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Geometría Analítica. Rectas.

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Subido el 24 de mayo de 2017 por Pablo Jesus T.

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Bueno, vamos a utilizar hoy GeoGebra con la calculadora gráfica para ver un poquito de geometría analítica. 00:00:00
Entonces, vamos a coger la herramienta Vector y vamos a pintar, por ejemplo, un vector que vaya del punto 1,1 al 3,3. 00:00:09
Como habéis visto, me sale una especie de vector fijo, un vector fijo que va del punto A al punto B. 00:00:19
Las coordenadas del vector son 2, 2 00:00:28
Como tiene punto origen y punto final 00:00:31
Podríamos pensar que es un vector fijo 00:00:34
Pero en realidad yo puedo coger, hacer clic y arrastrar 00:00:36
Y llevarme el vector donde me dé la gana 00:00:40
¿De acuerdo? 00:00:43
Así que es un vector libre realmente 00:00:45
Además yo puedo cambiar B 00:00:47
Y entonces me cambia el vector, evidentemente 00:00:49
Los vectores les indica con la letra a partir de U 00:00:52
y alguno puede pensar que a él le gustaría más 00:00:55
escribirlo con un símbolo de vector 00:00:58
bueno, aparte de aquí poder cambiar los colores 00:01:03
y todas las cosas 00:01:07
nosotros en título podemos utilizar 00:01:08
el látex 00:01:11
ya sabéis que se pone entre 00:01:14
símbolo de dólar 00:01:17
y ahí escribir 00:01:19
BEC 00:01:21
que lo que va a hacer es que lo que esté entre llaves 00:01:24
pues lo va a poner 00:01:29
con una rayita de vector encima 00:01:31
y podríamos poner tanto por ciento n 00:01:35
que ya explicamos en otro momento 00:01:38
que es el nombre del objeto 00:01:40
es decir, ahí lo estamos haciendo sobre el punto B 00:01:43
con lo cual no nos va a valer 00:01:47
pero bueno, le voy a dar control x 00:01:49
me voy a ir al vector u 00:01:50
que no me había fijado 00:01:53
y lo voy a hacer realmente 00:01:54
donde el vector u 00:01:56
bueno, pues ahora cuando de enter 00:01:58
vais a ver que me ha cambiado el símbolo 00:02:00
por una u con vector 00:02:04
parece más propio, ¿verdad? 00:02:05
no se puede hacer que lo muestre 00:02:08
salvo haciéndolo así 00:02:09
con el título 00:02:11
bueno 00:02:13
nosotros hacemos otro vector 00:02:13
por ejemplo 00:02:16
como que vaya 00:02:19
de aquí a aquí 00:02:21
¿vale? 00:02:23
el vector V que tenemos, pues tenemos otro vector libre, si yo lo quisiera sumar ahora podría arrastrarlo aquí para hacerlo componiendo vectores 00:02:24
o aquí para hacer la regla del paralelogramo, pero realmente lo que voy a utilizar es otra herramienta que tiene GeoGebra 00:02:37
que es vector equipolente. Entonces yo voy a decir, bueno, pues me vas a pintar un vector equipolente a V que pase por B. 00:02:44
ahí está, nos la llama W 00:02:51
por simplicidad le vamos a cambiar el nombre 00:02:54
y le vamos a llamar V 00:02:59
ya sabéis que entonces el antiguo V pasa a llamarse V1 00:03:01
ya lo tenemos como U y V 00:03:05
si yo ahora quisiera hacer la suma de U y V 00:03:08
aparte les podría haber cambiado el color 00:03:11
lo que hubiera querido 00:03:13
y escribo U más V 00:03:14
veis lo que pasa 00:03:17
Resulta que nos hace la suma bien, 5, 2 00:03:18
De la suma de los dos vectores 00:03:22
Pero la pinta siempre saliendo del 0, 0 00:03:25
Entonces hay un pequeño truco para que no pinte saliendo del 0, 0 los vectores 00:03:31
