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Tema 4.- Ecuaciones y Sistemas. 5ª sesión. Problemas usando sistemas 18-02-2025 - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas, esta es la clase de matemáticas correspondiente al día 18 de febrero. 00:00:00
Esta clase no se pudo grabar ese día porque fallaron las tecnologías. 00:00:08
Se intentó grabar al día siguiente y volvió a fallar, lo cual es la tercera grabación que voy a hacer. 00:00:15
Espero que la tercera vaya a la ventana. 00:00:22
Verónica y Yolanda, que estuvisteis presentes en la clase online, 00:00:24
Si me dejo algún ejercicio sin hacer de los que hicimos ese día, creo que los he recuperado todos 00:00:29
Pues por favor me ponéis un correo y me decís y el próximo día lo resolvemos o lo grabo aparte 00:00:35
Creo que tengo todos los que estuvimos haciendo pero como se paró la grabación a mitad de clase 00:00:43
Pues ya no sé si me he dejado alguno atrás, creo que no 00:00:50
Bueno, vamos a ver hoy cómo se resuelven sistemas de problemas utilizando sistemas de ecuaciones 00:00:54
Veremos que la forma de plantear esas ecuaciones va a ser mucho más sencilla que cuando utilizamos ecuaciones de primer y segundo grado 00:01:02
Y luego la forma de resolver esos sistemas que me queden, pues yo puedo elegirla 00:01:12
Va a ser válido cualquier método 00:01:18
seremos nosotros quienes decidiremos según los coeficientes y la ecuación que nos haya quedado 00:01:20
si utilizo el método de sustitución, reducción o igualación 00:01:27
cualquiera de los tres sería válido 00:01:31
lo más importante aquí en estos problemas es que planteemos bien las ecuaciones 00:01:33
que escribamos bien las condiciones que nos dice el problema 00:01:39
para que luego las soluciones sean correctas 00:01:42
Entonces, vamos a ver paso a paso cómo tendríamos que atacar estos problemas. 00:01:45
Os pongo aquí esos pasos que tenemos que seguir. 00:01:53
Lo primero, tengo que leer atentamente el enunciado para diferenciar qué datos me dan de los datos que me piden. 00:01:58
Una vez que tengo claro cuál es cada cosa, pues utilizaré las variables x e y para designar aquellos datos por los que me está preguntando, aquellos datos desconocidos. 00:02:07
Igual que hacíamos en ecuaciones de primer y segundo grado, nada más que allí como sólo había un dato desconocido, en principio sólo utilizábamos una variable. 00:02:23
Aquí tenemos que utilizar dos variables. 00:02:32
El utilizar dos variables nos va a permitir mucho más margen de maniobra 00:02:34
y que sea más sencillo el poder escribir esas ecuaciones 00:02:41
Tercer paso, plantearemos nuestro sistema de ecuaciones 00:02:45
traduciendo al lenguaje algebraico los datos del problema 00:02:50
y os aconsejo que lo hagáis lo más literalmente posible 00:02:54
puesto que tengo ahora más margen al poder utilizar dos variables 00:02:58
solo es que literalmente vaya traduciendo a ese lenguaje algebraico 00:03:02
los datos del problema 00:03:07
no busquéis el querer ya del tirón poner todas las condiciones 00:03:08
el querer ya como quien dice resolver el sistema 00:03:15
sin ni siquiera haberle planteado 00:03:19
porque ahí es donde me puedo pues confundir 00:03:20
cuanto más literal sean las cosas mejor me va a salir 00:03:24
Una vez que tengo planteado el sistema de ecuaciones 00:03:29
Pues como he dicho, lo resuelvo por el método 00:03:32
Que me resulte más cómodo 00:03:35
Que me parezca va a ser más rápido 00:03:37
Con el que yo tenga más confianza 00:03:39
Como queráis, da igual, cualquiera va a valer 00:03:41
Quinto paso 00:03:43
Pues explicamos la solución del problema 00:03:45
Con una frase cortita 00:03:49
Respondiendo a la pregunta que nos hacen 00:03:51
Si en el paso 1 pusimos ya 00:03:53
Así muy especificadas 00:03:56
los nombres de las variables, pues ya con esa explicación podría completar mi solución. 00:03:58
Y por último, paso 6, os gusta poco hacerlo, pero es muy recomendable. 00:04:08
Compruebo que tanto la solución cumple el sistema de ecuaciones que he planteado, 00:04:14
como que se cumplen todas las condiciones y requisitos del problema. 00:04:21
acordados de aquellos ejercicios que me hablaban de edades 00:04:25
y que me salía un resultado negativo 00:04:29
pues ese resultado no es válido 00:04:32
pues aquí puede ocurrir que el sistema quede muy redondito 00:04:34
la solución valga para el sistema que yo he planteado 00:04:39
pero que cuando repaso las condiciones que me ponían 00:04:41
pues haya algo que no cuadre 00:04:44
pues entonces no me vale 00:04:46
o sea que tengo que dar una vuelta final 00:04:48
viendo que todo está en orden 00:04:51
y os aconsejo que lo hagáis 00:04:54
es un poco desesperante 00:04:56
cuando me salgo de un examen pensando 00:04:58
que me ha salido un ejercicio redondo 00:05:00
y luego por un pequeño detalle 00:05:02
pues como ya he dicho no he dado ni el reintegro 00:05:04
entonces se tarda muy poquito 00:05:06
