Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

PAU Matemáticas II Septiembre 2016 A 2 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 25 de marzo de 2017 por Pablo Jesus T.

264 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a resolver el problema de la PAU de Madrid de la convocatoria de septiembre de 2016, modelo A, ejercicio 2, que tiene este enunciado. 00:00:00
Nos dan dos rectas, una en formato de corte de dos planos y otra en formato paramétrico, y nos hacen una serie de preguntas. 00:00:12
Para contestar dichas preguntas nos interesa, lo primero de todo, calcular la recta R en formato paramétrico. 00:00:20
paramétrico. Para ello, lo que hacemos es calcular un punto que pertenezca a la recta 00:00:27
R, dando un valor a la X, sustituyendo las dos ecuaciones de los dos planos y resolviendo, 00:00:33
que nos queda Y3, YZ0. Así que el punto 1, 3, 0 es un punto de la recta R. Para calcular 00:00:42
el vector director de la recta R, hacemos el producto vectorial de los dos vectores 00:00:50
perpendiculares a cada uno de los planos, es decir, formados por sus coeficientes. 00:00:55
Aunque aquí nos lo hace GeoGebra, nosotros lo que haremos será construir la matriz IJK 00:01:01
1, 0, menos 2, que son los coeficientes, y 1, 1, 1, que son los coeficientes del segundo plano, 00:01:07
y calcular el determinante de dicha matriz, que nos da 2, menos 3, 1, como obviamente nos había dicho ya GeoGebra. 00:01:13
Ahora lo que vamos a hacer es pintar ese vector y la recta, así que esa es la recta R, podemos ocultar el vector. 00:01:24
Vamos pues ya a contestar a la pregunta del apartado A, vamos a obtener la recta que pasa por el punto P105, vamos a pintar P, 00:01:34
y que corta perpendicularmente a R 00:01:43
para eso necesitamos un paso previo 00:01:47
que es calcular el plano perpendicular a la recta R 00:01:49
que pasa por 1, 0, 5 00:01:54
como quiero la ecuación de un plano 00:01:56
y además tengo el vector perpendicular 00:01:58
2, menos 3, 1 que hemos sacado en el apartado anterior 00:02:00
pues simplemente escribo la ecuación normal del plano 00:02:03
haciendo que pase por el punto 1, 0, 5 00:02:07
que es P 00:02:09
me sale este plano 00:02:10
que si le pinto, pues se ve claramente en el dibujo, que es perpendicular a la recta y que pasa por P. 00:02:12
Ahora lo que vamos a hacer es la intersección de dicho plano con la recta para obtener un punto Q que estará aquí. 00:02:23
Para eso cogemos ahí dos maneras. 00:02:32
Una manera es, como nos dan la recta R en forma de dos planos, le añadimos como tercer plano el que acabamos de calcular, el azul del dibujo, y resolvemos por Cramer. 00:02:35
Nos sale 3, 0, 1, que serían las coordenadas de este punto. 00:02:50
La otra manera es coger la recta R en formato paramétrico y sustituirla en el plano azul que hemos calculado. 00:02:54
Nos saldrá una ecuación en lambda que si la resolvemos nos da lambda igual a 1 y si ahora sustituimos en la recta pues nos sale obviamente 3, 0, 1. 00:03:07
igual que cuando hicimos Cramer en el sistema de tres ecuaciones. 00:03:24
Pintamos el punto Q y que obviamente vemos que está sobre la recta R y en el plano que queríamos 00:03:32
y ahora ya simplemente trazaremos el punto, el vector PQ que sería el 2, 0, menos 4 00:03:38
y con el punto P y el vector 2, 0, menos 4, pues tenemos la recta 1 más 2 lambda, 0, 5 menos 4 lambda, que es la respuesta al apartado A. 00:03:47
pasa por el punto P y corta perpendicularmente a R 00:04:01
como vamos a ver si pintamos el plano 00:04:06
el ángulo pues se ve ahí claramente que alfa es 90 00:04:08
el que forma la recta negra y la recta azul 00:04:14
lo que vamos a hacer ahora pues es ya para hacer el apartado B 00:04:17
ocultar todas estas cosas 00:04:22
el ángulo, el plano, la recta, el vector PQ 00:04:25
y los puntos P y Q 00:04:31
ya podemos pasar al siguiente apartado 00:04:33
para eso vamos a pintar la recta S 00:04:38
lo primero, tenemos el punto B 00:04:40
que sería 2, 1, 0 00:04:42
y el vector V 00:04:45
1, menos 3, 1 00:04:48
los coeficientes de los lambda 00:04:50
y ya podemos pintar la recta roja 00:04:55
se ve fácilmente 00:05:00
que las dos rectas se cruzan 00:05:02
¿de acuerdo? 00:05:05
R y S son esas dos rectas 00:05:06
vamos a hacer ahora el plano 00:05:08
que contiene a la recta R 00:05:10
y es paralelo a S 00:05:12
para ello 00:05:14
pues lo que vamos a hacer 00:05:16
es el determinante 00:05:19
en la primera fila ponemos 00:05:21
X menos un punto por el que queremos que pase 00:05:23
yo he cogido el punto A 00:05:25
obviamente 00:05:27
que pertenece a R 00:05:28
1, 3, 0 00:05:30
y los vectores directores de R y de S. 00:05:30
Entonces, porque tiene que contener a R y tiene que ser paralelo a S. 00:05:37
Y me sale este plano, menos y menos 3Z más 3 igual a 0. 00:05:42
Le pintamos y vemos que contiene a la recta roja, ahí lo vemos bien, 00:05:46
y es paralelo a la recta, contiene la recta azul, perdón, y es paralelo a la recta roja, ahí es donde se vería perfectamente, ¿de acuerdo? 00:05:53
Bueno, pues entonces esa es la respuesta al apartado b, menos i menos 3z más 3 igual a 0. 00:06:07
Y por último vamos a ocultar el plano este B y por último vamos a hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan. 00:06:18
Para hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan, simplemente voy a hacer la fórmula conocida en la que primero voy a construir el vector AB, 1-2, 0, y con los vectores U y V forman entre los tres un paralelepípedo, podríamos intentar acercarnos, 00:06:28
forman entre los tres un paralelepípedo que tiene de área el determinante, 00:06:52
estamos haciendo el producto mixto, de los vectores AB, el vector U y el vector V. 00:07:04
Ese producto mixto me da 2. 00:07:13
Ahora, para calcular la base del paralelepípedo y que al dividirme de la altura, 00:07:15
que es la distancia entre dos rectas que se cruzan, pues calculamos el determinante con la matriz IJK, el vector U y el vector V, 00:07:21
que por cierto ya lo habíamos hecho aquí, por eso me da 0, menos 1, menos 3, que son los coeficientes del plano que hicimos en el apartado B. 00:07:33
calculamos la longitud de ese vector 00:07:42
y me da raíz de 10 00:07:48
así que finalmente la distancia entre las dos rectas que se cruzan 00:07:50
será simplemente 2 entre raíz de 10 00:07:54
que racionalizado da raíz de 10 partido por 5 00:07:59
y en decimal 0,63 00:08:02
que por cierto si utilizamos la instrucción de GeoGebra 00:08:07
distancia entre dos rectas 00:08:11
pues nos da exactamente el mismo valor 00:08:14
lo que nos confirma que lo hemos hecho bien 00:08:16
y ya hemos terminado el ejercicio 00:08:19
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
264
Fecha:
25 de marzo de 2017 - 18:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
08′ 23″
Relación de aspecto:
1.82:1
Resolución:
1920x1056 píxeles
Tamaño:
48.56 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid