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24_Ángulos entre rectas y planos - Contenido educativo

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Subido el 28 de agosto de 2023 por Jaime G.

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¡Hola! En este vídeo vamos a estudiar cómo calcular ángulos entre rectas y planos. 00:00:00
Debemos prestar atención a tres casos, que son el ángulo entre dos rectas, 00:00:06
el ángulo entre dos planos y el ángulo entre una recta y un plano. 00:00:11
En los casos en que las rectas o los planos son paralelos, 00:00:15
o en el que la recta está contenida en el plano, 00:00:18
el ángulo que forman se define como cero y no hay más que calcular. 00:00:21
Así que nos vamos a centrar en los casos en los que rectas o recta y plano son secantes 00:00:24
o las rectas se cruzan. 00:00:29
La herramienta común a todos estos casos es el ángulo entre dos vectores 00:00:31
y por eso vamos a revisar cómo se calcula. 00:00:35
Recordemos que dos vectores pueden formar dos ángulos, 00:00:38
pero llamamos ángulo entre los vectores a aquel que es menor de 180 grados, 00:00:43
al menor de los dos. Siempre va a estar, por lo tanto, entre cero y 180 grados. 00:00:48
Recordemos que para calcular ese ángulo hacemos uso del producto escalar 00:00:52
y podemos obtener el coseno del ángulo entre los vectores 00:00:58
como ese cociente entre el producto escalar entre el producto de los módulos. 00:01:01
Si el ángulo que forman los vectores es agudo, menor de 90 grados, 00:01:06
el producto escalar será positivo, correspondiendo con el coseno de un ángulo del primer cuadrante. 00:01:11
Sin embargo, si como en la figura que observamos el ángulo es obtuso, 00:01:17
es decir, corresponde a un ángulo del segundo cuadrante, 00:01:21
el coseno será negativo y también lo será el producto escalar. 00:01:24
El ángulo, perdón, el signo del producto escalar y el del coseno siempre son el mismo. 00:01:27
Tenemos que darnos cuenta de que si cambiamos uno de los vectores por su opuesto, 00:01:35
cambiamos por ejemplo u por menos u, 00:01:40
el ángulo que formará ahora el nuevo vector menos u con v 00:01:42
no es igual que el anterior, pero es suplementario, es decir, 00:01:45
forma 180 grados junto con el anterior. 00:01:49
Cambiar un vector por su opuesto a la hora de calcular el ángulo 00:01:53
nos hace obtener un ángulo suplementario que suma 180 grados con el anterior. 00:01:56
Recordemos que esto sucede precisamente porque los ángulos suplementarios tienen coseno de signo cambiados. 00:02:01
Unos están en el primer cuadrante, otros en el segundo, pero son simétricos. 00:02:07
Vamos a ver un caso concreto que quizá aclare más estos conceptos. 00:02:12
Tenemos estos dos vectores, si queremos calcular el ángulo entre ellos 00:02:16
empezamos por su producto escalar, menos uno en este caso, 00:02:19
y por tanto a la hora de calcular el coseno, de hacer arco coseno en esa expresión de la derecha, 00:02:22
pues vamos a obtener un ángulo obtuso porque es lo que corresponde a un coseno negativo, 00:02:28
es decir, a un producto escalar negativo. 00:02:34
¿Qué pasa si cambiamos el vector u por su opuesto? 00:02:38
Pues entonces lo que pasará lógicamente es que al hacer el producto escalar 00:02:42
obtendremos el mismo producto escalar que antes pero cambiado de signo. 00:02:46
Ahora obtenemos un producto escalar positivo y por tanto al hacer el arco coseno ahí 00:02:50
lo que vamos a obtener es ahora mismo un ángulo agudo, menor de 90 grados. 00:02:55
Sin embargo estos ángulos están relacionados. 00:03:02
Si observamos 119,74 y 60,26 suman precisamente 180. 00:03:05
Si calculamos directamente el arco coseno tomando valor absoluto del producto escalar, 00:03:13
pues entonces garantizamos que el ángulo que nos saldrá siempre es agudo 00:03:19
y este ángulo pues puede muy bien ser el ángulo entre u y v o entre u y menos v el suplementario. 00:03:23
Vamos con esta herramienta ya a calcular ángulos entre dos rectas. 00:03:32
Cuando dos rectas se cortan forman dos ángulos posibles. 00:03:36
Forman cuatro pero se repiten dos a dos. 00:03:39
Uno de ellos en general va a ser agudo y el otro obtuso. 00:03:41
Definimos el ángulo entre las rectas siempre como el menor de los dos que determinan. 00:03:46
Por lo tanto el ángulo entre las rectas siempre va a ser un ángulo agudo como mucho recto de 90 grados. 00:03:50
¿Cómo se calcula en la práctica el ángulo entre dos rectas? 00:03:58
Para calcular el ángulo entre dos rectas procedemos a obtener primero sus vectores directores 00:04:03
y usando el producto escalar calculamos el ángulo entre estos vectores. 00:04:09
