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Ejemplo de factorización de un polinomio con raíces no reales - Contenido educativo

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Subido el 7 de marzo de 2021 por Andrés B.

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Ejemplo de factorización de un polinomio en el que alguna de sus raíces no son números reales.

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Vamos a ver un último ejemplo de factorización de polinomios. 00:00:00
Este ya sí que os prometo que es el último. 00:00:05
Para que veáis otra cosa que puede ocurrir cuando factoricéis un polinomio. 00:00:08
Entonces, vamos a factorizar este polinomio, x cuarta menos x cuadrado menos 2x más 2. 00:00:13
Entonces, las posibles raíces que tiene este polinomio, pues como no tenemos coeficiente principal, 00:00:19
van a ser sencillamente los divisores de 2. 00:00:26
Es decir, las posibles raíces racionales de este polinomio, 00:00:29
importante, recordad, las racionales, las irracionales no las podemos ver así, 00:00:35
serían esas dos, ¿vale? 00:00:40
Bueno, esas cuatro, porque son cuatro. 00:00:42
Dos negativas y dos positivas. 00:00:45
Bien, bueno, pues vamos a hacer Ruffini. 00:00:48
Bien, entonces voy a empezar por 1, por a igual a 1, entonces pongo aquí 1, que sería dividir este polinomio entre x menos 1, escribo aquí polinomio 1, 0, menos 1, menos 2 y 2. 00:00:50
Recuerdo que este 0 es porque el término en x al cubo tiene coeficiente 0, porque no existe. 00:01:09
Bien, bajo el 1, 1 por 1 es 1, 0 más 1 es 1, 1 por 1 es 1, menos 1 más 1 es 0, 0 por 1 es 0, menos 2 más 0 es menos 2, y menos 2 por 1 es menos 2. 00:01:15
Resto 0. Vale, pues a la primera hemos encontrado una de las raíces, es decir, uno de los factores sería el factor, bueno, la raíz sería x igual a 1, 00:01:30
entonces el factor sería x menos 1, ¿vale? 00:01:40
Vamos a buscar el siguiente, entonces para ello ya parto de este nuevo polinomio, ¿vale? 00:01:44
Es decir, ahora ya sé que tengo aquí el cociente de t de x entre x menos 1, 00:01:53
que sería x al cubo más x cuadrado menos 2, ¿vale? 00:02:01
Entonces coloco estos coeficientes aquí, sería 1, 1, 0, menos 2, lo que tenéis aquí, ¿vale? 00:02:08
De eso algunos lo que hacéis es hacerlo a continuación, que he visto que algunos lo trabajáis así. 00:02:17
Bueno, y vamos a volver a probar otra vez con el 1, porque podría tener alguna raíz doble, 00:02:23
que sea otra vez x igual a 1, o una raíz también de este, a su vez, ¿vale? 00:02:29
Entonces yo bajo este 1, 1 por 1 es 1, 1 más 1 es 2, por 1 es 2, 0 más 2 es 2, 2 por 1 es 2, menos 2 más 2 es 0. 00:02:32
Pues mirad, da la casualidad de que esta raíz es por lo menos doble, ¿vale? Porque x igual a 1, de nuevo, es otra raíz, porque el resto de esa división es 0. 00:02:43
Es decir, que de nuevo tengo aquí un cociente que sería x cuadrado más 2x más 2, ¿vale? 00:02:56
Entonces este polinomio lo voy a volver a intentar factorizar otra vez, pero como era de grado 2 puedo directamente usar la ecuación de segundo grado, ¿vale? 00:03:10
Entonces, de momento, lo que tengo sería que x a la cuarta menos x cuadrado menos 2x más 2, que es mi polinomio t, es igual al polinomio x cuadrado más 2x más 2 por el factor x menos 1 y por el factor x menos 1. 00:03:20
es decir, el factor x menos 1 dos veces, x menos 1 al cuadrado. 00:03:47
Vale, entonces voy a factorizar este y para ello uso la ecuación de segundo grado, 00:03:52
porque en este caso tengo un polinomio de segundo grado, voy a bajar aquí para hacerlo más claro y tener más espacio. 00:03:58
La ecuación de segundo grado sería, la solución sería x igual a menos b, vale, ¿qué es b? 00:04:05
Vamos a ver qué es D, qué es A y qué es C. 00:04:13
A sería 1, B sería 2 y C sería 2. 00:04:16
Porque recuerdo que lo que estamos resolviendo es la ecuación 00:04:22
x cuadrado más 2x más 2 igual a 0. 00:04:24
Entonces, menos B, menos 2, más menos raíz cuadrada de B al cuadrado. 00:04:30
B al cuadrado sería 2 al cuadrado, que son 4. Menos 4 por A, que es 1, por C, que son 2. Partido 2 por 1. ¿Vale? Entonces esto es igual a menos 2 más menos raíz cuadrada de 4. 00:04:38
4 menos 8, menos 4, partido por 2. Bueno, ya veis que aquí está ocurriendo algo que no nos gusta, ¿no? ¿Qué está pasando? Es que esa raíz, raíz de menos 4, es una raíz de un número negativo. 00:04:56
