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la derivada 2 - Contenido educativo

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Subido el 27 de febrero de 2023 por Agustin M.

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la función derivada, derivabilidad

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vamos a estudiar la derivada como función 00:00:01
sabemos que da una función cualquiera por ejemplo la parábola 00:00:06
y igual a x cuadrado podemos obtener una función que 00:00:11
será su derivada 00:00:16
en este caso la igual a dos x el tema 00:00:19
anterior 00:00:22
obtuvimos calculando un límite 00:00:23
esta forma para pedir cualquier función igual a x obtendremos 00:00:27
una función derivada igual a efe prima de x 00:00:33
el significado de la función derivada es muy preciso 00:00:39
dado un punto de nuestra función original con coordenadas equis 00:00:44
igual a uno si trazamos la recta tangente 00:00:48
y medimos su pendiente este caso pendiente igual a dos 00:00:52
el valor de la función derivada para el valor de 00:00:57
x igual a uno 00:01:00
será dos 00:01:02
bien de esta forma podremos a partir del gráfico de 00:01:07
nuestra función original incluso aunque no dispongamos 00:01:12
nuestra función derivada realizar algunas estimaciones y comparaciones muy útiles 00:01:19
y cuya interpretación emplearemos en los temas siguientes 00:01:26
por ejemplo podemos estudiar el signo de la función derivada 00:01:30
si en vez de nuestro punto uno tomásemos un punto 00:01:36
por ejemplo a la izquierda 00:01:39
tercero las rectas tangentes tienen pendiente negativa por lo tanto 00:01:43
el valor de la derivada en sus puntos será negativo 00:01:49
también podremos establecer ciertas comparaciones si tomásemos ahora un punto 00:01:53
entre el cero y el uno por ejemplo el cero 00:01:58
con cinco 00:02:03
tenemos que la derivada en ese punto será menor 00:02:05
que la derivada en el punto uno es decir efe 00:02:10
prima de cero con cinco menor que s 00:02:14
prima de uno 00:02:18
una vez que sabemos que daba a una función podemos 00:02:22
en general obtener la función derivada cabe preguntarse cuando realmente 00:02:26
existe la derivada de una función en un punto 00:02:31
y si existe siempre 00:02:35
formulado de una manera análoga la pregunta sería cuándo es 00:02:38
derivable 00:02:42
en nikki su celo 00:02:45
la respuesta natural es cuando el límite que define la 00:02:47
función derivada existe 00:02:51
pero queremos en esta sección tener una 00:02:54
interpretación intuitiva 00:02:59
de lo que significa tener derivada y no tenerla en 00:03:02
un punto 00:03:06
en primer lugar para que la función sea derivable 00:03:08
la función ha de ser continua en el punto 00:03:13
en un lenguaje más matemático 00:03:18
se formula diciendo que si nuestras funciones derivable en el 00:03:21
punto equis u cero entonces f es continua en x 00:03:25
cero 00:03:29
con frecuencia usamos esta proposición 00:03:31
en su forma equivalente 00:03:34
diciendo que sigue fe no es continua en el punto 00:03:37
x cero nuestra función tampoco será derivable 00:03:40
veamos las situaciones que se producen supongamos una función cuyo 00:03:45
gráfico viene representado 00:03:51
con una discontinuidad 00:03:53
de salto 00:03:56
en este caso posee la función discontinua sabemos que nuestra 00:03:59
función no será derivable 00:04:03
pero qué otros motivos puede dejar de existir la derivada 00:04:06
vamos como decíamos hacer un repaso a aquellas situaciones más 00:04:11
características 00:04:16
además de la falta de continuidad 00:04:18
puede producirse una situación como la indicada en este gráfico 00:04:21
en la que una función a la derecha y a 00:04:26
la izquierda da un punto tengo una definición distinta puede 00:04:29
ser el caso de una función definida a trozos en 00:04:33
este caso si trazamos la recta tangente por la izquierda 00:04:37
y trazamos la recta tangente por la derecha o como 00:04:41
también se dice calculamos la derivada por la derecha y 00:04:46
la derivada por la izquierda observamos que no son iguales 00:04:49
usando el símil de una carretera tenemos que los dos 00:04:53
tramos de carretera se conectan las funciones por lo tanto 00:04:56
