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DT2.GP.U10.3,4,5 y 6_ Centro R y Tangencias - Contenido educativo

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Subido el 25 de marzo de 2025 por Carmen O.

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En el día de ayer iniciamos ya con la unidad de potencia, estuvimos viendo qué era una potencia, 00:00:00
qué era lo que significaba potencia y estuvimos viendo cómo se obtenían los ejes radicales. 00:00:06
Hoy lo que vamos a hacer es hallar el centro radical, es decir, nos cambiamos de hoja, 00:00:12
empezamos por esta de aquí y nos dice centro radical y haz de circunferencias. 00:00:19
Dice el centro radical CR que nosotros lo vamos a ir representando en este especie de azulillo verdecillo, ¿vale? 00:00:27
Dice, es el lugar geométrico del plano desde el cual hay igual potencia K respecto a tres circunferencias. 00:00:38
Es el punto de intersección de los ejes radicales de las tres circunferencias hallado 2 a 2. 00:00:47
Es decir, voy a tener que sacar dos ejes radicales y donde se corten esos dos ejes radicales tendré el centro radical. 00:00:53
Dice, para determinar centro radical es suficiente con trazar dos de los tres ejes radicales. 00:01:01
¿Por qué nos dice dos de los tres? 00:01:07
Porque tú puedes trazarte este, te puedes trazar este y te puedes trazar este. 00:01:09
Entonces tengo tres ejes radicales y los tres se me cortarán en un punto. 00:01:14
Pero únicamente con dos ya lo puedes resolver. 00:01:18
vale, pues como se hace esto 00:01:21
al final tú tienes 00:01:24
una circunferencia que 00:01:25
yo ya le he metido la auxiliar para 00:01:27
asegurarme que os entra y todo eso 00:01:29
pero la realidad es que tú te dirías 00:01:31
tres circunferencias y te diría 00:01:33
oye, pues haya el eje 00:01:34
radical, o sea, perdón, el centro 00:01:37
radical, entonces tú te tienes 00:01:39
que meter una circunferencia auxiliar 00:01:41
la que sea, de tal manera que 00:01:43
corte, o sea, secante a las tres 00:01:45
¿vale? podría ser 00:01:47
por ejemplo secante a dos y tangente a otra o tangente 00:01:49
a todas a la vez? Podría ser, pero para facilitarte el trabajo 00:01:53
lo suyo es que digas, mira, yo me facilito el trabajo y voy a intentar cortar 00:01:57
a las tres, ¿vale? Entonces, al final aquí que tenemos 00:02:01
circunferencias que son exteriores, ¿sí? 00:02:05
Ayer estuvimos hallando el eje radical cuando las circunferencias eran exteriores 00:02:09
que era este ejemplo de aquí, entonces tú al final este 00:02:13
Tienes que hallar dos ejes radicales y una de las circunferencias, pues, pasas de ella, no le haces caso, ¿de acuerdo? 00:02:17
Y ya está. 00:02:23
Entonces, sé que tengo que hallar dos ejes radicales y hallo los que yo quiera. 00:02:24
Lo primero que tengo que hacer para hallar un eje radical es hacer la unión o línea de centro, ¿vale? 00:02:31
Pues voy a hacer, por ejemplo, esta, C1, C2, línea de centro 00:02:37
Y recuerda, yo sé que un eje radical es perpendicular a la línea de centro 00:02:46
Vale 00:02:57
Cojo y digo, muy bien, pues esto, esto de aquí va a ser el eje radical 00:02:58
que como no me hace falta 00:03:09
que esto no es el definitivo ni el que estoy buscando 00:03:11
lo hago en una línea continua 00:03:13
lo podría hacer en trazo punto, trazo punto 00:03:14
¿vale? y digo tú eres 00:03:17
el eje radical de 00:03:19
C1 y OAUX 00:03:21
y voy a hacer esta 00:03:23
por ejemplo de aquí y digo vale 00:03:29
y tú eres el eje radical 00:03:31
sí 00:03:33
o sea, tú sí le tienes que poner que eso es 00:03:41
un eje radical, lo del C1 00:03:43
y OAUX te lo puedes 00:03:45
saltar, pero 00:03:47
te viene bien, porque luego cuando 00:03:49
hagamos los ejercicios complicados de potencia 00:03:51
no puedes confundirte y usar 00:03:53
este eje radical que simplemente 00:03:55
te ha servido para hallar otra cosa. 00:03:57
Entonces, a mí sí me gusta 00:04:00
ponerle nomenclatura todo el rato para 00:04:01
no liarme luego, porque luego tenemos 00:04:03
un lío de líneas que no voy a... 00:04:05
¿Vale? Entonces, este yo sé que 00:04:07
es el eje radical entre 00:04:09
C2 y OAux. 00:04:10
¿Vale? 00:04:14
Pero yo esto no es lo que estoy buscando. 00:04:15
Yo lo que estoy buscando es como el eje radical 00:04:17
entre c1 y c2 00:04:19
¿vale? para poder 00:04:21
hallar el centro radical 00:04:23
¿vale? se me están cortando aquí 00:04:25
en un punto, que le estuvimos llamando 00:04:27
acuérdate, ayer le llamábamos 00:04:29
punto 1, le puedo llamar a 00:04:31
puedo no llamarle si no quiero 00:04:32
y voy a hallar el eje radical 00:04:35
que yo lo pintaba en morado 00:04:37
¿vale? pues el eje radical de c1 y c2 00:04:39
es una perpendicular 00:04:41
que pasa por 1 00:04:43
pues me coloco mis reglas 00:04:44
y este sí, hago trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, 00:04:47
y este es el eje radical de C1 y C2, ¿vale? 00:05:00
Pero el enunciado me dice, sí, la mente necesita saberlo, porque luego hay mucho lío, ¿vale? 00:05:15
Entonces, el eje radical de C1 y C2, y me dice, para hallar el centro radical necesitas el punto de unión o el punto de corte entre dos ejes radicales de estas circunferencias. 00:05:26
