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Ecuaciones de primer grado 1º ESO - Contenido educativo

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Subido el 15 de mayo de 2021 por Yolanda P.

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Ecuaciones de primera edad. Lo primero que vamos a hacer es definir qué es una ecuación. Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple sólo para determinados valores de las letras o incógnitas. 00:00:00
Hasta ahora hemos visto monomios, polinomios, etcétera. Y con ellos podíamos operar, pero no estaban igualados a nada. Nunca podíamos encontrar una solución. 00:00:15
solución, ¿vale? Podíamos tener, por ejemplo, 3x que le sumábamos 4x, ¿vale? Pero podíamos llegar a que 00:00:26
esto era 7x, pero no íbamos a poder encontrar la solución porque no estaba igual a nada. ¿Qué es lo 00:00:35
que ocurre ahora? Que ahora sí voy a tener una igualdad, es decir, yo voy a tener una expresión 00:00:42
algebraica, por ejemplo, 3x más 4 y ahora sí va a estar igualada a algo. Se tiene que cumplir que 00:00:51
3x más 4 sea igual a 8, por ejemplo. Tenemos que encontrar cuánto vale la x para que se cumpla la 00:01:00
igualdad. Lo siguiente que tenemos que ver es cómo nombramos a los elementos que forman parte de una 00:01:10
Si cogemos una ecuación cualquiera, 2x3 es igual a 5x menos 1, lo primero que vemos es que tenemos dos lados, un lado izquierdo de la igualdad y otro al lado derecho. 00:01:19
A cada uno de estos lados se le llama miembro y como leemos normalmente de izquierda a derecha, pues este sería el primer miembro de la igualdad o de nuestra ecuación y este el segundo miembro. 00:01:43
Vemos que cada uno de estos miembros están formados por monomios, serían monomios al final, y a cada uno de estos le llamamos términos. 00:02:06
En este caso tendríamos dos términos en el primer miembro de la ecuación y otros dos en el segundo miembro. 00:02:27
Y por último nos queda identificar las incógnitas. En este caso solo tenemos uno. Nosotros en principio vamos a ver ecuaciones de una sola incógnita y en nuestro caso sería x. 00:02:41
Lo siguiente es saber qué es el grado de la ecuación. El grado de la ecuación es el mayor grado de los términos que la forma. 00:03:04
Si yo tengo una ecuación, por ejemplo, miramos los términos y tengo 5x al cuadrado, el segundo término sería menos 2 y el último término sería 6x. 00:03:15
¿Cuál es el que tiene mayor grado? 5x cuadrado. Así que mi, el grado de esta ecuación es 2. Es una ecuación de segundo grado. 00:03:34
En principio nosotros vamos a ver ecuaciones de primer grado, es decir, la x no va a tener exponente, pues del tipo 3x más 1 es igual a 5, por ejemplo. 00:03:51
Mi x no tiene exponente, tendría exponente 1, así que es una ecuación de primer grado. 00:04:06
Y estas son las primeras que vamos a ver. 00:04:17
¿En qué consiste resolver una ecuación? Ya lo hemos dicho, en encontrar el valor que tiene que tomar la incógnita para que se cumpla la igualdad. 00:04:21
Y a ese valor le denominamos solución. Para resolver una ecuación tenemos que recordar que si yo tengo un número 5, 5 es igual a 5. 00:04:30
Esto es cierto, ¿no? Vale, si yo a los dos lados de la igualdad le sumo, le resto, le multiplico o le divido la misma cantidad por la misma cantidad, no cambia la igualdad. 00:04:44
Es decir, si por ejemplo a 5 a este lado de la igualdad yo le resto 2 y al otro lado de la igualdad también, no cambia. 00:04:59
al final la igualdad va a seguir siendo cierta, es decir, 3 va a seguir siendo 3. 00:05:09
Con la multiplicación la división nos pasaría lo mismo. 00:05:19
Si yo tengo, por ejemplo, 12 es igual a 12, esto es cierto. 00:05:22
Y si yo a los dos lados, por ejemplo, dividimos entre 3, esta igualdad se sigue cumpliendo, 00:05:31
Porque 12 entre 3 a 4 y 12 entre 3 a 4. 00:05:41
