N1 primos, MCD, mcm - Contenido educativo
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Seguimos en el nivel 1 con las matemáticas de la primera evaluación.
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Nos habíamos quedado los números primos.
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Los números primos, pues un número primo es aquel número natural que solo tiene dos divisores.
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Tiene que tener el divisor 1 y además el mismo.
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Y un número compuesto se llama número compuesto al que tiene más de dos divisores.
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El 1, por tanto, no es ni primo ni compuesto.
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Vamos a ver, entonces los primos son, los números primos son el 2,
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porque el 1 hemos dicho que no es primo a pesar de que en algunos libros lo pone,
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pues serían el 2, el 3, el 4 no es primo porque es 2 por 2,
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El 5 es primo, el 6 no es primo porque es 2x3, el 7 es primo, el 8 no es primo porque es 2x2 o 2x4,
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el 9 tampoco es primo porque es 3x3, el 10 no es primo porque es 2x5, el 11 es primo,
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El 12 no es primo porque es 2 por 6
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El 13 es primo
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El 14 no es primo porque es 2 por 7
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El 15 no es primo porque es 3 por 5
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El 16 no es primo porque es 4 por 8
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4 por... ¿qué he dicho?
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4 por 4, por ejemplo, son 16
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El 17 sí que es primo
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El 18 no es primo porque es 2 por 9, por ejemplo
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El 19 sí que es primo
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Porque 19 no se puede poner como un número por otro número, hemos dicho
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Estos son los que no se pueden descomponer
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El 20 no es primo porque es, por ejemplo, 4 por 5
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Todos estos no se pueden poner de esa forma
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El 21 no es primo porque es 3 por 7
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2 por 7 da 21, el 22 tampoco, los números pares no son primos salvo el 2, el 23 es primo y así podríamos seguir a infinitos primos,
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esto ya lo sabían los griegos, y pues nada, el siguiente sería el 24, no, 25, no, 26, no, 27, no, porque son 3 por 9, 28 tampoco, 29 sí, 29 es primo,
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30 no, 31 es primo
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32 no es primo, 33 no es primo
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porque es 3 por 11
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ni el 34, ni el 35, ni el 36
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el 37 es primo
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y así ya digo, podríamos seguir
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38 no es primo, 39
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39 es múltiplo de 3
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3 por 13 son 39
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el siguiente sería el 41
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bueno, y aquí lo dejo porque si no
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en relación a esto que estamos diciendo
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pues siempre suele darse después
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bueno, la descomposición de un número
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por ejemplo el, que se yo, el 12
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La descomposición de un número en factores primos sería 12 entre 2
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Hay que coger los números que están aquí, 12 entre 2 es a 6
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6 entre 2 se puede dividir otra vez y da a 3
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Y luego 3 entre 2 ya no se puede, ahora sería 3 entre 3 a 1
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Cuando llegamos a 1 ya hemos acabado
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Y entonces la descomposición del número 12 en factores primos sería
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2 por 2 que sería 2 al cuadrado multiplicado por
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3 que está aquí el 3, 2 al cuadrado son 2 por 2 que son 4
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4 por 3, 12, esta sería la descomposición del número
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12 en factores primos que nos
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hace falta para lo que vamos a ver, bueno para muchas cosas
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vamos a ver
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lo siguiente sería
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el máximo común divisor de varios números, pues entonces el máximo común divisor de varios números
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tiene que ser divisor de esos números, tiene que ser el mismo, tiene que ser común para esos números
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Y es el más grande que podamos conseguir. Entonces, si por ejemplo tenemos el 24 y el 36, pues los divisores del 24 son el 1, el 2, el 3, el 4, el 6, el 8, el 12, el 24 también es divisor.
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todos estos son los divisores, al hacer la división de 24 entre cualquiera de estos números
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el resto da 0 y los divisores del 36 son 1, 36 entre 1 da 0
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por tanto el 1 es un número común, es un divisor común pero no es el máximo
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vamos a ver si podemos encontrar uno que sea mayor
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el 2, el 2 también, 36 entre 2 son 18, el resto 0
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pues el 2 por ahora es el candidato a máximo común divisor
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vamos a ver si hay alguno más, el 3, 36 entre 3 da 12 también, entonces por ahora el que va ganando es el 3, 3 sería el máximo que hemos conseguido por ahora, común, aparece arriba y abajo y es divisor, vamos a ver si hay alguno más, el 4, el 4 también es común y es divisor de los dos, 36 entre 4 pues da 9, 4 por 9, 36.
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¿Hay algún divisor más del 36? Sí, también está el 6.
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36 entre 6 es 6. Por tanto, por ahora, el mejor que hemos conseguido es el 6, arriba y abajo.
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Este sería el máximo común divisor si no hay otro mayor. Vamos a ver si hay algún otro mayor.