Entonces, tú ahora podrías jugar con C3, C1 y hallar su eje radical, o podrías jugar con C3, C2, lo que quieras, ¿vale? 00:05:37
Juegas con la que quieras. 00:05:49
Yo voy a jugar, por ejemplo, con esta de aquí. 00:05:50
porque parece que tengo espacio para acá y no me fío de que no lo haya en el otro lado. 00:05:58
Entonces juego con esta y digo, pues tú también eres línea de centros. 00:06:03
Esto me va a estorbar, lo voy a subir, eje radical de C2 y OAUX y lo borro. 00:06:09
Vale, yo sé que mi eje radical entre C3 y C2 tiene que ser perpendicular a esta línea de centro. 00:06:17
Vale, voy a hallar los ejes radicales 00:06:25
Esta ya la tengo 00:06:28
Me hace falta este 00:06:29
Vale 00:06:32
Y tú 00:06:33
Eres el eje radical 00:06:39
De C3 00:06:42
Y la O auxiliar 00:06:43
Si no quieres para que no sea tan largo 00:06:45
Como O solo está esta 00:06:48
Pues le puedes poner C3 O 00:06:50
No hace falta que le pongas lo de A O 00:06:51
Esto es más que nada para clarificarte tú 00:06:53
Porque luego va a haber mucho 00:06:58
Y este punto donde se corta pues lo llamo 2, por ejemplo 00:06:59
Y digo, muy bien, pues yo sé que por definición un eje radical es perpendicular a la línea de centro 00:07:02
Pues entonces, perpendicular a la línea de centro 00:07:09
Y pasando por 2 00:07:12
Vale, pues 00:07:16
Trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto 00:07:20
Trazo, punto, trazo, punto, trazo, punto 00:07:24
Trazo, punto 00:07:27
y esto es el eje radical de C2, C3. 00:07:28
Los dos ejes radicales se han cortado en ese punto. 00:07:36
Este punto de aquí es el centro radical. 00:07:39
Y desde aquí, centro radical, 00:07:41
desde aquí todas las líneas que tú lances, 00:07:49
tanto tangentes como secantes, 00:07:54
a cualquier circunferencia va a tener una raíz de K. 00:07:57
La potencia, ¿vale? Cualquiera, que lances desde ahí. La distancia va a ser la misma, ¿vale? 00:08:03
Entonces, eso nos lleva a esto que tengo aquí, que aquí lo pasa que al estar en la QI negro pierde un poco, pero lo puedes ver en la página, en el aula virtual que está a color. 00:08:11
y nos dice, haz de circunferencias coaxiales. 00:08:23
Dice, se llama de circunferencias coaxiales 00:08:27
al conjunto de circunferencias que tienen el mismo eje radical. 00:08:29
Dice, la línea de centros es el lugar geométrico 00:08:34
de los centros de circunferencias que pertenecen a ese mismo haz. 00:08:37
Vale, ¿qué quiere decir esto? 00:08:42
Si tú miras aquí, te fijas, tienes una línea de centros 00:08:44
y sobre esa línea de centros ves que hay un montón de C1, C12, C13, C4, 00:08:48
C4, todo esto son centros de las circunferencias que dibujadas, por ejemplo, este C1 es centro de esta de aquí, la C2 centro de esta de aquí, C3 esta, C4 esta, todas esas circunferencias tienen su centro en la línea de centros, en la misma, ¿vale? 00:08:53
Y te dice, se llama de circunferencia cual sea el conjunto de circunferencias que tiene el mismo eje radical. 00:09:13
Cuando tú coges y le sacas el eje radical, ves que todas se están cortando, son secantes. 00:09:20
Pues el eje radical es este de aquí, ¿vale? 00:09:26
Cualquier punto, como por ejemplo puede ser este punto P, cualquier punto que tú elijas de ese eje radical, 00:09:31
conserva respecto a los puntos de tangencia 00:09:39
de las circunferencias una raíz de k, el radio 00:09:44
ves que aquí pone t2, t1, t3, t4 00:09:50
son puntos de tangencia porque nosotros al final sabemos hacer esto de 00:09:54
si tengo una circunferencia y un punto exterior a ella, traza 00:09:58
las rectas tangentes desde el punto P a esas circunferencias 00:10:02
¿te acuerdas de eso? esto que era así, yo tengo un punto 00:10:06
p aquí, tengo una circunferencia y te dice, traza las rectas tangentes a esa circunferencia 00:10:12
y teníamos que coger, uníamos p y el centro, hacíamos la mediatriz, hacíamos, esto digamos 00:10:20
era el punto medio, hacíamos circunferencia y donde me cortara la circunferencia en c, 00:10:29
esto era tangente 1, tangente 2 00:10:36
lo uníamos 00:10:39
y ya teníamos 00:10:41
la punta de tangencias 00:10:43
pues estas rectas tangentes 00:10:47
perdón, pues estas tangentes 00:10:49
esta distancia en potencia 00:10:51
raíz de K 00:10:53
ves que tienes un punto P 00:10:54
y has hecho tangentes 00:10:56
no están dibujadas las rectas, pero bueno 00:10:59
esto al final, si tú lo continúas 00:11:01
esto es una tangente 00:11:02
y esto que yo tengo aquí 00:11:04
es como si fuera la circunferencia esta de aquí mediatriz, un poco, ¿vale? 00:11:06
Entonces, eso es raíz de K, ¿vale? ¿Sí? 00:11:12
Vale, y me dice, P es el punto de igual potencia respecto a todas las circunferencias del haz, ¿por qué? 00:11:19
Porque este eje radical es eje radical de todas esas circunferencias, de C1, C2, C3 y C4, 00:11:27
Y dijimos que cualquier punto que tú cogieras del centro radical tiene una distancia a las circunferencias igual a la potencia. 00:11:34
Raíz de K es potencia. 00:11:44
Dice M, que está aquí, es el punto medio de las tangentes comunes a dos circunferencias de las. 00:11:48
