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Correccion del examen de 4ºA-SEMEJANZA Y TRIGONOMETRIA-21-1-22 - Contenido educativo

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Subido el 25 de enero de 2022 por Pablo V.

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Hola a todos, vamos a comenzar a corregir el examen de semejanza y trigonometría que tuvimos el viernes pasado. 00:00:01
El primer ejercicio decía, indica cuáles de estos pares de triángulos son semejantes, razona tu respuesta. 00:00:10
Antes de nada vamos a comenzar a repasar cuáles son los criterios de semejanza de triángulos que los tenemos aquí delante. 00:00:18
y que dice, el primero, que dos triángulos son semejantes cuando dos ángulos son iguales. 00:00:25
El segundo dice que dos triángulos son semejantes cuando sus tres lados son proporcionales. 00:00:33
Y el tercer criterio dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual 00:00:39
y los lados que forman dicho ángulo son proporcionales. 00:00:45
Bien, entonces, cuando alguno de estos, de nuestros pares de triángulos, cumplan un criterio, 00:00:48
sabremos que son semejantes y si no cumplen ninguno de los criterios 00:00:53
pues entonces no serán semejantes. 00:00:58
Comenzamos con el primer par de triángulos, los triángulos del caso A, ¿vale? 00:01:00
Entonces, ¿qué tenemos aquí? Tenemos dos pares de triángulos 00:01:08
de los cuales conocemos, de cada uno de ellos conocemos dos ángulos, ¿vale? 00:01:11
En el triángulo de la izquierda tenemos un ángulo de 39 grados y otro de 42 grados 00:01:17
Y en el de la derecha, un ángulo de 42 grados y otro de 39 grados, es decir, tienen dos ángulos iguales, luego son semejantes por el primer criterio, ¿vale? Tienen dos ángulos iguales. 00:01:21
Bien, voy a parar un momento para hacer una cosa, ya he puesto los puntos para no torcerme. Bien, vamos con la siguiente pareja de triángulos. 00:01:56
¿Qué tenemos en estos triángulos? Tenemos, en el de la derecha, conocemos dos lados y un ángulo. 00:02:15
Luego parece que el criterio candidato va a ser el de un ángulo igual y los lados que forman dicho ángulo proporcionales. 00:02:25
En el de la derecha conocemos dos ángulos y dos lados. 00:02:30
Y nos falta este ángulo. Pero este ángulo, ¿cuál va a ser? 00:02:36
Alfa va a ser igual a 180, o si lo queremos mejor, vamos a decir que 50 grados más 68 grados más alfa va a ser igual a 180 grados, ¿vale? 00:02:38
Por lo tanto, alfa es igual a 180 menos 50 menos 68. 00:02:55
Y eso es igual a 130 menos 68, eso son 62 grados. 00:03:05
Luego este ángulo de aquí son 62 grados, como hemos dicho, 62 grados. 00:03:17
Por lo tanto, ahora tenemos dos ángulos iguales en los dos triángulos. 00:03:24
Y conocemos los lados que definen dicho ángulo. Bien, pues ahora tenemos que ver si existe una proporción entre los lados, ¿vale? 00:03:27
Vale, para saber si son semejantes, para saber si hay una proporción, tenemos que ver si el lado mayor de aquí es proporcional al lado mayor del otro triángulo y el lado menor es proporcional al otro lado menor. 00:03:43
Es muy importante que nos fijemos en este ángulo cuál es el lado mayor, ¿vale? Para relacionarlo con su homólogo correspondiente. En este ángulo de la izquierda, el lado mayor son 4,5 centímetros y el lado mayor en este triángulo de aquí es 5,5 centímetros, ¿vale? 00:04:06
Luego, si hubiera proporción, 4,5 sería a 5,5 como el lado menor de la izquierda, 3,6, es al lado menor de la derecha, ¿vale? 4,4. 00:04:28
Y aquí voy a poner una interrogación, porque yo no sé si eso es verdad o es mentira. 00:04:52
Ya vamos a ver fácilmente que eso no puede ser verdad, porque en la razón de la izquierda, el numerador, no, no, no, sí que puede ser, ¿no? 00:05:00
Vamos a ver si es posible. 00:05:14
Entonces vamos a hacer el producto de medios igual al producto de extremos, 00:05:15
y esto es 4,5 por 4,4, es decir, el producto en cruz, vamos a ver cuánto da. 00:05:18
Esto es igual a que el producto de medios y el producto de extremos lo vamos a hacer independientemente. 00:05:26
5,5 por 3,6. 00:05:33
Y eso, si usamos la calculadora, nos da, vamos a ver, 4,5 por 4,4, eso es 19,8, 19,8. 00:05:38
Y por otro lado, 5,5 por 3,6 es igual a 19,8, 19,8. 00:05:52
Es decir, que son iguales, por lo tanto, los triángulos son semejantes por el tercer criterio, ¿vale? Es decir, tienen un ángulo igual y los dos lados son proporcionales, ¿de acuerdo? 00:06:02
Bien, hay gente que en vez de hacer el producto de medios y ver si es igual al producto de extremos, lo que hacéis es con la calculadora esta división y veis si esta división es igual. 00:06:36
Es lo mismo, ¿vale? Se puede hacer de las dos maneras. 00:06:46
Vamos con el tercer triángulo. ¿Qué tenemos en el tercer triángulo? Algo parecido. 00:06:49
Tenemos por un lado un triángulo del que conocemos un ángulo y los tres lados, y otro triángulo del que conocemos dos ángulos y dos lados. 00:06:55
Pero este ángulo de aquí es muy fácil ver que será 180 menos 85 y 180 menos 85 menos 95, perdón, es 95 grados. Esto es 95 grados. 85 más 90 es 180. 00:07:04
Luego ya podemos ver que vamos a poder aplicar el tercer criterio de aquí también, porque tenemos un ángulo igual y conocemos los dos lados, las longitudes de los dos lados que forman dichos ángulos, ¿vale? 00:07:27
Entonces, ahora, ¿cuál es el lado mayor de este ángulo? Es 4 centímetros. ¿Cuál es el lado mayor de este ángulo? Es 2,5. Pues vamos a ver si existe proporción. Es importante que sepáis que una proporción es una igualdad de razones. 00:07:42
Igualdad de razones. ¿Qué razones voy a poner aquí? Voy a ver si el lado mayor del ángulo de la izquierda, está todo en centímetros, no pongo las unidades, pero si no estuvieran en las mismas unidades habría que corregir. 00:08:00
4 centímetros es a 2,5 00:08:16
como 3,2 00:08:19
3,2 es a 2 00:08:24
es importante que os fijéis siempre 00:08:27
quién es el lado mayor en cada caso 00:08:29
para que lo relacionéis 00:08:32
pongo aquí una interrogación porque no sé si eso es igual 00:08:34
entonces hago producto de medios 00:08:37
4 por 2 00:08:39
eso es 8 00:08:41
y vamos a ver si 2,5 00:08:44
por 3,2 es 8 también, 2,5 por 3,2 es 8, ¿vale? Es 8. Luego, son semejantes, son semejantes 00:08:46
también por el tercer criterio. Y con esto estaría terminado el tercer ejercicio. 00:09:02
No, el tercer ejercicio no, el primero, perdón. El primero. 00:09:18
Bien, vamos con el segundo ejercicio que dice así. 00:09:27
Para medir la altura de una casa, un chico de 165 centímetros de altura se sitúa a 1,5 metros de la abeja que impide el acceso a la casa. 00:09:31
La abeja tiene una altura de 3,5 metros. 00:09:39
Desde esa posición el chico ve alineada la parte más alta de la abeja y la parte más alta de la fachada del edificio. 00:09:42
¿Cuánto mide la casa si desde la abeja a la casa hay 25 metros? 00:09:47
Vamos a comenzar haciendo un breve esquema, una representación. 00:09:52
Este sería el suelo, aquí tendríamos nuestro edificio, vamos a dibujar unas ventanas, 00:10:01
y esto es lo que nos están preguntando a nosotros, ¿cuánto mide la altura de este edificio? 00:10:11
Nos dicen que a 25 metros hay una verja, eso serían 25 metros. 00:10:16
¿Vale? Y estos son 3,5, porque mide 3,5 de altura, ¿vale? Y dice que un chico de 1,65 metros de altura, 1,65, mide, se sitúa a 1,5 metros, si no me equivoco, ¿no? 00:10:24
1,5 metros 00:10:51
1,5 metros 00:10:55
Y entonces, en esa posición, él ve alineados a la verja y al edificio 00:11:03
Bien, pues este ejercicio se puede hacer de dos maneras distintas 00:11:12
