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Producto vectorial de vectores - Contenido educativo

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Subido el 4 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Hola, buenos días. Vamos a grabar la clase. 00:00:00
Estoy viendo a todo el mundo. Hoy es 4 ya, San Carlos. 00:00:04
Vamos a ver, 4 de noviembre, ojo. 00:00:07
Chavales, nos quedan... 00:00:10
Nos quedan muy poquitas horas de clase 00:00:12
y el tema 6 tiene mandanga. 00:00:15
Entonces, hoy quiero acabar este tema. 00:00:19
Os mandé que os leyera y que tuvierais el detalle 00:00:21
de leer lo que quedaba del tema, que no es mucho. 00:00:24
entonces, importante de este tema 00:00:26
de este tema premio 00:00:28
bueno, el producto escalar 00:00:30
que ya lo vimos, el producto escalar al final 00:00:32
el escalar lo que nos dice es que sea 00:00:34
un número, tiene esta formulita 00:00:36
de aquí y después 00:00:38
lo que tenemos que ver es 00:00:40
la proyección 00:00:42
el coseno del ángulo 00:00:44
entre dos 00:00:45
vectores, pero cuando yo hago 00:00:48
el producto escalar de dos vectores lo que me da 00:00:50
es un número, me da un escalar 00:00:52
¿Vale? Entonces, cuando las coordenadas tanto de u como de v son respecto a una base ortonormal, ese producto escalar, en vez de resolverlo con esta fórmula de aquí, pues lo resolvemos multiplicando componente a componente, es decir, la primera de uno con la primera de otro más la segunda del uno con la segunda del otro más la tercera del uno con la tercera del otro si estamos en R3. 00:00:54
Si estamos en R2, pues primera por primera más segunda por segunda. Si estamos en R4, primera por primera más segunda por segunda, tercera por tercera, cuarta por cuarta. Pero en el espacio, como estamos en el tema por espacio, se hace así. 00:01:16
Entonces, complementando esta fórmula de aquí junto con la fórmula del producto escalar, que es su definición, nosotros podemos hallar, bueno, pues el producto escalar, evidentemente, el ángulo que forman los dos ángulos, la proyección de un ángulo sobre el otro y el vector proyecto de un ángulo, de un vector sobre otro. 00:01:29
¿Vale? Entonces, ahora lo que vamos a ver es el producto vectorial, ¿vale? Producto vectorial. 00:01:50
Y entonces, ¿qué ocurre? Pues que el producto vectorial, en vez de devolverme un número, lo que me va a devolver es otro vector. 00:01:59
Por eso se llama producto vectorial, ¿de acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Pues el producto vectorial de dos vectores u y v es un nuevo vector y se representa así. 00:02:07
Es decir, el producto escalar nosotros lo que hacíamos era el u con la flechita por v, pero el producto vectorial se representa por u un aspa, el signo de multiplicación que aprendíamos en primaria, y una v. 00:02:17
Y entonces se define del siguiente modo. Si U y V son linealmente independientes, ¿qué significa que U y V sean linealmente independientes? ¿Qué significa? Que no son coplanarios. Entonces, ¿qué son? 00:02:40
I don't know I know from here 00:02:56
si son linealmente independientes 00:03:00
¿qué ocurre? 00:03:02
forman una base, pueden formar una base 00:03:06
pero precisamente si son coplanarios 00:03:09
¿vale Andrés? al contrario 00:03:11
si son linealmente independientes 00:03:12
lo que significa es que no están 00:03:15
en la misma dirección, no están 00:03:17
contenidos en la misma recta o en rectas 00:03:19
paralelas ¿vale? 00:03:21
entonces son coplanarios 00:03:22
ten cuidado Andrés, si son linealmente 00:03:24
independientes significa que no 00:03:27
están sobre la misma dirección, ¿vale? No están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas, 00:03:29
sí son coplanarios. Y entonces, ¿qué característica tiene si dos vectores son linealmente independientes 00:03:34
y yo hago su producto vectorial? Pues que el módulo de ese producto vectorial es el módulo 00:03:41
de u por el módulo de v por el seno del ángulo que forma. Tened cuidado porque el producto escalar 00:03:47
Aquí era el coseno, ¿de acuerdo? Y aquí es el seno. Y daros cuenta que cuando multiplicamos el módulo de u con el módulo de v por el coseno del u y v, lo que me daba es un escalar, me da un número. Aquí ahora igual. Me va a volver a dar un número, ¿de acuerdo? Pero ese número que es el módulo del vector resultante de hacer el producto vectorial de u y v. 00:03:53
¿Lo entendéis? ¿Veis la diferencia? 00:04:17
En el producto escalar me dan un número 00:04:20
Y en el producto vectorial me dan un vector 00:04:21
Un vector cuyo módulo 00:04:24
Daros cuenta por qué está definido 00:04:25
P3, por qué está definido un vector 00:04:27
¿Qué tres cosas definen un vector? 00:04:29
Fernando 00:04:34
¿Qué tres cosas definen un vector? 00:04:35
Módulo, dirección y sentido 00:04:37
Módulo, dirección y sentido 00:04:38
Bueno, pues el módulo de este vector resultante 00:04:40
De hacer el producto vectorial de u por v 00:04:42
Su módulo es la multiplicación 00:04:45