¿Ves que hay aquí un punto de tangencia y otro punto de tangencia? 00:11:57
esto que es 00:12:01
circunferencia y circunferencia 00:12:03
recta tangente 00:12:05
exterior a dos circunferencias 00:12:07
vale, pues el 00:12:09
punto M es el punto 00:12:11
medio entre 00:12:13
las tangentes comunes a dos 00:12:15
circunferencias 00:12:17
¿vale? esto lo vamos a poner 00:12:18
luego en práctica cuando hagamos ejercicios 00:12:21
todo esto, luego nos dice 00:12:23
O auxiliar es la circunferencia 00:12:25
que no pertenece a las 00:12:27
¿qué significa que no pertenece? 00:12:29
no pertenece porque yo tengo aquí la O auxiliar 00:12:32
y no tiene la línea 00:12:34
no tiene su centro en la línea de centro 00:12:36
¿vale? 00:12:38
por eso te dice que no pertenece a la 00:12:40
porque para pertenecer a la 00:12:42
la línea de centros tiene que ser la misma para todas 00:12:44
y el eje radical tiene que ser el mismo para todos 00:12:46
¿vale? 00:12:48
y este no lo es, es como una circunferencia 00:12:50
que está ahí a modo de pegote 00:12:52
¿vale? y luego te dice 00:12:53
centro radical y punto de igual 00:12:56
potencia para O auxiliar y las de laz. Ahora sí, aquí teníamos un punto P que tenía igual potencia 00:12:58
para todas las circunferencias que pertenecían a laz, ¿vale? Pero el centro radical también es un 00:13:07
punto, es un punto que está contenido en el eje y este punto tiene igual potencia para todas las 00:13:13
telaz y además la circunferencia auxiliar. ¿Por qué? Tú aquí tenías este eje, ¿no? De antes, ¿vale? 00:13:21
Esta circunferencia auxiliar con esta circunferencia de aquí C4 no te ha dibujado este eje radical de 00:13:30
aquí y el centro radical no se obtenía con dos ejes radicales, pues por eso tienes ese punto y 00:13:38
ese punto pertenece a la vez a este eje radical de aquí y a este eje radical de aquí. Este 00:13:47
digamos que es el eje radical de C4 y de la OAUX, ¿vale? ¿Sí? Vale, en los siguientes 00:13:53
ejercicios tenemos exactamente lo mismo, solo que las circunferencias ahora son todas tangentes, 00:14:06
son todas tangentes en este punto, pero es exactamente todo igual, ¿vale? 00:14:15
Y aquí son exteriores, es decir, que no se están tocando. 00:14:19
Y ahora si te das cuenta, la circunferencia exterior lo que está haciendo 00:14:22
para poder sacar el eje radical es que está cortando a varias, ¿vale? 00:14:26
Pero todos son, lo importante que tienes que quedar con esto es que son 00:14:31
haces de circunferencias todas aquellas que tienen el mismo eje radical 00:14:35
y todos sus ejes, todos sus centros, perdón, en la línea de centro, ¿vale? 00:14:39
Vale, pues vamos a empezar a ver lo siguiente 00:14:43
Pues yo creo que hay que meterse ya a resolver ejercicios 00:14:50
Sí, esta hoja te la tienes que saber de memoria, ¿vale? 00:14:55
¿Te vas a tener que poner en tu casa a empollártela? No 00:15:09
Esto a base de repetir, repetir, repetir, repetir, repetir, te la vas a saber, ¿vale? 00:15:12
potencia en 6 pasos 00:15:17
¿esto te lo vas a encontrar en los libros? 00:15:21
¿vale? esto no te lo vas a encontrar en los libros 00:15:24
esto lo he creado yo 00:15:27
con los apuntes que 00:15:29
me dio la MDATRICEO 00:15:30
y entonces lo he adaptado a vosotros 00:15:33
y tal, entonces 00:15:35
es potencia en 6 pasos porque tú para resolver 00:15:37
cualquier ejercicio de potencia 00:15:39
tienes que hacer paso 1, paso 2, paso 3, paso 4 00:15:41
paso 5, paso 6 00:15:43
he resuelto la potencia 00:15:44
¿vale? entonces te dice 00:15:46
los ejercicios de potencia consisten en 00:15:48
hallar el centro de circunferencias 00:15:50
de radio no conocido 00:15:51
fíjate que aquí arriba 00:15:53
nos dice potencia 00:15:56
aplicación en tangencias 00:15:57
es decir, tengo dos circunferencias 00:15:59
y tengo que hacerle una tercera 00:16:02
circunferencia, por ejemplo, que sea 00:16:04
tangente a esas dos 00:16:06
¿vale? pero no me están dando el radio 00:16:07
como no me están dando el radio 00:16:10
no puedo hacer eso que hacía el año pasado 00:16:11
de sumar y de restar el radio 00:16:13
Dice, los ejercicios de potencia consisten en hallar el centro de circunferencias de radio no conocido 00:16:15
Que pasen por tres datos dados 00:16:22
Esos datos pueden ser puntos, rectas o circunferencias 00:16:24
O sea, esto de aquí, circunferencias de radio no conocido 00:16:31
En los ejercicios de tangencia que resolvemos, que resolveremos por potencia 00:16:38
buscaremos el punto desde el que obtener los puntos de tangencia necesarios para trazar la 00:16:46
circunferencia en solución. Es decir, vamos a tener que hacer una serie de pasos para poder sacar los 00:16:53
puntos de tangencia. Recordemos, una de circunferencias es una serie de circunferencias 00:16:58
que comparten el eje radical. Procedimiento general o pasos a seguir. Dice, los seis pasos 00:17:04
que suelen cumplirse en todos los problemas son todos estos de aquí y te dice el primero línea o 00:17:11
haz de centros lc que está yo la represento en gris todo el rato dice línea o haz de centros dice 00:17:19
lugar geométrico recta es una recta donde estarán los centros de la circunferencia en solución de 00:17:27
