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Física 2º Bachillerato. Resolución de problema de electrostática (EvAU). - Contenido educativo - Contenido educativo
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Voy a hacer este ejercicio. Dice dos cargas puntuales iguales de 5 nanocolombios se encuentran en el plano XI, en los puntos 0,3 y 0,-3.
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Hay que calcular el campo eléctrico en el punto 4,0 y luego si situamos una partícula cargada de masa 3 gramos y carga 3 milicolombios en el origen de coordenadas,
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con una velocidad inicial de 2 simetros por segundo, pues hay que calcular la velocidad cuando está en el punto 4,0.
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voy a hacer el campo eléctrico, el apartado A
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por el principio de superposición sabemos que el campo creado por estas dos cargas
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en el punto 4,0 será la suma de los dos campos
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E1 más E2
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y estos campos son los que he representado ahí, en verde
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aquí por supuesto tengo en cuenta que las cargas son positivas
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por lo tanto los campos son salientes, importante
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Venga, voy a calcular el módulo de estos campos
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Yo sé que la expresión del campo eléctrico de manera vectorial es K por Q partido de R al cuadrado por U sub R
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Voy a calcular primero el módulo, es decir, esto de aquí
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¿De acuerdo? Es decir, K por Q partido por R elevado al cuadrado
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Bien, el módulo del campo 1 será K9 por 10 elevado a 9 por la carga 1, que es Q, porque me he puesto Q que las dos son iguales, 5 nanocoulombias, que es 5 por 10 elevado a menos 9, porque esto es 5 por 10 elevado a menos 9 coulombias, dividido entre R.
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Vamos a calcularlo aquí, bueno, aquí abajo, ¿vale? R es esto que estoy poniendo, ¿vale? Es lo mismo en los dos casos, es la raíz de 4 al cuadrado más 3 al cuadrado.
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La raíz de 25, pues esto es 5 metros, acordaos de poner las unidades, ¿vale? 5 metros, esa distancia. R son 5 metros.
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Entonces, como decía, K por Q partido por R al cuadrado, partido 5 al cuadrado. Simplifico aquí y aquí, aquí y aquí, y me queda 9 partido por 5, y esto es 1,8 unidades newtons por coulombio.
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Para el campo de sub 2, pues lo mismo, ¿vale? Lo voy a escribir, aunque lo podría explicar, tardo, lo mismo
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9 por 10 elevado a 9, por 5 por 10 elevado a menos 9, partido de 5 al cuadrado
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Y esto es 1,8 newtons por coulombio
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Ya tengo los módulos, y ahora lo que tengo que hacer es expresar vectorialmente, ¿vale?
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Para ello, lo que tengo que tener en cuenta es el vector director
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Ahora lo que voy a hacer es calcular esto que estoy marcando aquí
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Tengo que calcular el vector director
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Fijaos que en el primer caso
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El vector director
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Lo voy a poner en azul
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El vector director es este
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Para el campo E1 y para el campo E2
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El vector director es este otro
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¿Cómo calculo estos vectores directores?
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Pues lo que hago es, para el vector director del campo de sub 1,
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coordenadas del extremo 4, 0, menos coordenadas del origen 0, 3,
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las estoy marcando en azul aunque a lo mejor no se ve, ¿vale?
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Y dividir entre el módulo.
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Y para el vector director del campo de sub 2, para este segundo vector director,
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tengo coordenadas del extremo 4, 0, menos coordenadas del origen 0, menos 3,
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y hay que dividir entre el módulo, ¿vale?
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Aquí mucho cuidado porque si nos equivocamos y cambiamos, en lugar de hacer el punto A menos el punto B,
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hacemos B menos A, pues nos sale todo al revés, ¿vale?
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Y ese despiste fastidia todo el ejercicio.
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Entonces, vale, expreso vectorialmente.
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Entonces, el campo 1 vectorialmente será 1,8, y voy a escribir aquí la operación,
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Bueno, operación, escribo aquí el vector directamente, ¿vale? Fijaos, he dicho el vector u sub r, este que estoy marcando, coordenadas del extremo 4, 0, a ver que no lo borre, así, 4, 0, menos el 0, 3, sería 4, menos 0, 4.
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Y la componente Y, 0 menos 3, esto es un menos 3, ¿vale? Y el módulo de este vector sería la raíz de 4 al cuadrado más menos 3 al cuadrado.
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Y esto es 1,8, 4, menos 3 y el módulo es 5. Haciendo los cálculos, este vector lo tengo por aquí es 1,44 y la componente Y de este campo es menos 1,08.
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¿Vale? Como digo siempre, aquí, si os fijáis, el signo de las componentes, positivo y negativo, me lo están dando las matemáticas, porque ya estoy considerando el sentido y la dirección del vector calculándolo, ¿vale?
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Venga, para el campo E2, pues lo mismo, 1.8 y aquí, pues cuidado que el vector director no es el mismo, estoy con este vector ahora, ¿vale?
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Fijaos que las coordenadas serán 4, 0, menos el 0, menos 3, ¿lo veis? Fijaos, 4, menos 0, 4.