reviso 00:05:08
todo 00:05:09
que todo cuadra 00:05:11
que todas las condiciones y todos los detalles cuadran 00:05:14
y ya me quedo conforme 00:05:16
acordaos que en este tema 00:05:17
tanto en ecuaciones de primer grado, de segundo 00:05:19
sistemas, problemas 00:05:21
podemos comprobar en todos los ejercicios si la solución es correcta. 00:05:23
Pues aprovechadlo y hacedlo, ¿vale? 00:05:28
Bueno, vamos a ver sobre un ejemplo estos pasos que hemos dicho. 00:05:30
Me dice que Marta tiene el doble de edad que Ana 00:05:36
y que entre las dos tienen 21 años. 00:05:41
Y nos pregunta cuántos años tiene cada uno. 00:05:45
Bueno, pues el primer paso que decíamos era poner nombre a los datos desconocidos 00:05:48
Esos datos desconocidos son las edades de cada una de estas dos hermanas 00:05:56
Empiezo por la que yo quiera 00:06:01
Pues edad de Ana, por seguir un poco el orden de aquella que no me dice nada de ella en principio 00:06:03
Pues le llamo X 00:06:10
Edad de Marta le llamo Y 00:06:11
Vamos a traducir ahora al lenguaje algebraico las dos condiciones que me están dando los datos del problema 00:06:15
Primera condición, Marta tiene el doble de edad que Ana 00:06:22
¿Cómo escribo eso? 00:06:26
Pues si la edad de Ana, de Marta, perdón, era Y y la edad de Ana era X 00:06:29
Lo que me está diciendo esto de condición que Y es igual a dos veces X, al doble de X 00:06:34
Pues lo escribo literal 00:06:40
me voy a la segunda condición y me dice que entre las dos tienen 21 años 00:06:42
¿Cómo junto yo las edades de las dos? 00:06:48
Pues sumándolas 00:06:52
Bueno, pues edad de Ana, que la llamé X 00:06:53
más la edad de Marta, que lo llamé Y 00:06:56
pues en total tiene que ser 21 00:06:59
Ya tengo mi sistema de ecuaciones 00:07:01
planteado con las condiciones que me decía el problema 00:07:04
Pues voy a resolverlo 00:07:09
Por el método que yo quiera. Ahora, antes de poneros ahí como locos a resolver, echamos un ojo a ver qué método me puede interesar más. 00:07:11
Y en este caso veo que como tengo en la primera ecuación ya despejado el valor de la Y, pues el que más me interesa es el método de sustitución, 00:07:22
porque tengo la mitad de las cuentas ya hechas. Pues lo que hago es sustituir el valor de Y que tengo aquí en esta primera ecuación, 00:07:31
en la segunda ecuación y me quedaría x más 2x, que es lo que valía esta y, igual a 21. 00:07:38
Ecuación de primer grado con una sola incógnita. 00:07:48
Resolvemos esta ecuación, que era juntar los términos semejantes y luego despejar la incógnita. 00:07:52
Pues junto los términos no semejantes, x más 2x, 3x, y en el otro lado lo igual, el 21. 00:07:59
despejo la x, el 3 que estaba multiplicando va a pasar dividiendo 00:08:05
pues el valor de x es 21 entre 3, 7 00:08:10
una vez que tengo lo que vale la x 00:08:14
el método de sustitución me decía que volviese a el paso en el que había despejado 00:08:17
la variable que me faltaba, en este caso la y 00:08:25
y sustituyese la x por su valor 00:08:29
Pues voy a ese paso y digo, la Y vale 2 veces el valor de X que es 7, 00:08:32
pues 2 por 7 es 14, pues la Y vale 14. 00:08:38
¿Qué significan este 7 y este 14? 00:08:42
Pues si me voy al principio donde puse los nombres, sé que la X era la edad de Ana, 00:08:45
entonces digo que Ana tiene 7 años, y la Y era la edad de Marta, 00:08:50
digo que Marta tiene 14 años. 00:08:55
Y ya he respondido a la pregunta que me hacían de cuántos años tiene cada una. 00:08:57
Estaríamos en el paso 5. 00:09:03
Vamos al paso 6 a comprobar que todo cuadra. 00:09:05
Digo, ¿es verdad que la edad de Marta es el doble que la de Ana? 00:09:08
Pues llego aquí y digo, ¿14 es el doble de 7? 00:09:13
Sí. 00:09:16
O sea, la Y que era 14 es dos veces 7 que es la X. 00:09:17
Sí. 00:09:22
Segunda condición. 00:09:23
Entre las dos suman 21 años. 00:09:24
7 más 14 es 21. 00:09:27
que sería comprobar esta segunda ecuación, 7 más 14, 21, entonces veo que las soluciones son válidas para el sistema 00:09:29
y que cumplen todas las condiciones que me daban en el enunciado, luego sé seguro que está bien resuelto el problema 00:09:40
y que es la solución correcta, ¿vale? Pues os aconsejo que hagáis estos 6 pasos hasta el final, 00:09:50
se tarda muy poquito en hacer la comprobación 00:09:57
y me aseguro que el problema está bien resuelto 00:10:00
bueno, pues ahora a continuación 00:10:04
vamos a hacer algún problema más 00:10:07
algunos son de los que teníais en las hojas 00:10:10
que os había mandado 00:10:13
que no estaban puestos para que los entregaseis 00:10:14
me parece que eran el 32 y el 34 00:10:19
o algo así, no sé, he cogido los enunciados ahí 00:10:22
luego los buscáis y otros pues son que los buscamos por internet el otro día 00:10:25
para ampliar algún problema más, vamos con ellos en un momento 00:10:31
bueno, pues vamos a por este primer problema, dice 00:10:35