Se puede hacer por semejanza de triángulos o se puede hacer por trigonometría 00:11:17
Vamos a aplicar primero, vamos a hacerlo en primer lugar, por semejanza. 00:11:22
Y para ello tenemos que ver qué dos triángulos semejantes tenemos, ¿no? 00:11:27
Los triángulos semejantes, ¿cuáles serían? 00:11:34
Voy a cambiar de color. 00:11:38
Los triángulos semejantes serían estos dos de aquí, ¿vale? 00:11:42
Ese triángulo pequeño y luego el triángulo grande, ¿no? 00:11:49
Que sería este otro triángulo, ¿no? 00:11:57
Bien, entonces, voy a representar aquí las dimensiones de los dos triángulos. 00:12:06
Por un lado, el triángulo grande. 00:12:13
¿Y por qué son semejantes? 00:12:17
Porque, según los criterios que acabamos de ver, tienen un ángulo en común, 00:12:19
que sería ese ángulo, este ángulo alfa lo tienen en común los dos triángulos y tienen también como ángulo igual el ángulo recto de 90 grados, ¿vale? 00:12:23
Si esto es alfa, ¿vale? Este sería el ángulo que mide 25 más 1,5, eso es igual a 26,5, ¿vale? 00:12:39
Hemos trazado la horizontal desde los ojos, ¿vale? Para tener de esa manera los dos triángulos, rectángulos. 00:12:56
Entonces aquí tendríamos el triángulo grande que tiene un cateto horizontal de 26,5 metros. 00:13:05
¿Cuánto mide el cateto opuesto? 00:13:12
Pues el cateto opuesto va a medir x menos 1,65 metros. 00:13:14
¿Qué es la altura del chico? 00:13:23
Este es el cateto opuesto. 00:13:25
Este ángulo no lo conozco. 00:13:29
Pero sé que ese triángulo va a ser semejante a este otro triángulo de aquí, que está formado por este triángulo pequeño de aquí, que tiene de cateto horizontal 1,5 metros y de cateto vertical, ¿cuánto va a tener? 00:13:32
Pues va a tener 3,5, que es la altura de la abeja, menos 1,65, ¿vale? Voy a eliminar este ángulo de aquí porque está despistando, esto lo voy a eliminar de aquí, este dibujo, ¿vale? 00:13:54
alfa sería el ángulo que está ahí metido 00:14:09
lo voy a poner de color, no sé de qué color ponerlo 00:14:16
rojo, para que se vea bien 00:14:20
ese no se ve muy bien 00:14:22
tampoco, así se ve muy bien 00:14:25
bueno, alfa sería ese ángulo 00:14:28
bien, entonces 00:14:31
estábamos diciendo que en el triángulo pequeño 00:14:34
la altura, el cateto vertical 00:14:40
¿Cuánto va a ser? Va a ser 3,5, que es la altura de la abeja, menos la altura del chico 00:14:42
Luego va a ser, por tanto, 1,85 00:14:47
Perdón, que le he puesto esto de color rojo, cuando no hace falta 00:14:54
¿Vale? Esto es así y así 00:15:00
Luego eso es 1,85, porque tenemos 3,5 metros menos 1,65 es igual a 1,85 metros, ¿vale? 00:15:04
Es decir, esta altura de aquí es la altura de la abeja menos la altura del chico que observa, ¿vale? 00:15:22
Bien, entonces ahora tenemos dos triángulos semejantes, ¿por qué? Porque tienen dos ángulos iguales, dos ángulos iguales, este es el triángulo O, vamos a dar nombres, OAB, este es el triángulo OAB, 00:15:30
B. Y este es el triángulo OC, vamos a llamar C a ese punto, ¿vale? Ha quedado un poco feo. OCD. Ese es el triángulo OCD. ¿Vale? Tienen, el punto O lo tienen en común, ¿vale? 00:15:50
Por lo tanto, el ángulo alfa es el mismo, este ángulo es el mismo, y como los dos catetos son verticales y este es un ángulo recto, pues tienen dos ángulos iguales, por lo tanto cumplen uno de los criterios de semejanza. 00:16:12
Pues aquí podemos establecer, como son semejantes, sabemos que hay proporcionalidad entre sus lados. 00:16:29
Y como nosotros queremos saber cuánto vale x, haremos intervenir de algún modo este cateto de aquí. 00:16:37
Lo podemos hacer corresponder con su cateto homólogo. 00:16:44
Entonces yo puedo decir x menos 1,65 es, a su homólogo, que es 1,85 metros, todo en metros, ¿vale? 00:16:48
¿Cómo? ¿Qué otras relaciones puedo establecer? ¿Qué otras razones puedo establecer? 00:17:00
