Saltar navegación

Continuidad - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 21 de julio de 2023 por María A.

6 visualizaciones

Explicación continuidad de funciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a estudiar la continuidad de una función en un punto. 00:00:00
Una función f de x es continua en el punto x igual a a si se verifica que el límite cuando x tiende a f de x es igual a f de a. 00:00:05
Esto equivale a decir que una función f de x es continua en el punto x igual a a si cumple las tres condiciones siguientes. 00:00:15
Primera condición. Existe la imagen de f de a. 00:00:23
Segunda condición. Existe el límite cuando x tiende a f de x. 00:00:27
Para ello lo que haremos es comprobar que los límites laterales en ese punto son iguales. 00:00:32
Y tercera condición. El valor de f de a y el valor del límite cuando x tiende a f de x deben coincidir. 00:00:37
Propiedades de funciones continuas. 00:00:45
Las funciones polinómicas, radicales, racionales, exponenciales y logarítmicas son continuas en su dominio. 00:00:47
Operaciones con funciones continuas. La suma, resta y producto de dos funciones continuas siempre son funciones continuas. 00:00:54
El cociente de dos funciones continuas será una función continua excepto los valores que hacen cero el denominador. 00:01:01
Si una función no es continua se dirá que la función presenta una discontinuidad. 00:01:07
Existen dos tipos de discontinuidades. Las evitables y las no evitables. 00:01:13
¿Cuándo ocurre que una función presenta una discontinuidad evitable? 00:01:18
Cuando el límite de la función en ese punto existe pero no se cumple la condición 1 o la condición 3. 00:01:22
Es decir, que o no existe en la imagen de f de a o los valores de f de a y el límite cuando x tiende a f de x no son iguales. 00:01:29
Solo cumpliría el punto 2. 00:01:38
Vamos a verlo con dos ejemplos. 00:01:42
Tenemos aquí una primera gráfica. 00:01:44
Tenemos aquí la función. 00:01:46
Lo que vemos es que el límite a la izquierda y a la derecha coinciden pero el valor de ese límite con el valor de f de 2 no es el mismo. 00:01:48
El límite cuando x tiende a 2 de la función vale 4 y el valor de f de 2 vale 1. 00:02:01
Por lo tanto son distintos. 00:02:08
Como son distintos estamos en este caso en el que se cumple el punto 1, existe la imagen, el punto 2, existe el límite, pero el punto 3 no se cumple. 00:02:10
Pues no es lo mismo el valor de f de 2 que el límite cuando x tiende a 2 de la función en ese punto. 00:02:19
Vamos con la siguiente gráfica. 00:02:26
Aquí lo que ocurre es que el límite existe, tanto a la izquierda como a la derecha vale 0, pero no existe f de 0. 00:02:28
Es decir, en nuestro caso sería que se cumple el punto 2, existe el límite cuando x tiende a 2 de f de x, pero no existe la imagen de f de 0. 00:02:35
A la izquierda y a la derecha coinciden pero no existe f de 0. 00:02:46
No está dentro de lo que sería el dominio. 00:02:50
Discontinuidad no evitable. 00:02:54
Aquí lo que ocurre es que no se cumple el punto 2. 00:02:56
Es decir, no existe el límite cuando x tiende al punto de f de x. 00:02:58
No coincidirán los límites laterales. 00:03:03
Si esos límites laterales no coinciden pero son números reales, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto finito. 00:03:07
Si lo que ocurre es que alguno de los límites laterales en ese punto es más o menos infinito, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto infinito. 00:03:14
La primera gráfica lo que corresponde es a una de salto finito y la segunda gráfica corresponde a una de salto infinito. 00:03:22
Vamos a hacer un ejemplo particular. 00:03:31
Estudie la continuidad de la siguiente función. 00:03:33
Tenemos una rama que es 1 partido de x más 2 si la x es más pequeño que menos 1. 00:03:35
La segunda rama es una función polinómica, una función cuadrática, gráfica parábola. 00:03:40
x cuadrado menos x si los valores de x están entre menos 1 y 2. 00:03:45
Y la función constante 2 si x es mayor o igual que 2. 00:03:51
Las tres ramas, la primera sería una función racional y esta estaría definida para todos los valores excepto para x igual a menos 2 00:03:56
que es el número que anula el denominador. 00:04:05
Como pertenece a la semirrecta x menor que menos 1, diremos que la función f de x es discontinua en x igual a menos 2. 00:04:07
En la segunda rama, como es una función polinómica y la tercera igual, ambas su dominio es todo R y son funciones que son continuas. 00:04:17
Lo único que tendríamos que estudiar son los puntos de ruptura, es decir, donde se enganchan las funciones. 00:04:29
Es decir, en el menos 1 y en el 2. 00:04:35
Vamos a estudiar en x igual a menos 1. 00:04:38
Si en x igual a menos 1, el f de menos 1 existe. 00:04:43
Por lo tanto, cumpliría el punto 1. 00:04:47
Existe la imagen de f de menos 1. 00:04:51
Vamos a estudiar ahora el límite. 00:04:54
Cuando x tiende a menos 1, a la izquierda y el límite cuando x tiende a menos 1, a la derecha. 00:04:57
El límite cuando x tiende a menos 1 de esta función es sustituir 1 partido menos 1 más 2, calculamos el límite y me sale 1. 00:05:03
El límite cuando x tiende a menos 1 de esta función me sale 2. 00:05:10
Por lo tanto, no son igual los límites laterales. 00:05:14
Por lo tanto, no existe límite. 00:05:18
Si no existe límite, lo que hemos dicho, es decir, no cumple el punto 2. 00:05:21
Existe una discontinuidad no evitable. 00:05:26
Como son números reables, diremos que es una discontinuidad no evitable de salto finito. 00:05:29
Vamos con x igual a 2. 00:05:36
Primera condición, tengo que ver si existe la imagen de f de 2. 00:05:39
f de 2 tiene la imagen y vale 2. 00:05:44
Vamos a estudiar ahora el límite cuando x tiende a 2 a la izquierda y el límite cuando x tiende a 2 a la derecha. 00:05:47
Voy a mi función y 2 a la izquierda es calcular el límite de esta función de x cuadrado menos x, 00:05:53
el límite cuando x tiende a 2 a la izquierda. 00:06:00
Ese valor de ese límite vale 2. 00:06:04
En cambio, cuando el límite cuando x tiende a 2 a la derecha, la función 2 vale también 2. 00:06:07
Por lo tanto, los límites laterales coinciden y coinciden con la imagen. 00:06:13
¿Qué significa eso? Que la función f de x es continua. 00:06:17
Cumple los tres pasos. 00:06:21
Cumple que existe la imagen, cumple que existe el límite y cumple que coinciden los valores. 00:06:23
En resumen, lo que tendríamos es que esta función es continua en todo R excepto en el punto x igual a menos 2 y en x igual a menos 1. 00:06:30
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
María Araúzo
Subido por:
María A.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
6
Fecha:
21 de julio de 2023 - 10:46
Visibilidad:
Clave
Centro:
CPR INF-PRI-SEC SAN PEDRO APÓSTOL
Duración:
06′ 42″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
35.12 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid