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Teorema de Gauss III - Contenido educativo

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Subido el 4 de noviembre de 2024 por Laura B.

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Bueno, pues voy con la parte donde me había quedado, que decíamos que ahora lo que tengo es un plano cargado, hubo una superficie, ¿qué quiere decir? Que es una placa indefinida, quiere decir que se extendería todo lo que yo quisiera, lo que pasa es que la tengo que dibujar, entonces de alguna manera tengo que definirla para dibujarla. 00:00:01
una placa cargada positivamente 00:00:19
y igual, uniformemente 00:00:21
quiere decir que la densidad de carga es la misma 00:00:25
en este caso es una superficie 00:00:26
entonces la densidad de carga es una densidad superficial 00:00:29
quiere decir que va a ser la carga encerrada en la superficie 00:00:31
la carga encerrada en la superficie partido por la superficie 00:00:34
y repaso, la carga de volumen sería la carga partido por el volumen 00:00:39
la carga de superficie, la carga partido de la superficie 00:00:43
Y nos quedaría, si lo ordeno mejor, pues queda, este lo que va a tener, digo, es una carga superficial de carga. 00:00:46
Entonces, repasando, tengo la carga volumétrica, que es la carga partido del volumen, la carga de la superficie, que es la carga partido de la superficie, 00:00:55
y la carga lineal, que es la carga partido por la longitud, ¿vale? 00:01:05
Y se llaman diferente, no se llama densidad, por eso no se pone densidad, porque densidad podrían, son las tres, ¿vale? Se pone rho para el volumen, sigma para, sigma minúscula, para la superficie y lambda para la lineal. 00:01:10
Entonces, en este caso, estamos en la superficie, la carga partido de la superficie. 00:01:27
Eso es lo que quiero. 00:01:31
Y eso es constante. 00:01:33
Me dice que la densidad de carga, que va a ser la carga partido por la superficie, 00:01:35
porque no tiene volumen, solo tiene superficie esto, es constante. 00:01:39
Vale. 00:01:43
Nos dice que la carga es positiva, con lo cual el campo va a ser siempre saliendo, 00:01:46
de cada carga saliendo, ¿vale? 00:01:49
O sea que va a ser un campo saliendo por aquí y saliendo por el otro lado, claro, ¿vale? Pero no va a ser así porque el plano es infinito, así que esto se extiende por aquí, lo que pasa es que no lo estoy dibujando y no va a salir por este lado para acá porque el plano es infinito, vuelvo a repetir. 00:01:52
Entonces lo estoy dibujando ahí por dibujarlo 00:02:11
Pero el plano se extiende por aquí también 00:02:14
Entonces solo va a ser que sale para adentro y para afuera 00:02:16
Son las dos únicas opciones que hay 00:02:19
Porque el plano es infinito 00:02:20
Quiere decir que se extiende a todo 00:02:22
Así que no tiene un límite 00:02:24
Ese límite lo he dibujado ahí por dibujarlo 00:02:25
Pero es infinito 00:02:28
¿Qué quiere decir esto? 00:02:30
Y es que ahora tengo que poner el dibujo de verdad 00:02:32
Pues fijaos 00:02:33
que yo tengo aquí mi plano cargado, ¿vale? 00:02:39
¿Qué pasa? Que el campo es el azul como lo he dibujado 00:02:44
y ¿cuál es la superficie que me viene bien? 00:02:46
Un cilindro. ¿Por qué un cilindro? 00:02:49
Porque vuelvo a usar el mismo truco. 00:02:50
Aquí el vector superficie y el vector campo forman 90 grados 00:02:54
y en los círculos son paralelos los dos, ¿vale? 00:02:58
Entonces vuelvo a lo de que el coseno es lo mismo. 00:03:02
Si yo cojo otra superficie pues no me va a venir igual 00:03:05
porque si yo cojo una esfera, ya sí, aquí sí son paralelos, pero aquí la superficie va a ir cambiando y no va a ser ni 0 ni 1 el coseno, 00:03:08
entonces no me viene bien. Si yo cojo un cubo, tampoco, la que me viene bien es, ya os digo, el cilindro y os lo aprendéis o lo entendéis, 00:03:19
pero vamos, la que viene bien es el cilindro para que me salga el coseno de 0 y el coseno de 90 y se me vayan. 00:03:27
Bien, segundo paso. Utilizamos la definición de flujo. Entonces, flujo sabemos que es la integral de superficie de E por dds y, claro, aquí otra vez tenemos otro cilindro, ¿vale? 00:03:34
La superficie del cilindro será la superficie lateral más dos veces la superficie de los círculos, ¿vale? 00:03:52
Lo que he puesto aquí que sería la superficie encerrada, bueno, la superficie lateral, la integral de la superficie lateral de E por dds más dos veces la superficie del círculo, de uno de los círculos. 00:04:00
En la transparencia he puesto círculos en general y ya está, pero bueno. 00:04:22
Vale, en la superficie lateral, si yo me hago lo de E por DDS por el coseno del ángulo que forman, 00:04:30
en la superficie lateral sería E por DDS por el coseno del ángulo que forman E y DDS, 00:04:39
que hemos dicho que en la superficie lateral es 90, más dos veces en un círculo el módulo del primero por el módulo del segundo 00:04:46
por el coseno del ángulo que forman en la superficie del círculo D, D, S y E son 0 grados. 00:05:00
Vale, ¿qué va a pasar? Que esto, el coseno de 90 es 0, por lo tanto toda esta parte, la superficie lateral se me va 00:05:08
