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Soluciones a los problemas del mes de octubre - Contenido educativo

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Subido el 6 de noviembre de 2023 por Pelayo P.

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Soluciones a los problemas del mes de octubre

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Muy buenas, vamos a explicar aquí de forma muy rápida en este vídeo cómo se resolverían los 00:00:00
seis problemas que se propusieron para el mes de octubre en el concurso interno que hacemos en el 00:00:07
Instituto Quiero Mi Bocadillo. El primer problema dice así, tenemos unos cuantos botones entre 40 00:00:13
y 80, los organizamos de 5 en 5, hacemos grupitos de 5, sobran 2, los organizamos de 7 en 7, 00:00:21
faltan 3, bueno pues si los organizamos de 6 en 6, ¿qué es lo que pasa? ¿cuántos sobran? 00:00:30
Pues vamos a ver, si los organizamos de 5 en 5, sabiendo que sobran 2, 00:00:37
pues podemos tener 7, 7 más 5, 12, 12 más 5, 17, etcétera, y justo los que hay entre 40 y 80 pues 00:00:42
son todos esos, del 42 al 75, tanto 37 como 82 pues se salen de los márgenes y no serían un 00:00:51
número válido. Hacemos lo mismo con los de 7, sabiendo que faltan 3, con lo cual el primer 00:01:00
grupo pues sería de 4, después más 7, 11, más 7, 18, 25, etcétera. Al igual que con los de 5, 00:01:07
las únicas posibilidades pues son 46, 53, 60, 67 y 74. El único número que coincide en los dos, 00:01:15
que tiene que ser una solución de los dos, es 67, así que sabemos que hay 67 botones, 00:01:24
al dividirlo entre 6 pues el coeficiente es 11 y el resto es 1, así que la solución es que sobra 00:01:29
un botón. Pasamos al ejercicio 2, que dice que tenemos las cifras 2, 4, 6 y 8 y formamos números 00:01:36
de 4 cifras, que tienen que ser distintas, es decir, no podemos agregar ninguna de ellas. 00:01:46
Sabiendo que tenemos que formar números que sean múltiplos de 4, ¿cuántos podemos encontrar? 00:01:52
Para resolver este ejercicio lo único que hay que recordar es que para que un número sea divisible 00:01:57
entre 4, sus dos últimas cifras tienen que ser. Teniendo el 2, el 4, el 6 y el 8, usando todas las 00:02:03
combinaciones posibles, vemos que realmente los números que tenemos en 24, 28, 48, 64, 68 y 88 00:02:11
son los únicos que son divisibles entre 4. Cualquier otra combinación no lo será. Esto nos deja que si 00:02:20
tenemos dos números fijados, los últimos, tenemos libertad para los dos primeros, es decir, por cada 00:02:27
combinación que hay de esa terminación, tenemos dos posibilidades. Por ejemplo, 24, pues podríamos 00:02:32
tener el 6 y el 8, 6, 8 u 8, 6. Y así con todo. Como hay seis posibles terminaciones y dos posibilidades 00:02:39
por cada una, pues 6 por 2, 12. El total de números que hay son 12. Se podrían, como estamos aquí 00:02:49
en el cuarto punto, en tercer punto, perdón, pues se podrían haber listado, contado y salen 12. 00:02:57
El ejercicio 3. Bueno, el ejercicio 3 es un problema de teoría de números, se diría, en el que dado 00:03:08
una multiplicación de ciertas potencias, se nos pide el dígito de las unidades. Estos números son 00:03:16
suficientemente grandes como para que una calculadora normal, pues, no sea capaz de escribir. 00:03:22
¿Cómo se expresan estos ejercicios? Pues vamos a ver. Este tipo de ejercicios van todos muy parecidos y es 00:03:27
encontrar el patrón, el patrón en el que se van repitiendo las cifras de las unidades. Veamos con el 3. 00:03:35
La primera potencia de 3 es 3 elevado a 0, que es 1. Entre paréntesis está el dígito de las unidades. 00:03:40
3 elevado a 1 es 3, 3 al cuadrado es 9. ¿Y qué pasa cuando 3 al cubo es 27? Su dígito de las unidades es 7. 00:03:46
Pero 3 a la cuarta ya es 81, que entonces estamos repitiendo el 1, que es el de 3 elevado a 0. 00:03:53
Una vez que repetimos uno de los dígitos, a partir de ahí se repite todo en el mismo orden. 1, 3, 9, 7. 00:04:01
1, 3, 9, 7. Es decir, que si tenemos una potencia de 3, 3 elevado a x, su dígito de las unidades sería igual que el de 3 elevado a x más 4. 00:04:08
