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Ejercicios Tema 6 - Contenido educativo
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Ejercicios sobre el trayecto radioeléctrico
En el trayecto de la figura, nos presenta un vano, un trayecto de un radio enlace que
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tiene 26 km y que trabaja en la frecuencia de 15 GHz. Nos dice el problema que los dos
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extremos tienen la misma cota sobre el nivel del mar, 960 m, es decir, y además tienen
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las alturas en ambos extremos igual a 20 m. Esto nos quiere decir que el trayecto radioeléctrico
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va a ser horizontal, lo cual simplifica enormemente el problema. También nos dice el enunciado
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que a 8 km del extremo A existe un obstáculo, que es el obstáculo dominante, y que tiene
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una cota de 956 m. El problema nos pregunta que considerando la curvatura de la Tierra
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con el K estándar de 1,33, calculemos el grado de despejamiento, es decir, la relación
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que existe entre el clearance, lo que llamamos C, y F1, que recordemos que es el tamaño
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de la primera zona de Fresnel en ese punto. Así que todo lo tenemos que realizar en este
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obstáculo. Para hacerlo vamos a ver un poco en detalle las circunstancias que se producen
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en este punto. Veremos que aquí tenemos la elevación de la Tierra, la altura del obstáculo
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y lo que nos queda despejado hasta alcanzar el punto de la trayectoria radioeléctrica,
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el punto central del elipsoide de Fresnel, que por lógica en este problema, que tenía
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una cota de 960 m más 20 de antenas, este punto va a estar situado a 980 m sobre el
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nivel del mar. ¿Cuál es el problema que tenemos que calcular? Simplemente la relación
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entre estas dos magnitudes. El primer paso que vamos a hacer siempre en estos casos es
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calcular cuánto vale la elevación de la Tierra en el punto kilométrico y para el
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trayecto considerado. La fórmula que tenemos que aplicar para calcular la elevación de la
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Tierra en un punto, conocidas las distancias x y d-x, es esta que tenemos aquí, que sustituyendo
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los valores, todos tienen que estar en metros, no olvidemos que aquí todas las unidades y todas
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las magnitudes ya sean muy grandes como el radio de la Tierra o las propias distancias que existen
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en el trayecto, hay que expresarlo en metros para obtener un resultado en metros. El valor
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que obtenemos sustituyendo a 8 km, 8.000 m, 18.000 km, 18.000 m, y el radio de la Tierra,
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que hay que expresarlo en metros y que es de 6.380 km expresado en metros. El resultado que
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nos da es de 8,48 m. Una vez que hemos calculado la elevación de la Tierra, el siguiente paso sería
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calcular cuál es el radio de Fresnel. El primer radio de Fresnel, lo que aplicaremos será esta
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fórmula que normalmente tiene las expresiones ya preparadas para poner la distancia en kilómetros
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y la frecuencia en megahercios. Por lo tanto, aplicando la fórmula para este caso concreto,
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sustituimos las distancias en kilómetros, 8, 18 y 26, y la frecuencia, como nos dice que trabaja
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en 15 gigahercios, pues vamos a utilizar 15.000, que es para expresar 15 gigahercios en forma de
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megahercios. Haciendo operaciones nos da un valor de 10,53 m. Ahora consiste en delimitar exactamente
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cuánto vale el clearance. Si vemos aquí estas magnitudes, que también hemos visto un poco al
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principio del problema, veremos que el trayecto radioeléctrico, lo que es la vena central del
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eripsoide de Fresnel, pasa a 980 metros. Por debajo lo que tenemos es la elevación de la tierra,
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que tiene 8,48 metros, y la cota del obstáculo, que el mismo problema nos dice que es de 956 metros.
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Por lo tanto, lo que nos queda libre es la distancia que hay entre esto y esto. Haciendo
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operaciones, una simple resta, restamos a 980, la suma de estas dos cantidades, y nos da un
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despejamiento de 15,52 metros. Conocemos el despejamiento, conocemos la zona de Fresnel,
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el valor que toma en ese punto para la primera zona de Fresnel, calcular las relaciones es una
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parte trivial, y haciendo las operaciones nos da un valor de 1,47, que bien expresado en forma
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de tanto por ciento, podríamos indicar que hay un despejamiento del 147% de la zona completa de Fresnel.