Bueno, yo conozco el cateto horizontal en los dos triángulos, ¿vale? 00:17:08
Entonces voy a poner aquí, como en el numerador he puesto un cateto del triángulo grande, aquí tengo que poner cateto del triángulo grande, no me confundo. 26,5 es a 1,5. ¿De acuerdo? 00:17:12
Bien, entonces, ¿cómo se despeja esto? El 1,85 pasa multiplicando, ¿no? Entonces esto sería x menos 1,65 es igual a 26,5 por 1,85 dividido entre 1,5, ¿vale? 00:17:28
Esto lo podemos calcular o pasamos directamente el 1,65 al otro lado. Es igual a 1,65 más 26,5 por 1,85 dividido entre 1,5. 00:17:53
Vale, y aquí ponemos ya el valor numérico que nos da 00:18:13
X es igual, lo tengo por aquí hecho, a 34,34,3 periodo 00:18:18
Y esto es todo metros, ¿vale? 00:18:28
Esto son todo metros 00:18:32
Y este ejercicio ya estaría resuelto 00:18:33
Bien, como ha habido gente que lo ha hecho por trigonometría 00:18:35
Vamos a ver cómo se haría esto por trigonometría. 00:18:40
Bien, para hacerlo por trigonometría hay muchas maneras, pero se podría definir, por ejemplo, en este triángulo, 00:18:44
se podría decir que la tangente de alfa es igual al cateto opuesto 1,85 partido por el cateto contiguo. 00:18:53
Y esto es igual a 1,85 dividido entre 1,5 es igual a 1,23 periodo. 00:19:09
Y incluso no haría falta sacar el ángulo, pero si se quisiera se podría hacer el ángulo. 00:19:26
Haciendo el arco tangente, nos daría, a ver, shift, tan, ans, 50, alfa es igual al arco tangente de 1,23 periodo. 00:19:34
Y esto da 50,9644 grados, ¿vale? Con cuatro decimales. 00:19:57
No haría falta, pero bueno. 00:20:08
Entonces ahora lo que podemos decir es, si definimos, como el ángulo es el mismo, 00:20:11
si aquí definimos la tangente en el triángulo grande, ¿cuánto sería la tangente en el triángulo grande? 00:20:16
Tiene que valer lo mismo, tangente de alfa es igual a x menos 1,65 partido por, que es cateto opuesto, partido por cateto adyacente, 26,5. 00:20:22
Y como es el mismo ángulo, tiene que tener la misma tangente, 1,23 periodo, ¿vale? Bueno, y de aquí se podría despejar fácilmente, es decir, x menos 1,65 es igual a 26,5 por 1,23 periodo, ¿vale? 00:20:36
Y esto es igual a, por 26,5 es igual a 32,68. Esto es 32,68. Por lo tanto, x es igual a 32,68 más 1,65. 00:20:59
Y nos da lo mismo. 34,3 periodo. Hay que poner siempre dos unidades. Es lo mismo, es el mismo razonamiento. Habría otros similares, pero con ese valdría. 00:21:24
Bien, el tercer ejercicio decía, razonar si los siguientes planteamientos son o no correctos. 00:21:41
Nos daban un triángulo, el de la izquierda, que es un triángulo no rectángulo, ¿vale? 00:21:46
Y en el cual nos dicen que un lado vale 3, otro lado vale 4 y otro lado vale 6. 00:21:54
Y que el coseno de alfa, según este ejercicio, vale 4 sextos. 00:22:01
Entonces, aquí ha habido algunos cuantos que os habéis equivocado 00:22:07
Algunos de vosotros habéis dicho, sí, es correcto, porque en este ángulo 00:22:12
El cateto adyacente vale 4 y la hipotenusa vale 6 00:22:16
Pero es totalmente incorrecto, ¿por qué? 00:22:23
Porque este triángulo no es rectángulo 00:22:26
Primero, se ve a simple vista 00:22:29
Pero como no nos debemos fiar de las representaciones 00:22:31
Vamos a comprobar que este triángulo no es rectángulo. ¿Y eso cómo lo sabemos? Pues, si el triángulo fuera rectángulo, el lado mayor, que es 6 elevado al cuadrado, debería ser igual a la suma de los otros dos lados al cuadrado. 00:22:35
Y esto, en este ejercicio, no se cumple, porque 6 al cuadro es 36, y 36 es mayor que 9 más 16, que es 25, ¿vale? 00:22:59
Por lo tanto, el triángulo no es rectángulo, no es rectángulo. 00:23:14
¿Y qué pasa si el triángulo no es rectángulo? 00:23:20
Que no hay hipotenusa, ¿vale? 00:23:23
No hay hipotenusa y no hay catetos. No hay hipotenusa ni catetos, sino simplemente lados. Tenemos lados. 00:23:27
