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19-3-BT2 - Contenido educativo

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Subido el 19 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Antes de empezar, como siempre, os pregunto si alguien tiene algún problema en que se grabe la clase. 00:00:00
Dicho eso, vamos al grano que, como veis, la geometría tiene muchos problemas y por distinto. 00:00:07
A ver, nos quedan, si no me equivoco, tres semanas, quincena y media. 00:00:15
En esta semana pensaba terminar el tema y luego hacer un repaso de geometría en la siguiente. 00:00:20
y luego en la última sesión 00:00:27
hacer un recaso general 00:00:31
esto es lo que 00:00:32
nos queda de clases 00:00:34
el último día 00:00:36
pues quiero enseñaros, aunque ya lo podéis ver 00:00:39
el formato del examen final del año pasado 00:00:41
en el cual los que tienen 00:00:43
que hacer una evaluación 00:00:45
sería la tercera 00:00:47
y una cierta 00:00:48
optatividad 00:00:52
de los ejercicios 00:00:53
si tenéis dos hay otra distinta 00:00:54
y si tenéis tres, otra vez. 00:00:56
De acuerdo, pues si queréis ir echándole un vistazo. 00:00:59
Me gustaría también si me dijerais si la grabación de clase estáis accediendo, 00:01:02
porque hay algunas listas de otras asignaturas, de otros niveles de matemáticas 00:01:06
que me están diciendo que no están pudiendo acceder y lo estoy arreglando poco a poco. 00:01:11
Porque no sé muy bien qué problema hay en la configuración de las listas de la mediateca. 00:01:16
Bueno, dicho eso, pues nos vamos a los distintos problemas métricos. El otro día vimos todos los ángulos, vimos algunas distancias y vamos a seguir con ellos. 00:01:22
A ver, hoy vamos a calcular la distancia entre un plano y una recta. En estos ejercicios, generalmente, es conveniente que previamente se estudie la posición relativa. 00:01:38
¿Sabéis que un plano y una recta pueden ser o paralelos, como en este caso, o secantes, con lo cual se cortan en un punto, o que la recta esté contenida en el plano? 00:01:53
Entonces, por ejemplo, la distancia entre un plano y una recta solo vamos a estudiarla cuando sean paralelos. 00:02:10
paralelos. ¿Por qué? ¿Qué pasa si no son paralelos? Pues si se contan en un punto, 00:02:16
la distancia entre ese punto y ese punto es cero, ¿no? La distancia es cero. Y si la 00:02:22
recta está contenida en el plano, también la distancia es cero. Bueno, entonces, aquí 00:02:27
como se ve, tengo una recta paralela a un plano y la distancia de cualquier punto a 00:02:33
ese plano es la misma. Para el helicóptero que lo veis, si tenéis aquí un punto Q, 00:02:47
su distancia a ese plano va a ser exactamente la misma. 00:02:51
Se suele definir la distancia como 00:02:56
la mínima de las distancias. Por ejemplo, de este punto 00:02:59
a este punto la distancia es mínima. 00:03:03
Vamos al ejemplo. 00:03:06
¿Cómo se calcula la distancia de un punto 00:03:10
a una recta, perdón, de una recta a un plano, ¿no? Entonces, primera parte, como hemos 00:03:14
dicho, la estrategia. Primera parte, la posición relativa. Esto se supone que tenéis una hoja 00:03:24
resumen, ¿no? Supongo que sabéis que para que el plano, no sé si lo recordáis, en 00:03:42
estas cosas las tenéis que tener muy claras. Para que un plano y una recta sean paralelas, 00:03:52
el vector perpendicular, r y pi, son paralelas, sí y solamente sí, el vector v y el vector n son perpendiculares. 00:03:56
Y que la condición de perpendicularidad es que el producto escalar de esos dos vectores sea cero. 00:04:23
¿Cómo calculo el vector director de esta recta? 00:04:43
Pues como hacíamos el otro día. 00:04:46
A ver, este sistema está escalonado. Yo de aquí puedo despejar la zeta. 00:04:51
la Z es 00:04:55
2Y menos 4 es igual a Z 00:04:58
y de la primera ecuación 00:05:03
sustituyendo me queda 00:05:06
X menos Y 00:05:08
más 2 por Z 00:05:11
