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Actividad de la representación de una parábola - Contenido educativo

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Subido el 25 de abril de 2021 por Jose S.

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la actividad de la representación de la parábola 00:00:00
de acuerdo, entonces 00:00:03
bien, tenemos esta parábola 00:00:06
y nos piden, bueno, nos hacen una serie de preguntas 00:00:09
vamos a ir una a una 00:00:13
repito, es esta parábola la que tenemos 00:00:16
y nos preguntan en el apartado A 00:00:20
¿es la gráfica una parábola o una recta? 00:00:23
¿Y por qué? Pues mirad, esto es una parábola porque la expresión algebraica de la función es un polinomio de grado 2. 00:00:26
Para que fuera una recta tendría que ser un polinomio de grado 1. 00:00:38
Es decir, diríamos que se trata de una parábola, bueno, he puesto aquí la gráfica de la función f de x, es una parábola, 00:00:42
Porque su expresión algebraica, que es esta, es un polinomio, quería poner, un polinomio de grado 2. 00:00:59
¿De acuerdo? Sería una recta si fuera un polinomio de grado 1. 00:01:15
Por ejemplo, algo así. Esta expresión algebraica es un polinomio de grado 1. 00:01:17
Aquí tenemos una recta, pero bueno, no es el caso. 00:01:25
Vamos a ver cómo representamos la parábola 00:01:28
Vamos a la pregunta 2, a la b 00:01:31
Vamos a hacer el apartado b 00:01:34
Que dice, encuentra tres números a, b y c 00:01:38
Que pertenezcan al recorrido de f 00:01:44
Bueno, ¿qué es el recorrido de una función? 00:01:49
Pues son esos valores del conjunto final que tienen antiimagen 00:01:54
Pues lo mejor que podemos encontrar es 00:02:00
Calcular, para garantizar que un valor tiene antiimagen 00:02:04
Podemos calcular la imagen de un valor cualquiera 00:02:11
Por ejemplo, si hago f de 0 00:02:14
0 cuadrado más 2 por 0 menos 3 00:02:17
Valiéndome de la expresión algebraica 00:02:25
Me da como resultado menos 3 00:02:27
¿Por qué hago esto? 00:02:29
Porque de esta manera 00:02:31
Daros cuenta de que menos 3 00:02:32
necesariamente pertenece al recorrido, al recorrido de f. 00:02:35
¿Y por qué? Porque hay un valor que es el 0, cuya imagen es menos 3, 00:02:50
y por tanto menos 3 tiene antiimagen, al menos el 0 está en su antiimagen. 00:02:57
Y esto garantiza que el número menos 3 pertenece al recorrido. 00:03:02
Hacemos lo mismo con otros tres valores. 00:03:08
Hacemos f de 1, por ejemplo, que sería 1 al cuadrado, sustituyendo 1 al cuadrado más 2 por 1 menos 3, que es 0. 00:03:11
Así que este valor, como es imagen del 1, este valor pertenece al recorrido de f, y hacemos lo mismo con otro valor. 00:03:25
calculamos por ejemplo f de 3 que es 12 00:03:36
así pues los números me pedían tres valores que pertenezcan al recorrido de f 00:03:47
así que a puede ser menos 3, b 0 y c 12 00:03:57
que efectivamente pertenecen al recorrido de f 00:04:07
vamos a hacer el apartado c 00:04:13
nos piden ahora que calculemos la antiimagen de dichos números 00:04:18
daros cuenta que tal y como lo hemos construido como efe de 0 vale menos 3 al menos en la 00:04:23
anti imagen de menos 3 está tiene que estar el 0 lo mismo con como efe de 1 es 0 al menos la 00:04:34
anti imagen de 0 al menos hay un elemento que es el 1 y lo mismo con 12 y 3 pero vamos a ver 00:04:42
porque como un número puede tener varias antiimágenes, 00:04:49
pues vamos a ver si esto sucede. 00:04:56
Calculemos la antiimagen del menos 3. 00:05:00
f a la menos 1 de menos 3 lo determinamos. 00:05:07
¿Cómo lo hacemos? 00:05:11
Pues buscamos los valores cuya imagen es menos 3. 00:05:12
Buscamos los valores cuya imagen es menos 3. 00:05:25
Así que igualaríamos esto a menos 3. 00:05:32
Para encontrar los valores de x, tales que al sustituir aquí, me den como resultado menos 3. 00:05:36
