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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2B - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2B

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Esta parte del tutorial presupone que ya conocéis las funciones elementales, seno, coseno, exponencial, etc. y las reglas elementales, producto, división y composición. 00:00:00
Y lo que va a hacer es, de forma muy, muy, muy gradual, ir viendo cómo se combinan unas y otras para obtener derivadas. 00:00:15
Es, por tanto, un tutorial pensado para la gente a quien le cuesta más este proceso. 00:00:23
Una vez hecho esto, lo que nos queda es combinar los distintos métodos de integración. Por ejemplo, la regla de la cadena y el producto de funciones. En este caso, lo que tenemos es el coseno de una función. 00:00:29
Esta vez la pongo con mayúsculas porque voy a emplear después, cuando he señalado esa función, las minúsculas para el producto de estas dos funciones. 00:00:54
Bien, en general, cuando hacemos cálculos, lo primero que haríamos en este caso es calcular el 5x cuadrado, luego lo multiplicaríamos por el elevado de x, y una vez hecho eso, lo último que haríamos sería calcular el coseno de eso. 00:01:06
Bueno, pues cuando derivamos vamos a efectuar siempre el orden contrario. 00:01:23
Empezaríamos por lo último que hacemos en los cálculos. 00:01:31
Empezaríamos por la función coseno de lo de adentro y después derivamos lo de adentro. 00:01:33
Va a ser siempre así en todos los casos. 00:01:38
Bueno, pues empezamos. 00:01:41
Hemos localizado el coseno de la función. 00:01:43
Su derivada es menos seno de f por f'. 00:01:46
Pues nada, menos seno de 5x cuadrado elevado a x 00:01:51
Y ahora ponemos la f prima 00:01:59
Que es la derivada de todo lo de dentro 00:02:01
Que es un producto 00:02:06
Como tenemos un producto, va a haber una suma 00:02:08
Entonces vamos a tener que coger un paréntesis para todo lo que hay con la suma 00:02:10
Vamos a hacerlo 00:02:15
pues tenemos 00:02:16
como es un producto sería 00:02:19
f' por g 00:02:21
más f por g' 00:02:22
pues sería 00:02:24
f' que sería 00:02:26
10x 00:02:27
10x 00:02:36
por g elevado a x 00:02:37
más 5x cuadrado 00:02:39
por g' que es elevado a x 00:02:42
y ya esta es la derivada 00:02:45
importante el paréntesis 00:02:47
porque si no ponemos un paréntesis, si así este paréntesis no estuviera, lo que tendríamos es que 00:02:50
esta función multiplica a esto y luego habría que sumarlo, lo cual sería incorrecto. Y si leemos 00:03:00
esta derivada al cabo de un mes, la interpretaríamos mal. Ahora a lo mejor sabríamos lo que hay que 00:03:08
hacer con la memoria, pero si no, al cabo de un mes, lo que podríamos mal. Bueno, borramos esto 00:03:13
para no olvidar, y seguimos. Otro ejemplo más, por ejemplo, pues, elevado a raíz de x, tangente de x, menos 7, o por ejemplo, pues, coseno de x por e elevado a x, todo ello elevado a 4. 00:03:18
Bien, vamos a hacer estas derivadas. Aquí tenemos elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f'. Pues lo ponemos. 00:03:46
elevado a dicha función 00:04:05
y ahora 00:04:08
hay que poner f' 00:04:14
entonces cuando tenemos la derivada de f' 00:04:16
que vamos a ver un paréntesis 00:04:18
porque lo había un producto 00:04:21
en la g' pues tenemos 00:04:21
una resta de función 00:04:25
la segunda es una constante 00:04:28
entonces aquí tendríamos la f y la g 00:04:29
pues tendríamos que hacer 00:04:32
la derivada de un producto 00:04:34
que es f' por g 00:04:35
más f por g' 00:04:38
f' es la derivada de raíz cuadrada de x, que es 1 partido de 2 raíz de x, por g, tangente de x, más f, raíz de x, por la derivada de g. 00:04:40
Podemos coger cualquiera de ellas, por ejemplo, 1 más tangente cuadrado de x. 00:04:55
Y ya hemos terminado. 00:05:02
entonces siempre es así, localizamos una función 00:05:03
aplicamos regla de la cadena 00:05:06
y después de eso 00:05:09
pues ya nos preocuparemos de derivarlo de dentro 00:05:11
y ahí aplicamos la siguiente regla 00:05:14
que en este caso es el producto 00:05:16
en este caso vamos a hacer lo mismo 00:05:17
tenemos una función elevada a 4 00:05:20
cuya elevada es 4f cubo por f' 00:05:24
pues ahora vamos a hacer eso 00:05:27
Sería 4 veces el coseno de x por elevado a x, todo ello elevado al cubo, y ahora pondría el de lo de dentro. 00:05:30
Como lo de dentro es un producto, en concreto es f por g, pues al poner la f' tendríamos f' por g más f por g'. 00:05:42
Es decir, menos seno de x por elevado a x más f coseno de x g' que es elevado a x. 00:06:04
Fijaos que hemos puesto paréntesis nuevamente, que no se olviden. 00:06:17
Bueno, pues haced un par de ejercicios, por ejemplo, pues el seno de la raíz de x por e elevado a x y, bueno, tres ejercicios. 00:06:22
e elevado a 5x cuadrado seno de x más 2 y por último pues una polinomial que sería una potencial, quiero decir, pues coseno de x por logaritmo de pi de x más 1, todo ello elevado al cuadrado derivada. 00:06:45