que es 2Y menos 4 00:05:15
igual a Z 00:05:17
o sea que me queda 00:05:20
X menos Y más 4Y 00:05:25
menos 8 igual a 0. 00:05:29
Entonces, de aquí saco que 00:05:33
z es igual a menos 4 más 2y 00:05:35
y de aquí saco que la x es igual a 00:05:41
de aquí saco que la x es igual a 00:05:44
menos 3 a 8 00:05:53
menos 3y 00:05:56
y que la y puede tomar cualquier parte. 00:05:58
De tal forma que un vector director 00:06:01
de esta recta V es el menos 3, 1, 2. Por otra parte, si tomo el plano X, Y, Z, X más Y más Z menos 2 igual a 0, 00:06:05
el vector perpendicular normal es el 1, 1, 1. 00:06:32
Entonces, con estos dos vectores hago el producto escalar, 00:06:39
menos 3, 1, 2, producto escalar, 1, 1, 1, 00:06:45
y me sale menos 3 más 2 más 1 que es 0. 00:06:55
Entonces, r y pi son paralelos. 00:06:59
Una vez que son paralelos, me voy a la segunda parte, que es decir que la distancia de aquí a aquí, del punto al plano, es la distancia entre la recta y el plano, es la distancia de cualquier punto de la recta al plano. 00:07:06
De aquí puedo sacar que un punto de la recta es el 8, 0, menos 4. 00:07:33
Recordad que para la distancia de un punto amplano es muy sencilla. 00:07:47
Abajo se pone el módulo de un vector normal y aquí se pone el valor absoluto de sustituir el punto en la recta. 00:07:51
La X vale 8, más la Y que vale 0, más la Z que vale menos 4, menos 2, en valor absoluto. 00:08:02
Esto sale 2, valor absoluto de 2, 2, 2 partido por la Y de 3, unidades de valor absoluto. 00:08:12
¿Vale? 00:08:20
Entonces, que veáis que aquí lo más largo es sacar de una recta el punto y el vector. 00:08:22
Las demás cuentas son muy sencillitas, porque un producto escalar es cero y calcular la distancia de un punto a un plano son cuentas sencillitas. Esas son cosas que tenéis muy claras, ¿no? Cómo se van haciendo las cuentas de cada eje. 00:08:29
Continuamos. Distancia entre dos rectas paralelas. Mucho cuidado con esto porque aquí sí tenemos que tener en cuenta la casuística. 00:08:48
Bueno, aquí hay varias formas de hacerlo. La más sencilla es, como sabemos calcular la distancia de un punto a la recta y las rectas son paralelas, pues la distancia de ese punto a la recta entre las dos rectas es la misma que la distancia entre cualquier punto y la segunda recta. 00:09:01
¿Sí? Entonces, esa es la estrategia que vamos a seguir. Aunque ya os digo que hay otras que son un poquito más largas, que son menos operativas. 00:09:25
Entonces, primera cosa. Primero tengo que ver si son paralelas. Tengo esas dos rectas. Entonces, primera parte. ¿Son paralelas? Pues tengo que calcular la posición relativa. 00:09:39
A ver, yo de estas paramétricas puedo sacar que el vector director, bueno, voy a sacarle directamente un punto de esta recta, que es el 0, 0, 0, y un vector director que es el 1, 3, menos 1. 00:10:03
Esto tenéis que saber muy bien de dónde sacar los datos, dadas las instancias. 00:10:23
Esto para la recta R. 00:10:28
Tiene ese punto y ese vector director. 00:10:31
Y la recta S está en ecuación principal. Entonces, yo sé que un punto de esta recta es el 2 y menos 0 y zeta menos 1. 00:10:33
Sabéis que estos se cambian de signo y que el vector director es el 1, 3, menos 1. 00:10:46
Bueno, pues aquí no hace falta hacer más para ver que las dos rectas son paralelas. 00:10:55
Bueno, a ver, tienen la misma dirección. En realidad podrían ser o paralelas o coincidentes. 00:11:01
¿Puedo hacer el cálculo ya? 00:11:25
Sí, porque si son paralelas, si son paralelas, este paralelismo un poco relativo, esta distancia de aquí a aquí, y si son coincidentes, me va a salir que la distancia entre P y la recta S, la distancia es cero. 00:11:26
O sea, que aunque no sepamos si son paralelas o coincidentes, al calcular la distancia, lo vamos a averiguar. 00:11:50
Vale, entonces os recuerdo que la segunda parte, la distancia entre R y S es la misma que la distancia entre el punto P y la recta S. 00:11:57