Que es escribir aquí vector 00:03:40
También podría unir con la herramienta vector A y B' 00:03:43
prima. Pero para luego hacerlo dinámico, vamos a ir viendo y escribimos vector, punto 00:03:47
inicial, punto final. El punto inicial es A. Y el truquito es que en el punto final 00:03:55
volvemos a poner A y ahora ya ponemos U más U. Entonces, como veis, nos ha hecho el vector 00:04:02
suma, pero saliendo de A. Esto se utiliza también en GeoGebra 3D y en todo lo que hagáis 00:04:10
de GeoGebra 2D, en geometría analítica, interesa escribirlo así. ¿De acuerdo? Pues 00:04:18
le vamos a dar a Enter para que lo fije, nos la llama el vector W. Si yo moviera el punto 00:04:25
B, con lo cual estoy modificando el vector U, o moviera, aquí no puedo mover el B' 00:04:32
prima porque viene traslada o moviera el punto D, con lo cual cambiaría el vector v, pues 00:04:38
lógicamente cambia también el vector w. De hecho, vamos a utilizar esto para hacer 00:04:45
un ejercicio de composición de vectores, en el que w va a ser la composición de vectores 00:04:53
de u y v. Entonces, por ejemplo, en la barra de entrada vamos a definir dos parámetros, 00:04:59
k igual a 2 por ejemplo 00:05:05
y l igual a 3 00:05:08
y ahora vamos a definir el vector w 00:05:14
vamos a dar botón derecho propiedades 00:05:19
como realmente a más k espacio u 00:05:21
ya sabéis que espacio es multiplicación 00:05:28
más l espacio v 00:05:31
¿qué va a pasar cuando de a entre? 00:05:33
Pues, lógicamente, que nos ha hecho el vector W es 2U más 3V. 00:05:35
Aquí no lo vemos y entonces puede no gustarnos, pero realmente es así. 00:05:46
Entonces, ¿cómo podemos hacer ahora que se vea 2U más 3V? 00:05:55
Bueno, pues podríamos definir un vector, que como quiero que salga de A, pondré A, coma A más K espacio U. 00:06:01
Eso, como veis, ya me pinta el vector, en este caso 2U. 00:06:19
Este vector 2u le podemos poner en color rojo, en estilo le podemos poner punteado y ya tenemos aquí 2u. 00:06:23
Si ahora ponemos a continuación 3v, eso lo haríamos escribiendo vector, ahora como veis quiero que el vector salga de ese punto. 00:06:38
de este extremo 00:06:53
así que el punto inicial será 00:06:55
A más 00:06:57
espacio U 00:07:00
¿de acuerdo? 00:07:02
y A mayúscula 00:07:04
perdonadme 00:07:05
y el punto final 00:07:07
será 00:07:12
más 00:07:16
combinación lineal 00:07:21
Es decir, A más KU más LW, ¿de acuerdo? 00:07:23
No, a ver, lógicamente el final sería el extremo, sí que debería ser ese, pero no W, ¿verdad? 00:07:35
Estoy un poco tonto, sería V, ¿vale? 00:07:51
Entonces también podríamos haber puesto A más W, eso sí. 00:07:56
Bueno, le damos Enter para que le pinte, le podemos dar propiedades y le vamos a poner también en rojo, por ejemplo, y con el mismo estilo punteado le podemos quitar la etiqueta. 00:08:00
al otro que hemos pintado A 00:08:17
también le podríamos haber quitado la etiqueta 00:08:21
y bueno, pues ahí tenemos 00:08:23
la combinación lineal 00:08:26
2U más 3V 00:08:29
que podríamos estos 00:08:33
si queremos sacarlo fuera 00:08:34
los parámetros 00:08:37
de acuerdo con los deslizadores 00:08:40
y ahí se vería como es 00:08:42
El vector v y b también incluso se podrían esconder o dejar de otra manera. 00:08:45
Podemos también poner esto aquí para hacer la regla del paralelogramo. 00:08:54