Bueno, para ir a grabación y corregimos, antes de corregir voy a hacer un zoom a la parte de arriba para poder trabajar bien. 00:07:26
Corregimos. Tenemos aquí el seno de la función, que es esta de aquí, cuya derivada es el coseno de f por f'. 00:07:41
Ahora, pues lo ponemos, coseno de dicha función, y ahora ponemos f', pero f' es el producto de dos funciones, f y g. 00:07:54
Y como es un producto, pues la derivada es f' por g más f por g'. 00:08:09
Es decir, que sería f' 1 partido de 2 raíz de x por g más f por g', que es la derivada de elevado a x, que es elevado a x. 00:08:19
Observemos que hemos puesto aquí un paréntesis. 00:08:37
En la siguiente tendríamos e elevado a una función, que es esta. 00:08:39
Nada, pues habría que poner e elevado a f por g', es decir, e elevado a 5x cuadrado seno de x más 2. 00:08:51
Y ahora hay que derivar dicha función. 00:09:05
y observamos que dentro de esta función 00:09:08
tenemos un producto 00:09:12
pues esta es f y esta es g 00:09:15
pues nada, hagamos esa derivada 00:09:18
con paréntesis porque va a haber sumas 00:09:21
con esa f' por g 00:09:24
más f por g' 00:09:31
sería f' pues 00:09:33
10x por g 00:09:37
seno de x 00:09:41
más f, 5x cuadrado 00:09:42
por g prima 00:09:46
coseno de x 00:09:50
y luego nos quedaría acabar la función de arriba 00:09:52
porque parece que como es una constante, pues el 2 desaparece 00:09:57
y ya podemos cerrar el paréntesis 00:09:59
y ya hemos terminado la derivada 00:10:02
vamos con la última 00:10:05
tenemos una función al cuadrado 00:10:06
que es esta de aquí 00:10:10
Pues nada, la derivada sería 2f por f' 00:10:14
Pues nada, lo ponemos 00:10:20
2 coseno de x logaritmo de pleno de x más 1 00:10:22
Y ahora ponemos f' 00:10:28
Que como hay un producto adentro va a haber que coger un paréntesis 00:10:30
Dicho producto está formado por una función f y una función g 00:10:34
cuyo derivado nuevamente es f' por g más f por g'. 00:10:41
Con lo cual tendríamos f' que es menos seno de x por g, 00:10:47
que es el logaritmo de periodo de x, más f coseno de x por la derivada de g, que es 1 partido por x. 00:10:55
Como luego lo que tenemos es más 1, que es una porcentaje, y su derivada es 0, 00:11:04
Pues ya esa parte la quitamos y ya hemos terminado 00:11:10
Hagamos otros ejemplos 00:11:14
Por ejemplo, ahora un producto de composiciones 00:11:17
Tenemos, por ejemplo, x al cubo por e elevado a coseno de x 00:11:19
O, por ejemplo, el logaritmo de x al cuadrado más 7 multiplicado por el seno de x al cuadrado más elevado a x menos 2. 00:11:27
Bueno, pues vamos a hacer esas dos derivadas. 00:11:47
Nuevamente, recordamos lo de antes. 00:11:53
Si tuviéramos que hacer las funciones, ¿por dónde empezaríamos? 00:11:56
Pues seguramente calcularíamos x al cubo, luego calcularíamos el coseno de x, después elevado a x y lo último este producto. 00:11:58
Bueno, a la hora de derivar, ese producto será lo primero que haremos. 00:12:07
Entonces tenemos aquí una función f, una función g, cuya derivada es f' por g más f por g'. 00:12:12
Pues nada, es cuestión de poner eso. 00:12:23
f' ¿cuál es? Pues 3x cuadrado por g elevado a coseno de x más fx al cubo por g' y ahora en g' tenemos que ver cómo se calcula esta derivada. 00:12:26
Vemos que es elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f'. 00:12:44
Como el solo de productos, no hace falta poner paréntesis. 00:12:51
Sería elevado a coseno de x por la derivada del coseno, que ponemos entre paréntesis porque hay un signo menos. 00:12:55
Y ya está. 00:13:04
Se puede dejar así, pero es mejor simplificar. 00:13:05
Sería 3x cuadrado elevado a coseno de x menos x al cubo, por ejemplo, pues seno de x elevado a coseno de x. 00:13:09
Y ya hemos terminado este ejercicio. 00:13:23
Vamos con el siguiente, es un poco más complejo. 00:13:26
Igualmente, pues si tuvieramos que calcular cosas, pues primero calcularíamos esto, luego esto y por último multiplicaríamos, ¿no? 00:13:30
Pues el orden de derivación es el inverso. 00:13:35
como antes. Entonces, pues esto es una función f, 00:13:39
esto es una función g, y tenemos que hacer 00:13:43
f' por g más f por g'. 00:13:46
Ahora bien, f' ¿qué es? 00:13:50
Una composición de funciones. 00:13:56
Porque tenemos logaritmo de f. 00:13:59
Pues entonces hay que tenerlo en cuenta. Entonces, a la hora de derivar la f, 00:14:03
Ahora hay que poner el f' partido por f. Pues lo hacemos. f' partido por f, que es 2x entre x cuadrado más 7. Ahora ya podemos poner la g, que es seno de x cuadrado más elevado a x menos 2. 00:14:06
Ahora, más f más logaritmo neperiano de x al cuadrado más 7 y ahora nos queda la g prima, g mayúscula. 00:14:26
Pues nada, observamos que esta función g mayúscula es de la forma seno de una función. 00:14:38
Por lo tanto, ¿qué habrá que poner aquí en la derivada de g? Pues el coseno de f por f prima. 00:14:48
Pues lo ponemos. Sería por el coseno de x cuadrado más elevado a x menos 2 por la derivada de adendrón, 2x más elevado a x. 00:14:54