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Y ahora la componente y, con cuidado, 0 menos menos 3, esto es un 3, y el módulo pues 4 al cuadrado más 3 al cuadrado, ¿de acuerdo? Y esto es 1.8 y 4, 3 partido por 5, y esto es 1.44 más 1.08 newtons por coulombio.
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Y sale algo que ya nos imaginábamos, ¿verdad? Voy a poner en rojo. Ya podíamos imaginarnos que esta componente X y esta componente Y, perdón, esta componente Y, lo he dicho mal, ¿vale?
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Esta componente Y, esta y esta componente Y se anulan, ¿vale? Estas dos componentes se anulan y lo que me queda es que el campo, lo que resulta es que el campo total, el campo resultante solo tiene componente X y es lo que estoy representando aquí.
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lo voy a poner con un trozo más grueso, este es el campo resultante, ¿vale? Lo pongo así para que se vea, ¿de acuerdo?
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Que como digo, es algo que nos imaginamos, ¿no? Por la simetría del problema, lo que vemos siempre.
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Este es el campo resultante. Vamos a calcular este campo. Como hemos dicho a principio de superposición, ya lo he dicho al principio,
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el campo total o campo resultante es la suma de estos dos, E1 más E2 y esto es igual a, vamos a moverlo, 1.44, menos 1.08 más 1.44, más 1.08.
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Las componentes si se anulan y me queda 2.48, 0 y unidades newtons por coulombia. Este es el campo eléctrico en el punto que nos piden. Apartado A resuelto.
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vamos a ver el apartado B
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dice así, se sitúa una partícula cargada de masa 3 gramos
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y carga 3 milicolombios en el origen de coordenadas
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con tal velocidad, ¿cuál es la velocidad cuando pasa por el punto 4,0?
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voy a borrar aquí
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y vamos a ver qué pasa
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voy a borrar esto
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y pues sí, voy a borrar este de aquí
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voy a hacer uno a ver si sale bien
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un nuevo esquema de la situación
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este es el eje Y, este es el eje X
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eje X, eje Y, poned eje X y eje Y
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¿vale? porque a lo mejor estáis suponiendo que el eje X
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es este y no ¿vale? porque os está pasando, a algunos os está pasando
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bueno, lo que iba, tenemos una carga positiva
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en el punto 0,3, esta es una carga
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¿no? la que teníamos antes, otro en el 0, menos 3
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esta es la otra, y el punto, el otro punto era el 4, 0, este punto de aquí, ¿vale?
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El punto P. Bien, hemos dicho que las cargas Q1 igual a Q2, ahora las voy a diferenciar,
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¿vale? Q1 igual a Q2, que era igual a Q, y eran 5 nanocoulombios, entonces 5 por 10 elevado
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menos 9 coulombios. Y ahora lo que ocurre es que pongo una carga de 3 milicoulombios
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y masa 3 gramos. A este lo voy a llamar Q3. Esta carga en el instante inicial o cuando
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nos dicen que inicialmente está en ese punto, en el origen. Q3 más 3 milicoulombios, es
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Es decir, 3 por 10 elevado a menos 3 coulombios.
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Y la masa, ¿vale? La masa M3 o M, ¿vale?
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Son 3 gramos.
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Esto ya lo paso a kilogramos porque hay que expresarlo en unidades del sistema internacional.
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¿Qué le pasa a esta carga?
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Que se está moviendo, por cierto, vamos a poner aquí velocidad inicial, dice 2i metros por segundo.
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Este es este vector.
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2, 0 metros por segundo
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lo que está haciendo esta carga es que en el instante inicial se está moviendo
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con este vector que estoy señalando en rojo
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se está moviendo en el eje X y se va a seguir moviendo en el eje X
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porque tenemos simetría, ¿vale? lo que nos está preguntando este apartado
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es cuál es su velocidad aquí
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¿vale? en este punto, ¿vale? la velocidad
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inicial es esta, la velocidad final es esta otra. Nos está preguntando por la velocidad
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final. ¿De acuerdo? Como estamos trabajando en el eje X, puedo sustituir, sustituir no,
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puedo olvidarme de la componente Y, ¿vale? Me olvido de la componente Y. Vale, vamos
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a plantearlo. La fuerza electrostática es una fuerza conservativa. ¿Eso qué quiere
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Es decir, que la energía, la energía se conserva, la energía total mecánica, la energía mecánica, mecánica, no, mecánica, se conserva, ¿de acuerdo? Se conserva, es constante.
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Por tanto, diremos que la energía total o energía mecánica inicial es igual a la energía total, energía mecánica final.
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La energía mecánica inicial es la energía mecánica en el punto 0,0, en el origen
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Y la energía mecánica final será la energía en el punto 4,0
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Por otro lado, sabemos que la energía mecánica es la suma de las energías
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En este caso cinética y potencial, potencial electrostática
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Pues vamos a desarrollar un poco esto, voy a escribir aquí
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Bien, diremos, energía mecánica inicial, pues será energía cinética inicial, un medio por la masa por la velocidad inicial al cuadrado, y fijaos que aquí no pongo el vector, como estoy trabajando en el eje X, lo que decía antes, me quedo con esto de aquí, es lo que decía antes de la componente Y, me olvido, trabajo en el eje X, entonces esta velocidad es la velocidad en el eje X.