De los tres elementos que nos da el enunciado, solo dos de ellos te van a permitir trazar la línea de centros. 00:17:35
Y aquí tenemos como los cuatro casos que tú te puedes encontrar para poder trazar la línea de centros. 00:17:44
El A te dice, tengo una circunferencia con un punto de tangencia. 00:17:50
¿Cuál es la línea de centros cuando tienes una circunferencia con un punto de tangencia? 00:17:55
Pues es la recta unión entre el centro con el punto de tangencia. 00:18:01
Eso es LC, ¿vale? 00:18:05
Vale, segundo caso, tengo una recta con un punto de tangencia, ¿cuál es la línea de centros? 00:18:09
Es la perpendicular que le trazas a la recta R por el punto T. 00:18:16
Esto sería tu recta y esto tu punto T. 00:18:22
Te dan la recta y el punto T en ella. 00:18:26
Entonces tú, la línea de centros es perpendicular por ese punto, ¿vale? 00:18:29
Me pueden dar dos rectas, dos rectas que son concurrentes y resulta que la línea de centro va a ser subbisectriz o me pueden dar dos rectas, no, esto está mal, estos son dos puntos, voy a ponerlo, lo tengo que arreglar, dos puntos, dos puntos. 00:18:34
Cuando te dan dos puntos, los unes y tienes que hacer la media tri de esa línea de unión, ¿vale? Hasta aquí el primer paso. O sea, luego vamos a ir viendo, vamos a ir resolviendo ejercicios y nos vamos a ir fijando. 00:18:58
A ver, del 1, ¿qué caso tengo? ¿Este, este o este? Y lo vamos haciendo. 00:19:16
Circunferencia auxiliar. Es decir, el segundo paso es que voy a trazar la circunferencia auxiliar. 00:19:21
Y yo esa la suelo hacer en naranja. 00:19:27
Dice, por lo general, los tres elementos no tienen relación entre ellos. Es como que no son amigos, no se conocen. 00:19:35
Necesitamos de una circunferencia amiga que los conecte. 00:19:42
Es como la que va a hacer que se conozcan todos. Su centro no tiene por qué estar en la línea de centros, pero es preferible. Es decir, que si puedes, lo colocas en la línea de centros. Si no, pues no pasa nada. 00:19:46
dice circunferencia auxiliar de tamaño y centro arbitrario 00:20:01
que cumpla las siguientes condiciones con los datos del enunciado 00:20:07
debe cumplir tantas condiciones como sea posible 00:20:11
con la misma circunferencia 00:20:15
entonces primero debe pasar por los puntos A y B 00:20:16
si resulta que tú tienes en tu enunciado dos puntos 00:20:22
esa circunferencia auxiliar tiene que pasar por los dos 00:20:26
No por uno, por los dos 00:20:31
¿Vale? 00:20:33
Dice AB es cuerda de la circunferencia solución 00:20:34
Todas pasarán por A y por B 00:20:38
¿Te acuerdas lo que es una cuerda en una circunferencia? 00:20:40
Cuando unes una... 00:20:44
Así, cuando unes 00:20:46
A ver, aquí 00:20:47
Tienes una circunferencia 00:20:49
Si tú pasas por el centro es un diámetro 00:20:51
Si no pasas es una cuerda 00:20:53
¿Vale? 00:20:56
Entonces esto es como que fuera A 00:20:57
y esto B 00:20:59
vale 00:21:01
y todas las circunferencias 00:21:03
que saques de solución 00:21:05
todas van a pasar por ahí 00:21:07
vale, otra cosa que debe cumplir 00:21:08
si puedes, que si hay 00:21:12
un punto de tangencia debe pasar 00:21:13
por ese punto de tangencia 00:21:16
y otra cosa que debe 00:21:17
cumplir es 00:21:20
debe entrar en circunferencias 00:21:21
que no tengan T 00:21:23
es decir, aquí tengo esta circunferencia 00:21:25
que no tiene la T, pero sí la tiene, por ejemplo, aquí. 00:21:28
Entonces, está cumpliendo dos cosas a la vez. 00:21:31
¿Qué hace? 00:21:33
Pasa por T, es decir, cumple la condición B, 00:21:34
y además se mete en la circunferencia que no tiene T. 00:21:38
Esta está cumpliendo, digamos, dos cosas a la vez. 00:21:42
A eso es a lo que se refiere cuando te dice 00:21:45
que cumpla las siguientes condiciones y dice 00:21:47
debe cumplir tantas condiciones como le sea posible. 00:21:49
¿Vale? 00:21:53
Por lo general puede cumplir dos. 00:21:54
Yo creo que no recuerdo que haya ejercicios donde pueda cumplir tres, ¿vale? 00:21:56
Dos ejes radicales, ¿vale? 00:22:01
Tercer paso, tú para resolver el ejercicio necesitas hallar dos ejes radicales. 00:22:05
¿Por qué? Porque si no tienes dos ejes radicales, no puedes sacar el centro radical. 00:22:10
Entonces necesita dos. 00:22:16
Y a uno le vas a llamar uno y al otro le vas a llamar dos. 00:22:17
Y esto yo lo suelo representar en morado. 00:22:22
vale, y te dice 00:22:24
el eje radical es el lugar geométrico 00:22:28
de todos los puntos del plano 00:22:31
que tienen la misma potencia 00:22:33
respecto de dos circunferencias 00:22:35
y aquí hay tres casos 00:22:36
no se van a cumplir los tres a la vez 00:22:39
sino que nosotros vamos a ir haciendo el ejercicio 00:22:44
y veremos en qué caso estoy 00:22:45
en el A, en el B o en el C 00:22:47
vale, ERA 00:22:48
eje radical A, dice 00:22:51
si en el enunciado hay una recta 00:22:52
esta será nuestro primer eje radical 00:22:55
Si el enunciado te da una recta, lo primero que haces es, vale, recta es igual a eje radical 1. 00:22:58
Ya tienes el primero, te falta el segundo. 00:23:05
Dice B, el eje radical será siempre perpendicular a la línea de centros de las circunferencias que determina a dicho eje radical. 00:23:08