Porque lo que sale siempre aquí es la imagen. 00:05:48
Vamos a por ello. x cuadrado más 2x menos 3. 00:05:53
Así que igualamos la expresión algebraica menos 3 y despejamos x. 00:06:00
Tenemos así dos soluciones, 0 y menos 2. 00:06:18
Así que la antiimagen de menos 3 es el conjunto de números formado por los números menos 2 y 0. 00:06:20
Fijaros que hay uno que ya sabíamos, este. 00:06:28
Vamos a hacer ahora la antiimagen del 0, que hay uno que ya sabemos, que es el 1. 00:06:33
Calculemos, por tanto, la antiimagen del 1. 00:06:40
perdón, la antiimagen del 1 no, del 0 00:06:46
porque el valor b era 0, que me he equivocado, he puesto el i 00:06:54
esta es la imagen, queremos calcular la antiimagen del 0 00:07:00
donde uno de ellos es el 1, entonces calculamos f a la menos 1 de 0 00:07:04
igualamos la expresión a 0 y despejamos 00:07:08
y bueno, despejamos x con la fórmula 00:07:12
menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado 00:07:19
menos 4 a c, que lo tenemos aquí, hemos sustituido a 1, a es igual a 1, b es igual a 2 y c es igual a menos 3, 00:07:22
sustituimos en la expresión y operamos, y nos salen como soluciones 1 y menos 3, 00:07:35
y en consecuencia la antiimagen del 0 sería menos 3 y 1, y hacemos lo mismo con el último valor de c, 00:07:47
la anti imagen del 12 calculamos 00:08:03
f a la menos 1 de 12 00:08:06
y lo que hacemos es igualar la expresión algebraica 00:08:09
a 12 y despejamos x 00:08:14
y bueno, mediante la fórmula 00:08:24
ya sabida, nos da lugar a dos soluciones 00:08:27
la opción positiva sería 00:08:31
6 entre 2 que es 3 00:08:33
y la negativa sería menos 10 entre 2 00:08:36
que es menos 5. Así que tenemos las soluciones. La antiimagen del 12 sería el conjunto de números 00:08:39
formado por los números menos 5 y 3. En fin, vamos a resolver el apartado D. 00:08:47
Bien, el apartado D nos piden que representemos los puntos de la gráfica que se desprenden de los apartados B y C. 00:09:07
Claro, daros cuenta de que en realidad tenemos, en general, en general, dada una función f de x, daros cuenta de que la relación entre x y su imagen f de x, en realidad, siempre constituyen un punto de la gráfica de la función. 00:09:16
Es decir, si una función f tiene como gráfica esto, esta curva, pues este punto siempre va a tener coordenadas x, f de x. 00:09:49
O sea, está constituido por dos coordenadas, la x y la imagen por f de x. 00:10:06
Esto es importante. 00:10:16
Y fijaros que en el apartado, en los apartados A, B y C, lo que tenemos son varios puntos, porque sabemos que la imagen, 00:10:17
fijaos, fijándonos en el ejercicio de las antiimágenes, la imagen del menos 2 sería menos 3, porque la antiimagen de menos 3 es menos 2 entre otros, 00:10:30
Y la imagen del 0 sería menos 3. 00:10:42
Definitiva es que de esto se desprende lo siguiente. 00:10:46
f de menos 2 es igual a f de 0, que es igual a menos 3. 00:10:53
De esto se desprende que f de menos 3 es igual a f de 1, que es igual a 0. 00:11:03
Y de esto se desprende que f de menos 5 es igual a f de 3, que es igual a 12. 00:11:10
Entonces aquí tenemos varios puntos. 00:11:20
Un punto es el que pertenece a la gráfica. 00:11:22
Un punto sería el de coordenadas menos 2, menos 3. 00:11:26
Otro sería el de coordenadas 0, menos 3. 00:11:32
de aquí se desprenden otros dos puntos 00:11:36
el de coordenadas menos 3, 0 00:11:42
porque fijaos la imagen de menos 3 es 0 00:11:46
y también la imagen de 1 es 0 00:11:49
por lo tanto otro punto sería 1, 0 00:11:51
y de aquí también se desprende 00:11:54
que el punto menos 5, 12 pertenece a la gráfica 00:11:57
y el punto 3, 12 pertenece a la gráfica 00:12:04
Así que tenemos seis puntos de la gráfica y nos piden aquí que los representemos. 00:12:08