del módulo de uno por el módulo del otro por el seno del ángulo que forma, ¿vale? 00:04:47
¿La dirección qué es? Pues esto es un puntazo porque nos da un vector perpendicular 00:04:51
tanto a U como a V. U y V son linealmente independientes. U y V forman un plano, ¿de acuerdo? 00:04:57
Si esto es U y esto es V, forman este plano de aquí, ¿lo veis? Que forman este plano. 00:05:05
Bueno, pues si yo hago el producto vectorial de u y v, tengo un vector que es perpendicular a los dos. 00:05:12
Es decir, tengo un vector perpendicular a ese plano. 00:05:22
¿De acuerdo? 00:05:26
¿Todo el mundo esto lo ve? 00:05:28
Sí. 00:05:29
Esto es el producto vectorial de u por v. 00:05:31
u y v son linealmente independientes, es decir, son coplanarios, forman un plano. 00:05:36
Pues cuando yo hago el producto vectorial de U y V, lo que obtengo es otro vector, ¿de acuerdo? Otro vector que es perpendicular a ambos, que es perpendicular a ambos, perpendicular al plano que forman U y V. 00:05:40
y después ocurre una cosa 00:05:58
el sentido 00:06:00
si el ángulo es más chico 00:06:01
que 180 va hacia arriba 00:06:04
pero si 00:06:06
el ángulo que forman 00:06:07
es mayor que 180 00:06:10
va hacia abajo 00:06:12
¿alguien de aquí ha dado 00:06:13
en física 00:06:15
lo de la mano? 00:06:17
lo de Maxwell, ¿no? ¿habéis visto lo de Maxwell? 00:06:20
pues esto es exactamente igual 00:06:22
es decir, tú con la mano derecha 00:06:24
es muy importante, aquí los zurdos tened cuidado 00:06:26
Con la mano derecha tú te llevas de U a V y entonces es hacia arriba. 00:06:28
Pero si me lo llevo de V a U es hacia abajo. 00:06:35
¿De acuerdo? 00:06:40
¿Sí? 00:06:41
Pues aquí exactamente igual. 00:06:42
Entonces, ¿qué ocurre? 00:06:45
Que tomamos el ángulo siempre en sentido positivo, es decir, contrario al movimiento de las agujas del reloj. 00:06:46
Antiorario. 00:06:52
Siempre nos vamos, si nos vamos de u a v, tenemos que ir siempre en sentido anterior, ¿vale? 00:06:53
Entonces, ¿qué ocurre si u y v son linealmente dependientes? 00:07:00
¿Qué significa si yo tengo dos vectores que son linealmente dependientes? 00:07:04
¿Qué significa? 00:07:08
Que están en la misma recta, muy bien. 00:07:11
Entonces, ¿cuánto es el ángulo que forman esos dos vectores linealmente dependientes? 00:07:13
¿Eh? 00:07:18
Cero. 00:07:19
¿Y cuánto es el seno de cero? 00:07:19
Sorry. 00:07:25
¿Seno de cero? 00:07:26
Ximena, ¿estás dormida? 00:07:27
¿Seno de cero? 00:07:30
Cero. 00:07:31
Entonces, ¿cuál es su módulo? 00:07:32
Cero. 00:07:34
¿Vale? 00:07:35
Entonces, si yo tengo dos vectores linealmente dependientes, 00:07:36
significa que están en la misma recta, ¿vale? 00:07:41
¿Y cómo serán las coordenadas de esos dos vectores linealmente dependientes? 00:07:44
¿Cómo son? 00:07:48
Las coordenadas. 00:07:49
Proporcionales. 00:07:54
¿Vale? 00:07:55
Proporcionales. 00:07:55
Si las coordenadas son proporcionales, son linealmente dependientes, ¿vale? 00:07:56
Si las coordenadas no son proporcionales, todas, ¿vale? 00:08:02
Las tres coordenadas son linealmente independientes y son coplanarias. 00:08:06
¿Tenemos claro lo del producto vectorial? 00:08:11
¿Sí? 00:08:13
Venga. 00:08:14
Venga, vamos a hallar, por ejemplo, vamos a hacer un ejercicio. 00:08:19
El vector U. 00:08:26
Venga, ¿tu número favorito, Mariela? 00:08:27
¿El 2? 00:08:30
¿Prasero? 00:08:31
¿3? 00:08:33
¿Y Carla? 00:08:35
Venga, Diego, dime un vector lineal dependiente al U. 00:08:39
Linealmente dependiente. 00:08:45
A U. 00:08:48
Diego, 4, 6, 14. 00:08:55
¿Vale? 00:09:01
4, 6, 14. Entonces, si yo hago el producto vectorial, ¿cuánto me va a salir el producto vectorial de u por v? 00:09:02
Cero. ¿Vale? Cero. ¿Sí? Porque el ángulo que forman el seno de u y v, ¿vale? 00:09:11
es cero, porque 00:09:28
el ángulo que forma 00:09:30
u y v 00:09:32
es cero grados. 00:09:34
¿Vale? 00:09:37
Y estos son 00:09:38
linealmente 00:09:40
linealmente 00:09:42
dependientes 00:09:46
tienen la misma dirección. 00:09:47
Tienen la misma dirección. 00:09:54
Pues seguimos. 00:09:57
Dime, hija. 00:10:01
estar en la misma recta o en paralela 00:10:04
determinante de que 00:10:08
de las dos rectas 00:10:12
pero de determinante cual 00:10:16
pues si de 2 a 2 00:10:17
de 2 a 4 por cuanto tienes que multiplicar 00:10:24
por 2 00:10:26
y si este también lo multiplicas por 2 00:10:28
y este lo multiplicas por 2 00:10:30
Pero si fuese el número adecuado para hacer un determinante, que es nada más. 00:10:31
Sí, aquí tú, ahora lo vamos a ver, ahora lo vamos a ver con la definición. 00:10:36
Pero si tú te ves, por ejemplo, 2, 3, 7 y 4, 6, 14, ¿vale? 00:10:40
Esta es tu matriz A, esta matriz es 2 por 3, ¿verdad? 00:10:46
¿Sí o no? 00:10:50
¿Cuál es el rango máximo de esta matriz? 00:10:51
2, ¿vale? 00:10:54
Entonces, ¿cuántos menores de orden? 00:10:55
Yo tengo 3 columnas. 00:10:58
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz 2x3? 00:11:00
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz 2x3? 00:11:10
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz? 00:11:14