Esto es la teoría, digamos, que nosotros vamos a utilizar para luego resolver ecuaciones. 00:05:47
Porque luego en la práctica nosotros diremos, lo que está sumando pasa al otro lado restando. 00:05:55
¿Vale? Esto se puede hacer porque cumplimos esto. 00:06:04
¿Vale? Si yo tuviera, por ejemplo, 00:06:08
Vamos a poner otro ejemplo. 3 más 4 es igual a 7, ¿vale? Bueno, vamos a poner aquí una incógnita. Vamos a poner x más 4 tiene que ser igual a 7, ¿vale? 00:06:10
Si yo sumo, bueno, en este caso vamos a restar, quiero dejar sola la x, si yo resto ambos lados 4, la igualdad se tiene que seguir cumpliendo, por lo que hemos visto antes, y esto nos daría que x es igual a 3. 00:06:41
Esta es una ecuación muy sencilla que vemos que efectivamente 3 más 4 es igual a 7. 00:07:07
Vale, para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita vamos a seguir los siguientes pasos. 00:07:14
Lo primero que vamos a hacer es operar para quitar paréntesis. 00:07:29
Después operaremos para quitar denominadores. 00:07:35
Luego simplificamos los términos siempre que podamos. 00:07:39
Simplificar los términos quiere decir que si yo puedo operar, lo voy a hacer. 00:07:43
Es decir, si yo tengo 3x más 1 menos 3 es igual a x, antes de hacer ninguna cosa voy a ver si puedo operar. 00:07:50
Tengo que operar a ambos lados de la igualdad. 00:08:06
Entonces, en este primer miembro de la igualdad sí que puedo operar porque 3x no lo voy a poder ni sumar ni restar, no voy a poder operar con él, pero veo que tengo 1 menos 3. 00:08:09
Aquí sí puedo hacer algo, yo sí puedo sumar, perdón, sí que puedo restar 1 menos 3, ¿vale? Y me quedaría entonces 3 menos 3x menos 2 es igual a x. 00:08:23
No he movido nada, simplemente he simplificado términos. Antes tenía tres términos a este lado de la igualdad y ahora solo tengo dos. Al otro lado haríamos lo mismo, en este caso es que no podemos porque solo tengo una x. 00:08:39
Lo siguiente que me dice es que voy a mover los términos de un lado a otro de la igualdad para dejar la incógnita sola a un lado y los números a otro. 00:08:52
Si cojo este ejemplo que tengo aquí, pues lo que se trata es de yo tengo 3x menos 2 es igual a x, quiero juntar todas las x, por eso voy a mover. 00:09:05
cómo se mueven los términos de un lado al otro de la igualdad, siempre con la operación contraria. 00:09:18
¿Qué es lo que me interesa mover? Pues en este caso quiero dejar sola a la x, así que este menos 2 lo quiero mover al otro lado, ¿vale? 00:09:24
¿Cómo va a pasar con la operación contraria? Si aquí está restando, va a pasar sumando, ¿vale? 00:09:35
Lo mismo voy a hacer con esta x, la quiero juntar con las otras. Así que lo que hago es que aquí estaría sumando y pasará restando. Así que después de hacer estos movimientos nos ha quedado que 3x menos x es igual a 2. 00:09:42
Vuelvo a simplificar, vuelvo a operar ahora, ya sí puedo aquí. 00:10:10
En este primer miembro tendríamos 3x menos x, 2x es igual a 2. 00:10:14
Ahora ya podemos obtener la solución, ¿por qué? 00:10:21
Porque ya la tenemos despejada, tenemos a la x sola a un lado de la igualdad y al otro lado los números. 00:10:24
Voy a tener que quitar este 2 porque quiero saber cuál es el valor de una sola x, ¿vale? 00:10:34
Así que este 2 está multiplicando a la x. ¿Cómo va a pasar al otro lado? Dividiendo. Así que tendríamos que x finalmente va a ser 2 que teníamos ya aquí en este lado entre 2 porque este 2 pasa dividiendo. 00:10:39
Así que al final x va a ser 1. La solución de mi ecuación es x es igual a 1. Finalmente podemos comprobar esa solución. No siempre se hace, pero siempre es interesante poder hacerlo. 00:11:04
Así que, ¿qué es lo que hago? Coger mi ecuación inicial que era esta de aquí arriba, 3x más 1 menos 3 es igual a x y ahora lo que hago es sustituir la x de manera que donde antes tenía x, ahora voy a poner el valor que yo he hallado. 00:11:26