que la suma de dos números diferentes da como resultado 28 00:10:39
y uno de esos números es el triple que el otro 00:10:44
¿cuáles son esos dos números? 00:10:48
bueno, pues me están preguntando por dos números 00:10:51
y me dice que son diferentes, o sea que tengo que empezar teniendo en cuenta esa condición, 00:10:54
que a nadie se le ocurra llamar a los dos x, porque si me dice que son números diferentes no puedo llamarles iguales. 00:11:05
Bueno, pues empiezo poniéndose un nombre, digo, primer número le llamo x y al segundo número le llamo y, ¿vale? 00:11:11
Ahora me dice que la suma de los dos da de resultado 28. 00:11:29
Pues mi primera condición es que lo sume y diga que el resultado de esa suma es 28. 00:11:40
Vamos a por la segunda condición. 00:11:52
Uno de los números es el triple del otro. 00:11:54
El que yo quiera de los dos, me da igual. 00:12:01
Y bueno, pues el segundo número, por decir alguno, es el triple del primero. 00:12:04
Pues le tendré que multiplicar por tres. 00:12:11
O sea, que he escrito literalmente lo que me estaba diciendo el problema en sus condiciones. 00:12:13
¿Vale? Ya tenemos el sistema planteado. 00:12:22
Voy a resolverlo. 00:12:27
¿Cuál sería el método más sencillo para resolver este sistema? 00:12:28
Pues al igual que el que hemos visto en el ejemplo 00:12:33
Como tengo despejada una de las variables en función de la otra 00:12:35
Lo que me interesa hacer es el método de sustitución 00:12:41
Porque ya tengo parte del ejercicio hecho 00:12:44
Pues vamos a hacer ese método 00:12:49
Y el método de sustitución me decía que despejase una variable 00:12:52
Vale, en función de la otra, ya la tengo aquí despejada, y que ese valor lo sustituyese en la otra ecuación. 00:13:02
Pues voy a hacer eso, me voy a la primera ecuación, y de donde ponía y, yo pongo su valor que hemos dicho que es 3x, 00:13:11
puesto que he dicho que la y vale el triple que la x. 00:13:20
Entonces, resuelvo esta ecuación de primer grado, que es sumar estos términos semejantes, despejo la x, que sería quitar ese 4 que está multiplicando, 00:13:24
que irá al otro lado dividiendo y entonces me da que el valor de x es 7, ¿vale? 00:13:40
Una vez que tengo lo que vale la x, pues método sustitución me decía que me volviese al pasito 00:13:49
donde tenía escrito el valor de y en función de x y sustituyese la x por su valor, 00:13:59
Pues cambio la x por un 7 00:14:05
Y me daría entonces que el valor de la y es 21 00:14:08
¿Vale? 00:14:13
Pues si yo me vengo a donde puse los nombres de mis variables 00:14:17
Puedo ver que el primer número que buscaba era el 7 00:14:21
Y que el segundo número que buscaba era el 21 00:14:26
O sea que si he escrito las condiciones al principio 00:14:30
perdón, los nombres al principio 00:14:33
ya me valen para explicar la solución 00:14:35
si no, pues puedo poner aquí abajo 00:14:37
que los números buscados 00:14:39
son 7 y 21 00:14:41
como prefiráis explicarlo 00:14:51
pero explicadlo, ¿vale? 00:14:52
y ahora vamos a comprobar que todo cuadra 00:14:54
digo, si miro la primera condición 00:14:57
que me daba el problema 00:15:00
que era que la suma de los dos números 00:15:02
fuese 28 00:15:04
que era esta primera ecuación 00:15:05
¿Es verdad que 7 más 21 da 28? 00:15:07
Pues sí, ¿no? 00:15:12
Segunda condición, que uno sea el triple que el otro. 00:15:14
¿Es verdad que el 27 que da la Y es el triple de 7 que es la X? 00:15:17
Pues sí. 00:15:22
Entonces, todas las condiciones cuadran, el sistema está bien resuelto y la solución del problema es correcta. 00:15:23
¿Vale? 00:15:33
Pues nos quedamos todos contentos. 00:15:33
Sé que este ejercicio está bien hecho. 00:15:37
Vamos a por el siguiente. 00:15:41
Y el siguiente, cuando estuvimos viendo la primera clase, 00:15:45
se acordarán las compañeras Verónica y Yolanda, 00:15:50
dijimos que le hacíamos por los tres métodos 00:15:53
para ver que cualquiera de los tres me valía para resolver el problema. 00:15:57
Pues vamos a recuperar esas tres opciones. 00:16:04
Pero lo primero que hacemos es plantear el sistema. 00:16:08
Para plantear el sistema vamos a ver qué nos dice el problema y a traducir al lenguaje algebraico las condiciones que me están dando en el problema. 00:16:17
Entonces, tengo que en una tienda, en una tienda electrónica, quiero comprar móviles y grabadoras de DVD. 00:16:29
La suma de los precios de un móvil y de una grabadora son 200 euros 00:16:39
Y si compro 8 móviles y 2 grabadoras tendré que pagar 1000 euros 00:16:45
Y me pide que calcule cuánto cuesta un móvil y cuánto cuesta una grabadora 00:16:51
Bueno, o el precio del móvil y el precio de la grabadora 00:16:57
Pues vamos pasito a pasito haciendo lo mismo de antes 00:17:01
Entonces, digo, datos desconocidos, pues, precio del móvil, que le voy a llamar X, precio de DVD, venga, para tardar menos en escribir, le llamo Y, ¿vale? 00:17:05
condiciones del problema 00:17:28
me dice que la suma 00:17:30
de los precios 00:17:33