Tengo 3, lo había dicho bien. 00:11:19
3 sobre 2 de 3 cojo 2. 00:11:21
¿Y esto os acordáis de esta fórmula? 00:11:23
2 factorial, 1 factorial, 3 factorial. 00:11:26
¿No habéis dado los números combinatorios ustedes? 00:11:29
¿Habéis dado los números combinatorios? 00:11:32
Esto es 3 00:11:34
¿Y qué 3 combinaciones son? 00:11:37
1 y 2 00:11:39
1 y 3, 2 y 3 00:11:40
¿Vale? Entonces, si yo hago el determinante 00:11:43
Con la 1 y con la 2 00:11:45
Es 2, 3, 4, 6 00:11:46
Esto es 0, ¿verdad? 12 menos 12 00:11:48
Es 0, además que son 00:11:51
Proporcionales 00:11:52
Si cojo la 1 y la 3, es 2, 7, 4, 14 00:11:54
Si te das cuenta 00:11:57
Esto es 28 menos 28, 0 00:11:59
Y si cojo la 2 y la 3 00:12:01
es 3, 7, 6 y 14 00:12:03
3 por 14 00:12:05
es 42, menos 6 por 7 00:12:07
es 42, es 0 00:12:09
si son perpendiculares 00:12:10
el producto escalar es 0 00:12:15
pero lo que yo quiero que veáis 00:12:16
es que como 00:12:19
si dos 00:12:20
son 00:12:23
proporcionales 00:12:24
divido componente a componente 00:12:27
y si todo me da 00:12:29
igual, es que es lo mismo 00:12:31
En este caso es fácil porque Diego ha multiplicado por 2. 00:12:33
Otro fácil aquí es, por ejemplo, el W, pues le cambio el signo. 00:12:37
Menos 2, menos 3, menos 7, también son proporcionales. 00:12:42
Lo he multiplicado por menos 1. 00:12:45
Y entonces son linealmente dependientes. 00:12:48
Venga, seguimos. 00:12:52
Propiedades del producto vectorial. 00:12:55
Esto es súper importante. 00:12:57
Geométricamente, ¿qué significa el producto vectorial de dos vectores? 00:12:59
¿Qué es lo que significa? 00:13:07
Fijaros que si son linealmente dependientes, 00:13:08
¿cómo es el producto vectorial de dos vectores linealmente dependientes 00:13:11
que están en la misma recta? 00:13:15
Entonces, si U y V son, lo voy a poner así, linealmente dependientes, 00:13:17
están en la misma 00:13:26
recta, están 00:13:27
en la misma recta, ¿vale? 00:13:29
en la misma dirección 00:13:32
están en la misma 00:13:33
dirección y entonces 00:13:35
por v, siendo el 00:13:42
producto vectorial, es 0 00:13:44
entonces si yo tengo aquí 00:13:46
por ejemplo esta recta, ¿vale? 00:13:48
y yo ahora cojo aquí 00:13:50
y tengo un vector v 00:13:52
no sé si se va a ver aquí 00:13:54
y otro vector 00:13:58
Porque es la misma dirección, ¿vale? 00:13:59
Esto es u, coño, esto es u y esto es v, ¿vale? 00:14:03
¿Qué es lo que ocurre? 00:14:10
Pues que su producto vectorial es cero. 00:14:11
Pero si u y v son linealmente independientes, ¿vale? 00:14:18
¿Qué ocurre? 00:14:26
son coplanarios 00:14:27
y si son coplanarios 00:14:30
¿qué significa? 00:14:32
chavales, si yo tengo por ejemplo 00:14:34
aquí, yo tengo aquí el U 00:14:36
y ahora tengo aquí el V 00:14:38
es decir, yo aquí 00:14:43
tengo el U 00:14:47
y yo tengo aquí el V 00:14:48
¿están en la misma dirección? 00:14:50
natillas, entonces realmente 00:14:53
¿qué forman esto? 00:14:55
esto de aquí, chavales 00:14:57
forman un plano, ¿veis que son 00:14:59
coplanarios? ¿sí o no? 00:15:01
Y si yo formo que es un paralelogramo, ¿os acordáis de lo que era un paralelogramo? 00:15:03
Paralelogramo. 00:15:12
Efectivamente, efectivamente. 00:15:17
Es decir, el paralelogramo, ¿cómo se sumaban los vectores? 00:15:19
¿Os acordáis cuál sería, cómo sumábamos los vectores u y v? 00:15:23
Yo, precisamente, muy bien, Kiyo. 00:15:26
Esto de aquí era u más v, ¿verdad? 00:15:31
Yo formaba aquí el paralelogramo. 00:15:35
Y esto de aquí era u más v, u más v. 00:15:37
Pues entonces, geométricamente, el producto vectorial de u por v, su módulo, 00:15:43
el módulo de u por v, es el área del paralelogramo definido por esos dos vectores. 00:15:56
¿De acuerdo? 00:16:07
Si o no, es el área formada por los dos vectores. 00:16:07
Daros cuenta, chavales, cómo se demostraría esto de aquí. 00:16:12
Si yo, chavales, lo voy a hacer más grande, ¿vale? 00:16:17
Ese es mi U, por ejemplo. 00:16:27
Y esta es mi V, ¿vale? 00:16:29
Si yo formo el paralelogramo, lo voy a hacer en otro color. 00:16:33
Esto lo tenéis que imaginar, ¿vale? 00:16:38
Porque esto, 00:16:40
imagina en el sentido de que 00:16:42
no son restos, ¿vale? 00:16:44
Si esto estuviese bien dibujado, 00:16:48
¿vale? 00:16:52
Si esto estuviese bien dibujado, 00:16:52
este es un paralelogramo. 00:16:54
¿Sí o no? 00:16:55
¿Cuál es el área de un paralelogramo? 00:16:56
¿Alguien me lo sabe decir? 00:16:58
Base por altura. 00:17:00
¿Qué me lo ha dicho? 00:17:02
¿Y tú quién eres? 00:17:03
El único que va a dibujo. 00:17:05
¿Para eso vale también dibujo? 00:17:08
Base, la altura es esto, ¿verdad, chavales? 00:17:10
¿Sí o no? 00:17:14
Si yo este vector de aquí, que es el u, 00:17:17
y este vector de aquí, que es el v, 00:17:20
la proyección de v sobre u era esto de aquí, ¿verdad? 00:17:23
La proyección. 00:17:29
Y esto de aquí, ¿qué era? 00:17:30
Esto realmente era v por el coseno de alfa, ¿sí o no? 00:17:32
¿Sí o no? 00:17:39
Esto de aquí. 00:17:40
esto es 00:17:40
v por el coseno de alfa 00:17:42
pero es que la altura 00:17:44