Vamos a representar el punto . 00:12:30
Tenemos aquí, vamos a representar los puntos que se desprenden de calcular las antiimágenes del . 00:12:37
El primero es y se desprenden de esta antiimagen. 00:12:48
Bueno, este sería menos 2 menos 3, aquí tenemos el punto, y el otro es, que digo es, uno es menos 2 menos 3 y otro 0 menos 3. 00:12:56
Repito que estoy representando los puntos que se desprenden de las tres antiimágenes que hemos calculado. 00:13:20
cero menos tres aquí este es el punto menos dos menos tres este sería el punto 00:13:27
cero menos tres el siguiente punto sería los otros dos puntos serían la 00:13:47
antiimagen del cero que son menos tres cero y uno dos y uno 00:13:57
cero menos tres cero y uno cero son estos dos 00:14:01
sería el punto menos 3 0 y es el punto 1 0 00:14:14
y por último representaremos las anti imágenes los puntos que se desprenden 00:14:22
de la anti imagen de 12 que son menos 5 y 12 y 3 12 bueno 00:14:29
está por aquí arriba el 12 hacemos aquí un apaño aunque tape esto voy a tapar 00:14:42
esto pero es un cálculo que no es ya necesario 00:15:00
subir el 12 ya digo que está en el 1 2 3 00:15:07
5 6 7 8 9 10 11 y 12 voy a borrar esto bien aquí 00:15:20
tenemos el 12 y estoy representando los puntos menos 5 00:15:33
12 y 312 menos 512 están menos 5 por tanto 00:15:37
el punto de coordenadas menos 512 está aquí 00:15:46
y el otro es el 312 que está aquí 00:15:51
fijaros pues esto es interesante hemos representado hagamos un repaso de lo 00:15:59
que hemos hecho hemos por un lado nos decían que encontráramos 00:16:08
Trabajamos tres valores a, b y c que pertenezcan al recorrido de f de x. 00:16:13
Hemos cogido tres valores de x cualesquiera, pues en definitiva para hacer la típica tabla, ¿no? 00:16:19
El 0, 1 y 3 y las imágenes son menos 3, 0 y 12. 00:16:31
Esto es lo que hemos hecho. 00:16:37
¿Para qué? Pues para encontrar tres números, que son estos. 00:16:39
de manera que tenemos garantizado que tienen anti-imagen 00:16:43
y por tanto estos tres números pertenecían al recorrido de la función 00:16:49
porque tiene anti-imagen 00:16:56
en el siguiente apartado nos pedían que calculáramos 00:16:58
la anti-imagen de dichos números 00:17:01
y es que en realidad tenemos encontrada solo una 00:17:04
pero puede haber más como de hecho pasa 00:17:09
Entonces, fijaros que al representar estas antiimágenes 00:17:11
Por un lado la antiimagen del 0, luego la antiimagen del 1 y luego la del 3 00:17:18
Me salen por cada una una parejita de puntos 00:17:25
Esta es la parejita de puntos que vienen del hecho de calcular la antiimagen del menos 3 00:17:31
Esta es la parejita de puntos que vienen del hecho de calcular la antiimagen del 0 00:17:39
Y esta es la parejita de puntos que vienen del hecho de recalcular la antiimagen del 12 00:17:44
Y fijaros, al representarlas sucede algo interesante 00:17:49
Y es que, mirad, la antiimagen del 12 daba lugar a este punto y a este 00:17:59
La antiimagen del 0 daba lugar a este punto y a este 00:18:12
Y la del menos 3 daba lugar a este punto y a este 00:18:20
Y tiene la peculiaridad de que 2 a 2 son puntos simétricos respecto de esta recta 00:18:24
Fijaros, hay simetría entre estas parejas de valores, de puntos, perdona, 00:18:43
son simétricos respecto de esta recta, que vamos a llamar eje de simetría. 00:19:11
Y es que en realidad, por adelantarme un poco a los acontecimientos, 00:19:25
fijaros que toda parábola, esté donde esté situada, siempre va a tener un eje de simetría. 00:19:30
Y en realidad lo que hemos hecho es con los puntos, calculando antiimágenes de un valor concreto, 00:19:41
lo que hemos obtenido es justamente valores, puntos, perdona, que son de la parábola, que son simétricos. 00:19:51