de un móvil 00:17:34
y una grabadora es 200 euros 00:17:36
pues condición muy sencillita 00:17:39
el precio 00:17:41
de un móvil 00:17:43
más el precio de una grabadora 00:17:44
200 euros 00:17:46
como os dije 00:17:49
traduzco literalmente 00:17:50
las condiciones 00:17:53
a lenguaje algebraico 00:17:56
Ahora me dice, si compro 8 móviles y 2 grabadoras, tengo que pagar 1.000 euros. 00:17:57
Pues si compro 8 móviles, el valor de los 8 móviles será 8 por la X, que era el valor de un móvil. 00:18:06
Y si compro 2 grabadoras, será 2 por el valor de una grabadora. 00:18:14
Total de la compra, 1.000 euros. 00:18:20
ya tengo mi sistema de ecuaciones 00:18:23
planteado con esas dos variables 00:18:26
que he utilizado para dar nombre 00:18:30
a los datos desconocidos 00:18:32
y que cumplen las condiciones 00:18:33
que me dice el problema 00:18:35
bueno, pues voy a resolverlo 00:18:37
y como hemos dicho 00:18:40
puedo usar el método que yo quiera 00:18:41
vamos a hacerlo por los tres métodos 00:18:43
para que veáis que llego al mismo resultado 00:18:46
en los tres 00:18:48
entonces, pues que cada uno decida en cada momento 00:18:50
qué método le interesa más 00:18:54
o cuál le gusta más 00:18:56
o con cuál se siente con más seguridad para hacerlo 00:18:58
con tal de que terminemos de resolver el problema 00:19:02
pues vamos a empezar haciéndolo por repasar los tres 00:19:04
y en el mismo orden 00:19:08
con el método de sustitución 00:19:09
pues por sustitución 00:19:12
y recordamos cómo era el método de sustitución 00:19:15
El método de sustitución decía que despejase una de las variables, la que yo quisiese, en una de las dos ecuaciones, la que yo quisiese. 00:19:21
Pues si miramos nuestro sistema, parece que lo más razonable es despejar, por ejemplo, la y en la ecuación de arriba. 00:19:29
Podría despejar la x, me da igual. 00:19:38
Lo que no me interesa es despejar abajo porque me saldrían fracciones al tener las dos un coeficiente 8 y un coeficiente 2. 00:19:40
me voy a aquella variable que tenga de coeficiente un 1 00:19:46
porque va a ser la más sencilla de despejar 00:19:51
entonces digo en la ecuación de arriba 00:19:53
despejo la y y me queda que es 200 menos x 00:19:56
puesto que la x que estaba sumando la paso restando 00:20:03
y ahora lo que hago es después de haber despejado la y 00:20:07
en la ecuación de arriba es sustituir en la ecuación que me falta por usar, 00:20:13
que es la ecuación de abajo, o sea, que sustituyo esa y por lo que acabo de decir que vale, 00:20:19
que es 200 menos x. 00:20:27
Me queda una ecuación de primer grado con paréntesis, que sabemos ya de sobra resolverla, 00:20:32
que es quito los paréntesis, agrupo términos semejantes y despejo variable. 00:20:39
Pues vamos paso a paso. 00:20:45
Vamos a quitar paréntesis, me queda 2 por 200, 4, perdón, esto es un más. 00:20:47
2 por 200, 400, 2 por menos x, menos 2x, igual a 1000. 00:20:54
Agrupo términos semejantes, pues las x por un lado, lo que no tiene x por otro. 00:21:03
Entonces el 400 que estaba sumando en el lado izquierdo del igual pasa al derecho restando. 00:21:09
Sumo las x y me queda 6x, sumo los términos independientes o los restos en este caso, unos y otros, y me queda 600. 00:21:18
Entonces despejo la x y el 6 que estaba multiplicando a la x pasa dividiendo y me da que el valor de x es 100. 00:21:27
Bueno, pues cuando sabemos cuánto vale la X, únicamente tenemos que coger, venirnos al primer pasito y cambiar la X por su valor, entonces tendré que la Y es 200 menos ese 100, la Y me va a dar que también vale 100. 00:21:37
Ya tengo resuelto mi sistema 00:22:04
Pero tengo que interpretar estas soluciones 00:22:08
Dentro del problema 00:22:12
Pues nada, muy sencillo 00:22:15
Me vengo al principio y digo 00:22:17
El precio de los móviles era X 00:22:21
Y X es 100 00:22:24
Pues entonces es que el precio de un móvil es 100 euros 00:22:26
El precio del DVD era Y 00:22:29
Y me ha dado que también es 100 00:22:33
Pues es que las DVDs también valen 100 euros. 00:22:34
Ya tendríamos escrita la solución del problema. 00:22:41
Vamos a ese sexto paso que decíamos en el que comprobamos que todo cuadraba. 00:22:46
Vamos a ello. 00:22:53
Digo, si compro un móvil, 100 euros, más una grabadora, otros 100 euros, me he gastado 200. 00:22:55
Muy bien, la primera condición se cumple. 00:23:03
Si compro 8 móviles, pues 8 por 100, 800 euros, más 2 grabadoras, 2 por 100, 200, pues 800 más 200, 1000 euros del valor de la compra. 00:23:07
Pues todo cuadra. 00:23:20
Luego, problema resuelto, solución correcta. 00:23:22
Vamos a hacerle por otro método. 00:23:28
Mismo problema con otro método. 00:23:33
Planteamiento inicial del sistema, el mismo, lo único que quiero hacer ahora es resolverlo con otro método. 00:23:38
Me vuelvo a escribir aquí el sistema que estamos queriendo resolver, x más y igual a 200, 8x más 2y igual a 1000. 00:23:46