Y no se puede definir para este ángulo de aquí la razón trigonométrica del seno y el coseno como el cateto opuesto partido por la hipotenusa. 00:23:44
no se puede, habría que recurrir a otros métodos 00:23:55
habría que calcular cuánto vale 00:23:59
tendríamos que trazar la altura 00:24:01
bueno, no la altura, sino el lado perpendicular 00:24:04
el lado perpendicular 00:24:08
voy a borrar todo esto que lo he dibujado un poco mal 00:24:11
si nosotros trazábamos 00:24:14
habría muchas maneras de calcular el seno y el coseno 00:24:21
y las razones trigonométricas 00:24:25
pero una de ellas sería trazar por aquí una perpendicular y centrarnos en este triángulo de aquí. 00:24:26
Pero claro, este lado sí que nos valdría 4, pero ya 3 no nos valdría y 6 tampoco nos valdría, ¿vale? 00:24:34
Por lo tanto, la afirmación A es falsa. 00:24:40
Bien, ahora vamos con la número B, la afirmación B, que nos dice que la tangente de beta es 4 partido por 6. 00:24:43
Este triángulo sí que es rectángulo. ¿Por qué? Primero porque no lo representan. 00:24:54
Y segundo porque nos han representado este ángulo con esta escuadra pequeñita. 00:24:58
Pero aparte podríamos comprobarlo, que es lo más correcto, porque lo que mandan son las medidas. 00:25:04
10 al cuadrado sí es 6 al cuadrado más 4 al cuadrado, que es 36 más 16. 00:25:09
No, esto no está bien. 00:25:24
¿Vale? Es decir, esto no me había fijado yo cuando estaba corrigiendo, ¿vale? Había dado por supuesto que esta hipotenusa estaba bien calculada, es decir, aquí ya no sabemos de qué fiarnos, porque este triángulo no está bien definido. 00:25:34
Por un lado nos dicen que esto es rectángulo, que este triángulo es rectángulo, pero por otro lado la hipotenusa no cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto esta medida tiene que estar mal, o alguna de las otras medidas. 00:25:52
Pero bueno, suponiendo que las medidas estuvieran bien, ¿vale? Es decir, ¿por qué digo que eso no está bien? Porque 6 al cuadrado es 36, 4 al cuadrado es 16, y esto ¿cuánto suma? 6 y 6, 12. Y me llevo una, 3 y una 4, y una 5, ¿vale? Que eso es distinto de 10 al cuadrado, que eso es 100, ¿vale? 00:26:07
Luego aquí no se está cumpliendo el teorema de Peter Wallace 00:26:35
Por lo tanto, el triángulo tiene un error 00:26:38
Pero bueno, suponiendo que las medidas fueran las correctas 00:26:40
La tangente de beta, ¿cuál sería? 00:26:43
La tangente de beta sería cateto opuesto por cateto adyacente 00:26:47
Que sería 6 dividido entre 4 00:26:54
Y no 4 dividido entre 6, ¿vale? 00:27:00
Por lo tanto, tanto A como B son incorrectas, ¿vale? 00:27:03
Bien, vamos con el ejercicio número 4. 00:27:18
Bien, ¿qué dice el ejercicio número 4? 00:27:24
Dice, emplea tu calculadora para representar de manera aproximada los ángulos 71º y 36º sobre el primer cuadrante de la circunferencia goniométrica. 00:27:27
Representa también dónde se encuentran el seno y el coseno de cada ángulo. 00:27:37
Comprueba que el seno y el coseno, calculados con tu calculadora, coinciden aproximadamente con la lectura del papel milimetrado 00:27:40
Entonces, lo primero que tenemos que tener aquí muy en cuenta es que nos están diciendo que esto es el primer cuadrante de la circunferencia goniométrica 00:27:46
La circunferencia goniométrica, ¿qué radio tiene? Tiene un radio de 1 00:27:56
Luego aquí yo puedo poner 1, entonces cada una de estas divisiones va a ser una décima 00:28:01
Bien, pues entonces lo que tengo que hacer es usar mi calculadora para hallarme el seno y el coseno o simplemente el coseno de los ángulos que yo tengo que representar. 00:28:08
Yo tengo que representar 71 grados. Bien, pues calculo su coseno y eso es igual a 0,3255, aproximadamente 0,32. Voy a simplificar. 00:28:21
