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Ejercicio de aplicación Producto Escalar: Triángulo definido por 3 puntos - Contenido educativo

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Subido el 11 de marzo de 2025 por Carolina F.

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Bueno, pues no se trata de ponernos a hacer los ejes y dibujar los puntos y ver si hay rectángulo o no y medir con una regla ni nada de eso, sino utilizar, como estamos en el capítulo de los vectores, vamos a utilizar lo que llevamos visto. 00:00:01
¿Vale? Entonces, mirad, si este es el punto A y el B le tengo aquí, por ejemplo, la distancia que hay entre A a B, que es uno de los lados del triángulo, que es lo que me preguntan, es el vector que yo he utilizado cuando estaba en A para moverme hasta B. 00:00:17
Entonces, yo puedo decir que el vector AB 00:00:50
Imaginaos que al principio estaba en A 00:00:57
Y según un vector me he desplazado hasta B 00:01:01
Ese vector vale 3 de X y 0 de Y 00:01:04
Es decir, hago la primera coordenada de B 00:01:12
Menos la primera coordenada de A 00:01:17
4 menos 1 me da 3 00:01:19
y luego la segunda 00:01:21
coordenada de B menos la primera 00:01:24
coordenada de A 00:01:26
2 menos 2, 0 00:01:27
o sea, cuando empezamos la clase 00:01:29
lo decíamos al revés, decíamos 00:01:32
si yo tengo el punto P 00:01:33
en este caso A 00:01:36
1, 2 y utilizo 00:01:37
el vector 00:01:40
en este caso 3, 0 00:01:41
para moverlo, para desplazarlo 00:01:43
¿a dónde llego? 00:01:46
Pues llego a otro punto que será 3 más 1, 4. 0 más 2, 2. ¿Vale? Llego a este punto. Bueno, pues ahora estamos haciendo la inversa. O sea, dado dos puntos, yo lo que estoy calculando es el vector que los une. 00:01:48
entonces el vector que los une 00:02:03
el AB es 00:02:07
uno de los lados del triángulo 00:02:09
que estoy buscando 00:02:11
¿sí? 00:02:12
pero voy a dibujar el otro punto también 00:02:16
como veis no estoy teniendo nada de cuidado 00:02:18
con la geometría 00:02:21
el otro, el C 00:02:22
lo voy a poner aquí, aunque no sé dónde está 00:02:24
el C55 00:02:27
o sea, quiero decir que esto 00:02:29
no coincide con la realidad si dibujo los ejes bien hechos, pero para ver las operaciones 00:02:35
que hay que hacer me sirve. Entonces, este vector, el AC, es lo que me he desplazado 00:02:41
desde cuando estaba en A para llegar hasta C. Entonces, sus coordenadas van a ser 5 menos 00:02:51
menos 1, 4. 5 menos 2, 3. ¿Vale? Y me falta el BC. Me puedo ir, por ejemplo, de B a C 00:02:57
y entonces decir que el vector BC es 5 menos 4, 1. Y 5 menos 2, 3. ¿Vale? Entonces ya 00:03:10
puedo saber si calculo el módulo de los vectores, puedo saber lo que valen los lados, porque 00:03:27
el módulo es, pues eso, si cojo una regla y lo mido, cuánto mide la flecha, de principio 00:03:36
a fin. Entonces, el módulo de AB es a raíz cuadrada de 3 al cuadrado más 0 al cuadrado, 00:03:42
O sea, la raíz cuadrada de 9, o sea, 3 00:03:56
El módulo de AC 00:04:00
O sea, con esto yo calculo que la distancia entre A y B es 3 00:04:04
El módulo de AC es la raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado 00:04:12
La raíz cuadrada de 16 más 9 00:04:24
que es la raíz cuadrada de 25 00:04:29
que es 5 00:04:34
y el módulo 00:04:36
de BC 00:04:44
este lado es 5 00:04:45
me falta 00:04:50
el BC 00:04:51
este es la raíz cuadrada 00:04:52
de 1 al cuadrado más 3 al cuadrado 00:04:56
que es raíz cuadrada 00:04:58