Y ya está. Y en este caso, pues, no se puede simplificar más. En todo caso, puedes meter esto en el numerador, pero bueno, tampoco es imprescindible. 00:15:11
Bueno, pues hace dos ejemplos. Por ejemplo, coseno de x elevado a x cuadrado más 2x menos 1, derivada, y una también un poco más compleja, 00:15:22
seno de 7x cuadrado más 2 por el logaritmo neperiano de elevado a x menos 7. 00:15:45
Derivada igual, parece la grabación y corregimos. 00:16:07
Bien, corregimos, muevo un momento esto abajo. 00:16:20
La derivada de la función es el producto de dos funciones f y g, de modo que la derivada sería f' por g más f por g'. 00:16:22
Pues lo ponemos, f es el coseno de x, de modo que su derivada es menos el seno de x, y ahora g sería elevado a x cuadrado más 2x menos 1. 00:16:40
Seguimos poniendo la f, que es el coseno de x, y ahora hay que poner g'. 00:16:57
Pero observamos que g mayúscula es una composición de dos funciones. 00:17:01
Es e elevado a la función f, cuya derivada sería e elevado a f por f'. 00:17:08
Es decir, e elevado a x cuadrado más 2x menos 1 por la derivada que es 2x más 2. 00:17:21
Sigamos. Ahora tendríamos aquí el producto de dos funciones, f y g. 00:17:32
Recordamos, lo último que haríamos, que es multiplicar, después de haber calculado todo lo que está dentro del seno del logaritmo, es lo primero que derivamos. 00:17:40
Entonces hacemos f y g, cuyo derivada es f' por g más f por g'. 00:17:48
Y ahora pues nada, ya que nos piden f', tendríamos que derivar esto. 00:18:00
y vemos que es de la forma seno de f 00:18:08
y que la derivada de esto es seno de f por eje prima 00:18:11
perdón, coseno de f por eje prima 00:18:18
pues lo ponemos 00:18:24
coseno de 7x cuadrado más 2 00:18:25
por su derivada que es 14x 00:18:30
ahora multiplicamos por g 00:18:32
que es esta función 00:18:35
logaritmo neperiano de elevado a x 00:18:37
menos 7. Ahora ponemos la función f 00:18:42
que es seno de 00:18:48
7x cuadrado más 2 y multiplicamos 00:18:52
por g prima, donde g prima 00:18:57
es la derivada de esta función. Vemos que 00:18:59
transforma logaritmo neperiano de una función f 00:19:05
De modo que f' sería de la forma f' partido por f. 00:19:09
Pues nada, ponemos ese f' partido por f. 00:19:16
¿Cuál es f'? Pues elevado a x. 00:19:19
¿Cuál es f? Elevado a x menos 7. 00:19:22
Y ya habíamos hecho la derivada. 00:19:26
Otra combinación de las reglas de derivación es el producto de tres funciones. 00:19:28
Por ejemplo, x elevado a 5, elevado a x, seno de x. 00:19:33
derivada. Hay dos formas de hacer esto. Una de ellas sería considerar esto como producto 00:19:40
de dos funciones, por ejemplo, f y g, donde f, a su vez, es un producto de dos funciones, 00:19:49
f y g, y aplicar así las reglas de derivación. En primer lugar, ponemos f' por g más f 00:19:57
por g'. Y a su vez, cuando vayamos a derivar f', vamos a ver un producto que habrá que 00:20:09
derivar, poniendo f' por g más f por g'. Pues hacemos eso. Cogemos f', que sería 5x4, 00:20:19
por g, que es e elevado a x, más f, x5, por g', que es e elevado a x, y ponemos un paréntesis, 00:20:32
porque se sumando y vamos a multiplicarlo ahora mismo, por g, que es seno de x. Ponemos la suma, 00:20:46
ahora f, mayúscula, que es x5 e elevado a x, y ahora g', que es la derivada del seno, que es el coseno de x. 00:20:53
y ahí se hace sin ninguna dificultad 00:21:02
luego se puede quitar el paréntesis, etc. 00:21:06
que quedaría 5x4 elevado a x seno de x 00:21:09
más x5 elevado a x seno de x 00:21:14
más x5 elevado a x coseno de x 00:21:18
la otra forma sería utilizar una regla de derivación 00:21:21
lo que pasa es que ya es algo más de memoria 00:21:26
que hay que utilizar 00:21:29
y es que si tenemos tres funciones 00:21:30
pues tenemos F'GH más FG'H más FGH'. 00:21:33
Siempre hay una que está derivando. 00:21:40
Incluso con cuatro sale lo mismo. 00:21:43
FGHI' sería FGHI con la prima aquí, más FG'HI, más FGH'I, más FGHI'. 00:21:47
entonces de esta forma pues 00:22:01
obtendríamos exactamente 00:22:06
esto último 00:22:09
f'gh 00:22:11
pues f' 00:22:13
por g por h 00:22:14
más f, g' que es esta 00:22:17
por h 00:22:19
más f por g 00:22:20
por h' 00:22:23
y así lo tendríamos 00:22:24
porque es que de hecho esto no es más 00:22:26
que hacer 00:22:30
f' por g 00:22:31
más f por g' 00:22:34
prima por h más fg h prima. Entonces estamos convirtiendo esto en f y esto en g, haciéndolo 00:22:36
de antes. Bueno, pues hacemos otro ejemplo. Bueno, hacéis vosotros otro ejemplo, bien 00:22:52
utilizando esto o bien utilizando esto de aquí y corregimos. El ejemplo que os propongo 00:22:59
sería logaritmo de apelano de x 00:23:08
por el seno de x 00:23:11
5 por ejemplo 00:23:16
por elevado a x 00:23:19
derivada 00:23:23
bueno, corrijo 00:23:24
voy a utilizar ahora esta fórmula 00:23:29
5 logaritmo de x 00:23:32
pues sería 5 por 1 partido por x 00:23:34
por 00:23:36
o sea, cogeríamos 00:23:38
fgh 00:23:39
prima por g por h más f por g por y por h más f por g h prima. Pues nada, sería esto. 00:23:42
Ahora cogeríamos la g que es seno de x y la h elevado a x más la f que es 5 logaritmo 00:23:55