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El 9. El 9, 36 entre 9 son 4 y el resto da 0.
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Por tanto, parece que nos vamos quedando con el 6. Vamos a ver si hay alguno más.
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el 12, 36 entre 12 da 3 y el resto da 0
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por tanto por ahora el que gana es el 12, vamos a ver si hay algún divisor
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más, pues está el 18, el 18
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también es un divisor de 36
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36 entre 18 da 2 y el resto da 0, y luego
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también el 24 no es, porque 36 entre 24 no da 0
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y 36 entre 36
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da el resto 0. Por tanto, el que hemos conseguido es este número, que es el 12.
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El 12 sería común a los dos, es el mayor, es el máximo que hemos podido conseguir,
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es un divisor del 24 y del 36, pero esto, para no hacerlo así, se suele hacer descomponiendo
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en factores, en números primos. Vamos a ver. Vamos a descomponerlo. Se descompone 24 entre 2 a 12, entre 2 a 6, entre 2 a 3, entre 3 a 1.
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Esa sería la descomposición del 24. La descomposición del 36 sería entre 2 a 18, entre 2 a 9, entre 3 a 3 y entre 3 a 1.
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Cuando llegamos a 1 siempre ya se acaba la cosa. Por tanto, sería 24 es igual a 2 por 2 por 2, que serían 2 al cubo, por 3.
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Y por otra parte, el 36 es igual a 2 por 2, que son 2 al cuadrado, multiplicado por 3 por 3, que son 3 al cuadrado.
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Ahora, para hacer el máximo común divisor de estos dos números, lo que hay que coger son los números comunes y los no comunes, perdón, hay que coger los comunes con el menor exponente.
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Por tanto, el 2 es común, sí, por tanto hay que coger 2 al cubo o 2 al cuadrado
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Se coge 2 al cuadrado y hay que multiplicarlo si hay otro número que sigue siendo común
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Por ejemplo el 3, el 3 sigue siendo común, entonces hay que cogerle y hay que coger el que tiene menor exponente
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Hemos dicho que es el 3, no es 3 al cuadrado sino 3
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y ya está, si hubiera otro número que no fuera común, ese no habría que cogerle
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entonces esto es 2 al cuadrado que son 4 por 3 son 12
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que es lo que nos había salido ahí arriba, el 12
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bueno, esto es el mínimo común múltiplo, perdón, el máximo común divisor
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y para hallar el mínimo común múltiplo de dos números
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o de 3 o los que sean, entonces en este caso tiene que ser un múltiplo que sea común a los dos
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y que sea el más pequeño que se pueda encontrar, el mínimo.
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Bueno, en este caso, por ejemplo, ya que tenemos descompuestos el 24, que es 2 al cubo por 3,
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y el 36 que son 2 al cuadrado por 3, pues la regla para hacer el mínimo como múltiplo es
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hay que coger los comunes, aquí sí hay que coger los comunes y los no comunes, con el mayor exponente.
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Arriba eran simplemente los comunes con el menor exponente, pues aquí son comunes y no comunes con mayor exponente.
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Bueno, por tanto, como el 2 es común, se coge, y aunque no fuera común también se cogería, el que tiene mayor exponente, que es 2 al cubo, multiplicado, hay que multiplicarlo, si hay que multiplicarlo por algo, y en este caso es cierto, aquí me falta, se me ha olvidado poner el cuadrado, bueno, entonces hay que coger el 3, pero elevado al cuadrado, 3 al cuadrado.
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Y estos serían 2 al cubo, que son 2 por 2, 4, por 2, 8. Y estos son 3 al cuadrado, que son 3 por 3, 9. 9 por 8, 72. Pues 72 sería el mínimo común múltiplo.
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Bien, pues más cosas
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Luego hay problemas sobre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo que suelen aparecer
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Entonces vamos a hacer algún problema de estos
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Voy a buscar, por ejemplo
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El padre Ana toma unas pastillas para corazón cada 8 horas
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cada 8 horas
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toma pastillas para el corazón
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y toma otras para la circulación
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cada 12 horas
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entonces
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acaba de tomar estos dos medicamentos ahora
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y dentro de cuantas horas
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volverá a tomárselos otra vez
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pues será algo mayor que 8 horas
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mayor que 12 horas
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porque claro, para uno tiene que pasarlo 8 horas, cada 8 horas se las toma y el otro cada 12 horas
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entonces estos tipos en los cuales se acusa el máximo condicional y el mínimo común múltiplo
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pues cuando es un número mayor lo que suele ser es el mínimo común múltiplo
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múltiplo porque va a ser un múltiplo de 8 cada 8 horas, múltiplo de 12 cada 12 horas
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Tiene que ser común porque estamos buscando cuándo se volverán a tomar otra vez las dos pastillas. Y es el mínimo. Es decir, la primera vez que vuelven después a coincidir la toma de pastillas de la circulación y del otro, y las del corazón.