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En la segunda parte del problema, nos pide el enunciado que calculemos algo parecido a lo
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anterior, pero considerando la tierra plana, es decir, con un K infinito. Vemos que en el
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problema anterior nos pedían cuál era el grado de despejamiento, es decir, cuál era la relación
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que había entre distintas magnitudes. En este otro caso nos dicen que ya hay un despejamiento
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fijo de 0,6 de la zona de Fresnel, y lo que nos pregunta el problema es a qué altura mínima
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tenemos que situar las antenas para obtener ese despejamiento. Es como un poco la pregunta inversa,
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pero eso sí con tierra plana. Vamos a ver un poco las las cotas. Aquí, en esta circunstancia,
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tenemos una tierra plana, eso es en primer término. En segundo lugar, ya hemos eliminado la elevación
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de la tierra, y lo único que tenemos es la cota del terreno. Esto de aquí es lo que corresponde
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a la primera zona de Fresnel, y por aquí es por donde pasaría el rayo radioeléctrico. ¿Cuánto
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es esta magnitud de la zona de Fresnel? Pues como habíamos visto en la primera parte del problema,
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el radio completo de la zona de Fresnel era de 10,53, pero en esta segunda parte lo que nos piden
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es el 0,6 de la zona de Fresnel, así que tendremos que calcularlo, y el 0,6 simplemente es multiplicar
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por 0,6 al valor de la zona completa, y nos da que tenemos que mantener un despejamiento de 6,32
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metros en este segmento. Por lo tanto, simplemente haciendo operaciones, podemos ver que este punto
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de aquí, que es por donde pasa el rayo radioeléctrico, siempre es importante calcular este
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punto, ese punto tiene que estar a 956, que es la cota del obstáculo, más 6,32, que es el 0,6 de la
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zona de Fresnel, pues en total ese punto, el trayecto horizontal del rayo que une las dos
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antenas del vano, estará a 962,32. ¿Es eso lo que nos piden? No, no, el problema lo que nos está
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pidiendo es a qué alturas tengo que situar las antenas, pues para eso tenemos que ver el vano
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completo. Si sabemos que las antenas tienen que tener una cota absoluta de 962,32 y que en ambos
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extremos, tanto aquí como aquí, la cota del suelo es de 960, ¿cuánto es la altura mínima que tenemos
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que situar esas antenas para que pasemos por aquí a 962,32? Pues vemos que este valor es simplemente
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la diferencia y nos da un resultado de 2,32, esa sería la altura mínima a la que habría que situar
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las antenas en las torres respectivas de este radioenlace para despejar 0,6 del radio de
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Fresnel en el obstáculo dominante del vano.
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El enunciado del problema nos pide calcular la cota, la altitud de un obstáculo sobre el nivel
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del mar que se encuentra en un trayecto radioeléctrico, utilizando el método de la rasante
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óptica y considerando la curvatura de la Tierra. En este caso, como el método de la rasante óptica
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nos aconseja que el observador se sitúe en el punto más próximo al obstáculo, en este caso será el
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punto del terminal A, mientras que el destello se producirá con otro compañero técnico desde el
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extremo B. Así pues, tenemos destellos que se realizan desde B y un observador que se sitúa
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en el extremo A y que va subiendo y bajando por la torre hasta que enrasa el destello con el obstáculo
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dominante del vano. En ese momento lo que anotamos son los valores desde el punto que se ha hecho el
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destello, el destello se ha hecho en el extremo B a 20 metros de altura y en el extremo A el
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observador ha tenido que subir 32 metros sobre el suelo para dejar de ver el destello o empezar a
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verlo. A partir de estos datos vamos a construir el problema. En primer lugar, vamos a tener en
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cuenta estos dos triángulos que están en la geometría del problema, el triángulo OAB que es
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el triángulo grande y el triángulo NMB que es el triángulo pequeño. Ambos triángulos son
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semejantes porque tienen un ángulo igual y los lados paralelos. A partir de dos triángulos
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semejantes podemos establecer relaciones de semejanzas como las que vienen aquí. Por ejemplo,
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podemos decir que el lado AO que es el lado vertical del triángulo grande dividido entre el
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lado vertical del triángulo pequeño es igual que el cateto grande OB dividido entre el cateto del
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triángulo pequeño. Estableciendo esta relación de semejanza y sustituyendo los valores vemos que