de x, por la derivada de g, que es el coseno de x, por h, que es elevado a x, más la f, 00:24:04
que es 5 logaritmo de x, por el seno de x, por h' que es la derivada de x, que es elevado 00:24:13
a x. Y ya está. Bueno, pasemos a otra cosa. Otra combinación de reglas de derivación 00:24:21
podría ser cociente y composición de funciones. Vamos a hacerlo de dos maneras distintas, no vamos a extendernos demasiado 00:24:29
porque ya lo hemos hecho con el producto y la composición. Tenemos, por ejemplo, un cociente de dos composiciones, por ejemplo, 00:24:36
pues elevado a x cuadrado menos 6 entre, pues un polinomio normal, yo que sé, x5, x5 pues más el logaritmo de Periano de x cuadrado menos 3x, por ejemplo, derivada. 00:24:45
Y aquí, pues, por ejemplo, elevado a x cuadrado más 3x entre x5 más 2, derivada. 00:25:05
Bueno, pues en el primer caso, si tenemos que hacer cálculos, primero haríamos esto, luego esto y luego último el cociente, ¿no? 00:25:25
Pues hacemos al revés 00:25:33
Hacemos pues primero 00:25:35
O sea, quiero decir 00:25:40
Si lo último queremos es el cociente 00:25:42
Empecemos derivando con el cociente 00:25:44
Tenemos f entre g 00:25:46
Y esto sería f' por g 00:25:48
Menos f por g' 00:25:50
Entre g cuadrado 00:25:52
Empezamos con el denominador 00:25:56
x5 más logaritmo de piano de x 00:26:01
Cuadrado menos 3x 00:26:05
todo ello al cuadrado 00:26:07
y ahora llegamos con el numerador 00:26:09
f' vemos que el numerador 00:26:11
es una función 00:26:14
de la forma e elevado a f 00:26:15
cuya derivada es 00:26:17
e elevado a f por f' 00:26:20
pues lo ponemos 00:26:21
tenemos e elevado a 00:26:23
x cuadrado menos 6 00:26:26
por su derivada que es 2x 00:26:28
aquí no hace falta poner paréntesis 00:26:30
y ahora multiplicamos por g 00:26:33
que es el terminador, con un paréntesis, x5 más logaritmo de periano de x cuadrado menos 3x, cierro paréntesis, cierro paréntesis, el signo menos, ahora la función f, elevado a x cuadrado menos 6, y ahora g', que g' es un poco más complicado, abrimos un paréntesis, empezamos derivando esta parte de g', que es 5x4, 00:26:36
Y ahora observamos que aquí tenemos el logaritmo de perinodo de una función cuya derivada era f' partido por f. 00:27:03
Pues hacemos eso. Ponemos esta fracción y en el denominador la derivada que sería 2x menos 3 y en el denominador x cuadrado menos 3x. 00:27:15
Y cerramos paréntesis y ya está hecho. 00:27:30
Cojamos la siguiente, igual que antes, pues nosotros primero calcularíamos esto y después haríamos e elevado a eso 00:27:32
Pues nada, vamos a hacerlo 00:27:39
Con lo cual, con lo primero que diríamos es con la función e elevado a eso 00:27:43
Entonces tenemos una función de la forma e elevado a f, cuya derivada es e elevado a f por f' 00:27:49
prima. Empezamos con elevado a f, que sería elevado a x cuadrado más 3x entre x5 más 2. 00:27:57
Ahora pongo, bueno, no hace falta un paréntesis, perdón. Ahora ponemos la derivada de f prima 00:28:13
mayúscula, que es un cociente. Ya conocemos cómo son las derivadas. Sería un f prima por g menos f 00:28:19
por g' entre g cuadrado. Ponemos ya la fracción del cociente. Podemos poner el g cuadrado 00:28:31
de abajo ya, x5 más 2 todo y el cuadrado. Y ahora vamos con el numerador. f' que es 00:28:39
esto? Pues 2x más 3 por g, x5 más 2, menos f, x cuadrado más 3x, por g prima, 5x4, y 00:28:47
ya está. La única simplificación que se podría hacer aquí sería desarrollar algebricamente 00:29:04
esto, pero como hemos dicho no vamos a hacer ahora simplificaciones. Bueno, pues os propongo 00:29:11
un par de ejercicios. Por ejemplo, primero algo como éste y luego otro como el otro. 00:29:16
Pues el seno de elevado a x más 4 entre x cuadrado menos 3x más 1, derivada de 00:29:23
todo ello y abajo pues el seno de x cuadrado menos 7 entre pues el coseno de x cubo más 00:29:43
elevado a x menos x5 más 2. Deriva de todo esto. Paráis la grabación, la realizáis 00:30:04
Y corregimos. En el primer caso tenemos el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'. 00:30:14
Pues lo ponemos. Coseno de elevado a x más 4 entre x cuadrado menos 3x más 1. 00:30:25
Ahora ponemos f' y observamos que es el cociente de dos funciones, f y g. 00:30:36
con lo cual sería una fracción, cuyo numerador tendría f' por g menos f por g' y cuyo denominador tendría g cuadrado. 00:30:43
Empezamos por el denominador, que es más sencillo, sería x cuadrado menos 3x más 1, todo ello al cuadrado. 00:30:57
Y ahora vamos al numerador. Tendríamos f' elevado a x por g por x al cuadrado menos 3x más 1 menos f elevado a x más 4 por g' la derivada de esto que es 2x menos 3. 00:31:03
Y ya está. Vamos con la siguiente. Aquí tenemos un cociente de dos funciones cuya derivada es una fracción de estructura f' por g menos f por g' entre g al cuadrado. 00:31:23
Empezamos con el denominador, que sería el coseno de x al cubo más elevado a x menos x a la 5 menos 2, todo ello al cuadrado. 00:31:42