continúa en el punto donde se juntan sin embargo el 00:05:02
trazado no tiene una recta tangente en el punto 00:05:08
diremos en este caso que la función tiene un un 00:05:14
pico 00:05:17
otra situación por la que deja de existir la derivada 00:05:20
es una función con un gráfico de este estilo que 00:05:24
podría ser el gráfico de la la raiz cubica 00:05:27
tenemos aquí 00:05:31
que si trazamos la derivada tendremos que el valor de 00:05:33
la derivada es infinito en este caso también decimos que 00:05:36
la derivada no existe los valores de las rectas tangentes 00:05:40
según nos acercamos a x empiezan a estar cada vez 00:05:46
más ver 00:05:53
locales 00:05:53
por último cuando existe la derivada 00:05:56
en general la derivada independientemente de que nuestra función venga 00:06:00
dada a trozos 00:06:04
vamos a tener que existirá primero cuando se dé la 00:06:06
continuidad y por otro lado cuando tanto por la derecha 00:06:10
como por izquierda las rectas tangentes coincidan 00:06:14
en este caso en el que la función sea derivable 00:06:19
en nuestro mundo y que su cero usando una denominación 00:06:24
anglosajona 00:06:27
podríamos decir que la función es derivable o que la 00:06:29
función 00:06:32
es suave 00:06:33
veamos ejemplos de funciones de derivable es 00:06:36
entre las funciones no derivable es 00:06:41
tenemos la función valor absoluto sabemos que la moción valor 00:06:44
absoluto es una función definida a trozos 00:06:48
el valor absoluto de x será x si x es 00:06:54
mayor o igual que cero y menos x si x 00:06:56
es menor o igual que cero 00:07:01
su gráfica sabemos que corresponde a dos semirrectas que se 00:07:05
juntan en el origen y claramente esas rectas 00:07:07
tienen un pico en el punto cero cero por lo 00:07:12
tanto la función valor absoluto no es derivable en el 00:07:16
punto cero o podemos escribir connotación matemática que la derivada 00:07:19
no existe en el punto cero 00:07:26
otra función en este caso definida no a trozos sino 00:07:29
con una única expresión algebraica podría ser la raíz cubica 00:07:32
de equis cuadrado 00:07:36
si obtenemos el gráfico de esta función con cualquier software 00:07:39
veremos que tiene el siguiente aspecto 00:07:44
si calculamos las derivadas según nos aproximamos al valor equis 00:07:47
igual a cero 00:07:52
tendremos que la derivada en el cero tampoco existe por 00:07:54
un lado en los valores tienden a infinito si hacemos 00:08:00
las derivadas por la derecha y si hacemos las derivadas 00:08:03
acercándonos a cero por la izquierda sus valores serán menos 00:08:06
infinitos 00:08:10
en este caso también diremos que la derivada no existe 00:08:12
a veces decimos que la derivada explota en ese punto 00:08:17
vamos a abordar ahora cómo calcular derivadas el cálculo de 00:08:25
una derivada como hicimos en el primer tema dedicado a 00:08:30
derivación mediante la definición de límite resulta un proceso laborioso 00:08:34
que conviene 00:08:39
automatizar o facilitar para ello usamos las reglas de derivación 00:08:41
existen como dos bloques de reglas de derivación 00:08:47
primer buque bloque responde a la derivada de combinar funciones 00:08:51
mediante operadores aritméticos 00:09:00
tenemos así como calcular la derivada de una constante 00:09:04
dado un número derivada del producto de una constante por 00:09:09
una función 00:09:13
la suma 00:09:16
de dos funciones el producto o el cociente 00:09:18
solo con estas reglas 00:09:23
podemos calcular derivadas de funciones 00:09:26
que podemos construir combinando estos operadores por ejemplo 00:09:30
sabemos calcular la derivada de x cuadrado hasta ahora la 00:09:37
única función cuya derivada hemos sostenido por métodos elementales si 00:09:40
ahora quisiéramos calcular la derivada de cinco equis cuadrado más 00:09:45
tres tendríamos que al tratarse de una suma descomponemos en 00:09:49
dos derivadas cada sumando es derivado 00:09:54
y obtenemos un resultado final en este proceso habríamos usado 00:09:57
número tres para hacer la derivada de una suma 00:10:05
la regla número dos para sacar la constancia de la 00:10:09
derivada como se suele decir 00:10:11