¿Vale? Y el coseno de 36 grados es aproximadamente igual a 0,80. 0,80. Bien, pues el ejercicio era tan fácil como venirse aquí y decir esto es 0,1, esto es 0,2, esto es 0,3. 00:28:34
Y si cojo dos rayitas, voy a hacer una ampliación, ¿vale? Voy a hacer una ampliación. Esto sería 0,1, 0,2, 0,3 y ahí estaría 0,32. Esto sería 0,32. 00:28:54
Y voy a dejar ya marcado el 0,80, que esto sería 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8. Estaría ahí. 0,8. Que eso es el coseno de 71. Ese es el coseno de 71 grados. ¿Vale? Y esto es el coseno de 36 grados. 00:29:14
Pues si el coseno de los ángulos que a mí me piden representar 00:29:39
Ya lo tengo representado aquí 00:29:44
¿Dónde estarán los ángulos? 00:29:46
Pues lo único que tengo que hacer es subir 00:29:48
Y para ello voy a ver si yo lo hago bien 00:29:50
A ver 00:29:53
Si yo pincho ahí 00:29:55
Y ahora pincho con el control pisado 00:29:57
A ver, así 00:30:01
Vale, ya he subido 00:30:07
Y ahora pincho ahí también 00:30:09
Y ahora subo en vertical 00:30:10
vale, por lo tanto, y si ahora pincho aquí 00:30:13
y trazo una recta 00:30:16
vale, y ahora vuelvo a pinchar 00:30:20
y ahora trazo otra vez 00:30:26
esto, de ahí 00:30:37
ahí, vale, bien, entonces 00:30:43
voy a seleccionar estas dos líneas y las voy a poner 00:30:48
de propiedades 00:30:52
le voy a dar estilo de trazo 00:30:57
de guiones 00:31:00
de este estilo, a ver, como queda así 00:31:02
un poquito más ajustado, más pequeñito 00:31:08
queda más bonita esa, vale 00:31:13
bien, entonces, este sería mi ángulo 00:31:14
de 36 grados 00:31:18
vale, me lo está cogiendo esto 00:31:22
ahora 00:31:29
como intermitente 00:31:31
estilo de trazo, color de trazo 00:31:33
vale, no está 00:31:35
cogiendo mal 00:31:37
pero bueno, vamos a cambiarlo, estilo de trazo 00:31:38
no está cogiendo 00:31:41
en guiones 00:31:44
vale, no lo quiero en guiones 00:31:48
lo quiero normal, vale 00:31:54
y esto es 71 grados 00:31:55
bueno 00:31:58
pues así estaría, así de sencillo 00:32:03
entonces ahora simplemente 00:32:05
Voy a comprobar que también con mi representación, o sea, voy a hacer una segunda representación y voy a ver que si yo tiro desde aquí la horizontal, ¿vale? ¿Dónde voy a llegar? Vamos a calcular el seno. Ahí estaría en el seno de mis dos ángulos. Vamos a verlos. 00:32:07
Voy a cambiar esto a guiones, a unos guiones pequeñitos, este también, para que se vea mejor, para como una línea auxiliar, ¿vale? 00:32:30
Entonces, ¿qué ángulo sería este? Bueno, pues si esto es desde arriba, esto sería 0,9, y aquí estaríamos aproximadamente en 0,95, ¿vale? 00:32:46
0,95 00:33:09
y lo mismo estaríamos 00:33:11
ahí aquí, ¿cómo sería? 00:33:18
esto es 0,9, 0,8 00:33:19
0,7, 0,6 00:33:21
aproximadamente, esto sería aproximadamente 00:33:23
0,6 00:33:25
vamos a comprobar cuánto es el 00:33:26
seno de mis ángulos 00:33:30
para ver si coincide con esas lecturas 00:33:32
¿vale? entonces 00:33:34
voy a poner aquí 00:33:36
los senos 00:33:46
seno de 71 grados 00:33:47
es aproximadamente igual a 0,94, ¿vale? 00:33:50
Y yo, leyendo así, con todos mis errores, me ha salido 0,95. 00:33:59
Luego parece que es muy correcto. 00:34:04
Esto lo estoy haciendo con la calculadora 00:34:07
y esto lo estoy haciendo con un papel milimetrado 00:34:08
que puede haber muchos errores, ¿vale? 00:34:13
Y el seno de 36, según la calculadora, ¿vale? 00:34:15
Me da aproximadamente igual a 0,58, 0,587, ¿vale? Bien, y eso, pues 0,587 coincide bastante bien con lo que es mi lectura, que sería el seno, el seno de 36 grados es aproximadamente 0,6 00:34:19
y el seno de 71 grados es aproximadamente 0,95, ¿vale? 00:34:45
¿Por qué? ¿Por qué nos ha salido esto así? 00:34:53
Pues porque normalmente yo siempre dibujo el ángulo 00:34:55
y luego bajando sobre el eje de abscisas tengo los cosenos 00:34:59