Y ahora ya ponemos el numerador. f'. f' es el seno de la función y como la derivada de seno de f es el coseno de f por f', lo ponemos. Ponemos el coseno de x al cuadrado menos 7 por la derivada de lo de dentro que es 2x. 00:31:55
Ahora multiplicamos por g, que como tiene unas sumas y restas, hay que ponerlo en un paréntesis. 00:32:20
Coseno de x al cubo más elevado a x menos x a la 5 más 2. 00:32:26
Ponemos el menos que está aquí. 00:32:32
Ahora multiplicamos por f, después lo ponemos f, que se multiplica a g'. 00:32:36
Ahora vamos al denominador, que tiene dos partes. 00:32:46
un primer término, que es de la forma coseno de f, cuya derivada es menos seno de f por f'. 00:32:51
Como hay un menos, ponemos un paréntesis, menos seno de x al cubo más elevado a x, 00:32:59
por la derivada de lo dentro, que tiene otro paréntesis, que es 3x cuadrado más elevado a x. 00:33:08
y podemos seguir 00:33:14
vamos a ver con la derivada de esto que es 00:33:22
menos 5x4 y cerramos paréntesis 00:33:28
habría que poner un paréntesis igualmente 00:33:32
no solo por esta suma que tenemos aquí, por esta resta 00:33:35
y ya hemos terminado 00:33:41
vamos a combinar ahora varias veces la regla de la cadena 00:33:43
Por ejemplo, si tenemos elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periano de x derivada. 00:33:48
O por ejemplo, el seno de elevado a x menos el logaritmo de periano de x al cubo más 3 derivada. 00:34:06
O por ejemplo, pues elevado a x menos el coseno de x al cubo, todo ello elevado a 4, derivada. 00:34:21
Bien, pues ya hemos con cada una de ellas. 00:34:35
Esta es una función de la forma elevado a f, cuyo derivada es elevado a f por f'. 00:34:38
Es decir, elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periodo de x. 00:34:44
Ahora bien, f es esta función y f es de la forma coseno de otra función f minúscula, con lo cual al poner f' tendremos que poner menos seno de f por f', 00:34:56
que sería, abriendo paréntesis, menos seno de x cuadrado logaritmo de pi uno de x, perdón, menos logaritmo de pi uno de x, 00:35:10
por la derivada de lo de dentro, que sería el f' 2x menos 1 partido por x. 00:35:22
Y ya hemos terminado. 00:35:30
En la siguiente, pues se genera la función de la forma seno de f, cuya derivada es coseno de f por f', donde esta es la función f. 00:35:31
Lo ponemos, esto es el coseno de e elevado a x menos logaritmo neperiano de x al cubo más 3, cerramos los paréntesis. 00:35:46
Ahora, a la hora de poner la f', sería esta función más larga, empezamos derivándola, la derivada de elevado a x es elevado a x, menos, y ahora tenemos el logaritmo neperiano de una función, cuya derivada es f' partido por f, es decir, 3x entre x³ más 3. 00:35:57
Aquí tenemos una función de la forma f elevada a 4, cuya derivada sería 4f al cubo. 00:36:29
Pues lo ponemos. 00:36:42
Tenemos 4 veces, por f' perdón, 4 veces elevado a x menos coseno de x al cubo, todo ello elevado al cubo. 00:36:46
Ahora ponemos la f' empezamos con la derivada por aquí elevado a x menos y ahora tenemos el coseno de una función cuya derivada es el seno de f menos seno de f por f' sería menos el seno de x al cubo por 3x cuadrado. 00:37:01
Cerramos paréntesis, que hemos cerrado este paréntesis, pues cerramos más paréntesis. 00:37:27
Hay alguna cosa que nos podríamos haber ahorrado, como este signo menos doble, con más práctica, pero podemos hacerlo así ahora. 00:37:35
Bien, vamos a hacer unos ejemplos después. 00:37:44
Os pongo como ejercicio las siguientes derivadas. 00:37:49
el seno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado derivada. 00:37:52
Otra sería el seno al cuadrado de x al cubo menos elevado a x al cuadrado. 00:38:09
Bueno, esa es un poco complicada además, vamos a quitar esto por ahora. 00:38:27
y ahora sí que ponemos un último 00:38:30
un poco más complicado incluyendo eso 00:38:34
por ejemplo 00:38:36
pues 00:38:37
elevado a x 00:38:40
más 00:38:44
el coseno de 00:38:45
elevado a x 00:38:53
al cubo 00:38:56
todo ello elevado a 5 00:38:58
derivada 00:39:00
esta es más complicada que las demás 00:39:03
pues paráis la grabación 00:39:04
y lo realizáis 00:39:06
y luego corregimos 00:39:10
Corregimos, tenemos aquí el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f' 00:39:12
¿Dónde f es todo esto? Pues lo ponemos. Esto es el coseno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado 00:39:21
por la derivada de f. Ahora bien, empezamos a derivar f, f sería todo esto, empieza con 00:39:34
la derivada de x al cubo, que es, ahora paréntesis, porque hay una resta 3x cuadrado menos, y 00:39:45
ahora tenemos el coseno de la función, coseno de f, cuya derivada es el seno de f por f 00:39:54
prima, que sería, perdón, menos el seno, que quiere poner, menos el seno de x cuadrado 00:40:10
por la derivada, que es 2x. Aquí lo natural habría sido ya, cuando vamos a poner el menos, 00:40:26
si no debemos poner menos por menos más y ahorrarse, pues, un signo, ¿no? Sigamos. 00:40:33
aquí tenemos una función de la forma seno de f pero está al cuadrado 00:40:41