Vamos a ampliar lienzo y vamos a resolver el sistema ahora por el siguiente método que vimos que fue el método de igualación, perdón, método de igualación. 00:23:59
El método de igualación lo que me decía es que despejase la misma variable en las dos ecuaciones 00:24:24
Pues vamos a despejar en las dos ecuaciones la misma variable 00:24:37
Echamos un ojito y la más sencilla de despejar es la y 00:24:42
Porque es la que tiene los coeficientes más pequeños 00:24:47
Que tiene un 1 y un 2 00:24:49
Podría despejar igualmente la x 00:24:51
Pero bueno, al ser números más grandes 00:24:53
Este 8, este coeficiente 00:24:55
pues parece que me pueda dar más problemas 00:24:57
pues siempre tengo que ir buscando 00:25:00
los menores problemas posibles 00:25:02
pues venga, despejamos la Y 00:25:05
y digo, si despejo la Y en la ecuación de arriba 00:25:07
me queda 200 menos X 00:25:09
igual que cuando hicimos antes el método de sustitución 00:25:13
si despejo la Y en la ecuación de abajo 00:25:16
me queda 1000 menos 8X 00:25:19
ahora y todo dividido entre 2 00:25:23
porque el 8x ha pasado restando y el 2 que estaba multiplicando a la y pasa dividiendo. 00:25:25
Bueno, ¿qué es lo siguiente que me decía el método de igualación? 00:25:35
Que tenía que igualar estos dos resultados. 00:25:39
Como la y es la misma, pues este valor tiene que ser igual a este. 00:25:42
Pues lo escribimos 00:25:46
Y ese 200 menos x tiene que ser lo mismo que el 1000 menos 8x partido de 2 00:25:48
Me queda una ecuación de primer grado con una incógnita sola que es lo que yo quería 00:25:58
Vamos a resolverla 00:26:05
¿Cómo resolvíamos la ecuación de primer grado cuando había denominadores? 00:26:07
Pues quitando lo primero los denominadores haciendo denominador común 00:26:11
No, aquí el denominador común va a ser el 2, que es el único denominador que hay. 00:26:15
Pues resulta que tengo que multiplicar por 2 a todo. 00:26:20
O, otra opción de verlo es decir, este 2 que está dividiendo, le paso aquí multiplicando al lado izquierdo. 00:26:27
Pues como lo queráis ver, vamos a verlo con esta segunda opción que es más rápida y escribimos menos. 00:26:34
Pues 2 por 200 menos x tiene que ser lo mismo que 1000 menos 8x, 2 por 200, 400, 2 por menos x, menos 2x y 1000 menos 8x que se queda como estaba. 00:26:39
Vamos a juntar las x en un lado de igual y lo que no tiene x en el otro 00:26:59
Pues me quedo a la izquierda con las x, por ejemplo 00:27:04
Con lo cual el 8x que estaba restando a la derecha viene sumando 00:27:07
Y a la derecha pongo el término independiente, el 1000 00:27:12
Con lo cual el 400 que estaba a la izquierda sumando tiene que pasar a la derecha restando 00:27:15
Sumamos y me queda que 6x es igual a 600 00:27:22
Pues la x va a ser 600 entre 6, 100 00:27:26
¿Vale? Ya tengo el valor de la x 00:27:34
¿Qué hacíamos para encontrar el valor de la y? 00:27:39
Pues nos veníamos al principio 00:27:42
Y en una de las dos ecuaciones en las que había despejado la y 00:27:45
Sustituyo la x por su valor 00:27:49
La más sencilla es la primera, que no tiene denominadores 00:27:51
Pues bueno, usando la primera tengo que la y tiene que valer 200 menos 100, que acabo de decir que vale la x, pues la y vale 100. 00:27:55
Pues ya tenemos las soluciones que son las mismas que nos salieron con el método de sustitución, pero resolviendo ahora por igualación. 00:28:06
No comprobamos ni nada porque ya lo hicimos antes, ¿vale? 00:28:18
Vamos a resolver por el último método. 00:28:21
que era el método de reducción. 00:28:25
Ampliamos, pienso, a ver que no se me escape el sistema, 00:28:29
y volvemos a hacer las mismas cuentas con el método de reducción. 00:28:38
Tengo x más y igual a 200. 00:28:46
8x más 2y igual a 1000. 00:28:53
Y ahora estamos diciendo que vamos a resolver por reducción. 00:28:58
Pues vamos a por ello. 00:29:06
Método de reducción. 00:29:10
Y el método de reducción nos decía que multiplicásemos a las ecuaciones por el coeficiente que quisiéramos a cada una de ellas, 00:29:14
con tal de que las ecuaciones resultantes, que van a ser equivalentes a las originales, 00:29:33
tuviesen en una de las variables el mismo coeficiente pero cambiado de signo, o sea, coeficientes opuestos. 00:29:40
Pues vamos a suponer que nos queremos quitar las x, ¿vale? 00:29:49
me quiero quitar las x 00:29:56
pues digo bueno 00:29:59
si a la ecuación de arriba 00:30:01
la multiplico por 00:30:03
menos 8 00:30:05
y a la de abajo por un 1 00:30:07
o sea que sería dejarla igual 00:30:11
¿qué va a ocurrir? 00:30:14
pues que me queda 00:30:16
menos 8x 00:30:17
menos 8y 00:30:19
tengo que multiplicar a todos los términos de la ecuación 00:30:22
igual a 00:30:25
menos 1600 00:30:26
La de abajo he dicho que la voy a dejar igual porque estoy multiplicando por 1 00:30:27
Me quedaría 8x menos 2y igual a 1000 00:30:33
Sumábamos los resultados y ¿qué ocurría? 00:30:41
Que desaparecía una de las incógnitas 00:30:47