Lo que hemos estado haciendo hasta ahora. 00:23:20
C. Cualquier punto que pertenezca al eje radical tendrá igual potencia K respecto de la circunferencia que lo determina. También o auxiliar si esta tiene su centro en la línea de centro. 00:23:22
¿Qué quiere decir esto? 00:23:40
¿Te acuerdas que hemos dicho antes 00:23:42
En esto de los ejes coaxiales 00:23:44
De las haces de circunferencias coaxiales 00:23:47
Hemos dicho aquí 00:23:50
Centro radical, el punto de igual potencia 00:23:51
Para OAOX y las de LAF 00:23:53
Y hemos dicho 00:23:54
Este eje radical 00:23:55
No es eje radical de la auxiliar 00:23:56
Porque la auxiliar no tiene el centro aquí 00:23:59
En la línea de centros 00:24:02
¿Vale? 00:24:03
Pero 00:24:05
Aquí el enunciado te ha dicho en el paso 00:24:06
Ojo, si puedes, intenta que la auxiliar tenga el centro en la línea de centros. ¿Por qué? Porque así consigues que esta línea auxiliar pertenezca al haz de circunferencias. 00:24:09
es como para que no se quede sola 00:24:26
esto ahora mismo es un lío pero cuando te pongas a hacer ejercicios 00:24:30
lo vas a pillar 00:24:34
entonces nos dice 00:24:35
también la auxiliar si tiene su centro 00:24:37
en la LC, claro es que nos dice cualquier 00:24:40
punto que pertenezca al 00:24:42
eje radical tendrá igual potencia 00:24:44
respecto a las circunferencias que lo determinan 00:24:45
si además la O auxiliar 00:24:48
tiene su centro en la línea de centros 00:24:50
ese eje radical 00:24:52
también es eje radical de la auxiliar 00:24:54
dice, por esta propiedad 00:24:56
las rectas tangentes basadas 00:24:59
a las circunferencias dato 00:25:00
C1 y C2 00:25:02
desde un punto del eje radical 00:25:03
me dirán lo mismo 00:25:05
también me dirán lo mismo 00:25:06
respecto a la u auxiliar 00:25:08
si tiene su centro en la LC 00:25:10
centro radical 00:25:12
siguiente paso 00:25:15
que esto es lo que hago yo 00:25:17
bueno, el azulito, verdito, este 00:25:20
da igual, esto 00:25:23
el centro radical nos dice 00:25:24
punto desde el cual la potencia respecto a tres circunferencias dadas, C1, C2, C3, 00:25:29
cuyos centros no están alineados es la misma, lo que hemos visto antes. 00:25:36
Dice, se halla donde se cortan los dos ejes radicales. 00:25:41
El centro radical equidista de todos los puntos de tangencia de las circunferencias dato incluso con la auxiliar. 00:25:46
Y el centro radical es, esta parte es importante, es el punto medio del segmento determinado por los puntos de tangencia T1 y T2 en la recta dato. 00:25:53
Esto, insisto, vamos a ir haciendo ejercicios y vamos a ir todo el rato mirando esto para que veas cómo se cumple. 00:26:10
Porque aquí es como mucha palabra, mucha palabra, pero luego se resume en esto me da aquí, esto me da allí, ¿vale? 00:26:16
puntos de tangencia 00:26:21
yo esto 00:26:24
lo suelo hacer en color 00:26:26
verde, los puntos de tangencia 00:26:27
yo los hago verdes 00:26:32
dice, puede suceder que 00:26:33
uno de los elementos dados 00:26:36
sea el punto de tangencia 00:26:38
y este, este contenido 00:26:40
en una circunferencia o en una 00:26:42
de las rectas datos, vale 00:26:44
ninguno de los tres 00:26:46
elementos dados es punto de 00:26:48
tangencia, por lo que 00:26:50
Lo hallaremos en la circunferencia dato o en la auxiliar. 00:26:52
De no haber una circunferencia en los elementos dados, 00:26:56
en ambos casos trazaremos rectas tangentes a una circunferencia C o auxiliar 00:27:00
desde un punto exterior y ese punto exterior será el centro radical 00:27:05
para hallar los puntos de tangencia en ella. 00:27:10
Para hallar T1, T2, etc., hay que girar T. 00:27:15
Ya veremos qué es eso de girar. 00:27:20
desde el centro radical hasta llegar a la recta o circunferencia, según el problema. 00:27:22
La distancia de CR a T es raíz de K. 00:27:28
Esto se me ha quedado bajito, tengo que arreglar esto. 00:27:31
Bueno, se ha quedado como abajo. 00:27:34
Vale, ¿qué quiere decir esto de girar? 00:27:37
A lo mejor resulta que a ti te están dando unos elementos y te dan el punto T en la circunferencia. 00:27:39
Pues tú, digamos, es como que la giras y te la llevas a otra circunferencia 00:27:43
o lo giras y te lo llevas a una recta. 00:27:47
o al revés, te lo dan en la recta y lo necesitas 00:27:50
en la circunferencia, pues como que 00:27:52
lo giras, luego vamos a ver qué es esto 00:27:54
vale, y finalmente el último 00:27:56
paso sería hallar los centros de solución 00:27:58
que esto 00:28:00
lo haré en rosita o en 00:28:02
rojo, depende de cómo se vean 00:28:04
los colores a lo mejor, es que yo no tengo rojo 00:28:06
ahora es lo que uso aquí, no, pues esto es rosa 00:28:08
vale 00:28:10
en rosa 00:28:11
dice, para hallar los centros de solución 00:28:13
uniremos los puntos T1 y T2 00:28:16
con los centros de las circunferencias dadas, puesto que si dos circunferencias son tangentes, 00:28:18
sus centros están en la misma línea que el punto de tangencia. Paso 1a. Esto hace referencia 00:28:23
a esto aquí. Dice, uniremos los puntos de tangencia y los centros de las circunferencias 00:28:30
