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Teorema de Rouché Frobenius (1) - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Teorema de Rouchet-Frobenius. Bien, ese teorema lo que nos va a ayudar es a saber discutir un sistema. 00:00:00
Recordamos, discutir un sistema consistía en clasificarlo sin resolverlo. En decir, si es heterogéneo o homogéneo. 00:00:09
Esto lo vamos a saber según sean los términos independientes. Heterogéneo es que los términos independientes no son todos nulos y homogéneo es que todos los términos independientes son nulos. 00:00:16
Dentro de que sea heterogéneo, discutir el sistema sería clasificarlo en compatible e incompatible, tiene o no tiene solución. 00:00:27
Y dentro de que tenga solución, si tiene una única o tiene infinitas soluciones. 00:00:34
Y lo mismo si el sistema es homogéneo, tendré que decir que los homogéneos siempre son compatibles y tendré que saber decir si es determinado con una única solución o si es indeterminado con infinitas soluciones. 00:00:38
El teorema de Rouchet-Frobenius consiste 00:00:49
si consideramos un sistema de M ecuaciones lineales con N incógnitas 00:00:54
un sistema escrito de esta forma 00:00:58
Este sistema tiene asociadas dos matrices importantes 00:01:00
la matriz de coeficientes y la matriz ampliada 00:01:04
La matriz de coeficientes es la matriz donde en la primera columna 00:01:07
están los coeficientes que se refieren a la primera incógnita 00:01:10
Eso es de aquí 00:01:15
La segunda columna, la matriz de coeficientes relacionados con la segunda incógnita, etc. 00:01:15
La última columna serían los coeficientes relacionados con la incógnita xn. 00:01:21
Y la matriz ampliada se formaba añadiendo a la matriz de coeficientes a una columna de términos independientes. 00:01:27
La columna de términos independientes. Bueno, pues el teorema de Roche-Frobenius lo que nos dice es que la condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible, es decir, que tenga solución, es que el rango de la matriz de coeficientes tiene que ser igual al rango de la matriz ampliada. 00:01:35
Esto es, lo que afirma es que si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, sistema compatible 00:01:54
Y en caso contrario, si no coincide el rango de A con el rango de la matriz ampliada, el sistema es incompatible 00:02:02
Además, vamos a recordar un poquito, por ejemplo, cuando vimos la regla de Cramer 00:02:07
Decíamos que si el sistema era de Cramer, era un sistema que cumplía, que tenía el mismo número de ecuaciones 00:02:14
que de incógnitas y que el determinante de A era distinto del 0, es decir, que el rango de A coincidía con el número de incógnitas. 00:02:23
Entonces, decíamos que el sistema de Kramer tenía solución única, es decir, un sistema compatible determinado. 00:02:33
Bueno, pues, siguiendo esa línea, siguiendo esa idea, podemos decir que cuando el rango de A sea igual del rango de la ampliada, 00:02:41
A, si ese rango coincide con el número de incógnitas, compatible determinado. Si ese 00:02:49
rango es menor que el número de incógnitas, decimos que es compatible indeterminado y 00:02:57
decimos que tiene n-r grados de libertad, es decir, que ese sistema va a depender de 00:03:02
n-r parámetro. Esquematizamos, un sistema de ecuaciones puede ser incompatible cuando 00:03:09
el rango de A es distinto del rango de su ampliada, compatible cuando tienen el rango 00:03:18
de A y el rango de la ampliada coinciden y será determinado si además ese rango coincide 00:03:24
con el número de incógnitas o será indeterminado si ese rango es menor que el número de incógnitas 00:03:29
y dejemos que es determinado con n-r grados de libertad. Aplica el teorema de Rochefrobenius 00:03:36
para discutir el sistema y en caso de que sea compatible, resuélvelo. 00:03:47
un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. Tiene asociada una matriz de coeficientes 00:03:53
que sería en la primera columna los coeficientes de la x, 1, 2, menos 2, 1, en la segunda columna 00:03:59
los coeficientes de la y, el 3, 1, menos 3, 1, en la tercera los coeficientes de z, 1, 00:04:06
menos 1, 1, 1. Esta es una matriz A de orden 4 por 3, o sea, dimensión 4 por 3. Y también 00:04:14
tiene asociada la matriz ampliada, que es la misma que la matriz de coeficientes, ampliándola 00:04:22
con la columna de términos independientes. Ampliamos con la columna de términos independientes 00:04:30
0, 1, 1, 2. Vale, que es una matriz 4x4. Vale, para decidir, para clasificar el sistema 00:04:39