Es un poco lo mismo que hacíamos cuando queríamos hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio. 00:11:52
Yo te daba para qué valor quería que me lo calcularas y ahora lo que pasa es que tú has hallado ese valor. 00:12:03
Quiero que se cumpla esta igualdad y quiero saber cuánto tiene que valer x. 00:12:10
¿Vale? Así que hacemos un poco lo mismo. Sustituimos donde haya una x, voy a poner el valor que hemos hallado, en este caso, 1. 00:12:15
¿Vale? Y ahora operamos. Tengo una operación que puedo comprobar perfectamente. 00:12:25
Primero, 3 por 1 es 3, más 1 menos 3 es igual a 1. 3 más 1 es 4, menos 3 es 1, es igual a 1. 00:12:39
Efectivamente, hemos resuelto bien la ecuación porque se cumple la igualdad. 00:12:52
Vamos a ver una serie de ecuaciones muy sencillas para ver cómo movemos los términos de un lado a otro de la igualdad 00:13:01
y ver las posibles soluciones que podemos obtener. 00:13:08
Bien, tenemos un primer ejemplo en el que tengo 4x es igual a 3x más 5. 00:13:12
Si nos acordamos de los pasos para la resolución de ecuaciones, 00:13:18
En primer lugar, tendríamos que resolver paréntesis. No tenemos denominadores tampoco. Lo siguiente que haríamos sería simplificar las expresiones. Es decir, a un lado cada miembro operaríamos para simplificarlo. 00:13:22
En este caso tampoco podemos porque en el primero solo tenemos 4x y en el segundo 3x más 5. 00:13:38
Yo nunca puedo sumar un monomio con un número, no puedo sumar un monomio que tenga una parte literal de otro que tenga otra distinta. 00:13:45
Esto siempre se cumple en cualquier expresión algebraica, por eso primero empezamos viendo los monomios, 00:13:59
luego los polinomios y ahora ya vamos a por las ecuaciones. Como no podemos operar nada, 00:14:04
lo siguiente sería mover los términos. Así que vamos a mover el término que nos interesa. ¿Qué 00:14:11
nos interesa mover? Las x. Vamos a juntarlas todas y como veo que en el lado izquierdo, 00:14:17
en el primer miembro tengo 4x y en el segundo tengo 3x me voy a mover 3x a la izquierda para 00:14:25
que me queden las x en positivo que es lo que ocurre que aquí aunque aquí delante no lo ponga 00:14:36
siempre voy a tener un más vale no lo pone pero cuando no lo pones porque tengo un signo más que 00:14:44
quiere decir eso que estos tres equis las voy a mover con la operación contraria en este caso 00:14:52
como estaría sumando va a pasar restando así que empezamos copiando lo primero 4x ahora vamos a 00:14:58
a poner lo que acabamos de mover menos 3x y copiamos igual a 5 vale ahora realizamos esta 00:15:10
operación ahora ya si podemos porque tengo 4x menos 3x tienen la misma parte literal puedo 00:15:23
operar. 4x menos 3x es igual a 5. Así que nuestra solución es x igual a 5. ¿Qué quiere decir eso? 00:15:30
Que si x toma el valor 5 se cumple la igualdad. Esto lo podríamos comprobar. Es muy fácil hacer 00:15:43
la comprobación. Cogemos la ecuación inicial 4x más es igual a 3x más 5 y hacemos como cuando 00:15:51
queríamos hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio. Donde haya una x voy a poner 00:16:01
un 5 en este caso. Así que 4 por x, pongo entonces un 5, es igual a 3 por 5 otra vez más el 5 de mi 00:16:07
ecuación. Resolvemos, 4 por 5 es 20, es igual a 3 por 5, 15 más 5, así que 20 efectivamente es igual 00:16:23
a 20. Esto es la comprobación de que hemos resuelto bien nuestra ecuación, ¿vale? Porque vemos que 00:16:39
efectivamente la igualdad se cumple. Una primera solución podría ser, como en este caso, que nos 00:16:52
ha dado un número entero. Vamos a ver un segundo ejemplo, a ver qué nos ocurre. En este caso tengo 00:17:00
2 menos 8x igual a menos 5x. Me pasa como antes, no puedo operar, así que voy a ver qué término 00:17:07
