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3 Operaciones con funciones - Contenido educativo

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Subido el 14 de enero de 2021 por Pablo M.

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En este tutorial vamos a empezar corrigiendo los ejercicios pendientes y vamos a avanzar en un epígrafe más. 00:00:01
Ejercicio 6 de la página 131. 00:00:07
En un aparcamiento se cobra un fijo de 2 euros y a partir de la primera hora 50 céntimos más por cada media hora de uso. 00:00:10
Encuentra la expresión de la función que da el coste en función del tiempo de aparcamiento y represéntala. 00:00:18
Bueno, pues X va a ser el tiempo e Y van a ser los euros. 00:00:24
Pero dado que el enunciado está puesto en medias horas, vamos a considerar que X es el número de medias horas y Y es el número de euros. 00:00:29
Luego, cuando yo estoy cero medias horas, me cobran dos euros. 00:00:44
Cuando yo estoy una media hora, me cobran dos euros. 00:00:49
Pero cuando ya estoy dos medias horas, me cobran dos más cero cinco. 00:00:54
Cuando estoy 3 medias horas me cobran 2 más 2 veces 0,5 00:00:59
Y cuando estoy 4 medias horas me cobran 2 más 3 veces 0,5 00:01:05
Con lo que me doy cuenta que es una función que se comporta de manera diferente 00:01:12
Desde 0 hasta 2 medias horas y de 2 medias horas en adelante 00:01:19
es importante señalar que si arriba no pongo el 2 00:01:27
lo tengo que poner abajo, tiene que estar definida por el número entero de medias horas 00:01:31
bien, entre 0 y 2 mi función siempre vale 2 00:01:36
y de 2 en adelante va a ser 2 más tantas veces 0,5 00:01:40
cuando estoy 2 medias horas sumo un 0,5 00:01:46
cuando estoy 3 sumo 2, 0,5 00:01:49
cuando estoy 4 sumo 3 00:01:52
Es decir, siempre sumo un número menos de medias horas. 00:01:53
Si yo represento esta expresión en una gráfica, tengo que el eje X serán el número de medias horas y el eje Y son los euros. 00:01:59
Bien. 00:02:18
Si yo tengo desde 0 hasta 2, mi función siempre vale 2. 00:02:21
Pero aquí es abiertos. De 2 medias horas a 3 medias horas, mi función vale 2,5. De 3 medias horas a 4 medias horas, vale 2 más 2 veces, 2,5. 00:02:28
de 4 a 5, añadimos el siguiente escalón, porque a este tipo de funciones se le llama escalonadas. 00:02:52
Bueno, pues esta es la expresión que tiene, y da igual que yo esté 57 minutos, que 30, me van a cobrar lo mismo. 00:03:05
Es importante señalar que si el enunciado me habla de medias horas, 00:03:14
pues me es más cómodo hablar de la expresión 00:03:18
en función de las medias horas 00:03:21
luego el ejercicio lo estamos haciendo 00:03:22
en función de medias horas 00:03:25
que quede bien claro 00:03:29
pasemos al siguiente ejercicio 00:03:32
ejercicio 7 00:03:35
disculpa que no me deja hacer un círculo 00:03:38
para las siguientes funciones 00:03:45
calcula f en 2, f en menos 1, f en 0, f en 1 y f en 2 00:03:50
Y determina su dominio. La primera expresión es x, x cuadrado y x. Si la x es menor estrictamente que menos 1, si estoy entre menos 1 y 1 incluidos, y si es mayor de 1. 00:03:55
Bien, si me piden la función en el menos 2, que es un valor anterior a menos 1, esto es menos 2. 00:04:16
Si me piden la función en el menos 1, que es justo la rama del centro, sería menos 1 al cuadrado, que vale 1, y no vale mirar la rama anterior. 00:04:29
Si me piden la función en el 0, el 0 está entre menos 1 y 1 y es 0 al cuadrado, que es 0. 00:04:41
Si me piden la función en el 1, el 1 también sigue siendo la función del medio, aunque el 2 ya es la última rama. 00:04:50
Tener en cuenta la diferencia que hay entre el menor estricto y el mayor estricto. 00:05:07
¿Qué dominio tiene esta función? 00:05:12
Bueno, pues yo me fijo en la primera rama 00:05:15
Para todos los valores de menos 1 existe el valor x 00:05:19
Para todos los valores entre menos 1 y 1 existe su cuadrado 00:05:25
Y para todos los valores mayores de 1 existe el valor x 00:05:31
Luego el dominio de esta función son todos los números reales 00:05:36
Vamos con el siguiente apartado 00:05:40
Bueno, esta vez la función es x cuadrado más 2 entre x menos 2 y x más 1 entre x menos 1. 00:05:45
Si la x es menor o igual que 0 y si la x es mayor que 0. 00:06:03
Si vamos a calcular estos valores, pues me planteo y digo, a ver, f en menos 2, menos 2 es un valor menor o igual que 0, luego es menos 2 al cuadrado más 2 entre menos 2 menos 2, 4 y 2, 6 entre menos 4 menos 3 medios. 00:06:08
Luego el valor menos 1, menos 1 al cuadrado más 2, entre menos 1, menos 2, y esto sale 1 y 2, 3, entre menos 3 sale menos 1. 00:06:41
El valor 0 sale 2 entre menos 2, que sale menos 1. 00:06:58
El valor 1 no existe. 00:07:04
¿Por qué no existe? 00:07:10
porque el menos uno es un valor mayor que cero 00:07:11
y sin embargo no podemos dividir por el valor cero. 00:07:18
Bien, y el valor dos no es problemático 00:07:24
porque es dos más uno entre dos menos uno 00:07:28
que sale tres. 00:07:34
Bien, lo suyo siempre es empezar por el dominio y luego calcular las cosas, pero yo estoy siguiendo el orden. 00:07:41
¿Cómo voy a estudiar yo el dominio de esta función? Me fijo en la rama de arriba, los menores de 0. 00:07:49
¿Para los menores de 0 siempre los puedo elevar al cuadrado, sumarle 2 y dividirles entre x menos 2? 00:07:57
Sí, porque el único problema que habría sería el 2 abajo, pero el 2 no es un valor menor que 0. 00:08:04
Y para los valores mayores que 0, ¿les puedo sumar 1 y en el denominador les puedo restar 1? 00:08:10
No, tengo un problema en el 1. 00:08:17
Luego el dominio de esta función son todos los números reales menos en el 1. 00:08:22
En el 2 aquí habría problema, pero como no vale pensar en el 2, no hay problema. 00:08:29
Siguiente ejercicio. 00:08:39
expresa el valor absoluto como una función por ramas 00:08:40
x más 5 menos x 00:08:53
bueno, el valor absoluto cambia antes y después del 0 00:09:02
¿y cuando x más 5 es 0? 00:09:06
cuando la x es menos 5 00:09:10
luego esta función va a ser para los menores de menos 5 00:09:13
y para los mayores de menos 5 00:09:19
si yo me cojo un valor anterior a menos 5 00:09:21
por ejemplo, el menos 6 00:09:26
menos 6 más 5 menos 1 00:09:29
tendría que cambiarle el signo 00:09:31
bueno, pues lo pongo 00:09:33
menos x más 5 menos x 00:09:34
y si cojo un valor mayor que menos 5 al 0 00:09:38
0 más 5 es 5 00:09:41
y no habría que hacerle nada 00:09:42
luego sería x más 5 menos x 00:09:43
si operamos un poquito esta expresión 00:09:47
lo que tenemos es menos 2x menos 5 y 5, para la x menor que 5 y para la x mayor de menos 5. 00:09:50
Bien, pues esto sería la expresión del valor absoluto. 00:10:04
Vamos a pasar al siguiente apartado que se llama operaciones con funciones. 00:10:11
Ya sabéis que en matemáticas, cuando trabajamos con una herramienta, en este caso las funciones, lo que nos gusta es darle una estructura, ¿vale? 00:10:18