como compatible o incompatible, en primer lugar, y luego si es compatible como determinado 00:04:50
o interminado, tenemos que estudiar el rango, tanto de A como de la ampliada. Fijaos, el 00:04:55
rango de A como mucho va a ser 3, el rango de la ampliada puede ser 4. Pues vamos a empezar 00:05:00
por el rango de la ampliada porque en el caso de que el rango de la ampliada me saliese 00:05:05
4, ya directamente podríamos concluir que el sistema es incompatible independientemente 00:05:09
de cuál fuese el rango de A, ya que nunca el rango de A va a ser 4. 00:05:14
Entonces, empezamos calculando el determinante de la matriz ampliada. 00:05:20
Determinante 1, 3, 1, 0, 2, 1, menos 1, 1, menos 2, menos 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2. 00:05:24
Vale, para resolver este determinante vamos a intentar hacer ceros, por ejemplo, en esta columna 00:05:35
y así desarrollar este determinante por esta columna. 00:05:41
Vamos a hacer 0 aquí y aquí 00:05:43
Vale, dejamos fija la primera columna 00:05:46
1, 3, 1, 0 00:05:49
Y 2, 1, menos 1, 1 00:05:51
Recordad que tenemos que trabajar 00:05:54
Con transformaciones que dejen invariante al determinante 00:05:57
O que si lo varían tendré que tener en cuenta que variación le voy a hacer 00:06:02
Vale, por ejemplo, si yo quiero aquí un 0 00:06:07
Y pivoto con esta segunda fila 00:06:10
Pues puedo decir que la tercera fila 00:06:13
Lo que le voy a hacer es 00:06:15
A la tercera fila le resto la segunda 00:06:16
¿Ves? A la tercera fila le resto una combinación lineal 00:06:18
De otra 00:06:21
Bueno, una 00:06:22
De las restantes 00:06:24
Me quedaría 00:06:26
La tercera menos la segunda 00:06:28
Menos dos, menos dos 00:06:30
Menos cuatro, menos tres, menos uno 00:06:32
Menos cuatro, uno 00:06:34
Menos menos uno, dos 00:06:36
Y uno menos uno, cero 00:06:38
Tendríamos ahí un cero 00:06:40
Vale, si yo quiero aquí un 0, lo que voy a hacer es la cuarta fila la voy a transformar como la cuarta fila menos dos veces la segunda fila. 00:06:41
Vale, entonces, la cuarta menos dos veces la segunda, pues 1 menos 4 menos 3, 1 menos 2 menos 1, 1 más 2, 3 y 2 menos 2, 0. 00:06:53
Ahora ya lo que voy a hacer es desarrollo por la cuarta columna. 00:07:10
Entonces aplicamos la definición del determinante desarrollando por la cuarta columna. 00:07:20
Primero el signo, más, menos, más, menos, más, luego más el elemento 1 por el menor complementario o el adjunto, 00:07:24
que sería el 1, 3, 1, eliminando segunda fila, cuarta columna, 00:07:34
menos 4, menos 4, 2, menos 3, menos 1, 3. 00:07:40
Calculando este determinante por la regla de Sarrus, obtenemos 00:07:45
Menos 12, menos 18, más 4, menos 12, más 2 y más 36. 00:07:49
Igual, vamos a sumar números positivos 00:08:07
4 y 2, 6 00:08:12
Y 36, 42 00:08:15
Y sumamos los números negativos 00:08:16
12 y 18, 30 00:08:19
Y 12, 42 00:08:22
Luego este determinante vale 0 00:08:24
Al ser el determinante 0 00:08:26
Entonces el rango de la matriz ampliada 00:08:28
Va a ser como mucho 3 00:08:32
Menor o igual que 3 00:08:34
Bien, vamos a escoger un menor de orden 3 que sea como un tanto A como A ampliada 00:08:35
Y así podremos hablar de los dos rangos a la vez 00:08:43
Vale, entonces escogemos por ejemplo el menor 1, 3, 1, 2, 1, menos 1, menos 2, menos 3, 1 00:08:47
Calculamos su valor, 1, menos 6, más 6, más 2, menos 3 y menos 6 00:08:56
Luego nos queda, aquí simplificamos, 1 más 2, 3, 3 menos 3, 0, menos 6, distinto de 0 00:09:09
Por tanto, hemos encontrado un menor de orden 3, tanto de la matriz A como de su ampliada, distinto de 0 00:09:16
luego el rango de A es igual al rango de A ampliada y es igual a 3 00:09:23
y además me doy cuenta que es igual al número de incógnitas 00:09:32
por tanto el sistema es compatible determinado 00:09:35
bien, una vez que hemos visto que el sistema es compatible determinado 00:09:42
es decir que tiene solución única, vamos a pasar a resolverlo 00:09:50
Para resolverlo escogemos como ecuaciones las ecuaciones que tienen como coeficientes 00:09:53
los coeficientes que intervenían en ese menor de orden 3 que hemos encontrado distinto de 0. 00:10:02
En este caso eran las tres primeras ecuaciones, x más 3y más z igual a 0, 2x más y menos z igual a 1 y menos 2x menos 3y más z igual a 1. 00:10:09
Bueno, escogemos estas porque el determinante que tenía asociado a sus coeficientes era el que era distinto de 0 00:10:22
y es el que nos asegura que esas tres ecuaciones son linealmente independientes. 00:10:31