y bajando o leyendo sobre el eje de ordenadas tengo los senos, ¿vale? 00:35:04
Este segmento es lo mismo que este. 00:35:11
Pues ahora lo hemos hecho al revés 00:35:13
Hemos marcado el coseno 00:35:15
Y hemos subido hasta la circunferencia 00:35:17
Y donde se cruzan 00:35:20
Tenía el ángulo 00:35:21
O he encontrado el ángulo 00:35:23
Y también así, continuando con esta lectura 00:35:24
He podido leer el seno y el coseno 00:35:28
¿Vale? 00:35:30
Eso era el ejercicio número 4 00:35:31
Así de sencillo 00:35:33
No era nada complicado 00:35:34
Algunos de vosotros no habéis sabido 00:35:35
Qué es lo que nos estaban pidiendo 00:35:38
Pero el ejercicio no era complicado 00:35:40
¿Vale? Ay, perdón, que estaba grabando, no me he dado cuenta. El quinto ejercicio nos dice, si el seno de un ángulo es 0,8, calcula el coseno de ese ángulo mediante la relación fundamental de la trigonometría. Una vez tengas el seno y el coseno, calcula la tangente por la relación que liga dichas razones. 00:35:42
Vale, apuntamos los datos. El dato es que el seno de alfa es igual a 0,8 y nos dicen que utilicemos la relación fundamental de la trigonometría. ¿Qué dice la relación fundamental de la trigonometría? La escribo así abreviada, ¿vale? RCT, aunque eso son siglas mías, ¿eh? Nadie lo aplica, no es algo conocido. 00:36:24
¿Qué dice la relación fundamental de la trigonometría? Que seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa es igual a 1. Por lo tanto, ¿qué voy a hacer? Sustituir el seno por el valor que me han dicho. 00:36:49
Es decir, en vez de seno de alfa escribo 0,8 al cuadrado más coseno al cuadrado de alfa, eso es igual a 1, ¿vale? ¿Cuánto es 0,8 al cuadrado? Es 0,64 más coseno al cuadrado de alfa es igual a 1. 00:37:04
Por lo que es lo mismo, coseno al cuadrado de alfa es igual a 1 menos 0,64. 00:37:27
Por lo que es lo mismo, coseno al cuadrado de alfa es igual a 0,36. 00:37:38
Por lo que es lo mismo, coseno al cuadrado de alfa es igual a la raíz cuadrada de 0,36. 00:37:45
nos quedamos solamente con la raíz positiva 00:37:53
aquí en este momento, como estamos trabajando solamente en el primer cuadrante 00:37:59
vamos a considerar solo la solución positiva 00:38:04
pero que sepáis que esto tendría dos soluciones, la positiva y la negativa 00:38:07
lo voy a poner 00:38:11
por lo tanto, coseno de alfa, ¿cuánto vale la raíz de 0,36? 00:38:13
vale 0,6 00:38:35
Ya tendría una de las cosas que me están pidiendo 00:38:36
Que era el coseno 00:38:40
Y ahora nos dice que calculemos la tangente 00:38:43
Por la relación que liga tangente con seno y coseno 00:38:45
¿Cuál es esa relación? 00:38:49
Que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido por el coseno de alfa 00:38:50
O lo que es lo mismo, el seno que vale 0,8 partido por 0,6 00:38:56
y eso podríamos multiplicar por 10 arriba y abajo y nos quedaría 8 entre 6 00:39:04
o lo que es lo mismo si lo simplificamos 4 tercios 00:39:10
la tangente de alfa ya se podría dejar así que es una expresión muy correcta 00:39:13
tangente de alfa es igual a 4 tercios porque es una fracción irreducible 00:39:17
y si se quiere dar en forma decimal se puede decir que tangente de alfa es igual a 1,3 periodo 00:39:22
Pero es más elegante dejarlo por su fracción irreducible. 00:39:29
Ese sería el quinto ejercicio, que tampoco era un ejercicio complicado. 00:39:35
Vamos con el sexto ejercicio, también muy fácil, que lo habíamos visto en teoría. 00:39:41
Es un ejercicio que puede ser un problema, pero también una parte de la teoría. 00:39:46
Dice, dibujo un triángulo equilátero de lado 2 y a partir de él calcula el seno y el coseno de los ángulos de 30 y 60 grados. 00:39:54
Vale, nos dicen que es de lado 2. 00:40:02
No nos dan unidades, pero tampoco nos hace falta, porque valdría para cualquier unidades que eligiéramos. 00:40:03