Y esto, os recuerdo que es, si os acordáis, se hacía un paralelogramo, calculo el área del paralelogramo con u y el producto vectorial por pq y aquí divido entre el módulo de u. 00:12:13
Esto os lo tenéis que saber. Os voy a recordar aquí un momento esto, que para hacer la distancia de un punto P a una recta que tienen esto y esto, 00:12:40
hacemos el área del paralelogramo 00:13:02
que forma 00:13:05
u y el vector pq 00:13:06
y se divide por la base 00:13:08
que es el módulo de u 00:13:11
bueno, entonces sabéis que 00:13:13
para hacer el producto vectorial 00:13:16
tendría que hacer aquí el vector pq 00:13:17
el vector pq 00:13:19
son coordenadas de extremo menos origen 00:13:21
2 menos 0, 2 00:13:24
0 menos 0, 0 00:13:25
1 menos 0, 1 00:13:27
entonces aquí tengo que hacer 00:13:29
el producto vectorial 00:13:32
de u, que es 00:13:35
i, j, k 00:13:39
1, 3, menos 1 00:13:41
y el vector 2, 0. 00:13:45
Calculo esto, sale 3i 00:13:48
menos 2j 00:13:49
3i menos 2j 00:13:50
menos 6k 00:13:55
menos j. 00:13:57
O sea que nos sale 00:14:01
3 menos 3 00:14:03
menos 6. Menos 2J menos J 00:14:07
menos 3J. Entonces aquí sería el módulo 00:14:11
de ese vector, que es la raíz de 3 al cuadrado 00:14:15
menos 3 al cuadrado más menos 6 al cuadrado 00:14:20
y abajo tengo que poner el módulo de U 00:14:24
y el módulo de U es la raíz de 1 al cuadrado 00:14:27
más 3 al cuadrado, más menos 1 al cuadrado. 00:14:32
Bueno, esto lo hago, sale 36, no me equivoco, sale 54, raíz, y aquí 9 más 2, 11, raíz, van a ser radicales, no se puede simplificar, 00:14:38
se queda así, y estos son unidades de longitud. 00:14:54
entonces, lo repito 00:14:58
para calcular la distancia entre dos rectas 00:15:01
estudiamos primero la posición relativa 00:15:04
si son paralelas, la distancia 00:15:06
entre las dos rectas es lo mismo 00:15:09
que la distancia de un punto de una recta 00:15:13
a la otra recta 00:15:16
cuando en realidad el P 00:15:17
es de la recta S 00:15:20
bueno, pues 00:15:24
Entonces, como veis, la casuística es grande. Continuamos. Vale. Y vamos ahora a la distancia entre dos rectas. ¿Qué sé yo? Bueno, sabéis que si dos rectas se cortan, no sé si lo tengo puesto en algún sitio, si dos rectas se cortan, su distancia es cero. 00:15:30
Bueno, entonces, a ver, para ver esto, creo que va a ser mejor que no haga el dibujo, porque aquí se ve mucho mejor. 00:16:01
Yo tengo dos rectas que se cruzan. 00:16:22
Como veis, el rango de los vectores del vector director de S, el de R, 00:16:25
y el vector que une un punto de la recta R con otro de la B, ese rango es 3. 00:16:32
¿Por qué lo sé? Porque v y w forman un plano, bajando este vector aquí, y este vector se escapa de ese plano. 00:16:39
Entonces, como veis, salen tres vectores linealmente independientes. 00:16:48
Si salen tres vectores linealmente independientes, yo puedo dibujar este parálete. 00:16:53
Con paralelas me sale esto. 00:17:00
Y esto tiene un volumen, lo calculo. 00:17:03
Sabéis que el volumen de un paralelepípedo es el área de la base por la altura. 00:17:06
Y la altura no es este vector inclinado, sino el que está recto. 00:17:14
Es como las torres de Kío de la Plaza de Castilla. 00:17:19
Esta es la altura de la reta. 00:17:23
Entonces, si el volumen es el área de la base por la altura, 00:17:26
la altura será el volumen dividido entre el área de la base. 00:17:32
El volumen del paralelepípedo, lo vimos en el primer tema de vectores, se calcula con el producto mixto. 00:17:36
Y el producto mixto es el determinante de los tres vectores que forman el paralelepípedo, que generan el paralelepípedo. 00:17:45
Y el área de la base es lo que acabamos de ver ahora. El área de la base es el módulo del producto vectorial de los dos vectores que forman la base. 00:17:54
esto hay gente que se lo aprende 00:18:02
hay gente que no razona 00:18:05
vamos siempre mejor razonarlo 00:18:06