tengo que mover voy a mover menos 8x al lado derecho en este caso vale y miro el signo que 00:17:15
tengo de delante veo que tengo un menos así que para moverlo al otro lado voy a poner voy a moverlo 00:17:29
y quedará al otro lado en sumando así que tengo 2 es igual a menos 5x que no se ha movido y menos 00:17:37
8 x que hemos dicho que va a pasar sumando ahora ya podemos operar vamos a poner este un color para 00:17:49
que nos demos cuenta que era ese 8 x vale ahora ya podemos operar tengo que 2 es igual a menos 00:17:57
5 más 8 x me quedan 3 x ahora me toca despejar la x porque yo quiero conocer el valor de una 00:18:07
única x así que vamos a coger este este 3 vale y este 3 multiplica la equis recordemos que los 00:18:16
monomios la relación entre un coeficiente y su parte literal es de multiplicar es de producto 00:18:28
así que como está multiplicando a la equis pasa al otro lado dividiendo siempre con la operación 00:18:35
contrario de manera que nos queda 2 partido de 3 y ese sería el valor de x no tengo que calcular 00:18:43
el valor numérico se queda en forma de fracción lo mismo que antes si quiero comprobarlo donde 00:18:58
haya una x voy a poner dos tercios y lo voy a hacer en la inicial vale por si acaso yo me hubiera 00:19:04
equivocado al cambiar, al mover los términos. Así que tengo 2 menos 8 por 2 tercios es igual a menos 00:19:12
5 por 2 tercios. Primero hacemos esta multiplicación y la del segundo miembro, así que tendríamos 2 00:19:26
menos 16 tercios es igual a menos 10 tercios. Ahora, en el primer miembro tendríamos que hacer 00:19:37
esta resta, un número entero menos una fracción. Recordemos que hacemos denominador común, 00:19:49
este 2 tendría de denominador 1, así que denominador que quiero, 3, entre el que tenía, 00:19:59
En este caso el 2 que es 1, 3 entre 1 a 3 y lo multiplico por el 2, 6 menos 16 es igual a menos 10 tercios y si resolvemos aquí tendríamos que menos 10 tercios efectivamente es igual a menos 10 tercios. 00:20:06
Vale, en este caso nos ha dado una solución en forma de fracción. Vamos a ver qué más soluciones podemos tener. 00:20:34
Vale, vamos a por el ejemplo 3 y en este caso en el primer miembro veo que sí que puedo operar, así que eso es lo primero que vamos a hacer. 00:20:48
Puedo sumar 1 más 3, 4 más 6x es igual a 2x más 4. 00:21:02
vale, ya no puedo seguir operando, ahora empezamos a mover, en este caso ya tenemos que mover las x hacia un lado y los números hacia el otro 00:21:13
bien, en el lado izquierdo tengo 6x y en el derecho tengo 2, así que lo que voy a hacer es mover 2x a la izquierda 00:21:27
¿por qué lo hago así? para que las x me queden en positivo, no pasa nada, me va a dar la misma solución 00:21:39
Lo que pasa es que siempre que tenemos menos x, pues al final ese menos nos lo olvidamos y por eso prefiero siempre ponerlas en positivo. Así que este va a pasar restando. 00:21:44
ahora cogemos el número 4 y lo vamos a pasar al otro lado 00:21:56
en este caso nos va a pasar igual que antes 00:22:04
no tengo signo delante es porque es un más 00:22:07
así que pasará restando 00:22:11
así que después de estos movimientos tendríamos 00:22:15
menos 6x menos 2x es igual a 4 que no se ha movido menos el 4 que viene del primer miembro. 00:22:19
Y ahora ya operamos. 6x menos 2x me daría 4x y 4 menos 4, 0. Así que x es igual a, vale, me vuelve a pasar lo mismo de antes. 00:22:40
Tengo 4x pero quiero averiguar el valor de una sola 00:22:58
Así que vamos a coger este 4 que está multiplicando a la x y va a pasar al otro lado dividiendo 00:23:03
Así que tengo 0 entre 4 y 0 entre 4 es 0 00:23:11
Es muy importante que el número que multiplique a la x nos fijemos siempre que al otro lado pasa dividiendo, que a veces nos equivocamos y la liamos. 00:23:25
Si yo quisiera comprobar, pues haríamos lo mismo que antes, ¿vale? 00:23:37
