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AE3. 3 Inecuaciones racionales - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación. 00:00:22
En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones racionales. 00:00:27
En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de inequaciones racionales, que como veis 00:00:36
son aquellas que van a poder reducirse a la comparación con cero de una fracción racional. 00:00:52
Y aquí tengo fracción mayor que cero, menor que cero, son desigualdades estrictas, 00:00:56
mayor o igual que cero, menor o igual que cero, desigualdades no estrictas. 00:01:01
Hay un método algorítmico, que es el que voy a describir en esta videoclase, 00:01:05
que es muy similar al que ya he descrito al hablar de las inequaciones polinómicas de grado superior a 1. 00:01:08
Es terriblemente similar. Vais a ver inmediatamente cuánto de ello. 00:01:15
Lo que voy a hacer es, en primer lugar, una vez que he conseguido expresar mi inequación de esta manera, 00:01:19
la comparación con cero de una fracción racional, voy a tomar el numerador, voy a tomar el denominador 00:01:25
y voy a buscar sus ceros, resolviendo la ecuación p de x igual a cero, q de x igual a cero. 00:01:30
Voy a llamar s sub p al conjunto de los ceros de p, voy a llamar s sub q al conjunto de los ceros de q. 00:01:36
Y lo que voy a hacer es no quedarme con S sub P, no quedarme con S sub Q, sino formar el conjunto S, que es la unión de S sub P y S sub Q. 00:01:42
El conjunto de todos los ceros del numerador y del denominador. 00:01:53
Fijaos que si, por ejemplo, P de X fuera un polinomio de grado 5, yo espero encontrarme aquí con 5 ceros. 00:01:58
P1, P2, P3, P4, P5. 00:02:04
Si q de x fuera un polinomio de grado 3, esperaría encontrarme con tres ceros de q, y aquí tendría un conjunto con tres ceros, q1, q2, q3. 00:02:05
Cinco ceros y tres ceros, eso no quiere decir necesariamente que ese sea un conjunto con ocho elementos, y aquí tuviera ordenados, puesto que a efectos del algoritmo me va a convener tenerlos así, no voy a tener ordenados. 00:02:15
Los 5 más 3 igual a 8 ceros del numerador y del denominador. Tened cuidado, porque pudiera ser que alguno de estos elementos estuviera repetido. 00:02:27
Pudiera ser que el numerador y el denominador tuvieran algún cero en común. 00:02:37
De tal forma que ese tendrá a lo sumo 8 elementos, puede ser que tuviera menos. 00:02:41
Puesto que en las uniones los elementos repetidos no deben aparecer repetidos. 00:02:46
¿De acuerdo? Supongamos que aquí tenemos n elementos, en el caso en el que estaba pensando, supongamos que no tuviera ceros comunes el numerador y el denominador y tuviera 8 elementos, S1, S2 hasta S8. 00:02:51
Bien, pues esos n elementos, 8, van a dividir la recta real en n más 1 intervalos y semirrectas, igual que habíamos discutido en la videoclase anterior. 00:03:02
Si tengo todos estos elementos ordenados, va a ser muy útil, pues voy a tener desde menos infinito hasta S1, 00:03:12
de S1 a S2, de S2 a S3, etc. 00:03:18
Si pienso que tengo 8 elementos, pues el último será desde S8 hasta más infinito una semirrecta. 00:03:21
Y tendré 9 entre intervalos y semirrectas. 00:03:27
¿Por qué hago esta distinción? ¿Por qué genero estos intervalos? 00:03:31
Porque dentro de cada uno de ellos, el signo de la fracción racional va a estar bien definido y no va a variar. 00:03:35
Esto es, para todos los valores de x entre menos infinito y s1, esta fracción racional va a estar bien definida, el valor numérico se va a poder calcular y en todos los casos el signo va a ser el mismo. 00:03:40
Lo mismo para el intervalo de s1 a s2 y así sucesivamente. 00:03:52
¿Qué es lo que entonces vamos a hacer? 00:03:56
Bueno, pues una vez que hayamos buscado los ceros de b, los ceros de q, hayamos generado este conjunto con la unión de los ceros de p y de q, 00:03:58
hayamos dividido la recta real en estos n más 1 intervalos utilizando estos ceros, 00:04:07
insisto, es muy conveniente de los ordenados, 00:04:12
lo que vamos a hacer es dentro de cada uno de estos intervalos o semirrectas 00:04:15
seleccionar un representante x. 00:04:19
Aquí tomaremos un x0 entre menos infinito y s1, un x1 entre s1 y s2, 00:04:21
así sucesivamente hasta un xn en esta semirrecta de sn hasta más infinito, 00:04:27
como hemos descrito aquí. 00:04:34
Cogeremos cada uno de estos representantes, sustituiremos en la fracción racional y vamos a determinar el valor numérico que va a estar bien definido y vamos a fijarnos en el signo de este valor numérico. 00:04:35
