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Ecuaciones trigonométricas (Parte 2) - Contenido educativo

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Subido el 20 de octubre de 2023 por Elias M.

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Buenos días. Ya prácticamente hemos visto toda la teoría del tema, lo que pasa que 00:00:00
quedan algunos detalles y algunas cosas que han salido y van a salir en ejercicios 00:00:05
que seguramente no entendáis del todo o planteen algunas dudas, ¿vale? Y la primera 00:00:10
a la que quería referirme es a qué sucede cuando los ángulos son negativos 00:00:19
o son ángulos mayores de 360 grados. ¿Vale? Sabemos que nosotros utilizamos la circunferencia 00:00:27
boniométrica para medir ángulos. ¿Y cómo se miden? Pues las razones trigonométricas 00:00:39
las tomamos a partir de las coordenadas de los puntos que están sobre la circunferencia, 00:00:49
¿vale? Este sería el ángulo de 0 grados, por aquí más o menos tendríamos el de 30 00:00:54
grados, 45, bueno, todos los que queramos, 31, 32, todos hasta 360 grados, ¿vale? Cuando 00:00:59
alguna vez nos pueda aparecer un ángulo mayor de 360 grados significa que hemos dado la 00:01:06
vuelta a la circunferencia una o más veces, ¿vale? Y las razones trigonométricas se van 00:01:11
a repetir de forma periódica, ¿vale? Eso lo estudiaremos mejor cuando veamos las funciones 00:01:17
trigonométricas. Imaginémonos que por lo que sea nos toca trabajar con un ángulo de 00:01:23
1500 grados. ¿Cómo podríamos calcular sus razones trigonométricas? Pues lo primero 00:01:29
que tendríamos que hacer es ver cuántas veces, cuántas vueltas hemos dado, hemos 00:01:34
tenido que dar a la circunferencia hasta llegar a 1500 grados. Entonces podemos hacer la división 00:01:39
con la calculadora. 1500 entre 360 haría algo más de 4 vueltas, ¿vale? Algo más 00:01:46
de 4 vueltas. Eso quiere decir que 1500 es igual a 360 por 4, es decir, 4 vueltas enteras 00:02:03
¿Y cuánto falta hasta 1500? ¿Cuánto le teníamos que sumar? Pues como 360 por 4 00:02:14
son 1440, ¿cuánto falta de 1440 hasta 1500? Pues 60, ¿vale? 1500 grados es 360 grados 00:02:20
por 4, es decir, 4 vueltas enteras a la circunferencia más 60 grados más. Entonces 1500 grados 00:02:31
quedaría por aquí. Acabaríamos teniendo el puntito aquí, es decir, 4 vueltas, 1, 00:02:40
360, 2, 720, 3, lo que sea, 4, queda 1440 y 60 más y nos pararíamos aquí. Entonces 00:02:48
las razones trigonométricas de 1500 van a ser equivalentes las mismas que el ángulo 00:03:00
de 60 grados. Entonces podemos decir que el seno de 1500 grados es igual que el seno 00:03:08
de 60 grados, es decir, raíz de 2, perdón, raíz de 3 partido de 2. El coseno de 1500 00:03:17
grados será el mismo que el coseno de 60 grados, que es un medio, y la tangente de 00:03:28
1500 grados es igual que la tangente de 60 grados, que es raíz de 3, ¿vale? Y así 00:03:36
con los ángulos que sean mayores de 360 grados. Por un lado esto y por otro los ángulos negativos, 00:03:43
que es parecido. Lo que pasa que los ángulos negativos en vez de ir girando en sentido 00:03:51
contrario a la aguja del reloj, los ángulos negativos es como si giráramos en sentido 00:03:56
contrario, ¿vale? Entonces si por ejemplo no salen, y a veces pasan, a veces vais a 00:04:01
ver que la calculadora os da algún resultado con ángulos negativos, entonces tenéis que 00:04:07
saber darlo en un ángulo que esté comprendido entre 0 y 360 grados. Imaginaos que nos dicen 00:04:12
ángulo de menos 30 grados, por ejemplo. ¿Será equivalente a cuál? Pues menos 30 00:04:18
grados en vez de, si 30 grados es hacia aquí, 30 grados, menos 30 grados es la misma amplitud, 00:04:32
hacia abajo es esto. Esto mide 30, pero al haber ido en sentido contrario decimos que 00:04:40