Es decir, cada 4 lo iremos repitiendo. Hacemos lo mismo para el resto de los números y lo conseguiremos. 00:04:19
Muy bien. Tenemos 2.017, lo dividimos entre 4, es decir, los brujitos de 4, pues nos da el resto 1. 00:04:29
Así que el dígito de las unidades será igual que el de 3 elevado a 1, que sabemos que es 3. 00:04:36
Repetimos lo mismo con 7. Tenemos cuenta que en este caso la sucesión es 1, 7, 9, 3. 00:04:42
Y lo mismo de 4 a 4. Dividimos 118 entre 4, el resto pues será 1 más que el anterior, 2, así que iremos a 7 al cuadrado, 00:04:51
pues el dígito de las unidades es 9. Con 13, igual. Con la diferencia de que aquí la sucesión es 1, 3, 9, 7. 00:05:01
1, 3, 9, 7. Ahí está la explicación de que cada 4 se repiten. Si dividimos 2.019 entre 4, el resto es 3, así que 13 al cubo, su dígito de las unidades es 7. 00:05:11
Así que, en conclusión, pues, si para 3 a 2.017 es 3, para 7 elevado a 2.018 es 9, y para 13 elevado a 2.019 es 7, 00:05:26
multiplicamos los números, nos da 189, cuyo dígito de las unidades es 9. Así que esa es la solución. 00:05:37
Un poquito, una nota. Esto se puede hacer sin tener que hacer 7 al cubo y 7 a la cuarta, o 13 al cubo, 13 a la cuarta, que son números grandes. 00:05:44
De la siguiente forma. O sea, luego lo creamos. Aritmética modular, pero sin entrar en muchos detalles, nos hacemos lo siguiente. 00:05:54
13 al cuadrado de 0 es 1. Claro, 13 al cuadrado de 1 es 13, cuyo dígito de las unidades es 3. 00:06:01
Para saber el de 13 al cuadrado, multiplicamos no 13 por 13, sino 3, que es el número que teníamos, por 13, que es un número mucho más pequeño, 39. 00:06:07
Así pues, el dígito de las unidades de 13 al cuadrado será 9. Recordemos que 13 al cuadrado es 169, cuyo dígito de las unidades, efectivamente, es 9. 00:06:17
Y así pues con los demás. Pues 13 al cubo será 9 por 13, que sabemos, no nos importa el número, es 9 por 327, y lo que sea después, así que sabemos que termina en 7. 00:06:27
13 a la cuarta será 7 por 13, 7 por 3 es 21, y lo que sea, sabemos que termina en 1. Y ya estaría. 00:06:38
Pues vamos ahora con el ejercicio 4, que es un problema de porcentajes. 00:06:49
Dice así, el 20%, el 30%, el 40%, es igual a 50, bueno, de 50, perdón, es igual al 60% de qué número. 00:06:55
Pues si vamos a, esto es que es operable, no es más que nada. El 20%, el 30%, el 40% de 50 es 0.2 por 0.3 por 0.4 por 50, que es 1.2. 00:07:05
Así pues, si sabemos que el 60% de x es 1.2, dividimos 1.2 entre 0.6 y nos da 2, que va a ser la solución a nuestro ejercicio. 00:07:18
Los ejercicios 5 y 6 hay que aclarar que, perdón, en el primero no imprimí el dibujo de las dos circunferencias, y en el segundo, pues, donde tenía que estar la ecuación, no sé por qué no se grabó la ecuación de segundo grado, y entonces, bueno, quedaba un poquito cojo. 00:07:31
Aquí explico cómo es la línea, de todas formas. 00:07:52
El ejercicio 5 decía que, en el diagrama que se puede ver en pantalla, hay dos círculos concéntricos de áreas 7 y 53. 00:07:55
Y, bueno, un par de líneas perpendiculares, de manera que una de las líneas, que es la que vemos en horizontal, contiene los diámetros de ambos círculos. 00:08:03
Y la otra, la que está en vertical, es tangente al círculo más pequeño. 00:08:14
Y hay que hallar el área de la región sombreada. 00:08:19
Bueno, hay una pista, que era que si el círculo más pequeño no estuviera, supongamos que no estuviera el círculo más pequeño, ¿cuál sería el área sombreada? 00:08:21
Vamos a explicar. 00:08:31
Si el círculo más pequeño no estuviera, las áreas sombreadas serían, pues, básicamente serían las dos sumadas de la mitad. 00:08:34
Porque tendríamos la que hay a la derecha, sería todo lo que hay a la derecha, y la que hay arriba justo es que son simétricos. 00:08:42
Lo importante es que la línea horizontal es el diámetro. 00:08:50
Entonces, dividimos al círculo en dos partes simétricas, por la línea vertical. 00:08:53
Porque la línea vertical es perpendicular al diámetro, entonces son simétricas, así que las áreas tienen que coincidir. 00:09:00
Es decir, el área de la que está sombreada por abajo es igual que el área que no está sombreada por arriba, y viceversa. 00:09:08
Así que las dos serían la mitad. 00:09:15