para derivar la propia constante tres y obtener el valor 00:10:14
cero 00:10:17
y por último derivaremos nuestra función equis cuadrado como la 00:10:19
función de os x que es el dato que conocemos 00:10:24
por los cálculos efectuados anteriormente 00:10:28
en este conjunto de derivadas es insuficiente 00:10:32
queremos ampliarlo con algunas reglas de derivación más esta tarea 00:10:37
era derivada de las funciones elementales 00:10:42
tenemos por un lado derivada de una potencia derivada de 00:10:47
la función exponencial 00:10:52
que resulta ser la única función 00:10:55
cuya derivada es ella misma derivada de la exponencial de 00:10:59
bacheado con un número real mayor que cero la derivada 00:11:04
del logaritmo net peruano obra derivada del logaritmo en base 00:11:08
también tendremos las derivadas de las funciones trigonométricas seno de 00:11:16
x coseno de x y gente de x a las 00:11:21
que podríamos añadir 00:11:26
el acechante cosechan cántico otra gente 00:11:29
y por último el bloque de las funciones trigonométricas inversas 00:11:32
arco seno arco coseno y tangente con este conjunto de 00:11:37
reglas que puede ser ampliado 00:11:42
podemos derivar un gran número de defunciones 00:11:45
sin embargo el número de funciones que podemos derivar sería 00:11:52
muy limitado si no tenemos en cuenta la regla de 00:11:58
la cadena la regla de la cadena nos va a 00:12:00
permitir derivar funciones que resultan de la composición de dos 00:12:04
funciones 00:12:09
las reglas anteriores que hemos estudiado permiten derivar combinaciones de 00:12:10
funciones 00:12:15
hechas con los operadores aritméticos de la suma resta multiplicación 00:12:17
y división por ejemplo emociones construidas como equis cuadrado más 00:12:22
el seno de x por el logaritmo de x donde 00:12:28
tenemos una suma y un producto pero la forma de 00:12:32
construir funciones más 00:12:36
compleja y más interesantes mediante la composición la composición de 00:12:38
dos funciones en la que el valor de la primera 00:12:42
función pasa a ser la x de la segunda función 00:12:46
la regla de la cadena 00:12:52
nos va a permitir derivar funciones como está el logaritmo 00:12:55
del seno de x es importante notar que una función 00:13:00
construida de esta forma 00:13:04
no puede ser construida combinando operadores aritméticos 00:13:08
lo que dice la regla de la cadena es lo 00:13:16
siguiente 00:13:18
si deseamos hacer la derivada de una composición 00:13:19
derivaremos la última función será aplicada en el valor de 00:13:23
la primera y multiplicaremos por la derivada de la primera 00:13:28
función también se afirma a veces que la derivada de 00:13:33
la composición es la derivada de la de fuera aplicada 00:13:37
en la de dentro múltiple 00:13:41
cada por la de dentro 00:13:43
veamos esto en un ejemplo 00:13:45
supongamos 00:13:47
que deseamos derivar la función logaritmo en el peruano 00:13:50
de x cuadrada menos x en este caso haciendo uso 00:13:55
de la regla cadena tendremos que darnos cuenta de quién 00:13:59
es la última función en ser aplicada la función de 00:14:03
fuera y cuál es la primera función en ser aplicada 00:14:06
o la función de dentro en este caso iremos 00:14:11
qué es la derivada de la de fuera aplicada en 00:14:15
la de dentro de la función de fueras un logaritmo 00:14:19
por lo tanto su derivada es uno partido por x 00:14:23
pero hemos de aplicarla 00:14:28
en el valor 00:14:32
de la función de dentro por lo tanto en vez 00:14:34
de uno partido por x tendremos que escribir uno partido 00:14:38
por fedex en este caso de x cuadrada menos x 00:14:43
nos falta tan solo multiplicar por la derivada de la 00:14:48
de fuera es decir la derivada de equis cuadrado menos 00:14:51
secas 00:14:55
haciendo la derivada de este polinomio y multiplicando obtenemos como 00:14:56
resultado final dos x menos uno partido por x cuadrada 00:15:02
menos x 00:15:07
Subido por:
Agustin M.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
27
Fecha:
27 de febrero de 2023 - 13:27
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LAGUNA DE JOATZEL
Duración:
15′ 11″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
64.88 MBytes

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