me dice que es la altura 00:17:46
la altura que es 00:17:48
es v 00:17:50
por el seno de alfa 00:17:51
¿esto lo veis todo el mundo o no? 00:17:55
¿lo veis todo el mundo o no? 00:17:57
cuando yo descomponía 00:18:01
la fuerza v 00:18:02
la descomponía tanto aquí como aquí 00:18:03
¿lo veis? 00:18:05
la v la descompongo 00:18:08
tanto la VX como la VI, ¿sí o no? 00:18:10
Y esto de aquí, si el ángulo que forma entre ellos es alfa, 00:18:14
pues todo el mundo ve que esto mide lo mismo que esto, 00:18:18
que a su vez es lo mismo que mide la altura, ¿sí o no? 00:18:22
Entonces la altura precisamente es V por el seno de alfa. 00:18:26
Entonces, ¿cuánto vale la base? 00:18:30
La base mide U y la altura, ¿cuánto mide? 00:18:32
V por el seno de alfa. 00:18:40
Si yo multiplico U por V por el seno de alfa, 00:18:43
esto que hemos dicho que es el producto vectorial, 00:18:47
el módulo del vector resultante del producto vectorial. 00:18:51
Entonces, la multiplicación, chavales, 00:18:55
el producto vectorial, 00:18:58
precisamente el módulo del vector resultante 00:19:00
de hacer el producto vectorial, 00:19:03
coincide con el área del paralelogramo 00:19:05
que forman esos dos vectores 00:19:08
que son coplanarios. 00:19:10
¿Lo veis o no? 00:19:13
¿Sí? Vale. 00:19:15
Pues chavales, otra cosita más, 00:19:17
otra propiedad. ¿Os acordáis que era 00:19:19
conmutativo el producto escalar? 00:19:20
¿Ya no? 00:19:23
Pues ahora el producto 00:19:24
vectorial no es conmutativo. 00:19:26
¿Y por qué no es conmutativo? 00:19:29
Precisamente por la regla de la mano. 00:19:31
¿Vale? Si tú vas 00:19:33
de u a v, 00:19:34
el vector resultante va hacia arriba 00:19:36
¿lo veis? Pero si yo voy 00:19:38
de V a U, con la mano 00:19:40
derecha yo voy de V a U, ¿hacia 00:19:42
dónde va mi purgada? 00:19:44
Hacia abajo, ¿vale? 00:19:46
Entonces se cumple que si yo 00:19:48
hago el producto vectorial 00:19:50
de U por V, ¿vale? 00:19:53
Da un vector 00:19:57
con un 00:19:58
módulo que es el módulo de U por el módulo 00:20:00
de V por el seno del ángulo que forman 00:20:02
los dos, tiene una dirección 00:20:04
es perpendicular a los dos 00:20:06
y tiene un sentido, imaginaros, hacia arriba 00:20:08
bueno, pues si yo hago el 00:20:10
producto vectorial de v por u 00:20:12
me da el mismo módulo 00:20:14
me da el mismo módulo 00:20:16
me da la misma dirección pero 00:20:18
sentido hacia abajo, ¿vale? 00:20:20
luego, u por u 00:20:23
es decir, si yo hago el producto 00:20:25
vectorial de un vector consigo 00:20:26
mismo, es 00:20:28
cero, ¿por qué? ¿por qué son cero? 00:20:30
porque son 00:20:34
coincidente porque el ángulo que forman entre ellos es 0 y el seno de 0 es 0, ¿vale? Y luego si yo 00:20:35
multiplico un escalar por un vector y luego le hago el producto vectorial con otro, es lo mismo que si 00:20:41
yo hago el producto vectorial de u por v y a todo ello lo multiplico por el escalar a, ¿vale? O es lo 00:20:47
mismo que si yo multiplico el escalar por el otro vector y luego hago el producto vectorial de u por 00:20:53
¿Vale? El producto vectorial no posee la propiedad asociativa, entonces en general u por v por w no es lo mismo a u por v por w. Hay casos en los que sí puede pasar, ¿vale? Pero la mayoría no se cumple la propiedad asociativa. 00:21:00
Y luego, ¿cómo vamos a hallar nosotros realmente esto de aquí? ¿Cómo lo vamos a hallar? Pues precisamente con los determinantes, ¿vale? ¿Cómo hago yo el producto vectorial de dos vectores? 00:21:19
Pues precisamente yo pongo aquí mi i, mi j y mi k, que son los vectores ortonormales de la base formada por el 1, 0, 0, 0, 1, 0 y 0, 0, 1. Pongo aquí mi primer vector, muy importante, primero el primer vector y luego el segundo, y hago el determinante. ¿De acuerdo? ¿Sí o no? 00:21:37
Y después lo que sí se cumple es la propiedad distributiva. 00:21:58
Entonces, vamos a hacer un ejemplito, ¿vale? 00:22:02
Venga, vamos a tener el vector u, las coordenadas eran 2, 3 y 7, ¿verdad? 00:22:05
Me dijisteis. 00:22:17
Vale, pues ahora dime otro vector que no sea coplanario, que no sea coplanario. 00:22:18
Rubén, a Hugo te atreves tú, uno que no sea coplanario. 00:22:26
1, 5 y 8. 00:22:35
¿Y por qué no son coplanarios? 00:22:43
Porque si os fijáis, si yo divido 2 entre 1, ¿cuánto me da? 00:22:47
Y si yo divido 3 entre 5, ¿me da 2? 00:22:52
No. 00:22:54
¿Vale? 00:22:55
Entonces, estos vectores, u y v, son linealmente independientes, son coplanarios. 00:22:55
Chavales, en el examen no pongáis el I, ¿vale? Esto es linealmente independiente, ¿vale? 00:23:06
Lo pongo yo aquí, ahora son coplanarios, ¿de acuerdo? 00:23:17
Entonces, ¿cómo hago el producto vectorial de U y V? Fijaros que fácil. 00:23:24
Dime, hija. No, no estoy. Estoy en la definición de cómo se hace ya el producto vectorial, ¿vale? Entonces, pongo arriba el IJK, ¿vale?, que es una base ortonormal de R3. 00:23:31
Si recordamos, el I es el 1, 0, 0, la J es 0, 1, 0 y acá es 0, 0, 1. 00:23:47
Son perpendiculares entre sí, porque si os fijáis, ¿por qué sé que I y J son perpendiculares? 00:24:03