entonces la última función realmente es el cuadrado 00:40:49
con lo cual lo que tenemos es una función al cuadrado 00:40:53
cuya derivada es 2f por f' 00:40:58
pues lo ponemos 00:41:04
Sería dos veces el seno de x al cubo menos e elevado a x 00:41:05
¿Y cuál es f prima? 00:41:15
Pues la derivada de este seno quitando el cuadrado 00:41:18
Tenemos seno de una función cuya derivada es coseno de f por f prima 00:41:27
Pues pongamos ese coseno 00:41:36
Sería el coseno de x al cubo menos elevado a x, y luego la derivada de lo de dentro es 3x cuadrado menos elevado a x. 00:41:38
Y ya hemos terminado. 00:41:51
Vayamos con lo más compleja. 00:41:53
Primero tenemos una función elevada a 5, cuya derivada es 5f elevado a 4, por f' pues lo ponemos. 00:41:57
Tenemos, pues, 5 por e elevado a x más el coseno de e elevado a x al cubo, todo ello elevado a 4. 00:42:10
Ahora ponemos esta derivada, que sería e elevado a x más, y ahora de derivar esta parte de la función, 00:42:30
vemos que de la forma coseno de f cuya derivada es menos seno de f por f' 00:42:42
con lo cual ponemos menos el seno de elevado a x al cubo 00:42:49
y ahora hay que poner f' pero observamos que f es de la forma elevado a una 00:42:59
función vamos a poner otra vez la mayúscula por ejemplo cuya derivada es 00:43:06
elevado a f por f' 00:43:10
con lo cual 00:43:12
tenemos que poner 00:43:14
elevado a f 00:43:16
que es elevado a x al cubo 00:43:18
por f' que es 3x al cuadrado 00:43:20
y ahora ya cerramos 00:43:22
los dos paréntesis 00:43:26
este y el otro 00:43:30
y ya hemos terminado 00:43:31
hay un caso particular de derivada 00:43:37
que tiene un método distinto 00:43:40
que es la de f elevado a g 00:43:42
una opción 00:43:43
es, sin aprenderse ya fórmulas nuevas 00:43:48
hacer lo siguiente. Si yo tengo la función, por ejemplo, coseno de x, todo ello elevado a x al cuadrado más 3, 00:43:51
entonces, y calculo su derivada, entonces el coseno de x es lo mismo que e elevado al logaritmo de periano del coseno de x. 00:44:02
Y todo ello lo leamos a x cuadrado más 3. Esto es igual a e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3, derivada. 00:44:12
Y ahora aquí ya podemos utilizar las reglas de la derivación que conocemos. Esto es de la forma e elevado a f, cuya derivada es e elevado a f por f prima. 00:44:38
Entonces serían e elevado a logaritmo de periódico del coseno de x por x cuadrado más 3 00:44:48
A la hora de hacer la f' observamos que eso es un producto de funciones 00:44:59
f y g cuya derivada es f' por g más f por g' 00:45:04
A su vez, f', esta f, es de la forma logaritmo periano de una función cuya derivada es f' partido por f. 00:45:16
Pues lo ponemos. Ponemos f', que sería menos seno de x, entre f que es coseno de x. 00:45:29
Ahora multiplicamos por g y sumamos f multiplicando por g'. 00:45:39
por último ponemos los paréntesis 00:45:51
y ya está 00:45:54
ahora bien, hay otra forma de resolver esto 00:46:00
y es saber que esta 00:46:03
función requiere 00:46:05
tiene un método propio 00:46:09
que es saber que es de la forma 00:46:12
que esta derivada es 00:46:15
g por f elevado a g menos 1 00:46:23
por f' 00:46:27
más el logaritmo negativo de f por f elevado a g por g'. 00:46:29
Ahora bien, esta fórmula no pido que os la aprendáis, ni siquiera la he pedido en los ejercicios. 00:46:39
Yo nunca he hecho un ejercicio con la fórmula, nunca. 00:46:49
O sea que ni siquiera en los problemas, menos en la teoría. 00:46:54
y de hecho ese truco es perfectamente válido y pues nada, aparece en otro tipo de ejercicios de la materia 00:46:57
el truco de convertir esto en esto, por ejemplo en los límites del hospital. 00:47:06
Bueno, calculemos la derivada de esta función teniendo en cuenta que esta es la función f y esta es la función g. 00:47:15
Empezamos con la primera parte de la derivada 00:47:22
Sería g, que es x cuadrado más 3 00:47:27
Por f, coseno de x 00:47:31
Y luego g menos 1 00:47:34
Bueno, pues, si g es x cuadrado más 3 00:47:36
g menos 1 es x cuadrado más 2 00:47:40
Por f prima, que es menos seno de x 00:47:44
más 00:47:49
ahora vamos con la segunda parte de la función 00:47:51
logaritmo neperiano de f 00:47:54
pues el logaritmo neperiano del coseno de x 00:47:56
por f elevado a g 00:47:59
pues el coseno de x 00:48:01
elevado a x cuadrado 00:48:02
más 3 00:48:05
por g prima 00:48:07
pues por 2x y ya hemos terminado 00:48:08
bueno, es un poco más elegante 00:48:10
esta función 00:48:13
que esta, todo hay que decirlo 00:48:14
Una observación es que si cogemos la derivada de arriba, y es la suma de dos funciones, 00:48:16
a la primera función se le llama parte potencial y a la segunda parte exponencial. 00:48:26
Este nombre viene de la siguiente observación. 00:48:36
Si cogemos la función potencial f elevado a n y derivamos, nos queda n por f elevado a n menos 1 por f'. 00:48:39
Y podemos observar que es la misma función que esta, pero cambiando la n por la g. 00:48:49
Por otra parte, si cogemos la función exponencial a elevado a g, cogemos la g porque es el exponente de la otra, 00:48:58