Y al ser simétricos, al conocer parejitas de valores simétricos, esto nos permite calcular o encontrar el eje de simetría. 00:20:01
Y esto no es cualquier cosa, porque en el eje de simetría se encuentra un punto esencial para representar la parábola, que es este, que llamamos vértice. 00:20:18
El vértice es el punto de la parábola donde hace esta curva 00:20:34
También si hace así, pues en el eje de simetría está el vértice 00:20:41
Bien, pues el vértice es el punto donde hace la curva 00:20:47
Donde está el mínimo de la parábola o el máximo 00:20:51
Según la orientación que tenga 00:20:55
Por lo tanto este vértice es un punto muy importante 00:20:57
¿Y cómo encontrarlo? 00:21:03
Pues una vez que tenemos el eje de simetría 00:21:05
En este valor calcularíamos la imagen para ver qué altura toma 00:21:08
Vamos a hacerlo en nuestro ejemplo 00:21:14
Ya tenemos en nuestro ejemplo, en nuestro ejercicio 00:21:16
Ya tenemos el eje de simetría 00:21:21
Que es este 00:21:27
Y por tanto, la parábola ya se ve más o menos por dónde va a ir 00:21:29
Fijaros que la parábola pasa por aquí 00:21:43
y luego tiene que pasar por aquí, por aquí, por aquí 00:21:57
por lo tanto evidentemente la curva la hace aquí en el eje de simetría 00:22:02
¿A qué altura la hace? Pues no es lo mismo que lo haga 00:22:06
por aquí o que lo haga por aquí más abajo 00:22:09
o por aquí, vete a saber y por tanto es importante 00:22:14
calcular dónde está el punto vértice 00:22:18
¿Y cómo lo hacemos? Pues hemos de encontrar este valor de x 00:22:22
¿Qué es? Si aquí está el 0, pues este es el menos 1. 00:22:25
Fijaos, 0, este es el 1, 2, este es el menos 1, menos 2, aquí está el menos 3. 00:22:30
Entonces, para calcular dónde está el vértice, calcularíamos, dado que el valor, 00:22:39
La coordenada x del punto v, que es el vértice, es siempre el valor de x donde se encuentra el eje de simetría. 00:22:46
Por tanto, en mi caso es en x igual a menos 1 00:23:43
Así que el vértice va a tener una coordenada en x que es 1 00:23:49
Y en y, pues no sabemos, pero es la imagen de 1 00:23:54
Lo único que hemos de hacer es calcular f de 1 00:23:58
Como f de x es x cuadrado más 2x menos 3 00:24:03
Pues sería 1 al cuadrado más 2 por 1 menos 3 00:24:07
que es 0 00:24:18
perdón, ha habido un error 00:24:24
es en menos 1 00:24:28
hemos dicho antes 00:24:30
es f de menos 1 00:24:32
me estaba extrañando 00:24:34
porque no podía valer 0 00:24:37
porque se ve claramente que anda por aquí abajo 00:24:38
del 0 00:24:40
entonces hay que hacer f de menos 1 00:24:42
a partir de la expresión algebraica 00:24:44
x cuadrado más 2x menos 3 00:24:47
que sería 00:24:49
menos 1 al cuadrado, más 2 por menos 1 menos 3, que es 1 menos 2 menos 3, que es menos 4. 00:24:56
Así que el vértice es el punto de coordenadas menos 1 menos 4, que se encuentra aquí. 00:25:12
este es el vértice, ya estamos en disposición de representar la gráfica de la parábola 00:25:21
fijaos, la parábola de hacer así, pasa por aquí, pasa por aquí, por aquí, aquí hace la curva y sube 00:25:30
bueno como veis en el apartado E nos pedían tras la observación de dichos puntos 00:25:51
o sea, habíamos representado en el apartado anterior los puntos de la gráfica que se desprenden de los apartados B y C 00:26:00
y luego nos pedían que tras la observación de dichos puntos encontráramos alguna simetría 00:26:07
que es justamente el eje de simetría de la parábola que ya hemos dibujado aquí 00:26:14
o sea, que ya está resuelto ese apartado 00:26:19
el siguiente apartado es 00:26:22
dibuja el eje de simetría con la coordenada 00:26:24
y pregunta ¿cuál es la coordenada x del vértice? 00:26:28
pues la coordenada x del vértice 00:26:32
ya lo hemos visto aquí que sería 00:26:34
donde está el eje de simetría 00:26:36
que es menos 1 00:26:39
es lo que hemos puesto aquí 00:26:40