¿Alguien me lo sabe decir? ¿Por qué I y J son perpendiculares? 00:24:10
¿Quién me lo sabe decir? 00:24:14
porque y es el vector 00:24:15
del fx 00:24:17
y el j del fx 00:24:19
no me vale, es verdad 00:24:21
pero no me vale la respuesta 00:24:23
¿quién me ha dicho eso? 00:24:25
oh, escudero, estupendo 00:24:34
si hago el producto 00:24:36
escalar de y y de j, me voy a escudero 00:24:40
me da cero, ¿vale? ¿cómo hago el producto 00:24:42
escalar? guardáis, uno por cero 00:24:44
más cero por uno, más cero por cero 00:24:46
y eso es cero, ¿vale? 00:24:49
Igualmente con el i y la k, 1 por 0 más 0 por 0 más 0 por 1 es 0. 00:24:51
También con j y k, 0 por 0 es 0, 1 por 0 es 0, 0 por 1 es 0, 0 más 0 más 0 es 0, ¿vale? 00:24:57
Entonces, ¿qué pongo aquí? Fijaros que es fácil, 2, 3, 7 y que pongo 1, 5, 8, ¿vale? 00:25:04
Y chavales, ¿cómo vamos a hacer este determinante? 00:25:12
Pues aquí lo vamos a hacer el desarrollo de un determinante por una fila, por la fila, precisamente la fila primera, ¿vale? Entonces, fijaros, si yo, chavales, lo voy a desarrollar por esta fila de IJK, ¿vale? Cojo, acordaros que era más, menos, más, ¿verdad? Más, menos, más, menos, más, menos, más y voy a hacer esto de aquí, ¿vale? 00:25:16
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues esto sería más, si yo me cepillo la primera fila y la primera columna, 00:25:46
¿qué me queda? 2, 7, perdona, me queda 3, 7, ¿verdad? 5, 8, yo tengo que multiplicar por cuánto? Por i. 00:25:54
Menos, el menos este de aquí, ¿vale? Si yo me cepillo, ya vale, la primera fila y la segunda columna, 00:26:08
que me queda 2, 7, 1, 8, ¿sí o no?, por j, más, si yo me cepillo la primera fila de 00:26:15
tercera columna, me queda 2, 3, 1, 5, por k, ¿vale?, ¿cuánto vale este determinante?, 00:26:23
24 menos 35 es menos 11i, ¿verdad?, esto es 16, 16 menos 7 es menos 9, ¿no?, menos 00:26:31
9J y esto es 00:26:42
10 menos 3 es 7 00:26:44
más 7K 00:26:46
2 por 8 00:26:47
2 por 8 00:26:54
2 por 8 00:26:56
16 menos 7 es 9 00:27:00
con este menos, entonces 00:27:02
¿cuáles serían las coordenadas en R3 00:27:04
del vector? es menos 11 00:27:06
menos 9 00:27:08
7, ¿lo veis? 00:27:09
Entonces, el producto vectorial es otro vector que hallo con este procedimiento. 00:27:12
Dime, Ximena. 00:27:18
¿Por qué en una es menos en la otra? 00:27:19
Porque realmente yo aquí, ¿de dónde viene este más? 00:27:22
Este más es desde menos 1 elevado a 1 más 1. 00:27:25
¿De dónde viene este menos? 00:27:32
Esto era menos 1. 00:27:34
¿Este elemento cuál es, Ximena? 00:27:36
El 1, 2. 00:27:39
1 más 2. 00:27:41
y este más 00:27:41
viene de menos 1 00:27:44
elevado a 1 más 3 00:27:46
¿vale? porque es elemento 1 00:27:48
¿vale? entonces estos son 00:27:50
¿es que es 2 por 8? 00:27:52
venga 00:27:58
si chavales 00:27:58
todo el mundo lo veis fácil, lo veis difícil 00:28:00
este es el producto 00:28:02
el producto, Victoria 00:28:04
dime Elena 00:28:06
de cada uno de ellos 00:28:06
o del producto vectorial 00:28:14
del producto vectorial, vale, lo vamos a hacer 00:28:15
ahora 00:28:18
ahora te lo digo, vale 00:28:19
fijaros 00:28:28
yo primero 00:28:30
hago, imagínate si me dicen 00:28:31
Aquí si me dicen realmente el ángulo que forma, yo antes de hacer el producto vectorial yo me iría al producto escalar, ¿vale? Yo me iría al producto escalar, porque si lo que me piden es el ángulo que forma, en vez de irme al vectorial me voy al escalar y lo que hago es, 00:28:34
Ah, yo el producto escalar, que me va a dar un número, por ejemplo, el u por v, ¿eso qué es? 2 por 1 más 3 por 5 más 7 por 8, ¿vale? Esto es 2 más 15, 7 por 8, 56, ¿vale? Esto es 71, ¿no? 73, si no me equivoco. 00:28:54
¿está bien hecho esto? 00:29:17
creo que sí 00:29:20
entonces, ¿qué ocurre? 00:29:21
que yo sé hallar el módulo de U 00:29:23
el producto escalar es 73 00:29:25
¿vale? 00:29:27
yo sé hallar el módulo de U 00:29:29
pues el módulo de U es tan fácil como la raíz 00:29:30
de 2 al cuadrado 00:29:33
más 3 al cuadrado, más 7 al cuadrado 00:29:35
y esto me tenéis que ayudar un momentillo 00:29:37
esto es 4 más 9 00:29:39
más 49 00:29:41
que esto es 00:29:42
raíz de 63 00:29:44
si no me equivoco, lo estoy haciendo muy ligero 00:29:47
si alguien me puede apoyar con la 00:29:48
calculadora, os lo agradezco 00:29:51
1 al cuadrado 00:29:53
más 5 al cuadrado, más 8 al cuadrado 00:29:55
esto es igual 00:29:57
a 1 más 00:29:59
25, 8 más 8, 8 por 8 00:30:00
64, ¿no? 00:30:03
¿sí? 00:30:06
lo de menos 11 menos 9 00:30:08
7 es el producto 00:30:11
el producto vectorial, ¿vale? 00:30:12
se señala con esto, ¿vale? 00:30:15
este es el producto 00:30:17
vectorial 00:30:18
y ahora lo que pasa es que Elena me ha dicho 00:30:21
si me piden el ángulo que forma 00:30:23
entre ellos, yo en vez de irme al producto 00:30:25
vectorial, me voy a ir al 00:30:27
producto escalar 00:30:29
hago el producto escalar 00:30:31
hallo el módulo de uno, hallo el módulo 00:30:33
del otro, que no sé si esto lo habéis calculado 00:30:35