saber de donde vienen las cosas 00:18:09
pero esto es otro ejemplo 00:18:11
clásico 00:18:13
de problema de geometría 00:18:16
entonces 00:18:19
¿qué hacemos con esto? 00:18:21
pues lo mismo 00:18:23
como veis las cuentas se repiten bastante 00:18:23
primero tengo que estudiar 00:18:26
la posición relativa 00:18:29
para eso necesito 00:18:30
un punto y un vector de cada recta. 00:18:42
En R, vamos a ver, si yo tengo estas ecuaciones, 00:18:46
en R, tengo que 00:18:51
X es igual a 00:18:55
menos 1 más 2Z. 00:19:00
Y si sustituyo abajo, arriba, 00:19:04
perdón, me queda X más Y, perdón, 00:19:07
Me queda que x, que es menos 1 más 2z, más y menos z es igual a 1. 00:19:11
Si yo despejo de aquí, me sale que y es igual a, este menos pasa con más, 2, y aquí tengo 2z menos z, que es z, que al pasar aquí restan 2, sale z. 00:19:23
Aquí me sale x igual a menos 1 más 2z y es 2 menos z y z puede tomar cualquiera. 00:19:40
O sea que tengo como punto menos 1, 2, 0 y como vector director 2 menos 1. 00:19:55
esto respecto a la recta R 00:20:04
y por otra parte la recta S es mucho más fácil de trabajar 00:20:12
un punto Q es X menos 0 00:20:16
Y menos menos 2 00:20:22
acordaos que se cambia de signo 00:20:24
y Z menos 1 00:20:26
y vector director que llamo V 00:20:27
aquí es como si hubiera un 1 00:20:31
1 menos 1, 2 00:20:33
¿Sí? Entonces, bueno, posición relativa. Primera parte. El rango de U y V es 2 porque no son proporcionales. 00:20:38
Entonces, si el rango es 2, pueden ser o secantes o se cruzan. 00:21:02
Porque no tienen la misma dirección. 00:21:17
No tienen la misma dirección. 00:21:21
Esto es repasar las posiciones relativas. 00:21:28
Entonces, para saber si se cruzan o no, tengo que ver qué pasa con el rango de los vectores UV y el vector P. 00:21:31
Para hacer ese rango, lo más fácil es calcular el determinante. 00:21:50
¿El determinante de qué? 00:22:00
El determinante formado por los tres vectores. 00:22:04
2, menos 1, 1. 1, menos 1, 2. 00:22:09
Y el vector PQ, lo voy a hacer aquí, es 0, menos menos 1, que es 1. 00:22:13
Menos 2, menos 2, que es menos 4. 00:22:21
Y 1 menos 0 que es 1. O sea, 1 menos 4. Calculo este determinante y me sale menos 2, menos 2, menos 4, más 1, más 16 y más 1. 00:22:24
Vamos a repasar las cuentas. Menos dos, menos cuatro, menos ocho, siete, siete, nueve y uno diez. Esto vale diez, ¿no? Distinto de cero. 00:22:54
Pues, acordaos que como este rango, esto me indica, como es distinto de 0, que el rango de esos tres vectores es 3. 00:23:13
Y si es 3, la recta se cruza. 00:23:34
Como habéis visto antes en el dibujo, forman un paralelepípedo estos tres vectores que he puesto aquí. 00:23:37
Y esto va a ser el volumen del paralelepípedo. Esto es una cuenta que ya tengo hecha. 00:23:44
Y ahora, segunda parte. Tengo que calcular la distancia entre R y S. Y he dicho que es igual al valor absoluto del producto mixto, que lo acabo de calcular, partido por el módulo de U por V. 00:23:51
Esto lo acabo de calcular, vale 10. Y lo del denominador, pues lo voy a hacer ahora. Producto mixto, pues haréis IJK, el vector U es 2, menos 1, 1, el vector V es 1, menos 1, 2. 00:24:20
Entonces sale menos 2i, más j, menos 2k, más k, más i, más, no, menos, menos 4j. 00:24:47
Aquí esto saldría, menos 2 más 1 menos 1, j, ah no, 1 menos 4 menos 3, y menos 2 más 1 menos 1, pues esto será la raíz cuadrada de, menos 1 al cuadrado más menos 3 al cuadrado más menos 1 al cuadrado. 00:25:07
Y como veis esto sale 10 partido por raíz de 11 unidades de longitud. 00:25:38
Si alguien quiere racionalizarlo, esto es 10 raíz de 11 partido por 11. 00:25:47
O sea, si alguien quiere racionalizarlo, pero el resultado va hasta con dejarlo así. 00:25:55
Repasando un poco el problema. 00:26:01
Revisando el problema. 00:26:04
Quiero calcular la distancia entre dos rectas. 00:26:05
Estudio la posición relativa. 00:26:08