De tal forma que si verifica la desigualdad, el intervalo en el que se encuentra el representante formará parte de la solución y en caso contrario, cuando no verifique la desigualdad, no formará parte de la solución. 00:04:47
Así pues, cuando hayamos verificado en todos y en cada uno de estos intervalos con un representante el valor numérico de la fracción racional y comprobado si se cumple o no se cumple la desigualdad, 00:05:01
lo que tendremos al final es la unión de distintos intervalos, todos ellos abiertos por construcción. 00:05:14
En el caso en el que tuviéramos una desigualdad estricta, mayor estricto o menor estricto, la solución va a ser esa unión de intervalos abiertos. 00:05:20
Y en el caso en el que no hubiera ningún intervalo que formara parte de la solución, la solución existe y sería el conjunto vacío. 00:05:28
En el caso en el cual tuviéramos una desigualdad no estricta, una desigualdad de mayor o igual que cero, menor o igual que cero, 00:05:36
lo que hemos de hacer es a ese conjunto que hemos definido de esta manera, como la unión de intervalos abiertos, 00:05:44
Vamos a añadirle los ceros del numerador que no sean al mismo tiempo ceros del denominador. 00:05:50
Lo que aquí menciono de añadir sp menos sq. 00:05:59
Fijaos en lo que estoy diciendo. 00:06:03
sp son los ceros del numerador y de ellos excluyo, porque estoy restando, los que al mismo tiempo sean ceros del denominador. 00:06:05
Esto se debe a que tengo una desigualdad no estricta. 00:06:16
Así pues, admito como parte de la solución los valores de x que hacen que esta fracción racional tome el valor 0, idénticamente 0. 00:06:19
Y esos son los ceros del numerador, siempre y cuando no lo sean también del denominador, puesto que 0 entre 0 no está definido, no podemos dividir entre 0. 00:06:29
Los ceros del denominador deben excluirse, por supuesto, de la solución de esta desigualdad, puesto que la fracción racional del número de izquierda no está definido, no se puede dividir entre 0. 00:06:37
Para que la fracción racional valga cero, el numerador debe ser cero, pero no puede ser que el denominador también lo sea. 00:06:49
Por eso añadimos los ceros del numerador que no sean también ceros del denominador. 00:06:56
Como había mencionado en la videoclase anterior, esto lo puedo pensar de dos maneras. 00:07:04
Cuando tengo construida la unión de intervalos abiertos, cierro los extremos que sean ceros del numerador y que no sean ceros del denominador. 00:07:08
o bien pienso en que añado esos ceros del numerador que no sean también ceros del denominador 00:07:17
y eso me va a cerrar alguno de los intervalos y posiblemente me añada valores discretos. 00:07:22
Me encuentro con la misma situación que había descrito en la videoclase anterior. 00:07:28
Si de estos intervalos estoy excluyendo, porque no verifican la desigualdad, dos consecutivos, 00:07:32
pongamos por caso que fuera este de menos infinito a S1 y de S1 a S2 00:07:40
y pongamos por caso que este S1 fuera un cero del numerador que no fuera cero del denominador, 00:07:44
si sencillamente cierro los intervalos que sí veo que tengo dentro de la solución, 00:07:50
nunca jamás voy a darme cuenta de que S1, que es un cero por hipótesis del numerador que no lo es del denominador, 00:07:54
debe encontrarse dentro de la solución. 00:08:01
Así pues, puedo en general pensarlo de esta manera. 00:08:03
Cuando tengo los intervalos ahora cierro algunos extremos, 00:08:06
pero tened cuidado porque si estoy eliminando intervalos consecutivos es posible que este elemento frontera haya que añadirlo. 00:08:10
No siempre será así, es posible, hay que tener cuidado con ello únicamente. 00:08:17
Con esto que acabo de mencionar ya se puede resolver este ejercicio donde nos encontramos con distintas inequaciones 00:08:21
que en primer lugar, como podéis ver, no son fracción racional mayor o igual, menor o igual que cero, 00:08:28
sino que sencillamente son comparaciones en descripciones algebraicas, tendré que convertirlas en esa forma canónica que he mencionado anteriormente. 00:08:35
Este ejercicio lo resolveremos en clase y posiblemente lo resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:08:43
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:50
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:57
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:09:01
Un saludo y hasta pronto. 00:09:06
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
10
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 12:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 35″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
23.03 MBytes

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