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Vectores - Combinaciones lineales - Contenido educativo

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Subido el 10 de septiembre de 2018 por Manuel D.

798 visualizaciones

Video que cubre los contenidos de geometría de Matemáticas II: comb. lineales de vectores, dependencia / indep. lineal, sistema de generadores, bases

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Desde el punto de vista de la física, un vector es un segmento orientado. 00:00:02
Sirve para representar una magnitud vectorial, por ejemplo, la fuerza aplicada sobre un punto. 00:00:13
Computacionalmente, un vector representa una lista de números. 00:00:19
Se puede escribir, por ejemplo, mediante una matriz fila. 00:00:23
En este vídeo vamos a profundizar la conexión entre ambas formas de ver los vectores. 00:00:26
Recordemos que de un vector nos va a interesar su dirección, esto es, la recta sobre la que se apoya, 00:00:32
que toda dirección define dos sentidos distintos y que módulo del vector es la longitud del mismo. 00:00:38
Para entender la relación que existe entre las dos formas de interpretar un vector, 00:00:44
es crucial entender las dos operaciones básicas entre vectores suma y producto por escalares. 00:00:49
Vamos con la suma. 00:00:54
Para sumar un vector u con otro vector v, basta con hacer coincidir el extremo final de u con el inicial de v. 00:00:55
Entonces, el vector suma u más v tiene su origen en el de u y extremo en el extremo de v. 00:01:03
El resultado es la diagonal de un paralogramo de lados u y v. 00:01:09
Observa que si una mosca realizase un movimiento según el vector u y luego se desplazase según v, el resultado sería el de un movimiento según el vector u más v. 00:01:13
Vamos ahora con el producto por escalares 00:01:23
Si multiplicamos un vector por un número real lambda 00:01:26
el resultado es otro vector de la misma dirección 00:01:29
mismo sentido si lambda es positivo, sentido contrario si es negativo 00:01:32
y cuyo módulo queda multiplicado por el escalar lambda 00:01:36
Observa que el nombre escalar hace referencia a que lo que estamos haciendo con el vector es un cambio de escala 00:01:39
esto es, lo estamos estirando o encogiendo según el valor del escalar 00:01:47
Si mezclamos las dos operaciones, suma y producto por escalares, estamos realizando una combinación lineal de los vectores. 00:01:51
Vamos a interpretar geométricamente la combinación lineal de dos vectores mediante el siguiente ejemplo. 00:02:00
Primero tenemos que calcular 3u y 2,5v. Finalmente calcularemos la suma como la diagonal del paralelogramo resultante. 00:02:06
La clave es que el vector obtenido pertenece al plano que determinan u y v. 00:02:15
Surge ahora una pregunta natural. ¿Cualquier vector de este plano podrá escribirse como combinación lineal de u y v? 00:02:23
Dado un vector w, el problema geométricamente es encontrar el paralelogramo cuyos lados se apoyen en u y v y cuya diagonal coincida con w. 00:02:31
Primero trazamos los ejes sobre las direcciones de u y v 00:02:40
Después dibujamos paralelas a estos ejes por el extremo final de w 00:02:43
Por último, determinamos los escalares lambda y nu 00:02:48
que hacen coincidir lambda por u y nu por v con los lados del paralogramo 00:02:51
Concluimos que w puede describirse como combinación lineal de u y v 00:02:56
Pero es que este problema lo sabemos resolver de otra forma 00:03:00
mediante un sistema de ecuaciones 00:03:04
Los datos son los tres vectores u, v y w 00:03:06
y las incógnitas son lambda y nu. Al igualar la combinación lineal de u y v con el vector 00:03:10
w obtenemos un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y para resolverlo podemos 00:03:15
utilizar el teorema de Rouchet-Frobenius. Los coeficientes de u y v forman por columnas 00:03:20
la matriz de coeficientes del sistema y al añadir el vector w obtendremos la matriz 00:03:25
ampliada. El sistema podrá resolverse si ambos rangos valen 2. En ese caso el vector 00:03:30
w pertenecerá al plano determinado por u y v. Sin embargo, si el rango de la matriz 00:03:36
que forman los vectores u, v y w vale 3, como el rango de la matriz de coeficientes es 2, 00:03:41
el sistema será incompatible y el vector w no pertenecerá al plano generado por u y 00:03:46
v. Llegados a este punto, estamos preparados 00:03:51
para considerar combinaciones lineales de tres vectores y trabajar plenamente en el 00:03:55
espacio tridimensional. Para calcular la combinación lineal de u, v y w, primero multiplicamos 00:03:59
por los escalares y luego sumamos. La combinación lineal obtenida será la diagonal del paralelepípedo 00:04:05
que se apoya sobre los vectores lambda por u, mu por v y gamma por w. Deducimos que todo 00:04:11
vector del espacio podrá escribirse como combinación lineal de estos tres vectores 00:04:17
u, v y w. ¿Pero esto va a ocurrir siempre? Pues no. Depende de la disposición de los 00:04:21
vectores elegidos. En primer lugar, si w ya se puede escribir como combinación lineal 00:04:26
de u y v, entonces entre los tres vectores sólo generarán un plano. Los vectores se 00:04:32
llaman linealmente dependientes. Para que todo funcione correctamente necesitamos que 00:04:38
u, v y w sean linealmente independientes, esto es, que ninguno pueda escribirse como 00:04:43
combinación lineal del resto. De esa forma nos aseguramos que los tres vectores generarán 00:04:49
todo el espacio. Estos conjuntos de vectores que generan el espacio y que son linealmente 00:04:55
independientes, se dicen que forman una base. Y son justo las bases la conexión entre el vector 00:05:00
como segmento orientado y el vector como lista de números. Veamos cómo. Si asociamos a los 00:05:06
vectores u, v y w respectivamente las coordenadas 1, 0, 0, 0, 1, 0 y 0, 0, 1, cualquier otro vector 00:05:11
x tendrá asociadas unas coordenadas que serán únicas pues quedan determinadas por la proyección 00:05:18
del vector sobre los ejes. De hecho, estas coordenadas pueden calcularse dividiendo las 00:05:24
longitudes de los lados del paralelepípedo entre los módulos de v y w. En resumen, para comprobar 00:05:29
si tres vectores son base, basta con que la matriz formada por sus coordenadas tenga como rango 3. 00:05:36
Una vez fijada una base, cualquier otro vector tiene unas coordenadas únicas con las que escribirse 00:05:43
como combinación lineal respecto de los elementos de esa base. Por supuesto, si cambiáramos de base, 00:05:48
estas coordenadas cambiarían 00:05:54
pero bueno, eso ya es otra historia 00:05:56
que bien merecería otro vídeo 00:05:58
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
798
Fecha:
10 de septiembre de 2018 - 7:45
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
https://www.youtube.com/watch?v=P54DrtPdPLQ&t=0s&list=PLaJQoq9vldoXsLYSfzHoAa55LhZwB6Wd_&index=2&frags=pl%2Cwn
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
06′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
32.00 MBytes

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