Entonces esa estructura es un conjunto, que en este caso van a ser las funciones, y les vamos a dar una serie de operaciones de forma que sigan saliendo funciones. 00:10:42
Bueno, ¿qué operaciones van a salir nuevas funciones? 00:10:55
Bueno, pues la suma, la resta, la multiplicación y la división. 00:11:02
Entonces, lo único que hay que tener en cuenta es que estas nuevas funciones 00:11:08
tienen que tener un dominio, vamos, tienen que existir en algunos valores 00:11:12
que dependerá de los dominios anteriores. 00:11:18
Por ejemplo, sean f y g dos funciones con dominios, vamos a llamarle a al dominio de f y b al dominio de g. 00:11:22
Bueno, podemos construir una nueva función que se llame f más g de x 00:11:50
¿Cómo la definimos? Que sea f de x más g de x 00:11:59
¿Y cómo tiene que ser la x? 00:12:05
Pues tiene que pertenecer a la vez al dominio de a y al dominio de b 00:12:09
si en vez de la suma hubiéramos pensado en la resta 00:12:16
f de x menos g de x 00:12:22
y también la x tiene que estar en los dos dominios a la vez 00:12:27
si pensamos en la multiplicación 00:12:34
pues sería por definición el producto 00:12:38
y veis que una y otra vez 00:12:44
tienen que estar en el dominio de las dos funciones. 00:12:47
Y por último, si pensamos en la división, que sería una función dividida entre la otra, 00:12:51
la x tiene que estar en el dominio de las dos funciones menos cuando la g sea cero. 00:13:01
Bueno, pues, por ejemplo, vamos a hacer un ejemplo entre dos funciones, que la f de x sea x y la g de x sea 1 partido por x. 00:13:09
Entonces, bueno, el dominio de f son todos los reales y el dominio de g son todos los reales menos el cero. 00:13:38
Es obvio que la suma de f más g tiene dominio todos los reales menos el cero, porque es el conjunto que tienen en común todos los reales menos el cero. 00:13:53
La resta le va a ocurrir lo mismo 00:14:16
El producto sale x partido por x y sale siempre 1 00:14:24
Y alguno habría por decir, oye, pues el dominio son todos los reales 00:14:38
No, el dominio vuelven a ser todos los reales menos el 0 00:14:42
Porque aunque la función constantemente 1 existe siempre 00:14:47
esta es la función producto f por g 00:14:52
que no existe cuando la x es 0 00:14:54
y por último 00:14:56
si yo hago f entre g de x 00:14:59
que es x 00:15:01
entre 1 partido por x 00:15:02
me queda x cuadrado 00:15:04
diríamos, oye, esa función existe siempre 00:15:06
pues no, no existe siempre 00:15:09
esta función 00:15:11
existe de nuevo 00:15:13
los valores que no anulen 00:15:16
en el conjunto 00:15:18
en común, y como no tiene denominador, no hay problemas. Bien, pues hay una operación que es la función composición, que es también muy interesante, que consiste en combinar una función con otra. 00:15:21
se lee siempre G compuesto con F 00:15:41
es que primero hacemos G 00:15:54
y a lo que salga le hacemos F 00:15:58
Por ejemplo, pensemos que mi función F es sumar 1 00:16:04
y mi función G es elevar al cuadrado 00:16:16
si estudiamos la función g compuesto con f 00:16:20
primero hay que hacer g 00:16:24
que es elevar al cuadrado 00:16:28
y que hace mi función 00:16:30
mi función f suma 1 00:16:32
pues a x cuadrado le suma 1 00:16:36
se me ha olvidado señalar 00:16:39
que el dominio de ambas funciones era r 00:16:42
luego el dominio de la composición también es r 00:16:45
pero si hubiéramos hecho F compuesto con G 00:16:50
primero a un número le sumaríamos el siguiente 00:16:59
y luego la función F lo que hace es lo que tú me des 00:17:06
lo eleva al cuadrado 00:17:10