dadas, puesto que si dos circunferencias son tangentes, sus centros están en la misma 00:28:39
línea que el punto de tangencia, aquí, lo vas a ver. Trazaremos perpendiculares, luego 00:28:46
otra manera de hallar los centros, trazaremos perpendiculares a la recta dada así, ya que 00:28:55
cuando una circunferencia es tangente a una recta, el radio de dicha circunferencia es 00:29:02
perpendicular a esa recta tangente, paso 1b. Aquí, si tú tienes que hacer aquí una circunferencia 00:29:06
tangente va a pasarte por T y ¿dónde va a estar el centro? En la línea de centros, 00:29:12
en la perpendicular. O sea que luego una vez obtenido los puntos de tangencia ya tienes 00:29:18
según lo que tengas paso A o paso B, otra vez, es como que vuelves atrás, cierras el 00:29:23
círculo, ¿vale? Y luego nos dicen ambas opciones las líneas trazadas cortarán a 00:29:29
LC en O1, O2, etc. Vale, pues una vez visto esto vamos a hacer el siguiente ejercicio 00:29:34
y vamos a ir viendo los pasos y cómo los aplico. 00:29:41
Ah, claro, tengo los discursos de Apolonio, es verdad. 00:29:48
A ver, ¿qué es esto? 00:29:52
Todo esto de la potencia, 00:29:54
que hemos dicho que es aplicación en tangencias, 00:29:57
es por lo siguiente. 00:29:59
Resulta que un señor, que era Apolonio de Bérgamo, 00:30:00
creo que se llamaba, 00:30:03
que fue el que inventó lo de la elipse 00:30:05
o el que descubrió, mejor dicho, 00:30:09
que dentro de un cono había una elipse, 00:30:11
una circunferencia, una parábola y una hipérbola, pues también resolvió cómo se pueden resolver tangencias 00:30:13
cuando no conoces el radio de la circunferencia. Entonces, hay 10 casos, estos son los 10 casos de Apolonio 00:30:21
y tú los puedes resolver por un método u otro en función de los datos que te da. Por ejemplo, tenemos aquí esto 00:30:28
y te dice, método directo, potencia 00:30:38
e inversión. 00:30:40
Método directo significa que no te tienes que 00:30:42
meter en el jaleo este de 00:30:44
saca primero esto, luego lo otro, luego 00:30:46
lo otro y luego lo otro. Por ejemplo, 00:30:48
si a ti te dicen que tienes que hacer una circunferencia 00:30:50
que pasa por estos tres puntos, ¿qué tendrías 00:30:52
que hacer? 00:30:54
Dos mediatrices. Vale, pues eso 00:30:56
es un poco el método directo, que te sale 00:30:58
directamente y no tienes que liar con líos 00:31:00
de la potencia. 00:31:02
Aquí, por ejemplo, este es el caso punto, punto, 00:31:04
punto. Luego 00:31:06
tienes el caso punto punto recta, que tienes punto A y punto B contenido en la recta, pero 00:31:08
¿qué ocurre si tienen los dos puntos y ninguno pertenece a la recta? Pues que ya 00:31:16
tenéis que resolver por potencia. ¿Qué ocurre? Siguiente paso o siguiente caso, tengo 00:31:20
el PRR, punto recta recta, en este caso tengo dos rectas y un punto A, que luego será tangencia, 00:31:26
aquí, por lo tanto 00:31:34
directo, cuando el punto A 00:31:37
no está en ninguna de las rectas 00:31:39
puedo resolver por potencia o por inversión 00:31:41
¿cuál es el más fácil? 00:31:43
potencia 00:31:45
de hecho, este caso en la PAO 00:31:45
actualmente no entra 00:31:49
porque te piden que hagas inversión de figuras 00:31:50
pero no que resuelvas tangencias 00:31:53
por inversión, ¿vale? 00:31:55
aunque yo también lo tengo hecho por pasos y es fácil 00:31:57
¿vale? recta, recta, recta 00:31:59
pues 00:32:02
ve todo directo, recta, recta 00:32:03
circunferencia, resuelvo 00:32:05
por potencia, esto no te lo tienes que saber de memoria 00:32:07
¿vale? es que la propia lógica 00:32:09
cuando ya te sepa los pasos 00:32:11
ya te va a decir por donde tienes que tirar 00:32:12
¿vale? recta, circunferencia 00:32:15
circunferencia, no lo puedo resolver 00:32:19
en directo, no lo puedo resolver en potencia 00:32:20
lo tengo que resolver en inversión 00:32:22
circunferencia, circunferencia, circunferencia 00:32:24
no lo puedo resolver en directo 00:32:26
tampoco en potencia y por inversión 00:32:28
y de hecho estos dos 00:32:30
ni siquiera se hacen 00:32:32
en segundo de bachillerato, porque 00:32:34
digamos que el nivel de dificultad es tan alto 00:32:36
que directamente no se explica 00:32:38
¿vale? ¿de los pasos? 00:32:40
claro, pero era 00:32:48
le metíamos una auxiliar para 00:32:49
sacar el centro radical, pero no era 00:32:51
para hallarle las tangencias 00:32:53
¿vale? es que tú aquí, se supone que tú 00:32:54
ahora tienes que meterte circunferencias que sean tangentes 00:32:57
a todas, y salen 00:32:59
hasta 8 soluciones 00:33:01
o sea, mogollón 00:33:02
luego tengo circunferencias de conferencia a punto 00:33:05
que lo puedo resolver por potencia y lo puedo resolver por inversión 00:33:07
¿cuál es la diferencia? 00:33:10
pues para resolver en potencia es porque el punto 00:33:11
pertenece a una de las circunferencias 00:33:14
y para que sea inversión 00:33:16
es porque el punto no pertenece 00:33:18
vale 00:33:20
luego tengo circunferencia punto punto 00:33:21
¿ves la diferencia? uno tiene el punto en la circunferencia 00:33:23
y el otro los tiene los dos fuera 00:33:26
y luego tengo 00:33:28
el caso 10 00:33:29