la coordenada x del vértice 00:26:42
sería menos 1 00:26:44
y luego ya nos piden 00:26:46
en el siguiente apartado 00:26:48
haya las coordenadas 00:26:50
la coordenada y del vértice 00:26:52
y claro, como en toda función 00:26:54
Si conozco la x, conozco la y 00:26:57
Porque lo único que tengo que hacer es 00:26:59
Sustituir aquí 00:27:00
Y si al revés también 00:27:02
La y digamos que es la imagen de x 00:27:05
Por f 00:27:07
Y al revés, si conociera la y 00:27:08
Puedo conocer la x también 00:27:10
¿Cómo? Pues porque la x es la antiimagen 00:27:12
Por f de ese valor de y 00:27:15
Que te den 00:27:17
En definitiva 00:27:18
Quiero que os quedéis con lo siguiente 00:27:19
Cuando tienes la expresión algebraica de una función 00:27:22
dado cualquier valor de x puedes encontrar el valor de y del punto de la imagen y al revés, 00:27:25
dado conocido el valor de y también puedes conocer el valor de x despejando de aquí, 00:27:34
haciendo la anti imagen. El siguiente apartado era calcular el vértice, la coordenada en y del 00:27:38
vértice. Aquí lo hemos hecho. Hemos calculado la imagen de , nos ha salido que f es 00:27:47
menos 4 que será la coordenada en y del vértice y el siguiente apartado es bueno toma al menos 00:27:56
dos valores más de x para calcular las imágenes sus imágenes y representa los puntos obtenidos 00:28:07
bueno no hace falta no ha hecho falta y luego une los puntos y representa la parábola 00:28:15
y eso lo que hemos hecho y nos pregunta es parábola convexa o cóncava o convexa y en 00:28:22
En este caso hemos visto que la parábola es cóncava, van los cuernos para arriba. 00:28:27
Y la siguiente pregunta es, bueno, luego nos piden que hagamos lo mismo con este ejercicio, eso ya para otro apartado, para otro ejercicio. 00:28:37
Se ha entendido, lo que quiero es explicar, daros cuenta de que en realidad este método lo que nos permite es representar una parábola. 00:28:44
O sea, cómo a partir de la expresión algebraica, un polinomio de grado 2, que ya sabemos que es una parábola, 00:28:56
puedo representar gráficamente dicha parábola. 00:29:04
¿De acuerdo? ¿En esencia qué es? Pues buscar puntos que sean simétricos. 00:29:08
¿Cómo? Puntos que sean simétricos de la parábola. 00:29:14
Son estos, son estos, este, este, este, este, estos son simétricos, este y este, este y este, hemos encontrado tres parejitas de puntos simétricos, esto que nos permite, ¿cómo los hemos encontrado? 00:29:22
Pues mediante la antiimagen. Me fijo en uno de ellos, en un valor de y, calculo su antiimagen y esto me va a dar lugar a las coordenadas en x de los dos puntos que son simétricos. 00:29:49
Lo mismo he hecho aquí con el cero, que podría haber cogido cualquier otro valor y habría dado dos puntos simétricos, podría haber cogido este otro y la antiimagen habría sido la coordenada en x de dos puntos simétricos y así. 00:30:03
Y una vez que tienes los puntos simétricos, esto te permite dibujar el eje de simetría 00:30:21
y ya con el eje de simetría ya tienes el valor en x, este el menos 1 en este caso, del punto vértice, que es este. 00:30:27
Una vez que tienes la x del vértice, calculas la y del vértice, pues calculando la imagen de, en este caso, menos 1 era, 00:30:41
daba menos 4, ya tengo el vértice y ya con esto lo puedo dibujar 00:30:48
puntos simétricos, eje de simetría y vértice 00:30:53
la parábola se dibuja con mucha facilidad 00:30:59
vamos a hacer el siguiente ejercicio 00:31:03
pero a modo de repaso, voy a representarlo de forma directa ya 00:31:05
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
85
Fecha:
25 de abril de 2021 - 9:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
31′ 11″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
505.86 MBytes

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