Y aquí el coseno es 1, así que esto me va a quedar que es 2 veces la integral de E por D de S y ya está en el círculo 00:05:16
Vuelvo a hacer el mismo truco, la E es constante, así que 2 por E por la integral del diferencial en el círculo 00:05:26
Esto se va y me queda 2 por E por la superficie del círculo. 00:05:36
La superficie del círculo, como todos sabemos, es pi por R al cuadrado. 00:05:42
Entonces, esto, el flujo, sería igual a 2 por E por pi por R al cuadrado. 00:05:47
Vale, este es el segundo paso. 00:05:57
Voy a borrar porque aquí lo he hecho muy largo y entonces no me cabe la siguiente parte. 00:05:59
Entonces borro, le vuelvo a dar y lo que tenemos es e por, que esto es lo que habíamos llegado a la conclusión, ¿vale? 00:06:05
Donde s hemos dicho que es la s del círculo, s es pi por r cuadrado, ¿vale? 00:06:17
Vale, vuelvo a aplicar la tercera, la segunda parte, o sea, la tercera parte de los pasos que es la de, la segunda parte del teorema de Gauss. 00:06:29
el teorema de Gauss, repetimos, nos dice que el flujo es la integral de superficie de E 00:06:39
por dds, vectorial, perdón, escalas dds, y esta es la carga encerrada partido por epsilon 00:06:45
sub cero, ¿vale? O sea que el flujo, que hemos dicho que es E por 2pi por r cuadrado, es 00:06:54
igual a la carga partido por épsilon sub cero. Voy a dejar la S para que se me simplifique 00:07:03
más fácil. Para E por S es igual a Q partido por épsilon sub cero. ¿Pero cuánto vale 00:07:14
esta Q? Pues ahí me tengo que volver otra vez a cuál es la carga encerrada aquí. La 00:07:19
carga encerrada en esta superficie es S. Yo lo que sé es que tengo una densidad de carga 00:07:27
que es Q partido por S. Vale, pues entonces de aquí, de las dos cosas, Q va a ser sigma por S. Vale, pues lo pongo aquí. 00:07:32
Entonces E por S va a ser lo mismo que sigma por S partido por epsilon sub cero. Y se me va. 00:07:47
Entonces, de aquí me queda que E es igual a sigma partido por épsilon sub cero. 00:07:56
Perdón, esto era dos veces, dos veces, que se me ha olvidado este dos, ¿vale? 00:08:04
Dos veces, no, abajo. 00:08:09
Esto ahí sí, ¿vale? Esto es así. 00:08:14
Vale, pues aquí no depende de R, siempre es el mismo campo. 00:08:20
¿Por qué? Porque siempre atraviesan las mismas, o sea, antes era radial el campo y entonces cuanto más lejos te vas atraviesan menos líneas, pero aquí siempre son las mismas líneas, porque esto realmente pues es las líneas estas de campo, ¿vale? 00:08:25
Que salen de este que, da igual a qué distancia tú estés, ¿vale? 00:08:42
Da igual a qué distancia R tú lo midas, siempre vas a tener las mismas líneas de campo. 00:08:47
Por eso el campo solo depende de la carga que tienes. 00:08:52
Si tienes más cargas vas a tener más líneas, ¿vale? 00:08:55
O sea, si tuviéramos menos cargas, pues tengo menos líneas de campo. 00:08:59
Y si tengo muchas más cargas, pues voy a tener muchas más líneas de campo. 00:09:05
pero solo va a depender de la carga, porque de la distancia no, a la distancia a la que sea siempre tengo tres líneas o una línea, da igual, siempre tengo la misma, por eso no depende de R, ¿vale? O sea, se nos ha ido de la fórmula, pero pensándolo es lógico, da igual a la distancia a la que estemos, siempre le va a atravesar las mismas líneas de campo, entonces por eso solo depende de eso. 00:09:12
Y bueno, hasta aquí Gauss 00:09:35
Ahora, lo que queda es un poco de cultura general 00:09:39
Pero no entra en sí mismo 00:09:43
Pero bueno, para que lo sepáis 00:09:47
En un conductor, o sea, equilibrio electrostático 00:09:49
Quiere que las cargas no se muevan 00:09:52
En un conductor cargado las cargas se sitúan en la superficie 00:09:54
Por la repulsión eléctrica 00:09:57
Alejándose de esta forma lo más posible 00:09:58
El interior queda completamente neutro 00:10:01
del teorema de Gauss 00:10:03
deduce que en su interior el campo eléctrico es nulo 00:10:05
en todos los puntos y por tanto el potencial es constante 00:10:07
en todo el volumen del conductor 00:10:09
y esto tiene importantes aplicaciones 00:10:10
voy a sacarme 00:10:13
toda la 00:10:16
para que veáis lo que quiere decir 00:10:18
entonces, esto es el conductor 00:10:20
vale, el conductor 00:10:23
este es, que quiere decir 00:10:26
que la carga 00:10:29
por repulsión la carga que yo tenga si es un conductor vale la carga que yo tenga se me va 00:10:30
a ir a la superficie porque se va a repeler lo máximo posible la superficie es más grande afuera 00:10:35
entonces por eso la carga se va a ir en la superficie que quiere decir que no voy a tener 00:10:41
Materias:
Física
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Subido por:
Laura B.
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Fecha:
4 de noviembre de 2024 - 11:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES N.15 BARRIO LORANCA
Duración:
10′ 47″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1440x1920 píxeles
Tamaño:
119.87 MBytes

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