es f de 6 más h menos f de 6 en el numerador del cociente incremental, sería 6 más h al cubo menos 6 al cubo. 00:08:08

Desarrollando este binomio al cubo y restando 6 al cubo obtenemos 108h más 18h al cuadrado más h al cubo. 00:08:21

Dividiendo entre h la que tenemos en el denominador tenemos límite cuando h tiende a 0 de 108 más 18h más h al cuadrado. 00:08:30

Eliminando las h, puesto que hacemos el límite cuando h tiende a 0, vemos que obtenemos el valor 108. 00:08:39

Algo también reseñable es que en estos casos donde las tasas de variación instantánea y las tasas de variación media van a variar, podemos comprobar cómo de alguna manera la tasa de variación media en un cierto intervalo va a tomar un valor medio, promedio, entre la tasa de variación instantánea en el extremo inicial y la tasa de variación instantánea en el extremo final. 00:08:44

Fijaos que aquí en el intervalo 2, 6 la tasa de variación media es 8, la tasa de variación instantánea en 2 es 4 y en 6 es 12 y este 8 es un valor intermedio entre este 4 y este 12. 00:09:07

Igualmente en este otro caso, la tasa de variación media en el intervalo 2, 6 era 52, la tasa de variación instantánea en el extremo inicial era 12, en el extremo final es 108 y este 52 toma un valor intermedio entre este 12 y este 108. 00:09:19

En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:09:34

Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:09:43

No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:09:48

Un saludo y hasta pronto. 00:09:54

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