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COMPOSICIÓN de funciones y FUNCIÓN INVERSA de una función - Contenido educativo

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Subido el 17 de diciembre de 2020 por Lorenzo L.

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En este video vas a ver varias enlaces a recursos con ejemplos interactivos de Geogebra sobre la composición de funciones y la función inversa. Explico con un ejemplo cómo hallar la expresión algebraica o analítica de la composición de dos funciones y cómo hallar la expresión algebraica de la función inversa de una función.

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Buenos días, estimados alumnos de 1º de bachillerato. 00:00:00
Estoy grabando este videotutorial para explicaros, 00:00:04
para que comprendáis un poquito mejor lo que hemos visto en clase 00:00:08
de la composición de dos funciones y de la función inversa de una función, 00:00:11
cómo encontrar su expresión algebraica o analítica. 00:00:16
Bien, para eso tengo abierta el aula virtual. 00:00:20
Como os he mostrado en clase, os he puesto varios enlaces. 00:00:23
Me voy directamente a ellos, aquí, el de cálculo de la expresión algebraica y la gráfica de la función inversa de Javier Cayetano, lo tengo ya aquí abierto, que está aquí, ahora lo usaré. 00:00:27
También tenéis el cálculo del otro applet de Matemática Aula de la expresión algebraica, calcular la expresión algebraica y gráfica de la función inversa, que está aquí. 00:00:43
Voy a hacer ahora mismo este ejemplo con vosotros y tengo también, os he puesto este, de identificar expresiones algebraicas de una función inversa, de una función dada de esta persona, de Mauricio Rodríguez Sánchez, que está aquí. Ahora os enseño cómo utilizar esto para que podáis hacer mucha práctica. 00:00:56
Bien, y también tengo este archivo abierto que os lo he enviado por Aula Virtual para que lo tengáis 00:01:13
Y ahora lo podemos modificar para que veáis que ya está hecho 00:01:22
Y repaso un poquito cómo funciona GeoGebra para que podáis autocorregir 00:01:25
Bien, entonces empiezo de la siguiente manera 00:01:28
Por ejemplo, usando el applet de Matemática Aula de composición de funciones y función inversa 00:01:32
Vamos a ver este ejemplo 00:01:39
tenéis la función f de x que es 3 por x al cuadrado 00:01:40
y la función g de x que es x más 4 00:01:44
vale, entonces si nos piden calcular la expresión de la composición 00:01:47
pues la voy a hacer aquí en la pantalla 00:01:53
lo primero que tendríamos es la función 00:01:55
si me piden calcular g 00:02:00
recordad que se lee de derecha a izquierda 00:02:04
g compuesto con f 00:02:06
g compuesto con f de x, esto es, por definición, primero actúa la g sobre el argumento y luego 00:02:08
actúa f. Entonces, para eso tenemos que tener la escritura clara de la función f y de g. 00:02:21
La función f, ¿quién es? Es aquella función que te relaciona, dado un valor x, te devuelve 3x al cuadrado. 00:02:30
Y la función y es aquella que tiene, por expresión algebraica o analítica, una línea x más 4. 00:02:41
Vale, entonces se nos pide en calcular G compuesto con F, G compuesto con F, G compuesto con F, se define de esta manera, para calcular la expresión algebraica, y vamos calculando, primero calculamos G, lo que está más cerca del argumento, G de X, pues cambio, luego en el de G de X ponemos X más 4. 00:02:49
Y ahora, f de un nuevo argumento se calcula usando la definición. 00:03:14
La f dice, dame un número x y lo hago cuadrado y lo que queda lo multiplico por 3. 00:03:23
Pues vamos a hacerlo. 00:03:30
El triple de el argumento x más 4 elevado a 2. 00:03:31
Con esto ya tendría la expresión algebraica de la función composición g compuesto con f. 00:03:39
¿Se puede operar? Sí. 00:03:44
Entonces, primero, respetando la primera operación, es x más 4 al cuadrado, 00:03:45
el cuadrado de una suma, o x más 4 por x más 4 al cuadrado del primero, 00:03:50
más el doble producto del primero por el segundo sumando, más el cuadrado del segundo. 00:03:53
Y esto operando, 3 por x al cuadrado, 2 por x por 4, 2, 8x, más 4 por x, 16. 00:03:58
La propia distributiva de la multiplicación, para quitar paréntesis, 3x al cuadrado, 00:04:07
más 8 por 3 es 24x 00:04:13
más 00:04:15
pues esta sería la función 00:04:19
composición g compuesto con f 00:04:21
que se calcula 00:04:23
ahora vamos a poner el algebra 00:04:28
de esta manera 00:04:31
g compuesto con f 00:04:32
y tiene las composiciones de las funciones 00:04:33
es un polinomio de segundo grado 00:04:37
esta de aquí 00:04:38
¿vale? 00:04:41
Ahora, si queremos hacer la composición al revés, es decir, primero actúa f compuesto con g, vamos a ver que es diferente. 00:04:42
Para eso, por definición, primero actúa la f de x y luego actúa g sobre f de x. 00:04:57
¿Quién es f? f de x era 3 por x al cuadrado 00:05:08
Ahora, tú bajé sobre este nuevo argumento, 3x al cuadrado 00:05:13
Como la g era x más 4, pues cambio en lugar de x, pongo 3x más 4 00:05:20
El argumento sumable 4 00:05:25
Bien, pues ya tenéis esta función nueva que es un polinomio de segundo grado 00:05:27
Como veis, son distintos las dos composiciones 00:05:32
f compuesto con g de x 00:05:35
g de f de x 00:05:43
se le también, luego cuando lo tengáis así 00:05:45
de izquierda a derecha 00:05:47
g de f de x 00:05:48
esto al final 00:05:52
la expresión algebraica o analítica que tiene 00:05:55
es 3x cuadrado más 4 00:05:56
vale 00:05:58
bueno, pues teniendo estas dos funciones 00:06:00
polinómicas 00:06:02
vamos a verlo como podéis utilizar 00:06:04
el programa GeoGebra 00:06:07
este applet de GeoGebra 00:06:09
voy a minimizar un poquito aquí 00:06:10
para que lo tengáis 00:06:13
entonces aquí, ¿qué es lo que te pone? 00:06:16
f de x, 3x cuadrado 00:06:17
a la izquierda, entonces le vais moviendo a pasos 00:06:19
y te va cambiando 00:06:21
como os he puesto aquí 00:06:23
f de x más 4 00:06:24
después, seguimos avanzando la bolita 00:06:27
y te queda 3 más x más 4 00:06:32
3 por x más 4 al cuadrado 00:06:33
si hacemos ahora la función al revés 00:06:35
f compuesto con g 00:06:37
voy dando la bolita y vuelve a aparecer lo mismo de ahora 00:06:38
y es la función f compuesto con g 00:06:42
esta es x al cuadrado más 4 00:06:46
entonces aquí si le dais a ver otra 00:06:47
ver otra, ver otra 00:06:50
podéis hacer lo mismo 00:06:51
vamos a ver ahora 00:06:52
la composición 00:06:55
la función inversa 00:06:57
como hemos visto la función inversa de una función f 00:06:59
es otra función 00:07:01
siempre que se pueda calcular y exista 00:07:03
que no siempre existe función inversa 00:07:05
de una dada 00:07:07
se llama función inversa de f a otra función 00:07:08
f a la menos uno que cumple 00:07:11
que al componer f a la menos uno con f 00:07:12
te da la función identidad 00:07:15
y al componer f compuesto con f a la menos uno 00:07:16
te da la identidad también 00:07:19
¿si? 00:07:20
bueno, le voy a dar a ver otra 00:07:22
y aquí tenéis muchos ejemplos 00:07:23
vamos a hacer alguno en concreto 00:07:25
por ejemplo 00:07:26
a ver con cual me quedo 00:07:28
sale a torio 00:07:32
las expresiones 00:07:37
a ver si sale una que me quede 00:07:38
para hacer todos los pasos 00:07:42
y veáis como 00:07:44
encontrar 00:07:46
a ver 00:07:48
vamos a coger esta 00:07:51
por ejemplo 00:07:53
entonces, vuelvo otra vez 00:07:56
aquí 00:07:57
Y vamos a hacer ahora la función inversa. ¿Cómo calculamos la función inversa? 00:08:00
Si me dan una función f de x, que es 4x al cuadrado más 4, para calcular la función inversa, hacemos lo siguiente. 00:08:06
Esta función, si la intentamos pintar, es para x igual a 0, es 4, es la parábola, así. 00:08:18
Esta sería esta gráfica. 00:08:34
Bien, esta gráfica, aquí está el eje x, el eje y, esta gráfica, esta función no tendría inversa. 00:08:35
En todo su dominio. El dominio de esta función f son todos los reales, el dominio son todos los reales y el recorrido de esta función son, o las imágenes, son todos los números reales de 4 hacia arriba, de 4 positivo hacia arriba. 00:08:47
Con esto recuerdo que el dominio de definición se mira siempre en el eje X 00:09:07
Son los valores de X para los que se puede calcular f de X 00:09:14
Y el recuadro y la imagen son todas las alturas 00:09:17
Todas las alturas por las que se alcanza la gráfica 00:09:22
Bien, entonces si lo pongo así 00:09:30
Estos puntos son del dominio 00:09:34
Estas X del dominio 00:09:39
Y los puntos rojos serían las recorridos 00:09:40
Entonces la función F lo que te hace es 00:09:44
Te da un número X 00:09:47
Y te devuelve, como una máquina, el valor de Y 00:09:48
Que es 4X al cuadrado más 4 00:09:52
Bien, entonces, en principio esta función va de todos los reales en los reales 00:09:59