de 1 más 9 00:05:00
o raíz de 10 00:05:01
es 3 00:05:03
con 16 00:05:07
Bueno, los ángulos. Pues una opción sería utilizar el teorema del coseno de trigonometría, porque es un ejercicio como este que hemos hecho antes. 00:05:10
Pero vamos a aprovechar para utilizar el producto vectorial. El producto vectorial me da el ángulo que forman dos vectores. 00:05:33
Por ejemplo, si hago el producto vectorial AB por, recordad que esto es un puntito, por AC, por un lado es, AB lo tengo aquí, es 3 por 4, 12, más 0 por 3, 0. 00:05:51
Utilizando una de las expresiones me da 12 00:06:17
Y ahora si utilizo la otra expresión es 00:06:24
El módulo de AB 00:06:27
Que ya lo sé, 3 00:06:29
El módulo de AC 00:06:32
Que ya lo conozco, 5 00:06:34
Por el coseno del ángulo que forman 00:06:36
Voy a poner un nombre aquí 00:06:42
Voy a llamar a ese alfa 00:06:45
Con lo cual, de combinar estas dos expresiones, yo saco 12, que es uno de los resultados de hacer el producto vectorial. 00:06:47
La primera coordenada por la primera coordenada más la segunda coordenada por la segunda coordenada. 00:07:04
Y ahora, la otra expresión del producto vectorial. Módulo del primer vector, módulo del segundo vector, coseno del ángulo que forma. 00:07:10
Pues esto me da 15 por coseno de alfa. Entonces de aquí sé que coseno de alfa es 12 entre 15. 00:07:17
Y calculadora en mano, 0,8 y si hago el arco seno de 0,8, ese ángulo es 36,87 grados. 00:07:29
Así se haría con los tres ángulos. Vamos a hacerlo con otro ángulo para practicar y el tercer ángulo lo sacaríamos de restar 180 menos los otros dos. 00:08:08
En este caso vamos a hacer AC por BC, que son los dos que tengo aquí a mano 00:08:25
Por un lado, coordenadas de AC y de BC, 4 por 1, 4 00:08:36
Más 3 por 3, 9 00:08:46
Y por otro lado, pues módulo de AC, 5 00:08:50
Módulo de BC, 3 con 16 00:09:05
por el coseno del ángulo que forman, que vamos a llamarlo con otra letra viva, beta. 00:09:09
Entonces esto es 15,8 por coseno de beta. 00:09:27
Entonces puedo igualar los 13 entre 15,8 es el coseno de beta. 00:09:34
34,6, ¿no? 00:10:00
beta es 34 00:10:03
con 6 00:10:07
bueno pues esto es 00:10:08
muy importante 00:10:17
vamos a quedarnos con este ejercicio 00:10:19
si todo ha ido bien 00:10:20
lo vais a tener grabado 00:10:23
porque puede salir perfectamente 00:10:24
un problema así, nos dan 3 puntos 00:10:27
que forman un triángulo 00:10:29
y nos dicen calcula los lados 00:10:30
pues nos obligan a usar 00:10:32
el producto vectorial 00:10:35
Cosas de las que hay que acordarse 00:10:36
De que la distancia entre dos puntos la puedo calcular como el módulo del vector que los une 00:10:39
La distancia entre A y B 00:10:48
Hemos dicho, pues cuando estaba en A me he desplazado hasta B 00:10:52
Y eso es un vector, el vector de desplazamiento 00:10:56
O sea, es el vector que une A con B 00:10:58
Pues si le calculo el módulo es la distancia. 00:11:01
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Geometría
Niveles educativos:
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Subido por:
Carolina F.
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Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
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Fecha:
11 de marzo de 2025 - 12:57
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
×
Duración:
11′ 15″
Relación de aspecto:
1.71:1
Resolución:
870x508 píxeles
Tamaño:
163.31 MBytes

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