es menos 30 grados. Yo no quiero que me expreseis los resultados con ángulos negativos y tampoco 00:04:48
con ángulos mayores de 360 grados. Entonces me tenéis que decir que este ángulo equivale 00:04:57
a qué. ¿Cuánto sería esto? Pues si la circunferencia entera es 360 grados y le quitamos 30, este 00:05:02
equivale al ángulo de 330 grados. Y las razones trigonométricas todas serán equivalentes 00:05:09
también al ángulo de 330 grados. Eso por un lado. Eso tiene que quedar claro y hay 00:05:17
muchos ejercicios en los que se os pide que el resultado lo deis como ángulos que estén 00:05:24
comprendidos entre 0 y 360 grados. Entonces cuando en el ejercicio de ayer, en el ejercicio 00:05:30
9 de la hoja de ejercicios resueltos nos pedían que resolviésemos esto, seno de x igual 00:05:39
a menos raíz de 3 partido de 2, ¿vale? ¿Qué ángulo tiene este seno? Entonces vamos 00:05:49
a ver, raíz de 3 partido de 2 es el lado grande. Es esto, raíz de 3 partido de 2. 00:06:02
Y este medio en medio y este 1 en el triángulo ese que hemos manejado tantas veces. Vamos 00:06:16
a buscar qué ángulo tiene seno menos raíz de 3 partido de 2. Es un seno negativo, luego 00:06:23
va hacia abajo. Los senos se miden en las is, son líneas verticales, y va hacia abajo. 00:06:39
El lado grande hacia abajo. Entonces puede ser este. Este sería menos raíz de 3 partido 00:06:47
de 2 y las coordenadas de este serían menos raíz de 3 partido de 2, x, lo que sea, que 00:07:02
no nos interesa ahora porque estamos mirando el seno, menos raíz de 3 partido de 2, ¿vale? 00:07:11
Esto mide 60, esto mide 30. ¿Qué ángulo es este? Pues x, la primera solución sería 00:07:17
270 más 30, que es 300 grados, ¿vale? Esa es la primera solución. Pero esta solución, 00:07:26
que es lo que yo os daba el otro día, 300 grados, es una solución incompleta. La manera 00:07:41
correcta de dar el resultado es 300 grados y todos los que acaben ahí después de dar 00:07:47
las vueltas que sean, ya sea hacia un lado o hacia el otro, ¿vale? Entonces esto se 00:07:55
pondría así. Sería... La respuesta correcta y bien expresada sería 300 grados más k 00:08:01
veces 360, donde k es un número entero. Puede ser un número negativo o positivo, ¿vale? 00:08:14
Pero tienen que ser vueltas enteras. No me valen medias vueltas ni un cuarto de vuelta 00:08:24
ni 0,3 vueltas, ¿vale? Tienen que ser vueltas enteras. Entonces 300 grados más las vueltas 00:08:31
que quieras, o bien hacia este lado o hacia el otro, vueltas positivas o vueltas negativas, 00:08:37
y que acaben aquí. Todos esos ángulos tendrán el mismo seno, ¿vale? Por ejemplo, tendrían 00:08:43
el mismo seno el ángulo de 300 o el ángulo de 660, que es sumarle a 360, o el ángulo 00:08:55
de 1020, que es sumarle dos veces 360, ¿vale? Y también restándole el ángulo de menos 00:09:04
60, etc. ¿Vale? Esa es la primera solución bien dada. Bien dada sería la primera solución 00:09:10
esta. Y la segunda solución, un ángulo que tenga el mismo seno, es decir, que esto sea 00:09:18
igual, pues el que está enfrente aquí, ¿vale? Esto mide 60 también, esto mediría 00:09:24
30, entonces es 180 más 60, x2 es 180 más 60, que es igual a 240 grados, pero esto es 00:09:34
como un... esto no es la solución final. La solución final sería 240 más todas las 00:09:53
veces, todas las vueltas que queramos dar a la circunferencia, con k perteneciente a 00:10:00
z, a los números enteros. La solución sería esto. ¿Vale? Así es como se resolvía bien 00:10:08
resuelto el ejercicio que os mandé ayer, el 9. ¿Vale? Vamos a ver ahora otros ejercicios 00:10:17
que tenéis que saber resolver. Otro ejercicio muy importante y que sale en casi todos los 00:10:23
exámenes es uno de este estilo. Os explico el enunciado. Dice que si alfa pertenece a 00:10:31