Y derivamos, pues tenemos el logaritmo de Periano de a por a elevado a g por g'. 00:49:06
Y es fácil comprobar que tenemos la misma función, solo que cambiando la a por la f. 00:49:16
Y ahí el nombre. De hecho, ese es el truco para grandezas de fórmulas. 00:49:23
Bueno, tiene su sentido, porque si consideráis que g es constante, 00:49:28
entonces g' es igual a 0, esto desaparece y tenemos una potencial 00:49:32
y si consideráis que f es constante entonces f' es 0 y tenemos una exponencial 00:49:37
una observación rápida, hemos dicho que cuando cogemos en cálculo una función 00:49:43
donde y puede tomar todos los valores reales, la x tiene que ser positiva 00:49:52
bueno, pues eso quiere decir que estamos considerando esta función exponencial 00:49:57
en los valores donde el coseno de x es positivo 00:50:04
De hecho, fijaos que cogemos el logaritmo de coseno, que también solo está definido si el coseno es positivo. 00:50:06
Bien, sigamos. Ahora propongo un ejercicio. Vamos a hacer, por ejemplo, el ejercicio x al cubo más x, todo y elevado al seno de x derivada. 00:50:13
Paráis la grabación, lo realizáis, y ahora lo corregiremos, borramos métodos. 00:50:28
Bien, corregimos con el primer método, pues observamos, lo voy a hacer con todos los pasos, ¿vale? 00:50:37
pero lo suelo pasar directamente de aquí a aquí, que esto es elevado al logaritmo de 00:50:45
periano de x cubo más x, todo ello elevado al seno de x, y esto es igual, que es a lo 00:50:58
que uno tiene que acostumbrarse, al logaritmo de periano de x cubo más x por el seno de 00:51:04
x. Y ahora pues nada, habría que derivar y derivar. Entonces tenemos e elevado a una 00:51:11
función cuya derivada es e elevado a f por f' que ponemos e elevado al logaritmo de 00:51:20
periano de x cubo más x por seno de x. Ahora, por f' pues f' sería un producto de dos 00:51:28
funciones f y g. Por lo tanto, su derivada es f' por g más f por g'. A su vez, observamos 00:51:43
que f, que es esta, es de la forma logaritmo de periodo de una función cuya derivada es 00:51:54
f' partido por f. Pues lo ponemos. Ponemos f' que es 3x más 1 partido por f que es x 00:52:02
al cubo más x. Ponemos un paréntesis porque vamos a tener luego una suma. Multiplicamos 00:52:17
por g, que es el seno de x, sumamos f, que es el logaritmo de periano de x al cubo, más 00:52:24
x, y multiplicamos por la derivada de g, que es el coseno de x. Por último cerramos el 00:52:33
paréntesis. Vamos con la segunda forma de hacerlo. Esta es la función f, esta es la 00:52:39
función g y empezamos a aplicar esta fórmula. g pues sería el seno de x por f elevado a 00:52:50
g menos 1 pues al seno de x menos 1 por la derivada de f que sería 3x cuadrado más 00:53:08
1. Ahora sumamos logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano de x al cubo 00:53:20
más x. Por f elevado a g, pues por x al cubo más x, todo y elevado al seno de x. Por la 00:53:27
derivada de g, pues por coseno de x. Y tenemos dos fórmulas en apariencia distintas, pero 00:53:38
si se calcula y se simplifica y se quitan estas cosas 00:53:45
se puede ver que acaba siendo igual que 00:53:49
esta de aquí abajo. Realicemos ahora otra combinación de reglas de derivación 00:53:52
por ejemplo productos y cocientes. Por ejemplo 00:54:01
si tenemos elevado a x, coseno de x 00:54:04
entre x al cubo menos 2x 00:54:07
derivada. Y por ejemplo pues 00:54:12
x7 elevado a x 00:54:16
entre x5 logaritmo de primero de x 00:54:19
menos seno de x 00:54:26
derivada. Bueno, pues esto es 00:54:29
vamos a realizar la derivada de un cociente 00:54:37
si tiramos los cálculos, ¿qué haríamos? Pues primero multiplicaríamos 00:54:43
elevado a x por coseno de x, después 00:54:47
Entonces haríamos esta resta, tx cubo menos esto, y por último dividiríamos. 00:54:50
Entonces recordamos que lo último que tú haces cuando calculas es con lo primero que derivas, con lo cual vamos a empezar con ese cociente. 00:54:56
Entonces el numerador es la función f, el denominador es la función g, y la derivada es f' por g menos f por g' en el numerador y g cuadrado en el denominador. 00:55:04
Dibujamos la raíz de la fracción y podemos empezar con el denominador que es más sencillo. 00:55:21
Podemos poner aquí x cubo menos 2x todo ello al cuadrado. 00:55:26
Ahora empezamos con el numerador y observamos que aquí hay un producto de funciones f y g. 00:55:31
Cuando haya que derivar f' pues tendríamos f' por g más f por g' 00:55:41
que sería f' que es elevado a x, g coseno de x, más f que es elevado a x, por g' que es menos seno de x. 00:55:47
Ahora ponemos un paréntesis, porque vamos a multiplicar por g, que es x cubo menos 2x. 00:56:03
Ponemos la resta, ponemos la función f tal como la tenemos, elevado a x coseno de x, 00:56:11
Y ahora multiplicamos por g', que es 3x al cuadrado menos 2. 00:56:16
Y esa parte ya está. 00:56:25
Igualmente aquí tenemos un cociente de funciones, f y g, cuya derivada es f' por g menos f por g', y g al cuadrado en el denominador. 00:56:27