esto es 00:30:37
65 más 25, 80 00:30:39
no, 90 00:30:41
y ahora que ocurre 00:30:42
Que resulta que el producto esclar es igual al módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forma u y v, ¿vale? 00:30:45
Esto sé cuánto vale, que es 73. 00:30:57
Esto sé cuánto vale, que es raíz de 62. 00:31:00
Esto vale raíz de 90. 00:31:03
Despejo esto y luego le hallo el arco coseno, ¿vale? 00:31:05
Claro, si yo despejo esto, coseno de u y v es igual realmente a 73 partido raíz de 62 por raíz de 90, pero eso me va a dar el coseno, ¿sí o no? 00:31:09
Entonces, realmente alfa de u y v, ¿vale? Es el arco coseno de 73 partido raíz de 62 raíz de 90, ¿vale? Ahora, esto es, esto lo vimos ya el otro día, esto es el producto escalar. 00:31:26
Ahora con el producto vectorial, fijaros 00:31:45
Me da este ángulo de aquí 00:31:48
¿Lo tenéis apuntado, chavales? 00:31:49
Voy a hacer una cosilla 00:31:51
¿Lo tenéis apuntado o no? 00:31:52
Entonces, recordadme un momentillo 00:31:54
El U 00:31:57
¿El U qué era? 00:31:58
2, 3, 7, ¿no? 00:32:01
2, 3, 7 00:32:03
Y el V que me dijo el Hugo 00:32:04
Era 1, 5, 8 00:32:06
Era un golosón 00:32:09
¿Cuánto me daba el U por V? 00:32:10
me daba 00:32:13
menos 11, menos 9 00:32:14
y 7, ¿verdad? 00:32:18
Fijaros, hemos dicho 00:32:20
del vector resultante 00:32:21
del producto 00:32:24
vectorial. ¿Cómo es ese 00:32:25
vector respecto al u y al v? 00:32:28
¿Cómo es? 00:32:30
Es perpendicular. 00:32:36
Se supone, si este, imaginaros que es 00:32:37
w, resulta 00:32:39
que w es 00:32:41
perpendicular a u. ¿Y cómo 00:32:43
lo compruebo, chavales? 00:32:45
¿Cómo sé que dos vectores son perpendiculares? 00:32:47
Si el producto escalar de u por w me da igual al producto escalar, es un punto, ¿vale? 00:32:50
u por w, aquí sí se cumple la asociativa, ¿vale? 00:32:57
Pues vamos a comprobarlo, ¿vale? 00:33:00
Esto que es menos 11 por 2, ¿verdad? 00:33:03
menos 11 por 2 00:33:07
menos 11 por 2 00:33:10
más 00:33:14
menos 9 por 3 00:33:15
más 00:33:17
7 por 7 00:33:18
y esto da 00:33:20
0 o no, esto da 00:33:22
menos 22, ¿verdad? 00:33:25
menos 22, esto 3 por 9 00:33:26
es 27, menos 27 00:33:29
y esto es 49 00:33:31
efectivamente esto da 0 00:33:32
¿veis como son perpendiculares? 00:33:34
¿Sí o no? Y ahora, igualmente, igualmente, W es perpendicular a V. Vamos a hacer el producto escalar de U por W, ¿vale? Es lo mismo que W por V. 00:33:36
Entonces, ¿esto qué sería? 1 por menos 11, ¿verdad? 1 por menos 11 más 5 por menos 9 más 7 por 8, ¿vale? Esto es menos 11, esto es menos 45, que esto realmente es menos 56 y esto es 56. 00:33:52
entonces esto da cero. ¿Veis cómo 00:34:24
son? ¡Coño! ¿Veis cómo son 00:34:26
perpendiculares? Porque su 00:34:28
producto es claro 00:34:30
es cero. ¿Lo veis? 00:34:32
¿Sí o no? Vale. 00:34:34
Pues entonces, chavales, si yo hubiese 00:34:36
hecho 00:34:38
v por u 00:34:39
v por u, lo hago 00:34:41
igual el producto vectorial. Esto es la 00:34:44
i, esto es la j y esto 00:34:46
es la k. Ahora pongo aquí el 00:34:48
1, 5, 8 00:34:50
y pongo el 2, 3, 7. 00:34:51
Vais a ver cómo las componentes me van a salir 11, 9 y menos 7, ¿vale? 00:34:54
¿Y sabéis por qué me van a salir con signos distintos? 00:35:03
¿Alguien me lo sabe decir? 00:35:06
He cambiado dos filas en el determinante. 00:35:08
He cambiado dos filas en el determinante, propiedades de los determinantes, ¿vale? 00:35:13
Lo que tú has dicho es una consecuencia de las propiedades de los determinantes. 00:35:18
Cuando yo cambio en un determinante dos filas entre ellas o dos columnas entre ellas, 00:35:25
el resultado de ese determinante es el mismo, pero con signo cambiado, ¿vale? 00:35:30
Third thing or fourth thing. 00:35:35
Entonces, hello, how are you? 00:35:37
Entonces, chavales, ¿esto qué es? 00:35:39
Esto es 5, 8, 3, 7 por i, ¿verdad? 00:35:41
menos, esto es 00:35:45
1, 8, 2, 7 00:35:48
por j 00:35:50
más, corregidme si me equivoco 00:35:51
2, 3 00:35:54
por k 00:35:55
5 por 7 00:35:56
35 menos 00:36:00
24 es 11, ¿lo veis? 00:36:01
positivo 00:36:04
11 y 7 menos 00:36:05
16 es menos 9, con este 00:36:08
menos es 00:36:10
más 9j 00:36:11
y 3 menos 10 00:36:13
es menos 7K 00:36:15
¿lo veis? me da 11 00:36:17
9 menos 7 00:36:19
¿todo el mundo? 00:36:21
everybody 00:36:23
yes 00:36:24
every person 00:36:26
entonces chavales, si yo os pregunto 00:36:28
¿cuánto vale 00:36:32
el área? Fernando 00:36:34
te aburro que yo, ¿cuánto vale el área 00:36:35
del paralelogramo? 00:36:38
¿qué hora es 00:36:41
del paralelogramo 00:36:42
que forman 00:36:47
u y v 00:36:51
¿cómo lo puedo hallar? 00:36:52
¿el módulo de qué es? 00:36:57
del producto vectorial 00:37:00
y aquí me da igual 00:37:02
coger 00:37:03
me da igual 00:37:04
esto que esto 00:37:07
porque estos dos vectores 00:37:09
tienen el mismo módulo 00:37:11
que es lo que se diferencia 00:37:12
en el sentido 00:37:14
Entonces resulta que si W era U por V 00:37:15
Era por ejemplo menos 11 menos 9 00:37:22
Y 7 si yo hago el módulo de W 00:37:27
¿Cómo se halla el módulo de un vector? 00:37:31