2, esto no está muy bien explicado, pero lo que quiere decir cuando veáis esto es 00:10:38
que pertenece al segundo cuadrante, ¿vale? Por el contexto se entiende, pero estaría 00:10:47
mejor que pusieran al segundo cuadrante o que sea un ángulo comprendido entre 90 y 00:10:52
180 grados, es otra manera en que lo veréis a veces, pero si veis algo así hablándose 00:10:59
de ángulo, pues interpretad que se refiere al segundo cuadrante. Y el seno de alfa es 00:11:03
un tercio, averigua sin calcular el ángulo, pues eso, las razones trigonométricas que 00:11:09
faltan y las razones trigonométricas de sumarle al ángulo 180 grados y las razones trigonométricas 00:11:15
de prestarle a 360 grados el ángulo, ¿vale? Es un ejercicio que sale muchísimo y que 00:11:22
es importantísimo, que sepáis hacer a la perfección. Y cuesta un poco, pero para eso 00:11:27
estoy yo, para ayudaros y me preguntáis las dudas que haga falta. Vamos a ver cómo se 00:11:33
empieza a resolver, ¿vale? Tenemos estas pistas. Lo primero es intentar dibujar qué 00:11:38
ángulo es este. Aunque no tenemos que calcularlo, no nos lo permite el enunciado, ¿vale? Pero 00:11:43
podemos hacer un dibujo aproximadamente de por dónde caerá ese ángulo, ¿vale? Entonces 00:11:47
con las pistas que tenemos vamos a intentar hacerlo. 00:11:53
La circunferencia que nos va a ayudar, como siempre. ¿Vale? ¿Y qué sabemos? Sabemos 00:11:57
que el ángulo está en el segundo cuadrante. Los cuadrantes son este. Uno, dos, tres y 00:12:07
cuatro. O sea que el ángulo que buscamos está en este cuadrante, aquí. ¿Vale? Segundo 00:12:13
cuadrante. ¿Vale? Y el seno es un tercio. Un tercio es 0,3 periódico. ¿Vale? El seno 00:12:20
que se mide en el eje de las X o en el eje de las Y. Eso ya os lo tenéis que saber. 00:12:30
El seno se mide en el eje de las Y. ¿Vale? Aquí. Sabemos que el eje de las Y va de cero 00:12:36
hasta uno, porque esta circunferencia tiene de radio uno. ¿Vale? Entonces un tercio, 00:12:44
un tercio, ¿por dónde caerá? Aquí. Si esto es uno, esto es cero, pues un tercio, 00:12:52
pues es partir en tres trozos, un tercio estará por aquí. El seno tiene esta altura. El 00:12:59
seno tiene que ser esto. ¿Qué ángulos en la circunferencia tiene ese seno? Es fácil 00:13:07
de verlo. Los puntos en la circunferencia que estén a esa altura. Y solo hay dos. Este 00:13:13
y este. Si hubiera sido menos un tercio, estarían aquí abajo. Pero nos han dicho un tercio 00:13:22
positivo. ¿Vale? Entonces, estos dos. Por eso es tan importante que nos hayan dicho 00:13:28
que el ángulo con el que nosotros vamos a trabajar está en el segundo cuadrante. O 00:13:37
sea que no es este ángulo, sino que será este de aquí, que voy a dibujar ahora mismo. 00:13:42
Unimos el puntito de la circunferencia con el centro de la circunferencia y ya sabemos 00:13:48
que el ángulo que nosotros buscamos es este. No sabemos cuánto mide y además solo lo 00:13:54
podríamos usar, o sea, si quisiéramos averiguarlo, cosa que está prohibido por el enunciado 00:14:02
y no debéis hacerlo, pero lo podríamos averiguar con la calculadora. Y vamos a hacerlo 00:14:07
para comprobar que efectivamente cae en el segundo cuadrante. Bueno, vais a ver que hay 00:14:12
un problema, pero bueno. Entonces tendríamos que hacer arcoseno. ¿Vale? ¿Qué ángulo 00:14:17
tiene un tercio de seno? Diecinueve grados. Nos dan este de aquí. La calculadora nos 00:14:22
da este. Tenemos que saber nosotros que no es este, sino el otro. Es decir, sería ciento 00:14:32
ochenta menos diecinueve. Ciento ochenta menos diecinueve. Bueno, diecinueve y pico. Aproximadamente 00:14:40
ciento sesenta y un grados. ¿Vale? Pero esto no lo tenemos que hacer. No lo debemos hacer 00:14:49