Vamos a hacerlo una vez más. 00:23:43
1 más 6, cuando llegue a la x pongo el valor de la solución, lo que hemos hallado. 00:23:46
Más 3 es igual a 2 por 0 más 4. 00:23:55
1 más 6 por 0 es 0. 00:24:02
Más 3 es igual a 2 por 0 es 0 más 4. 00:24:06
1 más 3 es 4 y 4 es igual a 4. 00:24:12
Así que efectivamente también la hemos hecho bien. 00:24:16
¿Veis? En este caso nos da 0. 00:24:19
Hay que tener cuidado, porque ahora vamos a ver un caso muy parecido, pero que la solución es bastante diferente. 00:24:20
Bien, en el ejemplo 4 tenemos 6x es igual a 6x más 3. 00:24:33
Es también muy sencillita y vamos a hacer lo mismo que antes, agrupar al mismo lado. 00:24:37
No puedo operar, así que 6x voy a pasarla, en este caso, pues como estaría sumando, pasa restando. 00:24:42
¿Vale? Tengo a este lado, en el primer miembro, tengo 6x que no hemos movido, ¿vale? Y menos 6x que viene del otro miembro de la ecuación. 00:24:54
vale así que tengo 6x menos 6x 0x es igual a 3 muy importante ponerse 0 vale si no lo ponemos 00:25:12
entonces estaríamos diciendo que x es igual a 3 y eso es mentira 0x es igual a 3 que es lo que 00:25:24
ocurre que ahora este 0 pasaría como ya hemos visto antes dividiendo y qué pasa que no tengo 00:25:31
solución. Esto no tiene solución. Que x sea igual a 3 partido de 0 decimos que no tiene solución y 00:25:43
lo veremos escrito como s, s. ¿Vale? Para simplificar. ¿Por qué no tiene solución? Porque no hay ningún 00:26:05
valor de x que multiplicado por 0 me dé 3. Cualquier número que yo multiplique por 0 me va a dar 00:26:14
siempre 0 nunca me va a dar 3 por eso decimos que el sistema que este esta ecuación no tiene 00:26:21
solución es parecido al caso anterior si os dais cuenta pero en el caso anterior 0 estaba en el 00:26:27
numerador y si no tengo nada que repartir pues a cuánto vamos a tocar a nada a 0 pero en este 00:26:39
caso no si tengo para repartir pero no tengo con quién así que no hay solución vale es muy 00:26:46
Importante, por eso os digo que pasemos bien el número que está multiplicando a la x. 00:26:54
Vale, y finalmente tendríamos este ejemplo en el que tengo 3x más 4 es igual a 2x más 4 más 3. 00:27:02
Vale, en el primer miembro no puedo operar, tendríamos 3x más 4 es igual a, en este segundo sí que puedo, 00:27:13
Tengo 2x que lo puedo sumar a x, así que tendríamos también 3x más 4. 00:27:24
Lo siguiente es que empecemos a mover, ¿vale? 00:27:35
Cogemos este 3x, por ejemplo, y lo movemos al otro lado de la igualdad. 00:27:39
Como está sumando, pasa restando. 00:27:49
Y vamos a coger el 4 y lo vamos a pasar al otro lado de la igualdad. 00:27:52
Este 4 está sumando, así que pasa restando. 00:28:03
Así que tenemos en un lado de la igualdad 3x que no se ha movido menos 3x que viene del lado de la derecha es igual a 4 que no se ha movido. 00:28:08
4 menos 4. Y ahora al operar lo que nos pasa es que 3x menos 3x es 0x y esto tiene que ser igual a 4 menos 4 y 4 menos 4 también es 0. 00:28:25
Y en este caso nos pasa lo contrario que en el ejemplo anterior. Tiene infinitas soluciones que solemos dejar como ys para no hacerlo tan largo. 00:28:41
¿Por qué tiene infinitas soluciones? 00:29:05
Porque cualquier valor de x va a hacer que se cumpla la igualdad, ¿vale? 00:29:07
¿Por qué? Porque en este caso tengo 0 por 1, 0, 0 es igual a 0. 00:29:11
Si x vale 1000, 0 por 1000 es 0, también se cumple. 00:29:17
Entonces cualquier solución, cualquier valor que le demos a x va a cumplir la igualdad 00:29:21
y por tanto hay infinitas soluciones. 00:29:27
Subido por:
Yolanda P.
Licencia:
Dominio público
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Fecha:
15 de mayo de 2021 - 17:45
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
29′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
128.08 MBytes

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