Si sucede como en este caso que el ángulo obtenido es obtuso 00:04:13
no tenemos más que pasar a su suplementario restando de 180. 00:04:17
El ángulo entre las rectas será el suplementario del ángulo obtenido. 00:04:21
Vamos a verlo en un caso práctico. 00:04:27
Tenemos aquí dos rectas dadas en forma paramétrica 00:04:29
y nos es muy fácil obtener sus vectores directores a partir de los coeficientes de los parámetros. 00:04:32
Calculamos el ángulo entre los vectores directores. 00:04:37
Para eso empezamos con el producto escalar que resulta ser negativo 00:04:40
y por lo tanto el ángulo entre los vectores nos da un ángulo obtuso. 00:04:43
Sabemos que este ángulo no puede ser el ángulo entre las rectas 00:04:47
que hemos decidido que va a ser siempre el menor y por tanto agudo. 00:04:51
Pero no necesitamos repetir este cálculo sino simplemente recordar 00:04:54
que el ángulo entre las rectas será el suplementario del ángulo obtenido entre los vectores. 00:04:58
Por tanto 60,26 grados. 00:05:03
Podríamos haber calculado directamente con la fórmula anterior 00:05:09
usando el valor absoluto del producto escalar 00:05:12
y habríamos obtenido directamente ese ángulo. 00:05:15
En resumen el ángulo entre dos rectas siempre es el ángulo entre sus vectores directores 00:05:18
o si éste nos diera un resultado obtuso pues sería su suplementario. 00:05:22
Lo restaríamos de 180. 00:05:27
Bueno, vamos ya con el ángulo entre dos planos. 00:05:31
Cuando dos planos se cortan forman un ángulo llamado ángulo diedro 00:05:34
que es el que vemos en la figura. 00:05:38
También formando un ángulo entre dos planos. 00:05:40
Cuando dos planos se cortan forman un ángulo llamado ángulo diedro 00:05:43
que es el que vemos en la figura. 00:05:46
También forman dos ángulos diedros, uno obtuso y otro agudo. 00:05:48
De nuevo definimos el ángulo entre dos planos como el menor de los dos que determinan 00:05:51
que es el que se observa en la figura. 00:05:55
Y por tanto como en el caso de las rectas 00:05:57
el ángulo entre dos planos siempre va a ser un valor entre 0 y 90 grados. 00:05:59
Para calcular el ángulo entre dos planos 00:06:03
vamos a recurrir a sus vectores normales que son los fáciles de determinar. 00:06:06
En esta figura observamos los dos planos 00:06:14
que llamamos ahora sigma y tau de canto 00:06:16
con lo cual aparecen pintados como rectas 00:06:20
pero son planos. 00:06:22
Sus vectores normales serían estos vectores que observamos aquí. 00:06:24
Y cabe comprobar que el ángulo entre ambos planos 00:06:28
que sería el menor de los dos, ese ángulo alfa 00:06:34
coincide exactamente con el ángulo entre sus vectores normales 00:06:37
dado que ambos están girados 90 grados respecto de los planos. 00:06:41
Así que todo el ángulo alfa gira 90 grados 00:06:45
para convertirse en otro ángulo del mismo valor alfa. 00:06:48
Vamos a verlo ahora en la práctica. 00:06:55
Tenemos un plano pi1 y un plano pi2. 00:06:57
Obtenemos sus vectores normales 00:07:00
y calculamos el ángulo entre ellos usando como siempre el producto escalar. 00:07:02
En este caso el producto escalar es positivo, el coseno es positivo 00:07:06
y el ángulo que obtenemos directamente es un ángulo agudo 00:07:10
que es el ángulo que forman los dos planos. 00:07:13
De nuevo, si este ángulo hubiese resultado obtuso 00:07:16
porque el producto escalar es negativo 00:07:20
pues deberíamos, como en el caso anterior, 00:07:22
calcular el suplementario 00:07:24
puesto que el ángulo entre planos también es siempre un ángulo entre 0 y 90. 00:07:26
Vamos ya con el último caso que es el del ángulo entre recta y plano 00:07:30
y que estudiaremos de la siguiente manera. 00:07:34
En este vídeo vamos a definir de forma correcta 00:07:40
y aprender a calcular el ángulo formado por una recta R 00:07:43
y un plano pi al que corta. 00:07:48
En la imagen observamos el vector director de la recta, 00:07:51
este vector en verde, y un vector cualquiera del plano pi 00:07:55
que como dos vectores que son forman un cierto ángulo 00:07:59
69,27 en este caso. 00:08:03
Claro, hay una infinidad de vectores sobre el plano pi 00:08:06
en infinitas direcciones y cada uno formará un ángulo distinto. 00:08:10
Ahí vamos viendo cómo varía el ángulo que forma el vector director de la recta 00:08:13
que siempre es el mismo, con los diferentes vectores 00:08:17
en las diferentes direcciones del plano pi. 00:08:20
Bien, ¿a qué llamamos entonces ángulo entre la recta y el plano 00:08:23
si hay un montón de ángulos distintos? 00:08:28
Pues como siempre, por definición, el ángulo entre recta y plano 00:08:31
será el menor de todos estos ángulos que estamos observando en la figura. 00:08:34