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por ejemplo AO es este tamaño, este segmento. ¿Este segmento a qué será igual? Pues será igual a la
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cota que tiene este punto de aquí. Este punto de aquí es HA más TA menos la cota que tiene este
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otro punto que es HB más TB. Eso por una parte. Ahora, ¿qué es el lado MN? El lado MN pues es el
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que queremos calcular y nosotros todavía no le conocemos. ¿Qué es el lado OB? El lado OB es la
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suma de las dos distancias, DSU1 más DSU2 y el lado NB pues la distancia DSU1. A partir de aquí
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poniendo números, puesto que todos estos datos son conocidos, podemos ver que existe esta relación y
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nos permite calcular cuánto vale el segmento MN, que es lo que queríamos calcular. Este segmento
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de aquí es el que nos interesa conocer para seguir avanzando en el problema. Y ese segmento haciendo
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operaciones vemos que vale 6,66 metros. Así que tenemos un rayo de la luz, en este caso que es
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arrasante y que pasa y que tiene aquí un segmento sobre el punto este, el punto TB más HB, más 6,66
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que es por donde pasa el rayo de luz. Ya tenemos una parte importante del problema. Vamos a seguir
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avanzando. Lo que vamos a hacer ahora es calcular la elevación de la Tierra, para lo cual tenemos
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que aplicar la clásica fórmula en la que ponemos las distancias. Pero en este caso, a diferencia de
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los problemas que hemos hecho anteriormente, el K de la Tierra no es el K de la radio, sino que es el K
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de la luz, que siempre va a valer 1,18. Aplicando la fórmula podemos calcular cuánto sería esta
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protuberancia de la Tierra o esta elevación de la Tierra, que nos daría un valor de 21,25 metros.
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Ponemos 1,18, las distancias en metros y el radio de la Tierra en metros. Una vez que conocemos ya
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estas magnitudes, tanto la elevación de la Tierra como el segmento MN, en este contexto vamos a
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intentar calcular lo que necesitamos, que no nos olvidemos que lo que queremos calcular es la
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cota del obstáculo, la cota real del obstáculo, lo que marcaría un plano en este punto, para una
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montaña, para un obstáculo, para la suma de un obstáculo más un edificio, etc. Para lo cual, lo
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que vamos a analizar un poco es esta recta vista desde dos ángulos. Si la vemos desde este lado,
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por el lado izquierdo tenemos MN más HBTB. Por el lado derecho, ¿qué es lo que tenemos? Tenemos
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el obstáculo que queremos calcular, que vale X, más la elevación de la Tierra. Estas dos magnitudes
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son la misma, así que hacemos una igualdad, MN más HBTB igual a X más E, y a partir de aquí,
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esto nos va a permitir despejar X, simplemente despejando de la ecuación. Calculamos X y X será
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igual al segmento MN más HBTB menos la elevación de la Tierra, como estas tres cantidades, ya las
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conocemos porque las hemos calculado previamente, podemos inferir que X, y por lo tanto X es igual
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a 6,66, que es MN, más la suma de HBTB, que es 980 metros, nos lo dice el problema en el enunciado,
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y le quitamos la elevación de la Tierra, la elevación de la Tierra que la hemos calculado
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antes, que valía 21,25 metros. Haciendo estas operaciones nos da una cota del obstáculo de
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965,41 metros, que es una cota real, ya descontando elevación de la Tierra y cualquier otra curvatura.
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Nos pide ahora el problema calcular la cota del obstáculo también utilizando el método de la
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rasante óptica, pero en esta ocasión no vamos a considerar la curvatura de la Tierra, vamos a
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considerar una Tierra plana en la cual el K de la Tierra, sea para la luz o para la radio, va a ser
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infinito. En estas condiciones vamos a volver a plantear el problema. Lógicamente, igual que en
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el caso anterior, vamos a tener los triángulos o los dos triángulos en los que tenemos que
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aplicar la regla de semejanza para calcular el segmento M-N, pero en esta ocasión vamos a tener
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una Tierra plana. Bien, aquí vemos que en estos dos triángulos se pueden establecer la clásica
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relación de semejanza, que es la misma que teníamos antes, pero ahora vamos a establecer otra. Por
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ejemplo, el lado M-N dividido entre la distancia del cateto adyacente, este de 20 kilómetros, esta
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relación es la misma que se produce en el lado grande entre 12 partido por 36, que es la distancia
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total del vano. A partir de aquí podemos calcular el valor del segmento M-N, que en esto no hay
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variación con respecto al caso anterior, y vemos que el segmento M-N sigue valiendo 6,66.