porque lo dice el enunciado, pero ahora que veáis cómo se haría. Bueno, el caso es 00:14:56
que si no podemos averiguar el ángulo, ¿cómo averiguamos el coseno y la tangente? Pues 00:15:01
con estas fórmulas que son muy importantes y que también os tenéis que saber de memoria. 00:15:06
Seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa es igual a uno y la tangente de alfa 00:15:11
es seno de alfa entre coseno de alfa. ¿Vale? Estas fórmulas se llaman identidades trigonométricas. 00:15:19
Os las tenéis que saber de memoria y sirven para resolver estos ejercicios. ¿Vale? Tenemos 00:15:27
el seno. Para averiguar el coseno podemos usar esta fórmula despejando. Sustituimos 00:15:33
un tercio al cuadrado más coseno al cuadrado de alfa es igual a uno. Un tercio al cuadrado 00:15:39
cuánto da? Un noveno más coseno al cuadrado de alfa es igual a uno. Pasamos el un noveno 00:15:47
al otro lado. Coseno al cuadrado de alfa es uno menos un noveno. Coseno al cuadrado 00:15:54
de alfa, uno menos un noveno es ocho novenos. Y para finalizar, coseno de alfa es la raíz 00:16:00
cuadrada de ocho novenos. Coseno de alfa es por tanto raíz de ocho partido de tres. ¿Vale? 00:16:09
Ya tenemos el coseno. ¿Lo tenemos o no lo tenemos? Tenemos el valor del coseno, pero 00:16:22
si no nos damos cuenta de que estamos hablando de un ángulo que está en el segundo cuadrante 00:16:32
y por tanto el coseno es negativo, porque el coseno se mide en las equis y en este cuadrante 00:16:39
va a ser negativo. Entonces, como alfa pertenece al segundo cuadrante, coseno de alfa es menos 00:16:47
raíz de ocho partido de tres. Ya tenemos el coseno. La tangente ya, teniendo seno y 00:17:05
coseno es muy fácil. Sería tangente de alfa igual a seno de alfa entre coseno de 00:17:11
alfa. Sería, el seno es un tercio partido de menos raíz de ocho partido de tres. Resultado 00:17:18
menos, sería producto de los extremos, uno por tres, lo voy a hacer despacito porque 00:17:28
hay gente que esto todavía... Vale, el tres de arriba se tacha con el de abajo. Menos 00:17:35
uno partido de raíz de ocho. Se podría dejar así, aunque sería más bonito racionalizarlo 00:17:41
pero se podría quedar así. Muy bien. Ya tenemos el apartado A. Esto no es difícil, 00:17:49
lo vais a... con lo que practiquéis un poco os va a salir porque siempre son las mismas 00:17:59
fórmulas. Hay algunas veces que es un poquito más difícil despejar cuando te dan la tangente, 00:18:03
pero la parte interesante, que empieza a ser interesante, es el apartado B. Este sería 00:18:08
apartado A, apartado B. ¿Qué pasa si a ese ángulo, a este, que es alfa, le sumamos 180 00:18:16
grados? Pues lo primero es hacer el dibujo. Si a este le sumamos 180 grados, ¿por dónde quedará 00:18:26
ahora el puntito? 180 grados más esto, 180 grados sabéis que es un ángulo llano. Si 00:18:32
le sumamos un ángulo llano es lo mismo que si alargamos esto. Así. Le hemos sumado a 00:18:40
alfa 180 grados y esto es alfa más... bueno, esto no, sería esto. Todo esto sería alfa 00:18:48
más 180 grados. ¿Vale? Y ahora nos fijamos. ¿Qué es lo bueno? Que todos estos cálculos 00:19:03
nos van a servir para responder a la pregunta. ¿Por qué? Porque este triángulo que tenemos 00:19:12
aquí es el mismo que hay aquí. Fijaos que estos son ángulos opuestos por el vértice, 00:19:17
que son iguales. Esto es un ángulo recto. Entonces este otro ángulo también debe ser 00:19:22
igual. Son exactamente iguales. No solo semejantes, sino iguales. Lo único que está girado. ¿Vale? 00:19:28
Entonces, a ver, ¿cuánto mide el seno? Pues el seno es esto. Seno de alfa más 180 grados 00:19:34
es lo mismo que el seno de alfa, pero dado la vuelta hacia abajo. Entonces es igual a menos 00:19:47
seno de alfa. Y como el seno era un tercio, pues es menos un tercio. El coseno de alfa 00:19:55