Saco punto y vector de cada recta. 00:26:12
Primero miro los vectores. 00:26:16
Como los vectores no son proporcionales, las rectas no tienen la misma dirección, no pueden ser ni paralelas ni coincidentes. 00:26:17
Tienen que ser o secantes o secantes. 00:26:24
Si son secantes, son coplanarias, están en un mismo plano. 00:26:26
Con lo cual, los vectores u, v y el pq tendrían que tener rango 2. 00:26:31
El determinante que forman sería cero. 00:26:37
Si este determinante sale distinto de cero, quiere decir que los tres vectores son linealmente independientes, 00:26:40
no están en el mismo plano, que forman un paralelepípedo. 00:26:47
Y precisamente el volumen de ese paralelepípedo es este número que he calculado. 00:26:50
Si yo lo divido por el área de la base de ese paralelepípedo, que es el módulo del producto vectorial de O con V, 00:26:56
me sale la altura. 00:27:02
La idea es esa. Y creo que es bueno de vez en cuando, al terminar el ejercicio, que los preseis con palabras para luego meteros en la vorágine de los cálculos. 00:27:04
¿Me podéis confirmar que funciona el micrófono? Porque estoy un poco paranoico porque últimamente ha habido clases que no he podido grabar. 00:27:23
y bueno entonces hemos visto un montón de posibles cálculos de distancias y nos queda 00:27:33
cálculo de áreas y volúmenes hay algunas cosas que ya hemos visto con vectores pero 00:27:45
el tratamiento que vamos a hacerlo es cuando tenemos puntos concretos a ver si tenemos 00:27:50
tiempo y de hacer el área de un triángulo el área del volumen de un tetraedro son ejercicios 00:27:57
son unos muy típicos de EBAU y luego, a ver si nos da tiempo a explicar este también, 00:28:02
que es un poco más complicado, aunque os he dejado el tutorial y como veis aquí tenéis 00:28:11
prácticamente todas las posibilidades que se me han ocurrido, que son prácticamente 00:28:16
a marcar casi todo el repertorio. 00:28:28
¿Veis que en el juego hay ejercicios 00:28:30
que os ponen a veces 00:28:31
con ejemplos del mundo físico? 00:28:33
Bueno. 00:28:37
Pues vamos a seguir 00:28:38
con el cálculo del área 00:28:40
de un triángulo. 00:28:41
A ver, dice, calcule el área 00:28:46
del triángulo a cuyos vírtices son 00:28:50
los puntos de intersección de un plano 00:28:52
con los ejes de coordenadas. 00:28:54
Bueno, aquí cada uno lo pinta 00:28:57
como quiere. Para mí este es el eje 00:28:58
o x este es el eje hoy y el que mide la altura es el eje o z en el eje o x es una recta es 00:29:00
intersección de los planos y es intersección de los planos y igual a 0 z igual a 0 la x es la 00:29:10
única que se mueve este es el punto 0 0 0 y 1 0 0 2 0 0 3 0 0 la ecuación del plano hoy de 00:29:20
El eje Y es X igual a cero, Z igual a cero. 00:29:29
La Y es la única que se mueve. 00:29:37
Y la ecuación del eje Z es X igual a cero, Y igual a cero. 00:29:39
Entonces, yo tengo un plano y ese plano, si es oblicuo, corta a los ejes a cada uno en un punto. 00:29:45
De tal forma que se forma un triángulo. 00:29:59
por cierto, por si os sale en algún momento 00:30:01
la ecuación de este plano 00:30:07
que está formado por 00:30:09
este plano se llama el OXZ 00:30:11
que es precisamente igual a cero 00:30:15
la variable que no uso 00:30:18
este plano que es el OXZ 00:30:21
su ecuación es z igual a cero 00:30:24
y este plano 00:30:27
Sí, su ecuación es z igual a cero. 00:30:29
Y la ecuación del plano O y z es x igual a cero, por si en algún caso os sale. 00:30:32
Bueno, entonces, el área de un triángulo, el área del triángulo ABC, 00:30:39
sabéis que es el módulo del producto vectorial. 00:30:48
Por ejemplo, de AB con AC. 00:30:54
también podría hacer 00:30:56
de B a con 00:30:58
B C 00:31:01
o de C a con C B 00:31:03
¿no? 00:31:05
entonces para eso necesito calcular A, B y C 00:31:06
¿cómo calculo 00:31:09
cómo calculo B? 00:31:11
pues si este es el plano X y 00:31:13
perdón, si ese es el X y 00:31:15