Por la raíz cuadrada de la primera componente 00:37:34
Esto me tenéis que ayudar 00:37:36
Más la segunda componente al cuadrado 00:37:37
Más 7 al cuadrado 00:37:41
Esto, si no me equivoco, es 121 más 81 más 49, la raíz cuadrada. 00:37:43
Y esto que es 121 más 49 es 170, ¿no? 00:37:51
170 más 81 son 251. 00:37:58
Me tenéis que ayudar, ¿eh? 00:38:03
Lo estoy haciendo de cabeza. 00:38:04
¿Está bien? 00:38:05
¿Es correcto? 00:38:06
¿Eh? 00:38:08
¿Tienes un calculador? 00:38:10
Sí, venga. 00:38:11
Pues ese es el módulo y ese es el área, ¿vale? Es decir, si yo tengo aquí mi vector u y aquí mi vector v, forma un paralelogramo, pues el área de esto es raíz de 251 unidades cuadradas. 00:38:13
lo dejas como raíz, ¿vale? 00:38:34
Pero el área, si te pregunto por el área, 00:38:39
me tienes que decir unidades cuadradas, ¿eh? 00:38:42
¿Vale? 00:38:47
¿In thing or not thing? 00:38:47
Venga, let's go. 00:38:49
Venga, chavales. 00:38:51
Entonces, ¿qué sabemos? 00:38:55
Un resumen que aparece en el libro. 00:38:58
El producto vectorial de dos vectores, 00:39:00
sus coordenadas se hacen por el desarrollo 00:39:01
de un determinante por la primera fila, ¿vale? 00:39:04
que es esto de aquí, para hallar el área del paralelogramo determinado por u y por v, 00:39:08
se hace primero el producto vectorial y sobre ese vector se hace el módulo. 00:39:13
Y para obtener un vector perpendicular a otros dos, pues precisamente hemos dicho 00:39:19
que el vector resultante de hacer el producto vectorial de u y v es otro vector v doble 00:39:25
que además es perpendicular a ambos dos, ¿vale? 00:39:34
Entonces, cuando me piden en un ejercicio, 00:39:36
hágame el vector perpendicular a estos dos. 00:39:39
Pues hace el producto bestial, 00:39:43
decía ya el determinante, 00:39:45
y ese vector es perpendicular a ambos. 00:39:47
¿Vale? 00:39:49
Su módulo. 00:39:50
Su módulo es precisamente el área del paralelogramo 00:39:51
que forma 1 y v. 00:39:54
¿Firthing? 00:39:55
Firthing. 00:39:56
Pues venga, chavales, 00:39:58
nos vamos ahí ya a lo último del tema. 00:39:59
Lo último del tema es el producto mixto de tres vectores. 00:40:02
Siempre para el producto escalar, dos vectores. Para el producto vectorial, dos vectores. Y el producto mixto, ¿vale? Se designa así, es decir, yo tengo tres vectores VW, se designa o así o también se designa como el producto escalar de VW, el vectorial de VW, 00:40:05
y al resultado le multiplico el producto, lo diré, el producto, a la gracia, padre. 00:40:30
Entonces, chavales, la interpretación geométrica, y esto es súper importante, ¿vale? 00:40:40
La interpretación geométrica es realmente el volumen del paralelepípedo, 00:40:46
te cagas por la braga vale es fijaros chavales lo voy a copiar a tal cual a ver si me cumpliera 00:40:55
si me cabe fijaros aquí si yo veo voy a la definición es el producto escalar de un por 00:41:05
por el producto vectorial de v por w, ¿de acuerdo? 00:41:17
Entonces, ¿qué ocurre? 00:41:22
Que precisamente es el producto escalar, 00:41:23
porque u por w me da otro vector, ¿verdad? 00:41:28
Me da otro vector. 00:41:31
Imagínate que es h de lena. 00:41:33
u por v me da h de lena, ¿vale? 00:41:35
Entonces, ¿esto qué sería el producto escalar de u por h? 00:41:39
Pues sería u por el módulo de h, ¿verdad? 00:41:43
por el coseno que forma u y h, ¿sí o no? 00:41:46
Y ahora, ¿cuál es el módulo de h? 00:41:51
Pues el módulo de h es precisamente el módulo del producto 00:41:54
de v por w, ¿de acuerdo? 00:41:57
Entonces, ¿aquí qué es lo que estoy teniendo realmente? 00:42:01
v por w, ¿qué era? 00:42:05
El módulo de u por w siendo el producto vectorial, 00:42:07
Pues el área del paralelogramo definido por u por v, es la base de este paralelogramo, ¿lo veis? Yo tengo aquí v y w y luego tengo otro vector que es u, ¿lo veis? 00:42:12
Entonces, el producto, el módulo del producto vectorial de u por v era el área de la base y ahora si yo proyecto realmente, chavales, si yo proyecto realmente el vector u sobre la perpendicular al plano definido por u y por v, ¿vale? 00:42:25
Que la perpendicular es esta, ¿vale? 00:42:46
Si yo lo proyecto, ¿qué es lo que tengo? 00:42:49
Realmente tengo la altura de ese paralelepípedo, ¿vale? 00:42:51
Esta es la explicación de que se va a ir por donde venís. 00:42:55
Yo directamente me aprendo una cosilla. 00:42:58
Igual que el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo, 00:43:02
el módulo, perdona, el producto mixto es el área de ese paralelo, 00:43:07
de paralelepípedo se llama, ¿vale? 00:43:12
Un paralelogramo son dos dimensiones 00:43:14
y un paralelepípedo son tres dimensiones. 00:43:16
Es esto de aquí, ¿vale? 00:43:19
Es como si yo tengo un paralelogramo y le doy altura, ¿sí? 00:43:21
¿Sabéis la diferencia entre un círculo y un cilindro, no? 00:43:26
Si tú coges el círculo y le das volumen, 00:43:31
lo llevas hacia arriba, te forma un cilindro. 00:43:35
Si yo tengo un paralelogramo y lo llevo hacia arriba, 00:43:37
pues lo que me da es un paralelepípedo de K. 00:43:40