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Y después así volverán una y otra vez a coincidir.
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Pero ¿cuándo es la mínima vez? ¿Cuándo es la primera vez que se encuentran tomándose los dos tipos de pastillas?
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Bueno, pues entonces, el 8 habría que descomponerlo.
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8 entre 2 a 4, entre 2 a 2, entre 2 a 1.
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Es decir, 8 es igual a 2 al cubo.
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Y 12, ya lo hemos descompuesto antes, es 2 al cuadrado por 3.
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Por tanto, como es el mínimo con múltiplo, para el mínimo con múltiplo hay que coger el 2, es común, pues se coge 2 al cubo, que es el mayor, el que tiene mayor exponente, por el 3 no es común, pero hay que cogerle cuando es el mínimo con múltiplo.
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2 al cubo son 8, 8 por 3 que son 24, pues dentro de 24 horas volverá a tomárselas otra vez.
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Bueno, pues vamos a ver otro problema. Por ejemplo, este de aquí. Tenemos unas cintas, un rollo de cinta que son de 15 metros.
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Otro rollo de cinta que es de 20 metros
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Muy bien
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Y queremos, por algún motivo, queremos cortarlos en trozos iguales
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Ahora estos no son iguales, pues queremos cortarlos en trozos iguales
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Por ejemplo, podemos cortarlos en trozos de un metro
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Y ya está
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Aquí sacamos 15 trocitos de un metro, aquí 20 trocitos de un metro
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Y ya está
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Hemos conseguido que sea, dividirlo en trozos comunes y hemos dividido, hemos cortado estos metros en trozos más pequeños.
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Entonces, pero si lo que queremos encontrar es la forma de cortar estos trozos, pero en vez de un metro que sean lo más grande posible,
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Que sean de 2 metros, de 3, de 4, de 5, de 6 metros, de lo más grande que se pueda, o de 15 metros, pero de 15 no se puede porque este lo dejaríamos así y este al cortarlo en uno de 15 nos quedaría otro trocito pequeño de 5 metros y queremos que sean todos los trozos iguales.
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Bueno, pues estos trozos, estos problemas en los cuales hay que buscar cosas más pequeñas, divisiones, pues en este curso suelen ser o mínimo común múltiplo o máximo común divisor.
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Pues aquí lo que hay que hacer es el máximo, es decir, los trozos mayores que podemos encontrar, comunes para uno y para otro, para las dos cintas, divisor.
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Tenemos que dividir. Bueno, por tanto, pues el 15 lo descomponemos entre 3 da 5 y entre 5 da 1. Ya hemos acabado cuando llegamos a 1 y 20. 20 entre 2 da 10, entre 2 da 5, entre 5 da 1.
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Por tanto, serían 15 es igual a 3 por 5, espera un momentito, voy a borrar esto, voy a ponerlo mejor, sería 3 por 5 y este otro sería el 20, sería igual a 2 por 2, que son 2 al cuadrado, por 5.
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Bueno, pues esa es la descomposición
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Aquí he dejado un hueco porque abajo hay dos, o dos al cuadrado, y arriba no hay dos
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Aquí he dejado un hueco porque arriba tenemos el tres, pero abajo no hay tres
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¿Para qué vale ponerlo así?
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Si es que se pone así, pues para darse cuenta más fácilmente de cuáles son los comunes, los no comunes
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En este caso el máximo común divisor hay que coger los comunes con el menor exponente.
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El 2 no es común porque abajo aparece arriba, el 3 no es común porque abajo no aparece y el 5 es común, por tanto habría que coger 5 y ya está.
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Por tanto, el máximo común divisor es 5. Del rollo de arriba saldrían un trozo de 5 metros, otro de 5 metros y otro de 5 metros.
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Y de este rollo de abajo saldría un trozo de 5 metros, otro trozo de 5 metros, otro trozo de 5 metros y otro trozo más de 5 metros.
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para eso nos valdría hacer el máximo común divisor
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estos programas son sencillos pero
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pues bueno, cada vez que se va
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cuando se va esto complicando más
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pues se van aplicando a otras cosas
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de la física, la ingeniería, las matemáticas
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bueno, pues con esto vamos a ver
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yo creo que quedaría ya esto
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esta parte vista
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voy a cortar
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Educación de personas adultas
- Primer Curso
- Niveles para la obtención del título de E.S.O.
- Nivel I
- Nivel II
- Subido por:
- Emilio D.
- Licencia:
- Reconocimiento
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- Fecha:
- 6 de enero de 2025 - 14:35
- Visibilidad:
- Clave
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