y quiero hacer el punto de corte 00:31:20
con el plano, pues aquí me sale 00:31:22
que 00:31:24
X es igual a 0 00:31:25
igual a 0 00:31:29
y si sustituyo aquí me queda 00:31:31
2Y menos 6 00:31:33
igual a 0, con lo cual 00:31:35
Y es igual a 3 00:31:37
bueno, pues este punto de corte 00:31:39
es el 0 00:31:41
¿cómo hago el punto A? 00:31:44
pues 00:31:50
vuelvo a coger el plano 00:31:50
2X más 2Y 00:31:51
más 3C 00:31:54
perdón, a ver que esto 00:31:56
no se ve, espero que me haya influido 00:31:58
Ahora, esto sí. Esto es y y esto es 6. Ahora, 2x más y más 3z menos 6 igual a 0. Pues si la y y la z valen 0, me queda 2x menos 6 igual a 0, con lo cual x es igual a 3. 00:32:00
Pues este es el punto 3, 0, 0. Y por último, si tengo aquí el plano 2x más y más 3z menos 6 igual a 0, me queda que 3z menos 6 es igual a 0, con lo cual z es igual a 2. 00:32:33
Con lo cual, este es el punto 0, 0, 2. 00:32:56
Entonces, ¿cómo calculo esto? 00:33:01
Pues el vector AB, sus coordenadas son las coordenadas de B menos las de A. 00:33:07
Pues será menos 3, 6, 0. 00:33:16
Y el vector AC, sus coordenadas serán las de C menos las de A. 00:33:22
Menos 3, 0, menos 0, 0 y 2, menos 0, 2. 00:33:27
Entonces, calculo el producto vectorial. 00:33:35
Como veis, las cuentas empiezan ya a repetir bastante, pero tenéis que saber en cada momento qué cuenta se hace. 00:33:41
El producto vectorial se hace así. 00:33:49
menos 3, 6, 0 00:33:51
menos 3, 0, 2 00:33:55
y sale, a ver, 12I 00:33:57
0, 0 00:34:01
más 00:34:03
12I 00:34:04
más 18K 00:34:06
más 6J 00:34:09
y sale 00:34:13
12, 6, 18 00:34:16
pues me vuelvo aquí 00:34:19
Y lo de este vector es la raíz de 12 al cuadrado más 6 al cuadrado más 18 al cuadrado. 00:34:23
Saco la calculadora. A ver, 144 más 36 más 324 sale 504. 00:34:34
Pues será igual a la raíz de 504, como es una superficie, unidades de superficie. 00:34:58
Y ya está. En este ejercicio lo que tenéis que saber es cuáles son las ecuaciones de los ejes OX, OY y OZ. 00:35:07
Bueno, el siguiente, pues también lo he hecho con los ejes. Es que son ejercicios que he visto bastante en el BAO en distintos años. 00:35:25
Vamos, es con los planos coordenados ahora. 00:35:40
Ah, no, no, es con los ejes de coordenadas. O sea que puedo utilizar los anteriores. Entonces, dice, a ver, tenemos los mismos datos, tenemos un plano y queremos calcular el volumen del tetraedro. 00:35:43
No sé si veis el tetraedro. El vértice podría ser O, este es el punto A que me salía antes, este es el punto B y este es el punto C. 00:36:14
Entonces, el tetraedro es como una pirámide y el volumen de un tetraedro es, no sé si os acordáis de geometría, 00:36:28
A ver, esto sería el área de su base, que pongamos que es el área de su base por su altura. El área de la base, como es un triángulo, entonces es la mitad del rectángulo. 00:36:48
y no sé si sabéis 00:37:21
que el volumen de un tetraedro 00:37:28
es área de base por altura partido por 3 00:37:30
si cogiste 00:37:33
este tetraedro 00:37:34
se divide entre 3 00:37:36
entonces esto es la 00:37:37
sexta parte 00:37:40
porque el área de la base es la mitad 00:37:41
de la de pie 00:37:44
que el volumen 00:37:45
del parámetro de pipe 00:37:48
a ver, lo repito de nuevo 00:37:50
Si queréis hacer, a ver, si yo tengo un paralelepípedo, voy a hacerlo recto porque es más fácil. 00:37:58
Pensadlo. A ver, si yo cojo la mitad de la base y esto, me queda el área de este prisma, ¿no? 00:38:08
Bueno, pues de este prisma puedo sacar tres pirámides que tienen la misma base y la misma altura. 00:38:24
esto es de geometría de segundo, de tercero 00:38:29
de eso, no sé si lo recordáis o no 00:38:32
pero vamos, la justificación 00:38:33
es esta 00:38:36
vamos, lo que tenéis que llegar 00:38:37
a saber es que el volumen del tetraedro es la 00:38:40
sexta parte de la del parámetro del epípedo 00:38:42
o sea, si yo hiciera un parámetro 00:38:44