Pues en este caso, lo único que hay que hacer es, sabiendo que si no estuviera el círculo pequeño, el área sombreada sería la mitad, 00:09:17
es quitarle el área correspondiente al círculo pequeño a la parte inferior, que es la mitad del área del círculo pequeño. 00:09:23
La mitad de la área del grande, que es 53 medios, menos 7 medios, que es la mitad del pequeño, pues da 23, que es la suma. 00:09:33
Y si pasamos al ejercicio 6, es un ejercicio que es muy interesante desde el punto de vista de una herramienta que se utiliza 00:09:43
que está en muchísimos problemas, sobre todo a nivel más avanzado, incluso de limpiadas, 00:09:53
que son usar las ecuaciones de Cardano-Vieta, que es por eso por lo que se utiliza las ecuaciones de Vieta, 00:09:59
que es la pista en que se usa. 00:10:06
El problema dice, hay dos números reales, a y b, que no son cero. 00:10:08
De manera que el ejercicio del polinomio x al cuadrado más ax más b, que fue lo que faltaba, lo que no se imprimió, son 3a y 3b. 00:10:13
Entonces, existen los naturales primos relativos entre sí, m y n, cumpliendo que a menos b, es decir, las raíces, 00:10:23
la diferencia de las raíces, es igual a la fracción m partido por n. 00:10:31
Se pide la suma de m y n. 00:10:36
Vamos allá, ¿qué significa esto de las ecuaciones de Vieta? 00:10:38
O se saben, o se pueden deducir. 00:10:41
Vamos a ver, esto se basa en que la ecuación de segundo grado que tenemos, x al cuadrado más ax más b, 00:10:44
es igual a, actualizada, x menos 3a, que es la primera solución, por x menos 3b, que es la segunda raíz. 00:10:50
Entonces, si desarrollamos el producto, bueno, es que x al cuadrado más x que multiplica menos 3a menos 3b, 00:10:58
y el término independiente sería, pues, menos 3a por menos 3b, 9a por, y eso tiene que ser igual, pues, a la ecuación normal, 00:11:07
es decir, x al cuadrado tiene que ser igual a x al cuadrado, no hay problema, 00:11:16
a por x tiene que ser igual a menos 3a menos 3b, y 9ab tiene que ser igual a b. 00:11:20
El hecho de que a y b estén en los dos sitios puede ser confuso, pero el proceso es el mismo. 00:11:27
Si fuese en otros números, porque muchas veces es con números, y se habla de números enteros, 00:11:32
porque se puede factorizar uno de ellos, y salen primos entre ellos, en fin. 00:11:37
Se utiliza en otros contextos, en otros ejercicios. 00:11:42
El tema de que estén a y b en los dos sitios no importa, lo hace más complicado a veces, 00:11:45
porque hay mucha b suelta, pero nos va a ayudar a resolverlo. 00:11:49
Por otra parte, eso nos va a simplificar mucho. 00:11:53
¿Por qué? Porque tenemos dos ecuaciones, es cierto, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 00:11:55
que no es lineal, porque 9a por b es una ecuación lineal, pero la podemos resolver muy sencillamente. 00:12:00
¿Por qué? Porque 9ab igual a b, podemos dividir por b, 00:12:07
porque sabemos, por enunciado, que b es distinto de cero. 00:12:12
Si no, no se podría hacer, habría que tenerlo en cuenta, que si b es igual a cero, ¿qué es lo que pasa? 00:12:16
Entonces, como b es distinto de cero, sustituimos y 9a sería 1, entonces a sería igual a 1b. 00:12:20
En nuestra solución, pues nos vamos a la primera ecuación, 00:12:28
menos 3a menos 3b igual a, sustituimos a por 1 partido por 9 y operamos. 00:12:32
Y nos sale que b es igual a menos 4 partido por 27. 00:12:38
Conclusión, a menos b, que es lo que pide enunciado, es 1b no menos menos 4 partido por 27, que es 7 partido por 27. 00:12:43
Con la inmensa suerte de que 7 partido por 27, pues ya son primos entre sí, 00:12:51
que son los números m y n que se pedían, así que su suma será pues 7 más 27, 34, que es la solución. 00:12:56
Nos vemos en noviembre y espero que lo disfrutéis. 00:13:07
Ánimo y mucha suerte con los problemas. 00:13:11
Idioma/s:
es
Autor/es:
Pelayo Palacio Pérez
Subido por:
Pelayo P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
17
Fecha:
6 de noviembre de 2023 - 0:19
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ALPAJÉS
Duración:
13′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
47.65 MBytes

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