Podemos empezar con el denominador. 00:56:44
x5 logaritmo de p no de x 00:56:45
menos seno de x 00:56:49
todo y al cuadrado 00:56:51
bien 00:56:52
ahora en el numerador pues ponemos 00:56:53
el f' por g 00:56:56
etcétera 00:57:02
entonces os hagamos que aquí tenemos 00:57:03
en el numerador un producto 00:57:06
de dos funciones 00:57:08
esta es la f y esta es la g 00:57:09
su derivada sería 00:57:11
f' por g más f por g' 00:57:12
que sería 00:57:16
7x6 elevado a x 00:57:19
más x7 elevado a x 00:57:22
ahora pues 00:57:24
tenemos la g 00:57:28
que sería todo el denominador 00:57:30
x5 logaritmo de primero de x 00:57:33
menos seno de x 00:57:35
ahora estamos f 00:57:36
que es x7 elevado a x 00:57:39
y nos queda g' 00:57:42
y aquí miramos 00:57:43
como exactamente el denominador 00:57:44
de cara a la derivación 00:57:47
Tenemos una resta de las funciones, se deriva cada una y luego se resta, y aquí tenemos un producto que podemos poner como f por g. 00:57:48
Entonces empezamos con ese producto, f' por g más f por g'. 00:57:57
Podemos poner un paréntesis porque hay varias sumas. 00:58:02
Empezamos con la primera. 00:58:07
Tenemos f' pues 5x4 por g, logaritmo de p' de x. 00:58:10
Más f, x5, por g, 1 partido por x. 00:58:18
Y ahora pues tenemos lo que nos queda, que es menos la derivada de seno de x, que es menos coseno de x. 00:58:24
Y ya estaría, bueno, eso se puede simplificar de varias maneras y tal. 00:58:34
Por ejemplo, esta misma expresión vale x4, pero ahora estamos practicando ya de forma continua ya hacer derivadas complejas. 00:58:39
me voy a olvidar por hablar de la simplificación 00:58:48
salvo que haya que hacer algún comentario especial 00:58:52
bueno, pues os pongo dos ejemplos 00:58:56
por ejemplo, pues 00:58:59
x9 coseno de x 00:59:01
entre 00:59:05
elevado a x 00:59:06
menos x más 3 00:59:09
derivada 00:59:13
y otra pues 00:59:14
x5 seno de x 00:59:17
menos coseno de x 00:59:21
entre x cuadrado logaritmo 00:59:24
de x más raíz de x 00:59:31
para ir a la grabación y después corregimos 00:59:35
empezamos la corrección, nuevamente tenemos aquí un numerador f 00:59:43
aquí un denominador g y tenemos 00:59:50
f' por g menos f por g' y en el denominador un g cuadrado. Pues nada, empezamos. La g' 00:59:54
en mayúscula a su vez es un producto de dos funciones, f y g, por lo tanto su derivada 01:00:09
es f' por g más f por g' que sería 9x8 por el coseno de x más x9 por menos seno de x 01:00:18
y cerramos la paréntesis. Ahora multiplicamos por g que es elevado a x menos x más 3 y 01:00:39
ponemos el signo menos. Nos queda multiplicar por f, que es x9 coseno de x. Y ahora calcular 01:00:48
g', abrimos paréntesis para ello porque hay una suma dentro, que es una resta dentro, 01:00:56
que sería elevado a x menos 1 y el 3 que desaparece. Nos queda el denominador, que 01:01:02
también podemos haber hecho al principio, que sería elevado a x menos x más 3, todo 01:01:08
yo al cuadrado. Hacemos la siguiente. El numerador es la función g mayúscula, el denominador 01:01:14
es la función g mayúscula. Igual que antes tenemos f' por g menos f por g' y un g cuadrado 01:01:21
en el denominador. Podemos empezar con el denominador que sería x cuadrado logaritmo 01:01:30
de piano de x más raíz de x todo yo al cuadrado. Y nada, pues hacemos lo de siempre. Cogemos 01:01:38
numerador, que es todo esto, a la hora de derivar, observamos aquí un producto, f y g, y para ese 01:01:49
producto inicial, pues tendríamos f' por g más f por g', que sería f' minúscula, pues 5x4 por g 01:01:56
seno de x más fx5, g' coseno de x, y ahora ya continuamos con el numerador que hemos dejado a 01:02:10
Y habría que restar aquí la derivada de coseno de x, que sería menos menos seno de x. 01:02:21
Si tenéis práctica, lo normal es que pongáis directamente un más aquí. 01:02:29
Ponemos un paréntesis, porque vamos a multiplicar por g mayúsculo, ya que acabamos de determinar esto, 01:02:36
que sería x cuadrado logaritmo de peñano de x más raíz de x. 01:02:43
Y ahora pues ponemos el signo menos, otra vez el numerador f mayúscula que sería x5 seno de x menos coseno de x y ahora calculamos g' que igual que antes empieza con un producto de dos funciones f y g. 01:02:48
Pues por ese producto ponemos f' por g más f por g'. 01:03:12
Bueno, yo pongo esas cosas y vosotros no tenéis por qué, salvo que sea imprescindible. 01:03:18
Bien, para vosotros quiero decir. 01:03:26
Seguimos. 01:03:30
f' pues es 2x por g logaritmo independiente de x 01:03:30
más f que es x cuadrado por g' que es 1 partido por x 01:03:36
cerramos paréntesis 01:03:44
bueno, perdón, seguimos 01:03:45
y terminamos esta derivada 01:03:48
que sería más 1 entre 2 raíz de x 01:03:51
y terminamos 01:03:56
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
4
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Tutorial Derivadas - Ciencias - parte 2B
Duración:
1h′ 04′
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1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
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