del epípedo con estos tres vectores 00:38:46
saldría una figura 00:38:48
que 00:38:50
que 00:38:50
que tiene un volumen seis veces 00:38:52
el del tetraedro 00:38:56
Bueno, pues una vez hecho eso, este ejercicio es evidente. El punto A, si no me equivoco, era el 6, 0, 0. El punto B era el punto 0, 3, 0. Y el punto C, esto lo hemos hecho antes, era el punto 0, 0, 2. 00:38:57
Entonces, tengo estos tres vectores, estos tres vectores, vamos, el vector OA es el vector 6, 0, 0, 00:39:20
porque tenéis que restarle las coordenadas del origen, que es el 0, 0, el vector OB es el vector posición, el 0, 3, 0, 00:39:42
y el vector OC es el vector 0, 0, 2. 00:39:50
Bueno, pues, ¿cómo calculáis el volumen del paralel epípedo? Hacéis el producto vectorial, 0, 3, 0, 0, 0, 2, y os sale 6 por 3, 18 por 2, 36, ¿no? 00:39:57
Entonces, el volumen del paralel epípedo es el valor absoluto de 36, porque podría salir negativo, que es 36 unidades de volumen, ¿sí? 00:40:25
Bueno, pues el volumen del tetrahedro, que es lo que pide la solución, es la sexta parte. 00:40:36
Seis unidades de volumen. 00:40:47
Hay gente que prefiere poner seis unidades cúbicas. 00:40:49
Entonces, esto, como veis, estamos relacionando los tres temas. 00:40:57
El primer tema que era de vectores, el segundo que era de geometría afín sin intersecciones, 00:41:02
posiciones relativas y todas estas cosas y este tercero que es de calcular distancias entonces 00:41:09
para eso muchas veces tenemos que estudiar la posición relativa y muchas veces tenemos que 00:41:17
hacer los cálculos de los vectores no sé si tenéis algo que decir una cosa alguna cosa que nos quede 00:41:23
Clara, que os recuerdo que hoy o el jueves tenemos tutoría, el viernes sabéis que empiezan las vacaciones y bueno, vamos a hacer un ejercicio que tiene una complicación, la complicación está en el apartado B, pero el apartado B nos va a servir para cerrar el apartado. 00:41:31
A ver, primera cosa. Nos dan dos reglas. Entonces, nos dicen que comprobemos que se cruza. O sea, tienen distinta dirección. Ya tenemos que ver si se cruza. 00:41:55
Esta primera parte ya deberíamos haberla. Necesitamos un punto y un vector de R. Esto 00:42:29
para el apartado. Necesitamos un punto y un vector de Q. Q y U. Entonces, en R tengo el 00:42:39
punto 4, 1, menos 2. Y vector director, 2, menos 1, 3. Por otra parte, en la recta S, 00:43:04
tengo como punto Q, que es 1, menos 2, 8. Y como vector director, acordaos que aquí hay 00:43:25
1, V tiene vector director 1 menos 2, 2. Vale. Entonces, comprueba que las rectas R y S se 00:43:38
cruza. Primero tomo 00:43:54
U y V 00:43:56
el rango 00:43:58
que forman 00:44:02
la matriz formada por 00:44:03
U y V es 2. 00:44:06
¿Por qué? 00:44:09
Porque no son proporcionantes. 00:44:10
Entonces 00:44:17
o se cortan 00:44:17
o se cruzan. 00:44:20
Se cortan, son secantes 00:44:28
o se cruzan. 00:44:30
Para ver si se corta o no se cruza, tengo que calcular el vector PQ. 00:44:32
El vector PQ, sabéis que es 1 menos 4, menos 2 menos 1, y 8 menos menos 2. 00:44:46
O sea, aquí me sale el vector menos 5 menos 3, 10. 00:44:59
Entonces, tenemos que calcular ahora el rango que forman u, v y v2 y el vector v. 00:45:09
Si el rango es 3, estos 3 vectores son linealmente independientes, con lo cual la recta se cruza. 00:45:27
Y si no, las rectas son coplanarias y se cortan. 00:45:38
Las rectas no paralelas que se están en el mismo plano se cortan en el mismo plano. 00:45:43
Entonces, ¿cómo calculo el rango este? 00:45:49
el vector u es 2 menos 1, 3, el vector v es 1 menos 2, 2, y el vector pq es menos 5 menos 3, 10. 00:45:51
Esto sale, menos 40, más 10, menos 9, menos 30, más 12 y más 10. 00:46:10
Bueno, entonces, a ver, positivos 32, voy a hacer la mano. 00:46:33
Y ahora, a ver, esto es menos 30, menos 39, menos 79, ¿no? 00:46:41
Y esto sale menos 47, ¿no? 00:46:58