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Las cosas no hay que complicarlas mucho. Como decía, energía mecánica inicial es energía cinética inicial más energía potencial inicial en el punto, en el origen.
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Y esto es, bueno, lo voy a dejar aparte y luego lo desarrollo, energía potencial electrostática en el punto 0,0, ¿vale? Igual a 1 medio de la masa de la velocidad final al cuadrado, esta es la energía cinética final, más la energía potencial electrostática en el punto 4,0.
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¿Se entiende? De aquí vamos a fijarnos ya en unas cuantas cosas
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Esto es lo que hay que averiguar, ¿vale?
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Esta es la velocidad final, la velocidad inicial, esto lo tengo, esto lo tengo, esto lo tengo
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Y ahora voy a calcular las energías potenciales, ¿vale?
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Calculo las energías potenciales
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Yo sé que la energía potencial electrostática es K por una carga, por otra carga, partido la distancia.
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Como tengo dos cargas que interactúan por la carga 3, pues habrá dos contribuciones en cada punto.
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Hay que hacer esto con cuidadito.
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Vamos a desarrollarlo entonces.
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Voy a calcular la energía potencial, energía potencial electrostática inicial en el punto 0,0.
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Voy a ponerlo aquí. Inicial, aquí, en el origen. Esta energía potencial inicial será K por Q1, la carga de arriba, por la carga Q3, la que está en el origen, partido la distancia, más interactúa con la otra carga.
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K por Q sub 2 por Q sub 3 partido por la distancia. La distancia es la misma en los dos casos. Vamos a operar. Será 9 por 10 elevado a 9 por Q sub 1. Hemos dicho que era 5 por 10 elevado a menos 9 por Q sub 3.
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que eran 3 milicolombios, 3 por 10 elevado a menos 3, partido R, y R es esto que estoy poniendo aquí, ¿vale?
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Esta distancia, esos son 3 metros, 3. Esta es la energía de vida en interacción entre las cargas 1 y 3,
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lo mismo para la otra, y es lo mismo, fijaos que es 9 por 10 elevado a 9, por Q2, 5 por 10 elevado a menos 9,
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Aquí acordaos de que hay que poner las cargas con su signo. En este problema las 3 cargas son positivas. 3 por 10 elevado a menos 3 partido por 3. Y fijaos, se va 10 a la 9, 10 a la menos 9, 3 y 3, 10 a la 9, 10 a la menos 9, 3 y 3.
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Y si operáis, esto resulta ser 0,09 julios. Esta es la energía potencial inicial. Esto ya lo tengo, esta masa la tengo, me falta la energía potencial final, en el punto 4,0.
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La energía potencial electrostática en el punto 4,0, es decir, la energía potencial final, y para que se entienda, energía potencial final será K por Q1 por Q3 partido R, y en este caso esta es la, lo voy a llamar R final, ¿vale?
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Aquí podría poner R inicial para que se entienda.
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Más K por Q2 por Q3 partido de R final.
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Esto va bastante más rápido que lo de antes, ¿verdad?
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Y esto es 9 por 10 elevado a 9 por 5 por 10 elevado a 9 a menos 9 por 3 por 10 elevado a menos 3 partido por, fijaos, R final.
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Está ya aquí, vamos a representarlo.
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La distancia final es esta.
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La longitud de este segmento, esta es la r final, que será la raíz de 3 al cuadrado más 4 al cuadrado, y esto son 5 metros, acordados de las unidades.
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Bueno, pues esto es un 5.
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La última contribución de la energía, 9 por 10 elevado a 9, por 5 por 10 elevado a menos 9, por 3 por 10 elevado a menos 3, partido por 5.
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Y aquí fijaos, se van un montón de cosas, se van un montón de cosas y esto es 0,054, 0,054 julios, ¿vale?
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¿Veis que tiene menos energía potencial electrostático? Si ha perdido energía potencial es que ha ganado energía cinética, ¿vale?
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Entonces ya lo tengo todo. Voy a sustituir, venga, sustituyendo. Tengo un medio por la masa, 3 gramos que son 3 por 10 elevado a menos 3 kilogramos, por la velocidad inicial 2 al cuadrado, más la energía potencial electrostática inicial 0.09,
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Y esto es igual a 1 medio por la masa, 3 por 10 elevado a menos 3, por la velocidad final al cuadrado.
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Esto es lo que quiero averiguar, más la energía potencial final, 0,054.
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Despejando de aquí, haciendo operaciones, sale que la velocidad final es la raíz de 28.
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Y esto es 5,29 metros por segundo.
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5,29 metros por segundo
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ya está, problema resuelto
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fijaos que si la velocidad
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es mayor
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pierde energía potencial
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electrostática y gana
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energía cinética
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¿de acuerdo?
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bueno pues hasta luego
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- Subido por:
- Guillermo M.
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- 4 de noviembre de 2020 - 19:48
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- IES SOR JUANA DE LA CRUZ
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