que es circunferencia punto recta 00:33:31
en el que por potencia puedo resolver 00:33:34
este o este 00:33:36
Tengo un punto en la recta o en la circunferencia 00:33:37
Y si el punto no está ni en la circunferencia ni en la recta 00:33:42
Entonces inversión 00:33:45
En todos estos casos hay que hacer 00:33:46
Vale 00:33:50
Esto, ¿qué significa este esquema de aquí? 00:33:52
Directo es porque tú eres capaz de sacar 00:33:56
Con los datos que te da, eres capaz de sacar dos líneas de centros 00:33:59
¿Cuándo va a ser potencia? 00:34:03
Cuando solo seas capaz de sacar una línea de centros 00:34:07
¿Cuándo va a ser inversión? 00:34:10
Cuando no consiga sacar ninguno 00:34:12
Pues como no consigo sacar ninguno 00:34:13
Pues no puedo hacer nada 00:34:15
¿Vale? 00:34:17
Fíjate, por ejemplo, que en este de los puntos 00:34:20
Este de aquí 00:34:22
Que tengo tres puntos 00:34:23
Cuando nosotros miramos esto de los pasos 00:34:25
Lo tengo aquí debajo 00:34:27
Cuando nosotros miramos esto de los pasos 00:34:29
¿Qué te dice? 00:34:33
Línea de centros 00:34:34
Cuando tienes dos puntos 00:34:35
Puedo sacar línea de centros 00:34:36
¿No? 00:34:38
¿Cómo? 00:34:39
Con la mediatriz. 00:34:40
Esa mediatriz es una línea de centros. 00:34:41
Tú puedes sacar, por ejemplo, esta aquí y esta de aquí. 00:34:44
¿Puedes sacarte dos? 00:34:47
Sí. 00:34:49
Directo. 00:34:50
Aquí que tengo A y B. 00:34:52
¿Tienes dos puntos? 00:34:54
Sí. 00:34:55
¿Me puedo sacar mi línea de centros con la mediatriz? 00:34:56
Sí. 00:35:00
¿Cuál sería el segundo? 00:35:01
Si tú te miras esto, te dice. 00:35:03
Ojo, que si tú tienes un punto en una recta, le haces la perpendicular. 00:35:06
Y ya tienes línea de centros. 00:35:10
¿Tienes un punto en una recta? 00:35:12
Sí. 00:35:14
¿Le puedo hacer la perpendicular? 00:35:14
Sí. 00:35:16
Ya tengo dos. 00:35:17
¿Lo ves? 00:35:18
Vale. 00:35:19
Y en inversiones, oye, mira, no consigo ninguno. 00:35:21
Pues nada, inversión. 00:35:24
Entonces, ¿en qué consiste esto? 00:35:26
Pues consiste en trazar circunferencias de radio no conocido tangentes a tres elementos. 00:35:27
Siendo esos elementos, pueden ser puntos, pueden ser rectas, pueden ser circunferencias. 00:35:33
y luego te dice, pues eso, los tres elementos 00:35:38
¿quiénes son? puntos, retas o circunferencias 00:35:40
¿vale? 00:35:42
venga, pues vamos a empezar 00:35:45
cogemos la siguiente hoja 00:35:46
nos dice que vamos a empezar 00:35:50
con tangencias directas 00:35:52
es decir, todavía no me estoy 00:35:54
metiendo en potencia 00:35:56
pero si me va a hacer falta mirar 00:35:57
cuantas líneas de centro soy capaz de sacar 00:36:00
entonces si ves aquí arriba 00:36:02
te pone el caso 1 00:36:04
PPP, punto, punto, punto, el caso 2A PPR, ¿por qué te dice 2A? Porque si tú miras el 2 lo puedes resolver directo o por potencia, ¿vale? Y luego, bueno, también porque tienes luego aquí el 2B y es como, mira, tengo el punto aquí directo, pero ¿y si los tengo aquí? ¿vale? 00:36:06
entonces vamos a ir viendo, todo esto es fácil 00:36:28
no tengo que pensar, me están diciendo que son tangencias 00:36:31
directas, perfecto 00:36:33
pues teniendo en cuenta lo de los pasos 00:36:35
me voy a ir fijando y así voy interiorizando 00:36:38
un poco que es esto de la línea de centro 00:36:39
vale, la línea de centros 00:36:41
¿cuál sería de ellos? 00:36:44
¿el A, el B, el C o el D? 00:36:45
mírate el de los pasos 00:36:49
cógete la de los pasos, la hoja de los pasos 00:36:50
esa tienes que tener tu ratón frente 00:36:53
¿cuál sería de ellos? 00:36:57
¿el? 00:37:00
El de, vale, entonces cojo 00:37:00
Lo uno, hago mediatriz 00:37:03
Pues por ejemplo este, ¿no? 00:37:04
Hago así 00:37:09
Y hago así 00:37:10
Me hago las mediatrices 00:37:17
Me hago mis mediatrices 00:37:20
Para acá y para acá 00:37:27
Vale, pues hago la mediatriz 00:37:40
Uy, me ha faltado esta de aquí 00:37:42
Que no la tengo 00:37:48
Esta es 00:37:50
Vale, pues estas mediatrices son líneas de centro 00:37:52
¿lo ponemos? 00:38:02
sí, simplemente para que vayas cogiendo 00:38:04
un poco el 00:38:06
no olvidarte las cosas 00:38:07
y ya está, no porque verdaderamente 00:38:09
sea necesario 00:38:12
vale, y estas 00:38:13
líneas de centros, que tengo 00:38:16
dos, y como tengo dos 00:38:18
resulta que es directo, me cortan 00:38:20
aquí en un punto, ese punto 00:38:22
es O 00:38:24
que yo he dicho 00:38:26
que las O las iba a poner en rosa 00:38:28
Pues ese es el centro 00:38:30
Y esto 00:38:33
Lo podría meter aquí 00:38:36
Para que se vea la solución 00:38:38
Voy a meterlo 00:38:40
Esto por aquí 00:38:51
Esa es tu circunferencia 00:39:01
Que pasa 00:39:12
Por todos los puntos 00:39:13
Vale 00:39:15
Hacemos el siguiente 00:39:17
Y nos dice 00:39:20
PPR 00:39:21
Y me fijo 00:39:24
A ver, tengo que conseguir dos líneas de centros 00:39:25
¿Qué casos puedo conseguir aquí? 00:39:28
Del 1 00:39:31
Del paso 1, líneas de centros 00:39:32
¿Cuál? El B y el D 00:39:34
Pues venga 00:39:37
Yo sé que el B es perpendicular 00:39:38
Este punto A es lo mismo 00:39:41
Que si fuera punto de tangencia 00:39:43
¿Vale? 00:39:46
No lo tienen por qué llamar punto T 00:39:49