Y entonces, lógicamente, si lo que quisiéramos es la regla del paralelogramo, 00:09:01
pues podríamos poner otro vector que fuera saliendo de a, 00:09:06
pues 00:09:16
¿verdad? 00:09:22
ahí estaría el 3V 00:09:23
y pues ahora 00:09:26
este vector 00:09:30
le podríamos poner 00:09:31
este lo voy a hacer en otro color 00:09:33
por ejemplo en verde 00:09:36
y le voy a dejar 00:09:37
macizo para ver 00:09:40
cómo podríamos hacer otras cosas 00:09:41
de tal manera que ahora 00:09:43
vamos a ocultar el punto D por ejemplo 00:09:45
para que se vea mejor 00:09:49
vamos a ocultar todo esto 00:09:51
el vector V 00:09:53
y el punto B 00:09:57
bueno 00:10:00
decía que ahora por ejemplo 00:10:00
en vez de la herramienta vector 00:10:04
para llegar aquí 00:10:05
podríamos utilizar la herramienta segmento 00:10:06
para que se vea 00:10:09
como que hemos hecho 00:10:11
la regla del paralelogramo 00:10:12
aquí pondríamos 00:10:15
A más LV 00:10:17
y el extremo sería A más KU más LV 00:10:22
o ya que tenemos, pues ahora voy a utilizar lo que os he dicho antes 00:10:27
más W, ¿de acuerdo? 00:10:31
entonces ahora este segmento 00:10:34
pues le puedo, aparte de quitar la etiqueta 00:10:36
poner en el mismo color verde 00:10:39
ponerle punteado 00:10:43
y entonces 00:10:46
pues ahora cuando 00:10:50
lo veo, pues si hubiéramos hecho 00:10:51
macizo este y este 00:10:54
también punteado, pues se vería 00:10:56
mejor la regla del paralelogramo 00:10:58
en cualquier caso, esto es dinámico 00:10:59
si ahora muevo 00:11:02
pues cambio 00:11:05
la combinación lineal 00:11:08
por supuesto puede ser negativo 00:11:09
puedo cambiar los deslizadores 00:11:12
a valores enteros 00:11:14
si quiero, aunque no tenga por qué ser así 00:11:15
pero para que lo vean los alumnos más fáciles 00:11:20
y si volviera a poner que se viera el punto B 00:11:24
o que se viera el punto D 00:11:27
pues puedo incluso cambiar el vector U original 00:11:29
o el vector V original 00:11:35
¿de acuerdo? 00:11:38
Y así pues podemos enseñarles composición de vectores a los alumnos. 00:11:40
Bueno, ya que hemos visto una combinación lineal de vectores, por supuesto esos vectores también, GeoGebra también tiene el producto escalar, nada más escribimos u por v y nos da ya el valor que tenemos. 00:11:50
Como también tiene trigonometría, pues podríamos utilizarlo de distintas maneras. 00:12:06
Bien, vamos a dar ahora rectas, así que damos nuevo, lo guardáis, lo que habéis hecho si queréis tenerlo, 00:12:11
y vamos a ver cómo hacemos una recta. 00:12:19
Voy a partir de un punto, ¿de acuerdo? 00:12:25
Ahora ya sabéis que a mí me gusta más darle en vista barra de entrada, 00:12:28
pues voy a partir de un punto, por ejemplo, del punto 4, 3 00:12:33
y ahora voy a elegir el vector 3, menos 1 00:12:39
¿de acuerdo? 00:12:47
entonces escribo vector 00:12:49
y para que pase por A, recordad, elijo esto 00:12:50
punto inicial A y punto final A más las coordenadas del vector 00:12:57
que quiero que defina la recta 00:13:04
en este caso, por ejemplo, 3 menos 1 00:13:07
ahí está ya nuestro vector 00:13:09
y ahora vamos a definir la recta 00:13:11
la recta, que se podría elegir con las herramientas de aquí arriba 00:13:15
hacer todo esto 00:13:19
ya lo sabéis 00:13:20
vamos a elegir esta, punto vector director 00:13:22
entonces, cuando elegimos esta 00:13:27