más 180 grados, el coseno se mide en el eje de las equis. Este era el coseno para alfa, 00:20:04
ahora será este. Miden lo mismo, pero uno está apuntando hacia un lado y otro hacia el otro. 00:20:11
Entonces también es menos el coseno de alfa. Entonces como el otro era negativo, 00:20:16
perdón, esto era negativo, ahora es positivo. Y la tangente es igual, porque fijaos, acordaos 00:20:22
de que la tangente se medía aquí. Sería alargar. Los dos tienen la misma tangente. De hecho, 00:20:32
si hacemos la división, tangente de alfa más 180 grados es igual a la tangente de alfa. Si 00:20:38
hacemos la división también da negativo, porque ahora este es negativo y este positivo. Entonces 00:20:45
da menos uno partido de raíz de ocho. Así se hace. Si nos pidieran en vez de sumarle 180, 00:20:51
que le sumáramos 90, quedaría por aquí. Entonces ¿qué pasaría? El triángulo es igual, 00:20:58
este triángulo es del mismo que este, tiene las mismas medidas, lo que pasa es que ahora 00:21:15
se intercambian el seno y el coseno. B'. Seno de alfa más 90 grados. Fijaos, el seno, 00:21:20
como se mide en el eje de las is, ahora es el lado grande, es ahora el seno. Y el lado grande, 00:21:34
aquí, era el coseno. Entonces esto es negativo, porque va hacia abajo, menos raíz de ocho partido 00:21:43
de tres. Fijaos, ahora se intercambian. ¿Vale? El coseno. El coseno es negativo también, 00:21:52
pero es el pequeñito. Menos un tercio y la tangente de alfa más 90 grados es raíz de 00:22:01
ocho pero en positivo. ¿Vale? Fijaos que en este caso se han intercambiado el lado pequeño, 00:22:17
que antes estaba en vertical, ahora está en horizontal, o sea que el lado pequeño, 00:22:26
esto que medía un tercio, y esto medía raíz de ocho partido de tres, el lado grande. ¿Vale? 00:22:31
Ahora raíz de ocho partido de tres está en vertical, luego es el seno, y el un tercio 00:22:40
está en horizontal, luego es el coseno. Y luego nos fijamos en el signo, este va hacia 00:22:45
el lado negativo y va hacia abajo, también son negativos los dos. ¿Vale? Así se haría. 00:22:49
Bueno, no nos preguntaban eso, sí que nos preguntaban la razón trigonométrica de 360 00:22:54
menos alfa. Si os dais cuenta, 360 grados menos alfa. 360 grados sería toda la vuelta 00:22:58
de la circunferencia, ¿vale? Si le tenemos que quitar alfa, que es todo esto, quedará 00:23:08
por aquí. ¿Vale? Si a 360 toda la vuelta le quitamos este todo de aquí, queda aquí. 00:23:14
Entonces ¿cuánto mide esto? Pues vemos que el seno sigue siendo el lado pequeño, entonces 00:23:25
el lado pequeño, pero en negativo, menos un tercio. El coseno de 360 grados menos alfa 00:23:32
es el lado grande, en negativo también, menos raíz de 8 partido de 3. Y la tangente, haciendo 00:23:42
la división, sería menos entre menos más, 1 partido de raíz de 8. ¿Vale? Como tenéis 00:23:48
el vídeo, miradlo las veces que haga falta, preguntadme dudas, porque yo sé que esto 00:23:59
al principio cuesta un poco, pero hay que aprender a dominar el uso de la circunferencia 00:24:02
y a saber ver que el triángulo a veces cambia la posición, lo horizontal se vuelve vertical, 00:24:08
que el seno siempre es vertical, que el coseno siempre es horizontal, las x coseno, las y 00:24:13
seno, e irle viendo el truco y sobre todo intentar hacerlo vosotros que es como se aprende 00:24:17
y se os quedan las cosas. En línea con lo que os he explicado antes 00:24:23
están este tipo de ecuaciones trigonométricas, que son un poco más complicadas que las que 00:24:29
vimos ayer. Hay que ir muy despacito y paso a paso. Fijaos, nos están preguntando qué 00:24:38
ángulo, bueno, cuáles, qué ángulos cumplen que su seno, multiplicando por menos uno, 00:24:47