Entonces, si yo en un examen, en un ejercicio te pido, 00:43:43
hállame el área del paralelípedo que forman estos tres vectores. 00:43:46
Pues lo que tenemos que hacer es el producto mixto. 00:43:51
¿Vale, chavales? 00:43:54
¿Sí o no? 00:43:55
Esa es su interpretación geométrica. 00:43:57
Y ahora, su analítica, súper fácil, ¿vale? 00:44:00
Su expresión analítica, ¿vale? 00:44:03
Su expresión analítica, que aquí lo vemos tal, 00:44:06
realmente es si hago el determinante de los tres vectores. 00:44:09
Fijaros que fácil. Su expresión analítica, que aquí te la explica entera, el resumen es muy fácil. Es, chavales, es, diré, el determinante de los tres, ¿vale? El determinante de los tres vectores. 00:44:12
Y ese me da un número, porque el determinante al final me da un número, y entonces ese es el área del paralelelípido que forman los tres, ¿vale? Entonces, si volvemos a nosotros, el U creo que era 2, 3, 7, ¿verdad? 00:44:34
el V era 00:44:49
1, 5, 8 00:44:52
y el W 00:44:54
decirme otro 00:44:56
por ejemplo, menos 2 00:44:57
4, 0 00:45:01
para que tengamos un terapia 00:45:05
entonces si me dicen 00:45:06
¿cuál es el área 00:45:09
del paralelepípedo 00:45:10
paralelepípedo 00:45:14
te cagas 00:45:18
formado 00:45:19
el volumen, gracias 00:45:21
para ver si estabais atentos 00:45:24
volumen 00:45:28
del paralelo formado por 00:45:29
y w 00:45:36
¿qué tengo que hacer? 00:45:37
simplemente el determinante 00:45:40
de 2, 3, 7 00:45:42
1, 5, 8 00:45:44
y menos 2, 4, 0 00:45:46
¿qué ocurre si esto 00:45:49
me da negativo, chavales, pues 00:45:51
que tengo que hallar 00:45:53
el valor absoluto. 00:45:54
Dime. El volumen 00:45:57
del paralelípedo formado 00:46:01
por estos tres vectores. 00:46:03
Sí, pero que al final 00:46:08
se resume en la forma analítica esto de aquí. 00:46:09
El producto mixto, 00:46:11
el producto mixto, 00:46:12
mira, lo tienes aquí. Elena, 00:46:14
lo que has visto. El producto mixto 00:46:17
de esos tres es realmente 00:46:19
el producto vectorial 00:46:21
de los dos últimos, ¿vale? 00:46:23
Por el 00:46:25
producto escalar con el primero. 00:46:26
Si yo todo esto lo desarrollo, 00:46:29
Elena, si yo todo esto lo 00:46:31
desarrollo, fíjate, 00:46:32
al final lo que tengo es el determinante 00:46:34
de todos ellos. ¿Vale? Entonces, 00:46:37
¿para qué nos vamos a aprender todo? Nos recordamos 00:46:39
que es el determinante. Chavales, 00:46:41
¿qué ocurre si 00:46:43
los tres vectores son coplanarios? 00:46:45
¿Qué ocurre si los 00:46:48
tres vectores son coplanarios? 00:46:49
¿Cómo sé que tres vectores son 00:46:51
coplanarios 00:46:53
el determinante es cero 00:46:53
¿eso es verdad o es mentira? 00:46:56
¿y por qué el determinante 00:47:01
es cero en tres vectores coplanarios? 00:47:03
¿por qué? 00:47:08
porque si son 00:47:10
coplanarios, ¿qué significa que tres 00:47:11
vectores son coplanarios? que uno de ellos 00:47:13
lo puedo poner como 00:47:15
la suma 00:47:17
de una combinación lineal de los 00:47:19
otros dos, ¿lo veis? 00:47:21
y entonces son coplanarios 00:47:22
son linealmente dependientes 00:47:24
su determinante 00:47:26
es cero y entonces si tengo 00:47:28
tres vectores coplanarios 00:47:30
voy a tener volumen 00:47:32
no tiene altura, la altura es 00:47:33
cero, entonces chavales 00:47:36
no sé si alguien ha hecho el determinante 00:47:38
este de aquí, este de aquí yo lo voy 00:47:40
a desarrollar por aquí, ¿vale? 00:47:42
porque 00:47:45
si me da negativo 00:47:46
tenemos que 00:47:47
hacer su valor absoluto, ¿vale? entonces 00:47:50
Esto es más, menos, más. 00:47:52
Esto es menos 2 por el determinante de 3, 7. 00:47:54
Acabo con esto, ¿vale, chavales? 00:47:57
5, 8. 00:47:59
Menos 4 por el determinante de 2, 7. 00:48:00
1, 8, ¿verdad? 00:48:04
Corregirme. 00:48:07
Más 0 por el determinante de 2, 3. 00:48:07
1, 5. 00:48:11
¿Por qué he cogido la tercera? 00:48:12
Porque tengo aquí un 0 y esto es un 0. 00:48:13
Esto es menos 2 que multiplica 3 por 8. 00:48:15
24 menos. 00:48:18
Aquí valor absoluto siempre, ¿eh? Valor absoluto. Menos 2 que multiplica 24 menos 35. Ayudarme, ¿vale? Menos 4 que es 16 menos 7. Y valor absoluto. ¿Y esto cuánto es, chavales? Esto es menos 11, ¿no? Esto es un 22. Menos, esto es un 9, ¿no? 9 menos 36. ¿Te da lo mismo que yo? 00:48:20
me da el valor 00:48:47
absoluto de menos 14 00:48:50
es igual a 14 00:48:52
pero 14 que es chavales 00:48:54
unidades cúbicas 00:48:55
muy bien 00:48:58
unidades cúbicas 00:48:59
vale 00:49:01
o he subido 00:49:02
este puente 00:49:06
el vídeo 00:49:08
con cada uno de los ejercicios 00:49:09
del examen, echarle un vistazo 00:49:12
están subidas las soluciones 00:49:14
y los vídeos explicando cada uno de ellos 00:49:15
echarle un vistazo, ¿vale? 00:49:17
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
4 de noviembre de 2025 - 13:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
49′ 21″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
91.47 MBytes

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