Pero su dominio es una parte, en este caso es todos los reales 00:10:07
El dominio de definición es todos los reales 00:10:14
Y la imagen o recorrido de la función f es solo el intervalo en la semirrecta cerrada de 4 a más infinito 00:10:18
que está contenido en los reales 00:10:28
quito esto de aquí 00:10:32
para que 00:10:35
bien, entonces propiamente dicho 00:10:36
sería esta función 00:10:42
vale, entonces, ¿quién sería la función inversa? 00:10:44
la función inversa de f 00:10:46
es otra función que va al revés 00:10:47
yo te voy a dar 00:10:51
el valor de y 00:10:52
por ejemplo este 00:10:53
este punto de aquí 00:10:55
y quiero que me calcules 00:10:57
el valor de x del que procede. 00:10:59
Esta será f a la menos uno de y. 00:11:05
Entonces, para poder definir la función, 00:11:10
esta y tiene que estar en la imagen de la función f. 00:11:13
Y esta x tiene que estar en el dominio de la función f. 00:11:19
Entonces, para que se pueda calcular la función inversa, 00:11:24
hay que elegir qué rama queremos 00:11:27
porque me tengo que quedar con un trozo del dominio en este caso 00:11:30
si yo me quedo con la semidecta positiva del eje X 00:11:33
sí que la gráfica de la función F 00:11:36
es todo el rato creciente o decreciente 00:11:39
es lo que se llama monótona 00:11:42
monótona siempre hacia arriba o siempre hacia abajo 00:11:43
entonces esta rama de la parábola, de la gráfica 00:11:46
sí que tiene una inversa 00:11:49
y es la que vamos a calcular ahora 00:11:51
venga, que no es de tiempo 00:11:52
porque tengo solo 4 minutos para acabar con la screencast 00:11:54
Entonces, ¿cuál sería la inversa de esta función? 00:11:56
Los pasos para calcular la inversa de esta función f es lo siguiente. 00:12:01
Cogemos la expresión de la función 4x al cuadrado más 4. 00:12:06
Y ahora lo que vamos a hacer es, me olvido de la... 00:12:13
Recordad que la y es la altura, es la función f de x, lo pongo así. 00:12:16
Y ahora lo que tenemos que hacer es despejar la X. 00:12:20
Para despejar la X, usando ecuaciones, el 4 que está sumando pasa restando, el resto de 4 va a dos lados. 00:12:28
Ahora, la X hay que dejarla sola. ¿Cómo la dejamos sola? 00:12:35
El 4 que está multiplicando pasa dividiendo. 00:12:39
Y ahora, para quitar el cuadrado, hay dos opciones, la raíz cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa. 00:12:42
Habría dos opciones. Como la zona naranja que he cogido es para x positivo y las y son de mayores o iguales que 4, 00:13:02
nos vamos a quedar con esta de aquí 00:13:13
y esta sería la función inversa 00:13:15
claro, pero nosotros tenemos 00:13:18
que la función inversa la hemos leído 00:13:20
de derecha 00:13:22
a izquierda 00:13:25
por eso 00:13:26
la función inversa 00:13:27
es esta de aquí 00:13:29
f a la menos uno de y 00:13:31
yo te doy el valor de y 00:13:34
este naranja 00:13:36
este naranja a esta altura 00:13:38
y quiero que me devuelvas el valor de X, que es este de aquí. 00:13:42
Y esto a través de la gráfica. 00:13:52
Por tanto, ¿quién es la función inversa? 00:13:56
Y el último paso que se suele hacer es que, como normalmente pintamos las gráficas de las funciones, 00:13:58
damos la X en el eje horizontal y la Y en el eje vertical, 00:14:03
pues ahora lo que hacemos es intercambiar la X con la Y. 00:14:07
Es decir, donde pone x ponemos y, y donde pone y ponemos x. 00:14:12
Y esta sería ahora la nueva expresión f de menos 1 de x, la función inversa de la función f. 00:14:18
Entonces, si miráis el hable de GeoGebra que tenéis aquí, es lo que ha hecho. 00:14:28
Si f de x es esto, f de menos 1 de x es raíz cuadrada de x menos 4 partido por 4. 00:14:33
ya os digo que nos hemos quedado 00:14:40
con la rama positiva 00:14:43
con la rama de X hacia la derecha 00:14:44
positiva 00:14:47
a ver cuánto me queda de tiempo 00:14:48
pues voy a cortarlo aquí 00:14:50
y haré otro vídeo para continuar 00:14:54
porque se va a cortar enseguida 00:14:56
si avanzo podemos comprobar la conclusión de la identidad 00:14:57
Idioma/s:
es
Autor/es:
Lorenzo Lozano Jiménez
Subido por:
Lorenzo L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
133
Fecha:
17 de diciembre de 2020 - 6:49
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LAS AMÉRICAS
Duración:
15′ 01″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1366x768 píxeles
Tamaño:
32.69 MBytes

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