Bueno, acordaos que este 47 en valor absoluto es el volumen del parámetro, pero que suave. 00:47:08
Pero no me interesa esto. 00:47:15
A mí lo que me interesa saber es que como esto es distinto de cero, ¿no? 00:47:17
R y S se cruzan. 00:47:21
Bueno, pues ya he hecho la primera parte. 00:47:31
La tercera parte, lo lógico es hacerlo con la fórmula de distancia entre ambas. 00:47:34
¿Por qué? Porque ya la parte del numerador, que es el determinante, ya está calculado. 00:47:43
Es 47 tomando valor absoluto. 00:47:48
Y solo tendría que dividir entre el módulo del producto vectorial de U con V. 00:47:51
Pero en este ejercicio os piden que calculeis la perpendicular con. 00:47:56
Vale. 00:48:11
Bueno, determina la ecuación de la perpendicular con. 00:48:13
Voy a tronar de nuevo los datos. 00:48:17
Entonces, yo tengo una recta R, una recta S, y quiero calcular la perpendicular con. 00:48:29
¿Cómo voy a hacerla? 00:48:43
voy a coger un plano 00:48:45
que sea 00:48:47
perpendicular a las dos 00:48:49
rectas. 00:48:51
Ahora voy a ir con... 00:48:53
Vamos, que... 00:48:54
Bueno, sí, este sería 00:48:58
perpendicular a... 00:49:01
A ver, perpendicular a esta recta. 00:49:07
Este de aquí. 00:49:11
Ahora os digo cómo se define 00:49:13
este plano. 00:49:15
Este plano lo voy a llamar pi. 00:49:16
Esta es r y esta es s. Este es el vector n, pero n es perpendicular a r y a s. 00:49:18
Entonces tomo el plano pi, que es el plano que contiene a r y a ese vector normal. 00:49:34
Y por otra parte, tomo el plano que contiene a ese y que contiene también a ese vector normal. 00:49:53
Este lo llamo, pues, B', por ejemplo. 00:50:02
Entonces, yo no sé si lo veis, que si cortáis esos dos planos, 00:50:08
sabéis que una recta es intersección de dos planos, 00:50:13
entonces nos sale la recta perpendicular. 00:50:17
Bueno, esto es una pena, lo tenéis explicado en el tutorial, por eso os he dejado, por si no daba tiempo. 00:50:27
Entonces, n es la estrategia. Primero, cálculo n. n es el producto vectorial de u por u. 00:50:31
Porque, recordad, porque es perpendicular a los dos. 00:50:44
Ahora, segunda parte. Calculo el plano pi. El plano pi contiene al punto p, al vector de r. 00:50:54
Estos son el punto de R, el vector de R y este vector normal. 00:51:03
Y el plano pi prima contiene al punto Q, al vector V, o sea, contiene a S y al vector normal. 00:51:09
Entonces, si juntamos las dos ecuaciones, las de los dos planos, esta es la de pi y esta es la de pi prima, 00:51:20
nos queda la ecuación de la recta perpendicular. 00:51:29
Sí, bueno, perfecto. Adelante. Bueno, perfecto. Os cuento el esquema del ejercicio. Las cuentas están puestas todas en el tutorial. 00:51:32
Bueno, pues como siempre, ya sabéis que esta clase la repito el jueves y que tenemos, nos quedan dos tutorías para vacaciones y yo volveré luego el día 2 para unas clases que nos quedaría una quincena. 00:51:42
Una sería como de repaso de simetría y una clase de repaso de simetría y la otra clase sería de repaso un poco del curso y contaros cómo va a ser el esquema del examen final. 00:51:59
una última cosa 00:52:18
la distancia entre las dos rectas 00:52:20
esto que queda aquí podéis hacerlo 00:52:22
como vemos en el plan, pues con las rectas que se cruzan 00:52:24
calculando los puntos de corte 00:52:28
pero bueno, es mucho más largo 00:52:30
no sé cómo lo cuenta en el tutorial 00:52:32
lo óptimo es que lo hagáis siempre con la 00:52:33
con la forma, ¿de acuerdo? 00:52:36
Bueno, que tengáis 00:52:39
una buena semana 00:52:40
y cualquier duda, pues me escribís 00:52:41
me llamáis o venís por aquí 00:52:44
¿de acuerdo? 00:52:45
Gracias. 00:52:48
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
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Fecha:
19 de marzo de 2024 - 13:28
Visibilidad:
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Centro:
IES LOPE DE VEGA
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