¿Cómo averiguar cuál es el menor? 00:08:39
Pues para eso contamos con la recta proyección. 00:08:42
La recta proyección de la recta R sobre el plano, 00:08:45
la que se obtiene proyectando puntos de la recta R 00:08:48
ortogonalmente sobre el plano, nos va a dar la dirección de mínimo ángulo. 00:08:52
Si ahora situamos el vector del plano sobre esa dirección de proyección, 00:08:56
observamos que ese ángulo es 50,41, 00:09:01
cualquier desviación que hagamos de esa dirección nos dará un ángulo mayor. 00:09:04
Por lo tanto, por definición, el ángulo entre una recta 00:09:08
y un plano al que corta será el formado por la propia recta 00:09:12
y su proyección sobre dicho plano. 00:09:17
Ahora bien, en la práctica, determinar la dirección de esta proyección 00:09:20
de entre todas las direcciones del plano 00:09:23
es perfectamente posible pero un poco engorroso. 00:09:26
Así que vamos a buscar una alternativa que nos permita calcular 00:09:29
de forma más directa el ángulo entre recta y plano 00:09:32
y para eso contaremos con el vector normal al plano 00:09:35
que siempre es fácil de determinar a partir de su ecuación general. 00:09:38
Lo que podemos observar en la figura es que si en vez de calcular el ángulo 00:09:42
entre el vector directo de la recta, el vector en verde, 00:09:46
y el vector de pi, el vector en azul, 00:09:50
calculamos el ángulo que forma con el vector normal 00:09:54
que en este caso es 39,59, 00:09:58
ambos ángulos, el que acabamos de calcular con el vector normal 00:10:01
y el que realmente queremos calcular con el vector que está en pi, 00:10:04
con el vector azul, son complementarios, es decir, suman 90 grados. 00:10:08
Se observa en la figura, dado que el vector de pi, 00:10:12
cualquier vector de pi, en particular el que nos interesa, y el vector normal 00:10:16
pues deben ser perpendiculares por definición de vector normal. 00:10:19
Por tanto, en la práctica, obtendremos el vector director de la recta R, 00:10:24
el vector normal del plano pi, y calcularemos el ángulo entre ambos. 00:10:28
Una vez obtenido, lo restaremos de 90 grados 00:10:32
para obtener su complementario, que es el ángulo 00:10:36
entre recta y plano que realmente nos interesa. 00:10:39
La única dificultad que puede surgir en este procedimiento 00:10:43
es que el vector director y el vector normal 00:10:47
no formen un ángulo agudo, como en nuestra anterior figura, 00:10:50
sino que formen este ángulo obtuso que observamos aquí. 00:10:53
No podemos predecir antes de tomar un vector normal cualquiera 00:10:56
y un vector director cualquiera, cuál de los dos ángulos vamos a obtener. 00:11:00
Pero si sucediera que hemos obtenido este ángulo inadecuado, 00:11:04
el producto escalar al ser el ángulo obtuso sería negativo 00:11:08
y bastaría que lo reemplazásemos por su valor absoluto, 00:11:12
por el positivo correspondiente, que sabemos que es el ángulo agudo 00:11:16
que realmente necesitamos calcular. 00:11:20
Es decir, si el producto escalar entre VR y NP nos da negativo, 00:11:23
tomamos el valor absoluto y procedemos como hemos indicado. 00:11:29
Bueno, en la práctica definimos el ángulo entre recta y plano 00:11:37
como el ángulo entre la recta y su proyección orthogonal sobre el plano, 00:11:40
que pronto será una vez más un ángulo agudo entre 0 y 90, 00:11:44
como todos los que llevamos estudiados hasta el momento. 00:11:47
Y aquí tenemos un caso práctico con este plano y esta recta 00:11:50
y queremos saber qué ángulo forman. 00:11:54
Así que cogemos vector normal del plano, vector director de la recta 00:11:56
a partir de sus ecuaciones y calculamos el ángulo entre ambos. 00:12:01
Al ser el producto escalar positivo, pues el ángulo entre ambos es un ángulo agudo. 00:12:05
Este es el ángulo entre la dirección normal al plano y la recta. 00:12:09
Por lo tanto, por muy agudo que sea, no es el ángulo que nos vale. 00:12:14
Necesitamos pasar a su complementario, es decir, restar de 90 grados 00:12:17
para obtener el ángulo que nos interesa, que es el ángulo entre la recta y el plano. 00:12:21
En resumen, el ángulo entre recta y plano coincide con el complementario 00:12:29
del ángulo entre la recta y la dirección normal al plano. 00:12:33
Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org 00:12:39
Idioma/s:
es
Autor/es:
Guerrero López, Jaime
Subido por:
Jaime G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
28 de agosto de 2023 - 9:29
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC NTRA. SRA. DE LAS ESCUELAS PÍAS (28013115)
Duración:
12′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1600x900 píxeles
Tamaño:
19.60 MBytes

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