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EVAU 2020 MATES II ALGEBRA 4

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Subido el 29 de abril de 2020 por Justo Rafael D.

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Resolución Modelo 2019 Opción B, Matemáticas II de Madrid

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Vamos a resolver hoy el problema de álgebra correspondiente al modelo del año 2019, opción B. 00:00:00
Como veis se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dependiente de un parámetro, en este caso de la m. 00:00:09
Y nos piden que lo discutamos en función de los valores de este parámetro. 00:00:15
Bien, lo que vamos a hacer es resolverlo por el método de Gauss. 00:00:18
Vamos a convertir la matriz ampliada de los coeficientes en una matriz triangular para poder ver claramente las distintas opciones que hay con los rangos de esas matrices, de la matriz de los coeficientes y la de los coeficientes ampliada. 00:00:21
¿De acuerdo? Bien, la matriz de los coeficientes ampliada correspondería a coger en esta matriz los coeficientes de la primera, sería 1 menos m menos 1 y lo ampliamos con el término independiente, en este caso sería el 0. 00:00:41
En la segunda ecuación nos quedaría m, menos 4, 6, menos 2m, menos 8m, ¿vale? Y en la tercera ecuación sería menos 1, 2, 1, 6, ¿de acuerdo? 00:01:03
Bien, usamos método de Gauss que consiste en ir definiendo los pivotes y logrando que sean cero los números de abajo del pivote mediante combinación de las filas, ¿no? 00:01:19
Entonces lo que vamos a hacer aquí para conseguir un 0 debajo del 1 sería transformar la fila 2 haciendo la siguiente combinación, restándole m por la fila 1, que es la fila del pivote. 00:01:33
Y la fila 3, lo que vamos a hacer es coger la fila 3 y sumarle directamente la fila 1 del pivote y conseguimos el 0. 00:01:47
De manera que esta matriz se nos transforma en 1 menos m menos 1, 0 es la primera fila. 00:01:55
Segunda fila nos quedaría 0 y 0. Esto quedaría m cuadrado menos 4 si la operáis. 00:02:04
Esto queda 6 menos m y esto quedaría menos 8m. 00:02:11
Y la fila de abajo nos quedaría 2 menos m, en este caso 0 y 6. 00:02:17
¿De acuerdo? Bien. 00:02:27
Ahora debemos coger el siguiente pivote que tenemos para elegir este o este. 00:02:29
Yo lo que voy a hacer es intercambiar las filas porque creo que el 2 menos m usado como pivote es más cómodo. 00:02:36
Entonces, vamos a reescribirlo y haremos 1, menos m, menos 1, 0, la primera fila, luego 0, este 2 menos m, fijaos, lo voy a escribir como menos m menos 2, ¿vale? 00:02:42
Ahora veréis por qué, 0, 6, y dejo la tercera fila, m cuadrado menos 4, 6 menos m, menos 8m, ¿de acuerdo? 00:03:05
De forma que este pivote, como decía, es más cómodo que el de abajo. 00:03:18
Fijaos que el de abajo es una diferencia de cuadrados, porque es m más 4, m, perdón, m más 2, m menos 2, ¿no? 00:03:23
así que m más 2 00:03:32
m menos 2 00:03:35
lo veis que la de arriba 00:03:37
el pivote es justo el m menos 2 00:03:39
pero con signo negativo 00:03:41
eso nos permite ya plantear una combinación 00:03:43
para lograr que este m cuadrado menos 4 sea 0 00:03:46
lo único que debemos hacer es decir que 00:03:49
la fila 3 es igual a la fila 3 00:03:51
y sumarle m más 2 por la fila 1 00:03:56
lo que es lo que le falta para ser diferencia de cuadrados, y con el menos de fuera se nos va a anular, 00:04:01
de manera que nos va a quedar la matriz, pues 1 menos m menos 1, 0, 0, el pivote queda igual, 00:04:06
m menos 2, 0 y 6 00:04:18
y la tercera fila nos quedaría 0, 0 00:04:24
este término de aquí 00:04:27
si lo operamos nos va a quedar 6 menos m 00:04:30
¿vale? y el término independiente sería 2, 6 00:04:37
menos m ¿vale? y con esto ya 00:04:42
podemos saber el rango que tiene cada una de estas opciones porque fijaos 00:04:46
que si resulta que m vale 6, toda la fila de abajo se hace 0. 00:04:50
¿Lo veis? 00:04:59
Y si m vale 2 en la matriz pequeña, en la de solo los coeficientes, 00:05:00
toda esta fila sería 0 también. 00:05:07
Y eso ya nos permite saber los rangos. 00:05:09
De manera que podemos plantear que si M es distinto de 6 y M es distinto de 2, pues los rangos de la normalidad y de la ampliada van a ser iguales. 00:05:11
el rango de la matriz A sin ampliar va a ser 3, digo 3 y escribo 6, va a ser 3 y es igual que el rango de la matriz A ampliada que también va a ser 3. 00:05:26
Cuando esto ocurre decimos que el sistema es compatible determinado, o sea que solo hay una solución. 00:05:42
Bien, como veis que si m es igual a 2, entonces ¿qué ocurre? Si m es igual a 2, el rango de la matriz pequeña, la que no tiene los coeficientes, va a ser 2, ¿vale? 00:05:52
Y sin embargo no es lo mismo que el rango de la matriz ampliada, porque la matriz ampliada tiene rango 3 cuando m vale 2, ¿vale? Porque esta última fila no es ningún 0, ¿de acuerdo? Entonces cuando esto ocurre decimos que el sistema es incompatible, ¿de acuerdo? 00:06:10
Y nos queda por último si m es igual a 6. En este caso, si m vale 6, toda la fila de abajo es 0 y por lo tanto resulta que el rango de a va a ser 2 y también va a ser 2 el rango de la ampliada. 00:06:32
Con lo cual tenemos un sistema compatible indeterminado, ¿vale? Compatible indeterminado, que es justo el que nos están pidiendo que resolvamos, ¿vale? Compatible de indeterminado. 00:06:49
bien, pues bien, vamos a resolverlo para m igual a 6 que es lo que nos pedían 00:07:08
entonces lo que haremos será cogernos ya esta matriz de aquí 00:07:17
para resolverlo cogemos esta matriz, hacemos que m sea igual a 6 00:07:21
y resolvemos, vale, pues venga, para ello 00:07:27
Valoración:
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Materias:
Matemáticas
Autor/es:
JUSTO RAFAEL DE LAMO ARANGO
Subido por:
Justo Rafael D.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
84
Fecha:
29 de abril de 2020 - 11:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES VALLECAS-MAGERIT
Duración:
07′ 32″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
41.93 MBytes

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