en el punto pondremos A 00:13:30
y en el vector director 00:13:33
pondremos su, mucho cuidado 00:13:34
porque si ahí pusiéramos 3, 1 00:13:37
creería que es un punto 00:13:39
siempre tiene que ser 00:13:41
un vector, si no tendríamos que haber 00:13:43
escrito vector o lo que quisiéramos 00:13:45
bueno, pues ahí tenemos nuestra recta 00:13:47
la vamos a poner 00:13:49
en azul 00:13:50
y ahora digamos que 00:13:52
lo que vamos a hacer es 00:13:59
definirla de manera 00:14:00
vectorial, entonces 00:14:03
si definimos 00:14:05
el punto 00:14:06
0,0 00:14:07
¿de acuerdo? 00:14:09
dejamos la herramienta punto 00:14:12
y la fijamos en el 0,0 por ejemplo 00:14:14
voy a ahora un poquito 00:14:16
a utilizar las herramientas 00:14:18
lo renombro 00:14:20
al punto O 00:14:23
¿de acuerdo? 00:14:24
ahora con la herramienta vector 00:14:27
pues cogeré el punto 00:14:30
¿de acuerdo? 00:14:32
ese vector v le vamos a renombrar 00:14:36
podríamos poner o a 00:14:40
¿de acuerdo? 00:14:43
para indicar el vector que es 00:14:46
y si no os gusta escrito así 00:14:48
pues una de las cosas que podemos hacer es 00:14:51
no nos acordamos de cómo poner vector encima 00:14:54
si ahora utilizáramos vec de vector 00:14:56
no quedaría bien en o a 00:15:00
pero podemos hacer una trampa cuando no sabemos la antes 00:15:01
Seguimos texto, fórmula látex, vamos aquí avanzado, fórmula látex y buscamos lo que queremos. 00:15:04
En este caso sería esto. Hacemos clic y lo copiamos. 00:15:14
Control-C, damos cancelar para que no lo escriba, nos vamos a las propiedades y en título escribimos dólar. 00:15:18
control V 00:15:28
donde pone 00:15:30
XX, podríamos escribir 00:15:32
OA directamente 00:15:34
con lo cual no habríamos tenido que 00:15:36
renombrar el vector 00:15:38
pero por si acaso lo volvemos a cambiar de nombre 00:15:39
o lo que sea, pues podemos poner 00:15:42
tanto por ciento N 00:15:44
volvemos a poner otro dólar para cerrar 00:15:45
y cuando damos enter 00:15:48
pues ahí, tachán, aparece 00:15:49
nuestro vector OA 00:15:52
¿de acuerdo? 00:15:53
Ahora lo que vamos a hacer es que por una cantidad k 00:15:55
Pues nos pinte el vector u 00:16:03
Para eso necesitamos evidentemente el parámetro 00:16:05
Vamos a poner por ejemplo k igual a 2 00:16:08
Y ahora vamos a definir el vector 00:16:11
Que sería op, ¿verdad? 00:16:18
Entonces sería vector, punto inicial, punto final, el punto inicial sería O y el punto final sería, si queréis para que se vea perfectamente la definición vectorial, sería O, que está saliendo del origen, pero da igual, más OA más K por U. 00:16:22
¿De acuerdo? Y eso determinaría el vector OP. Si hacemos lo mismo que antes, todavía lo tendremos seguramente pegado, ¿veis? 00:16:52
y escribimos aquí OP, pues no hace falta, le ponemos el dólar detrás y delante, para que sepa que es látex, 00:17:10
no hace falta incluso renombrar el vector, se puede quedar como V, pero lo que ve el alumno o lo que ve el usuario, 00:17:20
pues es el vector OP. Faltaría el punto P, ¿verdad? El punto P sería el punto O más V. 00:17:30
De acuerdo, veis que ya le está llamando a IP, le podemos cambiar el color, azul sería, ¿verdad? 00:17:43
El estilo, podemos poner así uno más que se vea el punto y un poquito más grande, aquí lo que queráis. 00:17:55
¿Qué pasa? Cuando yo muevo K, pues se mueve P 00:18:05
Y aquí se ve la definición vectorial de la recta 00:18:11
Todavía se podría poner mucho más bonito, pero bueno, aquí se ve perfectamente 00:18:16
Bueno, tenemos la ecuación vectorial de la recta, que pasa por el punto 4, 3 00:18:21
Tiene el vector director el punto 3, 1 00:18:25
Esto se puede poner en todas las formas 00:18:29
De hecho aquí ya la tenemos, que está en forma general o implícita, pero incluso cambiando aquí la podemos poner que la muestre la ecuación en forma explícita o en forma paramétrica, ¿de acuerdo? 00:18:32
o otra manera de escribirla en forma general 00:18:52
en la barra de entrada 00:18:57
admite cualquier forma 00:19:00
si yo quiero escribir una recta en forma 00:19:04
digamos, continua, pues podríamos hacerlo 00:19:08
paréntesis, x menos 2 00:19:12
partido, vamos a hacer por ejemplo 00:19:15
una paralela, 3 00:19:19
igual a paréntesis y más 1 partido por menos 1 00:19:21
pues como veis hemos hecho una paralela 00:19:32
que pase por el punto 2 menos 1 00:19:35
la admite en forma continua 00:19:39
que la queremos poner en forma explícita 00:19:46
Y igual a 5X más 2, ¿vale? 00:19:50
Pues ahí tenemos una en forma explícita. 00:19:55
¿Que la queremos en forma punto pendiente? 00:20:01
Pues ponemos Y menos 4 igual a 2, que sería la pendiente, ¿verdad? 00:20:06
X más 3. 00:20:14
Bueno, nos ha quedado muy a la izquierda 00:20:16
Vamos a poner menos 3 00:20:19
Y entonces ya nos queda más a la derecha 00:20:20
Sería esta 00:20:23
La otra recta que estamos pintando 00:20:25
Pues ya está 00:20:27
La entiende perfectamente 00:20:29
Luego la cambia 00:20:31
Podríamos ponerla 00:20:33
En forma segmentaria 00:20:35
Pues claro, por ejemplo 00:20:37
La nuestra 00:20:39
Yo que sé 00:20:41
X partido por 5 00:20:42
más i partido por 2 00:20:46
pues será una recta igual a 1 00:20:50
una recta en forma sementaria 00:20:52
que pasa por el punto 5, 0 y 0, 2 00:20:54
ahí la tenéis 00:20:58
es esta última que acabo de pintar 00:21:01
incluso podríamos ponerla en forma paramétrica 00:21:03
es un poco más complicado pero yo escribiría curva 00:21:07
ahora pondría la expresión de la x 00:21:10
por ejemplo, para que veáis que la voy a pintar una paralela también a la que teníamos, 00:21:15
pues que el vector es 3 menos 1, ¿os acordáis? 3 menos 1. 00:21:22
Bueno, pues vamos a poner que pase por el 3, 0, pues pondríamos 3 más 3t, 00:21:27
0, que no habría falta ponerlo 00:21:36
menos t, para que sea el vector 3 menos 1 00:21:42
menos t dicho 00:21:46
el parámetro sería t 00:21:48
y los valores iniciales y finales, pues yo que sé, para que no se vea 00:21:51
pues podemos poner de menos 100 a 100 00:21:55
como veis, acaba de pintarnos una recta paralela a la dada 00:21:59
que pasa por el 3,0 00:22:03
aunque hayamos escrito curva 00:22:06
es la manera de escribir una función 00:22:09
en forma paramétrica 00:22:13
incluso no tiene por qué ser función 00:22:15
porque podría ser una curva que no fuera función 00:22:17
y así hemos terminado de pintar rectas 00:22:23
de todas las maneras que admite GeoGebra 00:22:28
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
153
Fecha:
24 de mayo de 2017 - 22:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
22′ 32″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1910x1018 píxeles
Tamaño:
47.45 MBytes

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