luego esto lo primero que dice es que no es lo mismo hacer G compuesto con F 00:17:11
que F compuesto con G 00:17:19
en matemáticas decimos que no es conmutativa 00:17:21
para que un número pertenezca al dominio de las dos 00:17:24
se tiene que cumplir que exista la imagen de la primera función 00:17:31
y que el dominio de esta caiga dentro 00:17:37
es decir, yo quiero 00:17:40
que el dominio 00:17:47
de G caiga dentro de F 00:17:54
en el caso 1 00:17:57
y quiero que el dominio de f caiga dentro del dominio de g, en el caso 2. 00:17:59
Vamos a hacer una composición de funciones que sea un poco más enrevesado, que de problemas. 00:18:13
Bueno, pues por ejemplo, la función f sea hacer la raíz cuadrada de un número 00:18:28
y la función g sea restarle 3. 00:18:36
El dominio de esta función es de 0 en adelante 00:18:42
y vamos a crear problemas. 00:18:47
En lugar de esta, vamos a pensar 1 partido de x menos 3, que son todos los reales menos el 3. 00:18:52
Si yo hago f compuesto con g, primero hago la f, que es toma raíz cuadrada, y luego la g le da la vuelta y le resta 3. 00:19:08
¿esto qué problemas añade? 00:19:22
bueno, primero tiene que existir 00:19:26
la imagen de F 00:19:31
tiene que estar en el dominio de G 00:19:33
¿y cuándo tiene un problema G? 00:19:35
pues cuando la raíz de algo es 3 00:19:39
¿vale? 00:19:43
entonces, pues en el valor 9 00:19:45
no existiría esta función 00:19:57
el dominio 00:20:00
de f compuesto con g 00:20:03
son todos los reales menos el 9 00:20:06
que alguno me diréis, oye la propia expresión ya lo dice 00:20:09
si, si en la práctica muchas veces 00:20:13
miramos la expresión final 00:20:15
pero no hay que olvidarse 00:20:17
de que hay veces que la expresión final 00:20:19
es extremadamente bonita 00:20:23
cuando realmente hay que señalar 00:20:25
que tiene problemas iniciales 00:20:29
si hubiéramos hecho G compuesto con F 00:20:32
primero hay que hacer G 00:20:47
que es dar la vuelta a un número 00:20:51
y restarle 3 00:20:52
y a lo que nos salga 00:20:55
le aplicamos la raíz cuadrada 00:20:57
bueno, pues si le damos la vuelta a un número 00:21:01
y le restamos 3 00:21:06
tenemos que hacer tenemos que cerciorarnos de que ese número no sea 00:21:07
negativo vale luego el número tiene que ser de 3 en adelante 00:21:13
y si el número es de 3 en adelante esta resta por 3 00:21:20
va a poderse hacer la raíz cuadrada o el dominio 00:21:27
G compuesto con F es de 3 en adelante. 00:21:32
Entonces, dice, bueno, Pablo, pues yo voy a mirar siempre la expresión final, 00:21:40
que es la que me da respuesta. 00:21:44
No, tienes que pararte a mirar entre medias, 00:21:45
porque no vaya a ser que los problemas que a priori aparecen, 00:21:48
desaparezcan como en los casos anteriores, 00:21:54
que nos ocurría con la multiplicación, que se convertían constantemente en 1. 00:21:58
¿Vale? 00:22:03
bueno, pues ya con esto es suficiente 00:22:03
para mañana 00:22:06
me hacéis 00:22:08
el 11, 12, 13 00:22:09
para casa, 11 00:22:14
y 13 00:22:19
vale, de la página 00:22:22
133 00:22:25
un saludo 00:22:29
Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo Martínez Dalmau
Subido por:
Pablo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
77
Fecha:
14 de enero de 2021 - 15:55
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARGARITA SALAS
Duración:
22′ 32″
Relación de aspecto:
1.59:1
Resolución:
1920x1210 píxeles
Tamaño:
321.26 MBytes

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