que sabemos que no tiene solución real 00:05:20
¿vale? entonces como mucho lo que yo puedo hacer aquí 00:05:23
como tengo 00:05:25
2, 2 y 4, bueno como 4 es 00:05:27
como 4 es 2 al cuadrado 00:05:29
que no menos 4 ¿vale? 00:05:32
pero si 4 00:05:34
pues si que lo que puedo hacer es decir 00:05:35
sacar el 00:05:37
el 2 fuera ¿vale? 00:05:39
como si estuviera racionalizando 00:05:41
pero no me queda más remedio 00:05:43
que dejar aquí un menos 1 00:05:45
¿vale? entonces lo mismo me da 00:05:47
sigo la misma 00:05:49
Puedo, ahora como tenemos en el fondo lo que tengo es, estoy multiplicando arriba y abajo por 2, pero ya digo que esto tampoco es importante, esto es por simplificarlo un poco más. 00:05:50
Tendría menos 1 más menos raíz cuadrada de menos 1 partido por 1. 00:06:00
Es decir, y esto como es un 2 y un 2, pues esto se puede ir. 00:06:06
Es decir, yo lo que tengo sería menos 1 más menos raíz de menos 1. 00:06:10
Vale, esto, que sería la solución de la ecuación de segundo grado, x cuadrado más 2x más 2 igual a 0, como veis, esta ecuación tiene una solución que no existe, o mejor dicho, más correcto matemáticamente hablando, es una solución que no es real, porque no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo me dé menos 1, y por lo tanto esta solución, esta raíz cuadrada, no tiene solución real. 00:06:16
No hay ningún número que cumpla, que sea la raíz cuadrada de menos uno. 00:06:43
Entonces, esto es, y lo había puesto por eso, esto es otra cosa que puede ocurriros cuando factorizáis un polinomio o cuando resolváis una ecuación de segundo grado, 00:06:50
que es que una de las raíces del polinomio sea un número que no es real. 00:07:01
Entonces, este polinomio no tiene raíces reales. 00:07:06
Recordemos lo que hemos visto, que es que un polinomio de grado n tiene como mucho tantas raíces como su grado 00:07:09
Es decir, un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces 00:07:18
Un polinomio de grado 2 tiene como mucho 2 raíces, pero no quiere decir que tenga 2, tiene como mucho 2 00:07:21
En este caso no tiene ninguna, no tiene ninguna raíz real 00:07:26
Esta raíz no es real o no existe, como lo queráis ver 00:07:31
Entonces, ¿qué hacemos en este caso? 00:07:36
Pues nada, no podemos hacer nada más. Es decir, nuestra solución sería directamente dejarlo así. 00:07:39
Nosotros dejaríamos así la solución. Diríamos que x cuarta menos x cuadrado menos 2x más 2 es igual al polinomio x cuadrado más 2x más 2 por el polinomio x menos 1 al cuadrado. 00:07:46
Es decir, y las raíces del polinomio serían estas dos raíces que no son reales, o como si lo preferís decir así, no tendría raíces, ¿vale? 00:07:59
Esta parte del polinomio no tendría raíces, entonces la única raíz que tiene el polinomio de grado 4, x cuarta menos x cuadrado menos 2x más 2, 00:08:12
es la raíz x igual a 1 dos veces, ¿vale? Que la hemos sacado con Ruffini, ¿eh? De acuerdo que la hemos sacado aquí arriba. 00:08:21
Es decir, las únicas raíces reales que tiene son estas dos, que es la misma, o dicho de otra manera, tiene la raíz x igual a 1 doble, pero no tiene más. 00:08:28
Entonces la solución, si nos preguntaran por raíces, sería la raíz de este polinomio es la raíz x igual a 1, que es una raíz doble, pero no tiene raíces reales, más raíces reales, aparte de esto. 00:08:38
Entonces, bueno, esto era lo que quería contaros para que veáis este último caso de algo que puede ocurrir cuando se vuelve una ecuación, que es que os encontréis que no tiene solución, ¿vale? 00:08:52
Entonces ya veis que hay polinomios de grado 2 que no tienen raíces reales y por lo tanto hay también polinomios de grado 3, de grado 4, de grado 5, ni que sea, que tampoco tienen por qué tener todas sus raíces, tienen por qué ser reales, ¿vale? 00:09:03
Bueno, pues eso es todo lo que quería contaros. 00:09:20
Gracias. 00:09:22
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Andrés Benito Platón
Subido por:
Andrés B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
95
Fecha:
7 de marzo de 2021 - 17:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
09′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
36.90 MBytes

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