Menos 8x más 8x desaparece 00:30:49
Y me queda menos 8Y y menos 2Y, menos 10Y. 00:30:53
1.600 menos o más 1.000 me quedaría menos 600. 00:31:00
A ver, aquí alguna cuenta me he puesto mal, creo. 00:31:09
Me he copiado bien el sistema, perdón. 00:31:15
Un segundito que no sé si he copiado bien. 00:31:18
Vale, 8x más y, 200, 8x más 2y igual a 1000. 00:31:19
Vale, estoy quitando las x, multiplico por menos 8, menos 1600. 00:31:30
Ay, perdón, ya sé que he hecho mal y no viene bien para que así veáis. 00:31:38
Aquí abajo era un más y he puesto un menos, perdón, perdón. 00:31:44
vale, entonces 00:31:47
menos 8 más 2 00:31:50
no es 10 00:31:51
es 6 00:31:53
entonces me queda menos 6i 00:31:55
igual a menos 600 00:31:58
pues la i que estoy buscando es menos 600 00:32:00
entre menos 6 00:32:03
el 100 que queríamos 00:32:07
vale 00:32:09
vamos a ver que hubiera pasado 00:32:12
si hubiese querido quitar 00:32:16
la i 00:32:18
Y, pues si quisiese quitar la y, pues si por ejemplo multiplico arriba por un menos dos y abajo la dejo igual, que es multiplicar por uno, ¿qué ocurriría? 00:32:20
Pues que me queda menos 2x menos 2y igual a menos 400 y abajo se queda exactamente igual que estaba, 8x más 2y igual a 1000. 00:32:32
Sumábamos los resultados y ocurre lo que yo pretendía, que las y desaparecen. 00:32:51
¿Qué me quedan las x? 8x menos 2x, 6x. 00:32:57
Y en el término independiente, pues 1.000 menos 400, 600. 00:33:03
Despejo la x y ¿qué me queda? 600 dividido entre 6, el 100 que queríamos. 00:33:08
Luego vuelvo a la misma solución, que la x y la y valen 100 más 2. 00:33:16
¿Cuál ha sido más rápido de los tres métodos? Pues este, con mucho, ¿vale? Si hacemos una pasadita por los tres métodos, los más rápidos y más sencillitos fueron el de sustitución, porque teníamos ya medio ejercicio hecho, y este último de reducción, el más largo fue el de igualación. 00:33:20
pero los tres valen 00:33:43
y los tres me dieron la misma solución 00:33:45
o sea que 00:33:47
cada uno 00:33:49
el que elijáis, el que mejor se os dé 00:33:50
con el que más confianza 00:33:54
tengáis 00:33:56
como queráis 00:33:57
acordaos que os dije que 00:33:59
es importante que por lo menos 00:34:01
sepa hacer dos 00:34:04
no aprendáis solo a hacer uno 00:34:05
y luego llego y ese uno que yo sé hacer 00:34:07
no me cuadra o me preguntan 00:34:10
en el ejercicio 00:34:12
me dicen en el ejercicio que lo haga por uno distinto 00:34:14
al que yo sé hacer 00:34:16
y tengo que dejar el ejercicio en blanco 00:34:17
pues por lo menos saber hacer dos bien 00:34:20
que al final 00:34:22
es fácil saber hacer los tres 00:34:24
porque igualación 00:34:26
y sustitución son muy parecidos 00:34:28
el de reducción 00:34:30
que en principio es el que os cuesta 00:34:32
un poquito más entender esto de multiplicar 00:34:34
los coeficientes pues creo que 00:34:36
con los ejercicios que hicimos el otro día 00:34:38
ahora este 00:34:39
Y si alguno de los siguientes sistemas también lo hacemos por reducción, pues vais a ver que es siempre el más rápido con mucho. Si por casualidad hubiese coeficientes que fuesen fracciones, pues es el que me deja deshacerme de las fracciones sin tener que complicarme la vida con cuentas con ellas. 00:34:41
pero vuelvo a repetir una vez más 00:34:58
que podéis usar el método que queráis 00:35:00
que cualquiera va a ser válido 00:35:03
en los problemas nunca me van a decir que utilizo un método concreto 00:35:06
con lo cual yo voy al que más seguridad me dé 00:35:10
o el que mejor sepa hacer 00:35:13
porque en los problemas lo más importante de todos 00:35:14
es que sepa plantear bien las ecuaciones 00:35:19
si no planteo bien las ecuaciones 00:35:22
pues me da igual el método que haga, las soluciones van a estar mal, ¿vale? 00:35:24
Entonces, medio ejercicio por no decir más, es que tenga cuidadito al escribir el sistema 00:35:30
de que las ecuaciones son las correctas. 00:35:38
Si no, no me vale para nada. 00:35:42
Bueno, vamos a por otro ejercicio. 00:35:45
Nos diste este ejercicio que una persona tiene varias monedas en ambas manos. 00:35:48
Si pasa dos monedas de la mano derecha a la izquierda 00:35:52
Tendría el mismo número de monedas en las dos manos 00:35:57
Pero, en cambio, si pasa tres monedas de la izquierda a la derecha 00:36:00
Va a tener el doble de monedas en esta que en la otra 00:36:05
¿Cuántas monedas tiene en cada mano? 00:36:09
Pues vamos a la historia de siempre 00:36:12
Vamos a poner nombre a las cosas 00:36:13
Vamos a decir, monedas, mano izquierda, pues X, monedas, mano derecha, Y, ¿vale? 00:36:16
Y una vez que he puesto los nombres, voy a por las condiciones que me han dicho y me dicen, y voy escribiéndolas a lo que los leo para que no me pierda. 00:36:37
Digo, si paso dos monedas de la derecha a la izquierda, la que en la derecha que tenía ahí, si le quito dos, porque se las voy a dar a la izquierda que era la X, pues a una le quito dos, pero se las doy a la otra. 00:36:47