es decir, cambiándole el signo a su seno, da lo mismo que el coseno de 15. Es complicado 00:24:58
de entender así de primeras, pero yendo despacito podemos irlo resolviendo. 00:25:06
Vamos a empezar por lo que sí que entendemos. El coseno de 15 grados. Aquí no hay que usar 00:25:17
la calculadora en principio para esto. Bueno, llegará un momento que sí, pero vamos a 00:25:28
verlo. Es mejor intentar no usar la calculadora. 15 grados. 15 grados, ¿lo sabemos dibujar? 00:25:35
Pues empezamos por lo que conocemos, 15 grados. 15 grados es un ángulo muy estrechito. ¿Vale? 00:25:52
A lo mejor lo he exagerado, pero nos interesa. 15 grados sería eso. El coseno. Bueno, tenemos 00:26:01
este punto. El coseno que se mide en vertical o en horizontal. El coseno de 15 grados sería 00:26:11
esta distancia, porque el coseno son las equis y se mide en horizontal. Entonces esto 00:26:19
es el coseno de 15 grados. Ya hemos representado eso de aquí. El coseno de 15 grados tiene 00:26:28
que ser igual que el seno de ese otro ángulo en negativo. El seno de ese otro ángulo en 00:26:38
negativo. ¿Vale? Esta distancia en negativo y además un seno. Es decir, esta distancia 00:26:47
en negativo y además en vertical, porque los senos se miden en vertical. O sea, esta 00:26:56
misma distancia negativa en vertical. Donde en vertical es el eje de las is. Esto es el 00:27:02
eje de las equis, el eje de las is. Y tenemos que en el eje de las is, en vertical, poner 00:27:12
esta distancia, pero ponerla en negativo. Entonces no sería hacia aquí. ¿Vale? Fijaos 00:27:18
que esta distancia es esta. No sería hacia aquí, sino que sería hasta aquí. En negativo 00:27:24
y en vertical. Ya tenemos un seno negativo que es igual que el coseno de 15. ¿Qué ángulo 00:27:34
tienen? Bueno, si fuera un círculo bien hecho, estarían a la misma distancia. Hay dos ángulos 00:27:42
que cumplen eso. Que su seno en negativo es igual que el coseno de 15. Estos dos ángulos. 00:27:52
¿Vale? Que son, sacando la línea, este y este. Y además sabemos que este ángulo y 00:27:59
estos de aquí son todos iguales. 15 y 15. Sin calculadora podemos saber qué ángulos 00:28:11
son. Vamos a ver. El primero vamos a llamarle a este... lo voy a poner aquí, aunque el 00:28:20
ángulo sería este. Este sería alfa 1. Y el otro, hasta aquí, alfa 2. Lo voy a indicar 00:28:26
aquí para que el dibujo quede mejor. Alfa 1 y alfa 2. Pues, muy fácil. Alfa 1... Bueno, 00:28:35
primero, antes de poner alfa 1 voy a poner qué... cuánto... voy a hacer mis cuentas. 00:28:46
Mejor indicarlo. Esto sería... alfa 1 caería por 270 menos 15. Vale. Esto es 255. Vale. 00:28:55
Y entonces alfa 1, ya lo puedo poner bien, es 1055 grados más 360 grados por K. Siendo 00:29:11
K un número entero. Ya tengo la primera solución. Y el segundo, primero hago mis cuentas, 270 00:29:25
más 15. Más 15 es igual a 285. Entonces alfa 2 es igual a 285 grados más 360 por 00:29:35
K. K puede ser 0, 1, 2, 3, lo que queramos. Y menos 1, números negativos. Vale. Y ya 00:29:47
tenemos... Sí, esto lo hago yo y parece fácil, pero ya veréis como el primero que hagáis 00:29:55
no sale bien a ninguno. Bueno, ojalá me equivoque. Y ese es otro tipo de problemas 00:30:01
que tenéis que saber hacer. Todo entendiendo bien la circunferencia y sabiendo representar 00:30:07
lo que nos dicen. Vale. Ese es uno de los ejercicios que os mando para hoy. 00:30:12
Idioma/s:
es
Autor/es:
Elías Martí Borredà
Subido por:
Elias M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
20 de octubre de 2023 - 16:54
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLA DE VALLECAS
Duración:
30′ 18″
Relación de aspecto:
3:2 El estándar usado en la televisión NTSC. Sólo lo usan dichas pantallas.
Resolución:
720x480 píxeles
Tamaño:
83.93 MBytes

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