Bueno, pues si ahora llevamos, por ejemplo, B a la matriz de coeficientes de 1, 3, 1, 2, 1, menos 1, menos 2, menos 3, 1, 00:10:35
el determinante de B acabamos de ver que era menos 6, distinto de 0. 00:10:46
Bueno, pues podemos hacerlo por la regla de Cramer, como sabemos que tiene una solución única por la regla de Cramer. 00:10:50
Entonces, la variable x, la interminable x, será el cociente en el denominador, el valor del determinante, 00:10:57
y en el numerador el determinante formado, o sea, que se forma al sustituir la primera columna por la columna de términos independientes, 00:11:09
Es 0, 1, 1 y la segunda y tercera columna la misma. 00:11:18
Vale, pues menos 1 sexto que multiplica 0, menos 3, menos 3, menos 1, 0, menos 3. 00:11:26
En este caso, menos 1 sexto que multiplica a menos 10, es decir, 10 sextos, es decir, 5 tercios. 00:11:38
La indeterminada I será el cociente donde el denominador es el valor del determinante y en el numerador tenemos el determinante que se forma al sustituir la segunda columna de la matriz de coeficientes por los términos independientes. 00:11:48
1, 2, menos 2, 0, 1, 1, 1, menos 1, 1. 00:12:08
Resolvemos el determinante, 1, 0, 2, más 2, más 1, 0. 00:12:15
Luego 4 y 2, 6, por menos un sexto, menos 1. 00:12:25
Y por último, la variable z, el cociente donde el denominador es menos 6, el valor del determinante, 00:12:29
y en el numerador el determinante que resulta de sustituir la tercera columna por la columna de términos independientes. 00:12:38
1, 2, menos 2, 3, 1, menos 3, 1, menos 1, 1. 00:12:45
Perdón, la tercera columna no la he sustituido. 00:12:52
Aquí, 0, 1, 1. 00:12:54
Vale, pues menos 1 sexto que multiplica, esto es un 1, ¿no? 00:12:57
1, sí, esto sería 1 menos 6, 0, 0, más 3 y menos 6. 00:13:04
Luego me queda menos 1 sexto, aquí sería menos 12 más 4 por menos 8, es decir, 8 sextos, 4 tercios. 00:13:16
Luego la solución de este sistema es X igual a 5 tercios, Y igual a menos 1, Z igual a 4 tercios. 00:13:26
Aplica el teorema de Rochefrobenius para discutir el sistema y en caso de que sea compatible, resuélvelo. 00:13:41
Bien, tenemos que discutir y resolver este sistema. 00:13:51
Sistema que tiene asociada como matriz de coeficientes 00:13:54
La matriz 2, menos 3, 1 00:13:58
Menos 1, 1, menos 1 00:14:01
1, menos 3, menos 1 00:14:04
Y la matriz ampliada consiste en añadir a la matriz de coeficientes 00:14:07
La columna de términos independientes 00:14:12
Menos 3, menos 1 00:14:18
Y aquí sería 1, menos 1, 2 00:14:21
Esta es una matriz 3x3 y esta es una matriz 3x4 00:14:23
El rango de esta matriz con mucho 3 y el rango de esta matriz con mucho 3 también 00:14:28
Entonces empezamos por ejemplo calculando el determinante de A 00:14:34
Que sería el único menor de orden 3 de la matriz de coeficientes A 00:14:38
Entonces, calculamos su valor, vale, nos quedaría por sárvus, nos quedaría menos 2, más 3, más 3, menos 1, menos 6 y más 3. 00:14:47
Luego esto nos queda, fijaos, si sumamos términos positivos, 3 más 3, 6, más 3, 9. 00:15:11
Menos, menos 2, menos 1, menos 3, menos 6, menos 9 00:15:19
Luego me quedaría aquí 0 00:15:23
Este determinante sería 0 00:15:26
Luego el rango de A 00:15:28
El rango de A como mucho puede ser 2 00:15:29
Vamos a ver con la matriz ampliada 00:15:34
El otro menor de orden 3 que sí que puedo formar 00:15:37
O sea, hay más menores de orden 3 que sí que puedo formar 00:15:41
Por ejemplo, el menor de orden 3 00:15:43
A ver, menor de orden 3 de la matriz ampliada 00:15:47
Por ejemplo, yo puedo coger el menor que es 2 menos 1, 1 00:15:56
Menos 3, 1 menos 3 00:16:02
Y en vez de poner la tercera columna de A, pongo la columna de términos independientes 00:16:04
Esa de aquí 00:16:09
Calculamos su valor 00:16:10
4 más 3 más 3 menos 1 menos 6 y menos 6 00:16:11
Vale, agrupando términos positivos me queda 10 menos 13 00:16:22
Es igual a menos 3, distinto de 0 00:16:29
Luego, ¿qué significa? 00:16:34
Que el rango de la matriz ampliada es 3 00:16:36
Entonces, resulta que el rango de A es distinto del rango de la matriz ampliada 00:16:40
Por lo tanto, sistema incompatible 00:16:50
Como el sistema es incompatible, no tiene solución 00:16:53
Luego no habría que resolver nada 00:16:58
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
119
Fecha:
15 de octubre de 2020 - 0:27
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
17′ 02″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.42

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