Le pueden llamar A 00:39:51
¿Dónde? 00:39:52
Sí 00:39:58
A ver, yo he hecho una crucecita 00:39:59
Lo que pasa es que como lo he hecho con el roto 00:40:00
Parece un punto, pero yo he hecho una cruz. 00:40:02
Vale, esto es una línea de centros. 00:40:06
Perpendicular en A. 00:40:09
Vale, ¿cuál es la otra? 00:40:12
El caso D, que es entre A y B, mediatriz. 00:40:15
Vale, me hago la mediatriz. 00:40:22
Mediatriz y mediatriz. 00:40:32
Vale. 00:40:44
Línea de centros. 00:40:45
Tengo dos. 00:40:47
se están cortando la línea de centros 00:40:48
en un punto 00:40:52
ese punto es 00:40:53
abro hasta A 00:40:56
porque obviamente esa circunferencia 00:41:03
tiene que ser tangente a A 00:41:05
y tiene que pasar por B 00:41:08
si no pasa es que algo he hecho mal 00:41:10
esa es 00:41:11
y a ver si puedo hacerlo con esto 00:41:18
para no sacar el compás 00:41:22
vale 00:41:24
el 2B PPR 00:41:34
cómo crees que va a ser 00:41:37
con directo y cuáles van a ser 00:41:39
tus centros de 00:41:45
cuáles van a ser tus líneas de centro 00:41:46
aquí ahora mismo no está 00:41:49
tan tan directo 00:41:53
pero a ver piensa 00:41:54
estamos en directo 00:41:56
toda la hoja pero piensa 00:42:01
a ver cómo crees que puede ser 00:42:04
tienes una ¿no? que es ¿cuál? 00:42:06
la de la mediatriz vale 00:42:10
pues empezamos con esa 00:42:12
y vamos a ver si la otra te 00:42:13
te sale sola 00:42:16
Tengo una mediatriz 00:42:17
Línea de centros 00:42:24
Tengo una, pero yo sé que para el directo necesito dos 00:42:52
Tú sabes 00:43:02
Que lo que nosotros estamos haciendo son 00:43:05
Circunferencias que sean tangentes 00:43:07
En este caso 00:43:10
Cuando tengo dos puntos 00:43:11
La circunferencia de solución tiene que pasar 00:43:13
Por esos dos puntos 00:43:15
Y tengo una recta 00:43:16
Esa recta 00:43:20
O sea, esa circunferencia tiene que ser tangente a la recta 00:43:21
¿Dónde va a ser tangente a la recta? 00:43:24
Por donde me ha pasado la mediatriz. Es decir, yo aquí tengo un punto T de tangencia. ¿No? Entonces, ¿cuántos puntos tienes ahora? Tres. Y con tres, ¿qué puedes hacer? 00:43:26
o de la diatriz, es como que has pasado 00:43:48
de tener el 00:43:51
PPR 00:43:53
a tener PPP 00:43:55
que eso pasa algunas veces, que cambias 00:43:56
de caso de repente 00:43:59
entonces dices, vale, pues yo 00:44:00
tú al final para resolver los ejercicios 00:44:02
de potencia es fundamental 00:44:06
que te imagines 00:44:07
la solución, porque eso 00:44:09
te va a ayudar a saber 00:44:11
por dónde te va a ir 00:44:13
quedando y lo que vas a tener 00:44:16
o sea, si no hubiéramos pensado aquí 00:44:17
por dónde me va a pasar la circunferencia 00:44:19
y que se me va a quedar tangente a la recta 00:44:21
no habríamos caído en este segundo 00:44:23
en esta segunda línea de centros 00:44:25
¿vale? 00:44:29
línea de centros 00:44:32
ahora sí, tengo dos 00:44:33
y se me cortan aquí 00:44:34
pues cojo 00:44:36
pincho con mi compás 00:44:39
abro hasta A y T 00:44:42
tengo que ser lo más preciso que pueda 00:44:45
y esto es 00:44:51
El centro de la circunferencia de solución. 00:44:53
¿Sí? 00:45:01
Vale. 00:45:21
Seguimos. 00:45:21
Y te dice PRR. 00:45:23
Pues, ¿cuántas líneas de centro necesito? 00:45:27
Dos. 00:45:29
Vale. 00:45:33
¿Qué casos? 00:45:34
El C y el B. 00:45:39
Perfecto. 00:45:41
Yo aquí sería el B. 00:45:41
Tengo una recta con un punto T de tangencia perpendicular. 00:45:43
Vale. 00:45:47
que se me ha movido la hoja 00:45:47
vale 00:45:58
tengo este, línea de centros 00:46:03
y el otro es 00:46:07
la bisectriz 00:46:09
la bisectriz 00:46:10
voy a hacer así bien grande que se vea 00:46:12
bisectriz 00:46:22
bisectriz 00:46:23
y lo unimos, vale 00:46:27
y esta es línea de centros 00:46:35
donde se cortan los dos 00:46:37
líneas de centros, ahí tengo 00:46:39
la circunferencia, ojo 00:46:41
Yo aquí ya tengo la perpendicular para sacar el punto T, tengo que sacar el punto de tangencia aquí en esta recta, si esta es la recta R, por ejemplo, esta es la recta S, tengo que sacarla del punto de tangencia en S, ¿cómo? Desde el centro perpendicular a la recta, aquí, esto es perpendicular y tú eres el punto T1, por ejemplo, perpendicular. 00:46:43
siempre tienes que tener los puntos de tangencia 00:47:17
si no tienes los puntos de tangencia 00:47:20
es un error 00:47:22
esto 00:47:23
no, primero tienes que sacar el punto de tangencia 00:47:25
siempre primero el punto de tangencia 00:47:29
y luego ya la circunferencia 00:47:31
vamos a trazarla 00:47:33
porque puede ocurrir 00:47:34
además en las 00:47:43
en esto de tangencias 00:47:44
por muy muy muy preciso 00:47:46
que seas 00:47:49
siempre se te va 00:47:49
un poco, no queda perfecto. Vale, pues lo dejamos aquí y seguimos. 00:47:53
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Carmen Ortiz Reche
Subido por:
Carmen O.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
1
Fecha:
25 de marzo de 2025 - 13:49
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES FRANCISCO AYALA
Duración:
48′ 01″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
1272x720 píxeles
Tamaño:
1.22

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