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AL1. 2.5 Potenciación de matrices - Contenido educativo

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Subido el 22 de agosto de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:18
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la potenciación 00:00:22
de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar la potenciación de matrices. Esto podemos 00:00:34
hacerlo una vez que ya hemos estudiado el producto de matrices. Si queremos calcular 00:00:52
una matriz a elevado a n, un número natural, lo que tenemos que hacer es, recordando cuál es la 00:00:56
definición de potencia, multiplicar a por sí misma n veces. Como vemos aquí, para poder realizar esta 00:01:03
multiplicación sucesiva lo que necesitamos es que la matriz a sea cuadrada, puesto que si no las 00:01:10
dimensiones no van a ser las adecuadas. Vamos a obtener a elevado a n una potencia que va a ser 00:01:15
también cuadrada del mismo orden que la matriz A. Y como vemos aquí, en el caso particular en el que 00:01:21
se nos pida calcular potencias con un exponente grande, a elevado 84, a elevado 2.124, o en el 00:01:27
caso en el que se nos pida una expresión algebraica para la potencia enésima de una matriz, con n un 00:01:34
número natural cualquiera, lo que tenemos que hacer es calcular las primeras potencias al cuadrado, 00:01:39
al cubo, a la cuarta, a la quinta, hasta que nos demos cuenta de que nos encontramos con una de 00:01:45
dos posibilidades. La primera es que al calcular al cuadrado, al cubo, a la cuarta, etcétera, nos 00:01:50
demos cuenta de que obtenemos cíclicamente los mismos resultados y eso va a ser así porque en 00:01:57
algún momento al calcular a elevado a la séptima, al cubo, alguna de esas potencias va a ser la 00:02:03
matriz identidad. De tal manera que la siguiente potencia va a ser i por a igual a a, la siguiente 00:02:09
a por a al cuadrado y así sucesivamente. De esta manera podríamos dar una fórmula 00:02:15
para la potencia enésima y podríamos determinar, calculando restos, cuál va a ser el resultado 00:02:22
de a elevado a 85 o cualquier exponente grande. La otra posibilidad va a ser que nos demos 00:02:28
cuenta de que no vamos a encontrarnos con una repetición cíclica, pero sí que los 00:02:34
elementos que ocupan una determinada posición dentro de a al cuadrado, al cubo, a la cuarta, 00:02:39
etcétera cumplen con una cierta ley de recurrencia puede ser que sean todos iguales pueden ser que 00:02:44
alternen 1 menos 1 1 menos 1 podría ser que fuera la secuencia 1 2 3 4 o la potencia 1 2 4 8 en el 00:02:50
caso en el que nos encontremos con una recurrencia podríamos dar una fórmula para la potencia enésima 00:03:02
Y en ese caso podríamos calcular cuáles son a elevado a 84, a elevado a una potencia con un exponente arbitrario, grande o no. 00:03:08
Con esto que hemos comentado, con esto que hemos visto, podríamos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase, que veremos en videoclases sucesivas. 00:03:17
Este primer ejercicio 8 es el más directo. Tenemos una matriz a cuadrada de orden 2 y se nos pide a cuadrado al cubo y a la cuarta, directo. 00:03:27
En estos ejercicios 9 y 10 tenemos una matriz A cuadrada de orden 3 y se nos pide que calculemos las matrices A cuadrado al cubo a la cuarta puntos sucesivos, tantas como sean necesarios para encontrar un patrón que nos permita determinar de una forma sencilla las matrices A elevado a 72, a 70, 86, 81, etc. 00:03:35
Así preguntado tiene pinta de que nos vayamos a encontrar con una repetición cíclica. 00:03:57
Por último, en este ejercicio 11 tenemos esta matriz, también cuadrada de orden 3, y no se nos dice cómo, pero se nos pide la expresión algebraica para las matrices a elevado a n, a n y números naturales. 00:04:03
No se nos dice cómo, pero sabemos, lo hemos comentado, que tendremos que calcular al cuadrado, al cubo, a la cuarta, etc. 00:04:16
Y buscaremos ese patrón de repetición o bien directamente ese patrón de recurrencia que nos permita determinar todos los elementos de la matriz A elevado a n. 00:04:22
Como he dicho anteriormente, revisaremos estos ejercicios en clase, los veremos en videoclases sucesivas. 00:04:34
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:04:40
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:04:49
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:04:54
Un saludo y hasta pronto. 00:04:59
Idioma/s:
es
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
25
Fecha:
22 de agosto de 2024 - 15:47
Visibilidad:
URL
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
05′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
12.69 MBytes

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