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29_distancias 3 desde recta - Contenido educativo

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Subido el 28 de agosto de 2023 por Jaime G.

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Vamos a hablar en este vídeo de cómo calcular la distancia de una recta a otra recta en 00:00:00
el espacio o a un plano. 00:00:07
La primera advertencia importantísima que hacer es que en ambos casos es imprescindible 00:00:10
estudiar antes de calcular la distancia la posición relativa entre las rectas o entre 00:00:16
recta y plano. 00:00:20
Veamos para empezar el caso de recta y plano. 00:00:22
En el caso en que la recta esté contenida en el plano pues la distancia es cero y no 00:00:26
habría ningún cálculo más que hacer. 00:00:29
Igual sucede en el caso en que recta y plano son secantes por tener un punto en común. 00:00:32
Luego sólo hay que calcular la distancia entre recta y plano cuando estos son paralelos. 00:00:37
Podemos razonar que esa distancia puede calcularse como la que hay desde cualquier punto de R 00:00:43
hasta el plano y por tanto se utiliza la fórmula anteriormente vista. 00:00:51
Una advertencia importante aquí es que si esta última fórmula, la distancia de un 00:00:59
punto de la recta al plano, la utilizamos en el caso en el que recta y plano sean secantes 00:01:06
en la posición relativa anterior, en general nos dará un valor distinto de cero y por 00:01:12
tanto erróneo, es decir, podemos calcular la distancia entre recta y plano como la distancia 00:01:20
de un punto de la recta al plano sólo si tenemos conciencia clara de que recta y plano 00:01:25
son paralelas. 00:01:30
Vamos al caso de distancia entre dos rectas y de nuevo imprescindible estudiar antes la 00:01:33
posición relativa porque en los casos coincidentes o secantes esta distancia es cero y no habría 00:01:38
nada más que calcular. 00:01:44
El siguiente caso es aquel en el que las rectas son paralelas y puede calcularse la 00:01:46
distancia entre ellas eligiendo un punto cualquiera de una de las mismas y calculando la distancia 00:01:50
a la otra, podéis observar en la figura que esta distancia es siempre la misma, no depende 00:01:57
del punto escogido y que además es la menor distancia entre las rectas. 00:02:02
El caso más peleagudo es el de rectas que se cruzan, que como representamos en esta 00:02:09
figura pueden verse siempre como contenidas en planos paralelos. 00:02:15
Si determinamos uno de esos planos, el plano azul de la figura, que es el que contiene 00:02:21
a la recta S y es paralelo a R, este plano nos será de ayuda para calcular la distancia 00:02:25
entre las rectas. 00:02:31
Podemos observar que la distancia entre la recta R y este plano azul se mantiene constante, 00:02:33
sea cual sea el punto de R que utilicemos para calcularla y además se corresponde con 00:02:40
la distancia entre ambos planos y por lo tanto es también la distancia entre las rectas 00:02:45
porque es la menor distancia posible entre dos puntos de la recta. 00:02:50
Como calcular este plano necesario para las distancias entre rectas que se cruzan lleva 00:02:57
su tiempo nos vamos a buscar una fórmula alternativa que explicamos con detalle en 00:03:04
otro vídeo pero que básicamente consiste en identificar la distancia entre ambas rectas 00:03:11
que se cruzan como la altura de ese paralelepípedo y por tanto puede venir calculada como el 00:03:16
cociente entre el volumen del paralelepípedo y el área de la base de este paralelepípedo 00:03:23
que se calculan pues con esas expresiones del parámetro absoluto del producto mixto 00:03:29
y del módulo del producto vectorial respectivamente. 00:03:34
De nuevo cabe la advertencia de que esta fórmula solo se la valida si hemos comprobado anteriormente 00:03:41
que R y S se cruzan. 00:03:47
Si aplicamos esta fórmula en el caso en el que S y R son paralelas la fórmula nos dará 00:03:49
el valor cero porque el paralelepípedo en ese caso no tiene volumen y ese resultado 00:03:55
sería incorrecto. 00:04:03
Dos rectas paralelas no distan cero como diría esta fórmula. 00:04:04