Pues en la que las quito pongo resta, en la que se las doy pongo suma, ¿vale? 00:37:08
Primera condición, he quitado dos monedas de la mano derecha y se las he dado a la izquierda. 00:37:14
Voy a por la segunda condición, si paso tres monedas de la mano izquierda, o sea que mano izquierda ahora, 00:37:21
Le quito tres monedas y se las doy a la derecha, pues sí, más tres. 00:37:34
¿Qué va a ocurrir? Que esta, y esta es la mano derecha, tiene el doble que la otra. 00:37:44
¿Cómo escribo que esta mano derecha, que ahora tiene y más tres, tiene el doble que la izquierda, que es x menos tres? 00:37:51
Pues multiplicando a la izquierda por un 2 00:37:57
O sea que he escrito literalmente lo que me han dicho 00:38:02
Y fijaos que lo hemos ido escribiendo a medida que lo hemos ido leyendo 00:38:08
Ese es el consejo que os doy 00:38:12
No queráis poner la ecuación del tirón sin ir viendo bien las condiciones una a una 00:38:14
Porque nos perdemos 00:38:21
Vamos despacito y con buena letra y así tendremos menos problemas. 00:38:23
Bueno, vamos a resolver este sistema, pero este sistema así escrito es un poco feo, ¿vale? 00:38:28
Porque tiene todo como muy revuelto. 00:38:36
Pues lo que puedo hacer es organizar las cosas lo primero. 00:38:41
Juntar en un lado las X y las Y y en el otro lado los términos independientes. 00:38:44
Para eso, pues, me convendría también quitar los paréntesis, pues vamos a hacer todo eso en un par de pasos. 00:38:51
En el primer paso, en la primera ecuación, me traigo la x a la izquierda y vendrá restando, puesto que la derecha estaba sumando. 00:38:59
La y se queda donde estaba, pues se queda como estaba sumando. 00:39:08
Y ese 2 que estaba a la izquierda restando, le paso a la derecha sumando. 00:39:12
Y el de la derecha se queda como estaba. 00:39:18
Abajo, pues quiero quitar el paréntesis, entonces digo 2 por x, 2x, menos 6, tiene que ser lo mismo que y más 3. 00:39:21
Bueno, pues vamos a hacer otro pasito más, que es terminar de colocar todo. 00:39:31
El menos x más y me va a dar igual al 2 más 2, 4. 00:39:36
Ahora en la siguiente, 2x, la y que estaba sumando a la derecha, me la traigo restando, menos y, pues me tiene que dar lugar a 3 que tenía a la derecha, más un 6 que va a venir de la izquierda, pues me tiene que dar lugar a 9. 00:39:42
Pues este sistema queda mucho más bonito 00:39:59
Y si le echo un ojo 00:40:03
Pues digo, jo bar, es que si le hago por el método de reducción 00:40:05
Tardo un segundo 00:40:09
Porque tengo algo muy bueno 00:40:10
Que es que los coeficientes ya tienen distintos signos 00:40:12
O sea que solo me tengo que preocupar 00:40:15
De que tengan el mismo valor absoluto 00:40:17
Porque los signos los tengo controlados 00:40:20
Es más, si empiezo reduciéndolo así es 00:40:22
Lo tengo todo hecho 00:40:25
o sea que voy a hacer reducción con la y, porque cuando sepa la y, ya la x es muy fácil de hallar, pues nos lo ponemos para que si en algún momento nos perdemos, 00:40:26
podamos recuperar lo que estaba haciendo, digo, por reducción, o si queréis, resuelvo por reducción, y lo que voy a hacer es directamente sumar las ecuaciones, 00:40:39
Porque si la sumo directamente, ya tengo que esta y positiva y esta y negativa se van a ir. 00:40:58
Y me quedará que 2x menos x, que es una x, va a ser igual a 9 más 4, que es 13. 00:41:08
O sea que ya tengo que la x vale 13. 00:41:20
Si me voy a la primera ecuación, por ejemplo, y sustituyo, 00:41:24
por ver que yo puedo hacer la mezcla que me interese mejor. 00:41:29
Tengo menos X, perdón, menos 13, que vale esa X, 00:41:33
más la Y que me falta por averiguar, tiene que ser un 4. 00:41:42
Bueno, pues entonces la Y que me falta por averiguar será 4 más 13, 17. 00:41:49
Vale, entonces la historia es que la solución que yo buscaba es que en la mano izquierda 00:41:57
Tengo que tener 13 monedas y en la derecha 17 00:42:12
Vamos a ver que es verdad 00:42:18
Vengo a las condiciones del problema 00:42:21
Si de la mano derecha que tengo 17 monedas quito 2 me quedarían 15 00:42:24
Si esas dos se las paso a la mano izquierda 00:42:31
13 más 2, 15 también 00:42:34
O sea que cuando he pasado dos monedas de la mano derecha a la izquierda 00:42:37
En las dos me han quedado 15 monedas 00:42:42
Las mismas monedas 00:42:44
Voy bien 00:42:45
Segunda condición 00:42:46
Si a la mano izquierda le quito 3 monedas 00:42:48
Pues 13 menos 3 serían 10 monedas 00:42:52
Y se las doy a la derecha 00:42:55
17 más 3 00:42:57
20 monedas 00:43:00
¿es verdad que esas 20 monedas son el doble 00:43:01
de las 10 que me han quedado en la mano izquierda? 00:43:04
pues sí, pues entonces 00:43:06
se cumple todo 00:43:08
lo que nos estaban pidiendo 00:43:10
problema resuelto, solución correcta 00:43:11
¿vale? 00:43:14
vamos a por el último 00:43:16
pues último ejercicio 00:43:17
vamos con la misma historia 00:43:29
dice, la edad de Laura 00:43:31
a ver, perdón 00:43:33
que vayáis viendo el puntero 00:43:38
La edad de Laura es la tercera parte de la edad de Pedro y si a la edad de Pedro le restamos la edad de Laura obtenemos la de Laura más cuatro años. ¿Qué edades tienen Laura y Pedro? Otra vez un poco de trabalenguas como en el ejercicio anterior. No me tengo que dejar liar por estos trabalenguas. 00:43:39
Entonces yo voy siguiendo mi orden de la actuación y no tengo que tener ningún problema. 00:43:58
Pues digo, ¿por quién me preguntan? 00:44:05
¿Quién me pregunta? 00:44:07
Pues la edad de Laura, que la voy a llamar X, y por la edad de Pedro, que le voy a llamar Y. 00:44:09
Vamos a plantear el sistema con las condiciones, dice. 00:44:23
La edad de Laura es la tercera parte de la edad de Pedro 00:44:27
Pues esa primera condición 00:44:34
Laura, la edad de Laura es la de Pedro partido de 3 00:44:36
Porque me dicen que es la tercera parte 00:44:43
Vamos a por la segunda condición 00:44:44
Si a la edad de Pedro le restamos la de Laura 00:44:48
Si a la edad de Pedro le resto la de Laura 00:44:55
voy escribiendo lo que me van diciendo, obtenemos, me tendrá que salir igual, a la edad de Laura más 4 años. 00:44:59
Pues Laura más 4 años. Ya está. Sin más, no me vuelvo loco. Pongo literalmente lo que me dicen. 00:45:10
Y ahora digo, ya tengo mi sistema de ecuaciones, ¿qué método me interesa para resolverlo? 00:45:21
Pues como tengo el valor de la x en función de la y 00:45:28
Me interesa el método de sustitución 00:45:31
Porque ya tengo hecho parte del ejercicio 00:45:34
Si hiciese cualquier otro método tendría que reordenar todo 00:45:39
Pues voy a hacer sustitución y no me complico la vida 00:45:47
Digo la x vale y partido de 3 00:45:51
Pues en la segunda ecuación cambio la x 00:45:57
Ay, perdón, que esto es inigual 00:46:00
Cambio las x por y es partido de 3 00:46:03
Las dos x que había las he cambiado por una y partido de 3 00:46:09
Me sale una ecuación de primer grado que tiene denominadores 00:46:14
Pues tengo que hacer denominador común 00:46:18
Y el denominador común es un 3 en las dos ecuaciones 00:46:20
Perdón, en los dos términos 00:46:25
Pues digo 3, denominador nuevo 00:46:27
Este 3 entre el antiguo que era un 1 00:46:30
3 por el numerador, pues me dará un 3i. 00:46:33
En la segunda, denominador nuevo, 3 entre 3 a 1 por la i, 00:46:38
pues esa i se queda como estaba. 00:46:44
La siguiente, denominador nuevo, 3 entre el antiguo, 3, 1 por la i, 00:46:46
pues esa i se queda como estaba. 00:46:53
Y la última, 3 entre 1, 3 por 4, 12, pues un más 12. 00:46:55
Puedo quitarme los denominadores y me quedo solo con los numeradores 00:47:01
3i menos i igual a i más 12 00:47:08
Juntamos términos semejantes 00:47:13
3i menos i y menos otra i que vendría del lado derecho igual a 12 00:47:18
Pues 3i menos i menos i es una i 00:47:25
Pues ya tengo que la Y es 12. ¿Cuánto valdrá la X? Si cojo este valor de la Y y me vengo a esta primera ecuación, la X que busco es 12 entre 3, 4. 00:47:28
¿Qué querían decir estas X y estas Y? 00:47:49
Pues eran las edades 00:47:55
Pues tengo que 00:47:57
Si me voy a donde puse los nombres 00:47:59
Digo edad de Laura, que es la X 00:48:02
Pues 4 años 00:48:03
Edad de Pedro, que es la Y 00:48:05
12 años 00:48:08
Vamos a ver que todo cuadra 00:48:10
Primera condición 00:48:13
¿Es verdad que la edad de Laura 00:48:14
Es la de Pedro entre 3? 00:48:17
Pues es verdad que 4 sale de 12 entre 3. Pues sí. Es verdad que si a la edad de Pedro, que era 12 años, le quito la de Laura, que son 4, o sea que 12 menos 4, 8, me da lo mismo que si a la edad de Laura, que era 4 años, le sumo otros 4. Pues sí, 8 es igual a 8. 00:48:19
Pues problema resuelto, comprobado, todo cuadra, todo correcto, pues me quedo contento. 00:48:38
Bueno, pues ya habéis visto que los problemas con sistemas de ecuaciones no son tan difíciles de resolver. 00:48:46
Solo tengo que escribir literalmente las condiciones que me da el problema con los nombres que yo haya puesto a esos datos desconocidos, a esas variables. 00:48:55
Y luego ya uso el método que me sea más cómodo, más fácil, más rápido, lo que yo quiera. Vuelvo a insistir, por favor, comprobad al final luego que todo cuadra, comprobad que la solución que sale es correcta, que se tarda nada, medio minuto y me aseguro de que el ejercicio está bien hecho, ¿vale? 00:49:04
bueno, pues lo dejamos aquí 00:49:27
espero que esta grabación 00:49:29
ya quede bien y la pueda subir 00:49:32
bien porque este tema nos ha costado 00:49:34
un poquillo 00:49:35
el configurarlo 00:49:36
venga, buen fin de semana 00:49:39
a todos y cualquier duda 00:49:41
pues me contáis el próximo día 00:49:44
hasta luego 00:49:45
Materias:
Matemáticas
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Angel Luis Sanchez Sanchez
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20 de febrero de 2025 - 11:41
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