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Donde sí vamos a encontrar diferencias con el caso anterior va a ser cuando analicemos la suma
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de segmentos por un lado y por el otro en este punto kilométrico donde está el obstáculo enrasado
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con el rayo óptico. En este caso, antes veíamos que teníamos, mirando por este lado, dos segmentos,
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el segmento M-N que ya hemos calculado y la altura del extremo B, que era H-B más T-B, y mirando por
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el lado derecho veíamos que teníamos la cota del obstáculo que queríamos calcular más la elevación.
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En este momento la elevación no existe, así que todo este extremo de aquí es igual, que es lo que
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queremos calcular, el segmento X es igual a H-B-T-B más M-N, que podemos establecer una ecuación y
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calculamos exactamente a qué altura tendría este punto. Sería la cota de la estación B más la
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torre de B más el segmento M-N que hemos calculado, directamente nos da un valor para la cota del
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obstáculo en tierra plana de 986. Fíjense que en el caso anterior, considerando la curvatura de la
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tierra, nos había dado 965 metros y ahora tenemos 986, lo cual implica un incremento, haciendo la
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medida, haciendo el destello, con tierra plana, casi de 20 metros más de diferencia para el
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obstáculo. Así que esto nos hace considerar que para un trayecto de un vano de 36 kilómetros no
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podemos obviar la curvatura de la tierra y que para hacer los cálculos de rasante óptica es
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fundamental tener en cuenta la curvatura de la tierra. Eso sí, siempre con el K de la luz que es 1,18.
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En el enunciado del problema se nos presenta un trayecto radioeléctrico, un vano de 26 kilómetros
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para dos terminales que tienen distinta cota sobre el nivel del mar. Vemos que el terminal A tiene
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una cota de 960 metros y el terminal B tiene una cota del terreno de 800 metros. En ambos
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casos tienen la altura sobre el suelo es de 20 metros. Bien, el problema lo que nos pide es que
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calculemos el ángulo de elevación de las antenas, primero en el punto A, que es este problema, y
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después posteriormente lo haremos sobre el punto B. Para abordar el problema tenemos que tener en
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cuenta la curvatura de la tierra, que a diferencia de los esquemas anteriores que hemos manejado
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para el cálculo de las alturas mínimas o el clearance o también incluso para la rasante
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óptica para calcular el obstáculo en mitad del vano, la curvatura de la tierra siempre aparecía
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en el interior del vano, estando los extremos completamente a cero. Y la curvatura o lo que
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era el abombamiento de la tierra era lo que era el interior del vano. Para el cálculo del ángulo de
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elevación el planteamiento es diferente. Toda la curvatura de la tierra asignada a una distancia
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de 26 kilómetros se atribuye al extremo donde queremos calcular el ángulo de elevación. En
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este sentido vamos a tener que aplicar una fórmula que es algo diferente de la que habíamos aplicado
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en los casos anteriores en los otros cálculos. Antes entraban en juego dos distancias, la distancia
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x y d-x, mientras que ahora lo que va a entrar en juego es la única distancia que es la distancia
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del vano, la distancia d, que en este caso es de 26 kilómetros. Esta distancia lógicamente hay que
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ponerla al cuadrado y se atribuye completamente al extremo donde queremos calcular el ángulo de
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elevación. La fórmula de lo que es el K, lo que es el radio de la tierra, es exactamente igual que en
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los casos anteriores. Bien, seguimos avanzando en el problema y para este trayecto concreto vamos a
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calcular cuánto valdría esa elevación de la tierra, pero primero vemos aquí un poco la geometría
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también del problema. El cálculo de la elevación de la tierra sin duda nos va a dar un valor en este
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caso de 39,83 metros cuadrados y que atribuiremos completamente al extremo A. Con respecto a la
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geometría del problema, nosotros lo que pretendemos calcular es el ángulo alfa, que es un ángulo
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negativo dado que la cota de este punto, que son 960 metros, es mayor que la de este de 800, por lo
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tanto el ángulo es descendente. Pero como para poder visualizar mejor y poder hacer el
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cálculo, lo que vamos a calcular es este otro ángulo alfa, que es idéntico a este, solamente que
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luego le tendremos que cambiar de signo y hacerlo negativo. En este triángulo, en el triángulo OAB,
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sí que es fácil, es un triángulo rectángulo y calcular el ángulo alfa es bastante sencillo,
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para lo cual simplemente habría que aplicar la fórmula de la tangente inversa, es decir,
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cuál es el arco cuya tangente vale AB partido por el cateto contiguo, que en este caso es la
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distancia del vano. Si hacemos un poco los cálculos, veremos que el segmento AB, que es
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este segmento, el cateto opuesto, es igual a la diferencia de cotas que tiene este lado menos
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este otro. Este lado de aquí, que es H1 más T1, y eso sí, hay que sumar la elevación de la tierra que
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se atribuye a este extremo, que es este segmento de aquí. Este es el segmento grande, le quitamos
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el segmento pequeño, que es H2T2, y ya nos va a dar lo que es el segmento AB, mientras que en lo
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que es en el cateto contiguo solamente vamos a tener que poner en juego la distancia. Haciendo
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números, sabemos que la cota de A es 960 más 20, y que la elevación de la tierra que atribuimos a
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este extremo es 39,83. El extremo B, el extremo más bajo, es 800 más 20 de la altura en torre, y
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por supuesto la distancia del vano, que tenemos que ponerla en metros, por eso los 26 kilómetros se
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me transforman en 26.000 metros. Haciendo los cálculos y calculando el ángulo cuya tangente
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vale este número, es un ángulo muy pequeño, como podían esperar, y el ángulo es de 0,44 grados,
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que expresado en forma de minutos sesagesimales nos daría un valor de 26 minutos 26,4 minutos.
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Ya hemos dicho al principio del problema que este no es el ángulo de elevación. El ángulo de
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elevación es el inverso de éste, por lo tanto es un ángulo negativo, y su valor sería hacia abajo de 26,4 minutos.
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En el problema ahora se nos pide que calculemos el ángulo de elevación en el otro extremo del
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trayecto. Es el mismo trayecto, antes lo calculamos en el trayecto más alto y ahora lo vamos a
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calcular en el trayecto más bajo. Pues vamos a la geometría, si observamos la geometría ahora es un
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poco simétrica en el extremo izquierdo, donde antes estaba el A, ahora hemos colocado el extremo B,
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en el cual tenemos una altura relativamente baja, que es la de 800 más 20, pero es verdad que también
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en este caso, como es aquí donde vamos a calcular el ángulo, le hemos sumado la elevación de la
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tierra que ya habíamos calculado, porque se trata de la elevación de la tierra para todo el vano.
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Ese valor habíamos visto que aplicando la misma fórmula que teníamos nos daba un valor de 39,83
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para esta elevación de la tierra que atribuimos en este caso al extremo B. Ya una vez conocido el
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dato de la elevación de la tierra, simplemente ahora tenemos que tener en cuenta que el ángulo
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alfa que ahora queremos calcular es este ángulo, que es un ángulo positivo, y no hay por qué cambiarle
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de signo con respecto al ángulo del triángulo que nos va a facilitar las operaciones. Es decir,
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en esta ocasión el ángulo de elevación alfa es un ángulo positivo, un ángulo hacia arriba, en el cual
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es igual por alternos internos a este ángulo. Este ángulo alfa en el triángulo OAB, ¿cómo lo
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podemos calcular? Pues como hicimos en el caso anterior, aplicamos la fórmula de la tangente.
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Este ángulo alfa es igual a la tangente inversa del extremo opuesto AB dividido por el cateto
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contiguo, que es la distancia del vano o distancia D. Haciendo operaciones y sustituyendo los segmentos
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vemos que el segmento AB en esta ocasión es el segmento que sigue siendo el más alto, el H2T2,
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que en este caso sería 960 más 20, 980, y en el extremo B, en el extremo que tenemos que restar,
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es el extremo más pequeño, sería 800 más 20, y eso sí sumando en esta ocasión la elevación de la
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tierra. A partir de aquí, haciendo números, nos sale un valor de la tangente en el cual
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el valor calculado es de 0,265 grados, 15,9 minutos, que es distinto que el que habíamos
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calculado para el otro extremo. Aunque fuera, por supuesto, más allá del signo, el valor absoluto
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es también diferente. ¿Por qué? Porque en la ocasión anterior hemos tenido en cuenta la elevación de
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la tierra para calcular el ángulo en el extremo A y ahora la estamos teniendo en cuenta para
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calcularla en el extremo B. Por lo tanto, los ángulos no son exactamente uno el inverso del otro.
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Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Pedro Luis Prieto
- Subido por:
- Pedro Luis P.
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- 12 de diciembre de 2022 - 23:00
- Visibilidad:
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- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 1024x768 píxeles
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