La fórmula es válida solo para rectas que se cruzan. 00:04:08
Veamos ahora un ejemplo de cálculo de distancia entre dos rectas. 00:04:15
Vamos a estudiar primero su posición relativa y para ello nos hará falta obtener el primer 00:04:22
punto o el punto de la primera recta, 2, menos 1, 5, el punto de la segunda recta, 1, 0, 00:04:26
menos 1, vector director de la primera recta, menos 1, 1, 2, vector director de la segunda 00:04:34
recta, 2, 1, menos 3. 00:04:43
Y fabricaremos el vector que une las dos rectas, los puntos de ambas rectas, restando 00:04:47
las coordenadas obteniendo menos 1, 1, menos 6. 00:04:53
Para estudiar la posición relativa lo primero que observamos es que VR no es proporcional 00:05:00
a VS y por lo tanto las rectas tendrán que ser secantes o cruzarse. 00:05:05
Para comprobar en qué caso estamos hemos de estudiar el determinante de los tres vectores 00:05:11
obtenidos, el ARAS, el VR y el VS, que nos dirá si son o no son linealmente dependientes. 00:05:17
El cálculo de este determinante arroja el valor 24, que no es 0, y por tanto R y S deben 00:05:30
ser rectas que se cruzan, son rectas que se cruzan. 00:05:38
Bien, ¿cómo podemos calcular entonces la distancia entre ambas rectas? 00:05:44
Pues recurramos en primer lugar a la fórmula que tiene por numerador el volumen del paralelepípedo 00:05:50
determinado precisamente por los tres vectores ARAS, VS, VR y VS, y que se calcula con el 00:05:59
valor absoluto del producto mixto, y el denominador es el área de la base del paralelepípedo, 00:06:08
o sea, el módulo de ese producto vectorial. 00:06:14
En el numerador el valor de ese producto mixto coincide con el del determinante que ya hemos 00:06:17
calculado, es decir, debe ser 24, y nos quedaría por tanto calcular solamente el producto escalar 00:06:24
VR por VS, bien, ya estaría aquí calculado. 00:06:32
Su módulo es la raíz de 25 más 9 más 1, o sea, la raíz de 35, y por tanto la distancia 00:06:38
buscada será 24 veces la raíz de 35 partido 35. 00:06:45
Una vez que hemos llegado a este punto, es decir, cuando ya tenemos claro que las rectas 00:06:53
se cruzan, podemos calcular la distancia sin utilizar esta fórmula de otra manera 00:06:57
alternativa, que sería calcular este plano, encontrar primero este plano que contiene 00:07:03
a una de las rectas y es paralelo a la otra, este plano pi sub s, que queda definido por 00:07:12
tanto por contener a un punto de s y también al vector director de R, visto que esta recta 00:07:17
es paralela y este vector se puede trasladar a pi. 00:07:24
La ecuación implícita de este plano pi sub s sería, por tanto, x menos 1 y z más 1, 00:07:28
menos 1, 1, 2, 2, 1, menos 3, ese determinante tiene que ser 0. 00:07:38
Si desarrollamos, obtendremos desarrollando el proceso juntos de la primera fila, menos 00:07:49
5 por x menos 1 más y menos 3 veces z más 1, eso tiene que ser igual a 0. 00:07:54
Ecuación desarrollada se convierte en menos 5x más y menos 3z más 2 igual a 0, sería 00:08:06
la ecuación de pi sub s. 00:08:15
Una vez obtenido el plano, recordamos que la distancia entre R y s se puede calcular 00:08:18
como la distancia de cualquier punto de R, por ejemplo, el A sub R que ya tenemos calculado 00:08:25
y este plano pi sub s, es decir, basta utilizar los coeficientes de la ecuación general del 00:08:30
plano multiplicados por las coordenadas del punto A sub R, menos 5 por 2 más 1 por menos 00:08:39
1 menos 3 por 5 más 2 y en el denominador el módulo del vector normal 5 cuadrado más 00:08:48
1 cuadrado más 3 cuadrados. 00:09:00
Este numerador se convierte en 24 y el denominador en raíz de 35, arrojando exactamente el mismo 00:09:06
resultado del procedimiento anterior. 00:09:13
Idioma/s:
es
Autor/es:
Guerrero López, Jaime
Subido por:
Jaime G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
7
Fecha:
28 de agosto de 2023 - 9:36
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
Duración:
09′ 17″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1600x900 píxeles
Tamaño:
15.86 MBytes

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