¿Qué es un triángulo equilátero? Es lo primero que tenemos que saber. 00:40:10
Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos los lados iguales. 00:40:13
Por lo tanto, como nos dicen que el lado es 2, pues marcamos 2, 2, 2. 00:40:17
¿Cuánto valen los ángulos de un triángulo equilátero? Como todos son iguales y los tres ángulos de un triángulo suman 180, 183 es igual a 60 grados. Todos los triángulos valen 60 grados. 00:40:22
De acuerdo, pero aquí me diréis muchos, no tengo triángulos rectángulos para poder aplicar las razones trigonométricas. 00:40:38
Vale, no pasa nada. Vamos a conseguir dos triángulos rectángulos. Voy a mover esto un poquito para acá. 00:40:46
¿Cuál se os ocurre? Pues el que dijimos en la teoría, cuando estuvimos viendo la teoría, eran estos dos triángulos. 00:40:54
Nosotros trazábamos la altura, ¿vale? Aquí la altura, y la altura me divide este lado horizontal en dos lados iguales de magnitud 1, ¿vale? Esto voy a marcar aquí el ángulo recto, porque ya es un ángulo recto, y si esto era 60 grados, ¿cuánto va a ser esto? Este ángulo de aquí, 30 grados. 00:41:02
Y ya tengo un triángulo rectángulo con treinta y sesenta grados, ¿no? Vale, empezamos por el seno de treinta. ¿Vamos a poder calcular el seno de treinta grados? 00:41:28
¿Qué sería? Desde aquí, el cateto opuesto 00:41:42
¿Lo conozco? Sí 00:41:46
Cateto opuesto partido por la hipotenusa 00:41:48
¿Vale? 00:41:52
¿Quién es el cateto opuesto al ángulo de 30 grados? Uno 00:41:55
Este lado de aquí, uno 00:41:58
¿Quién es la hipotenusa? 00:42:00
El lado opuesto al ángulo recto 00:42:03
¿Vale? Por lo tanto es 2 00:42:06
Ya tengo el seno de 30 grados 00:42:07
¿Cómo sería el coseno de 30 grados? 00:42:10
Es cateto adyacente o contiguo, se dice de las dos maneras, partido por la hipotenusa. 00:42:14
¿Quién es el cateto adyacente al ángulo de 30 grados? 00:42:22
Este lado de aquí, ¿vale? 00:42:26
Que lo vamos a llamar, ¿cómo lo vamos a llamar? X. 00:42:28
Normalmente se llama H la altura, pero para que no se confunda con la H la hipotenusa, lo voy a llamar X. 00:42:34
¿Vale? X. ¿Y cómo calculo X? Pues por el teorema de Pitágoras. Conozco la hipotenusa y un cateto. ¿Vale? Lo voy a dibujar aquí simplificado. Esto es X, esto es mi ángulo recto, esto vale 2 y esto vale 1. 00:42:38
Por lo tanto, aplico el teorema de Pitágoras, y ¿qué es lo que digo? 2 al cuadrado es igual a, porque esto es la hipotenusa al cuadrado, es igual a x al cuadrado más 1 al cuadrado, o lo que es lo mismo, 4 es igual a x al cuadrado más 1, o lo que es lo mismo, x al cuadrado es igual a 4 menos 1, que eso es igual a 3. 00:42:56
Por lo tanto, x es igual a raíz de 3, ¿vale? Bien, pues entonces, ya una vez que conozco el valor de x, el coseno de 30 grados, que es el cateto adyacente, que es x partido por la hipotenusa, que vale 2, es igual, ahora ya sustituyo x por su valor, es raíz de 3 partido por 2, ¿vale? 00:43:31
Pues ya tengo el seno de 30, que es lo que me estaban pidiendo, y el coseno de 30. Esa parte ya la tengo. ¿No? ¿Cómo se haría ahora el seno de 60 grados? 00:43:56
Seno de 60 grados. El seno de 60 grados, si me centro aquí, sería cateto opuesto partido por hipotenusa, es decir, x partido por 2, que eso es igual a raíz de 3 partido por 2. 00:44:13
Es decir, el seno de 60 vale lo mismo que el coseno de 30. 00:44:29
Y el coseno de 60, ¿qué sería? 00:44:33
El coseno de 60 es el cateto adyacente, que es 1 partido por la hipotenusa. 00:44:37
Es decir, 1 medio. 00:44:42
Es decir, el coseno de 60 vale lo mismo que el seno de 30. 00:44:44
¿Sí? 00:44:49
Pues con eso ya habríamos respondido todo nuestro ejercicio. 00:44:51
¿Vale? 00:44:56
También era sencillo. 00:44:57
No era un ejercicio complicado. El siguiente ejercicio era este de aquí. Nos dice, demuestra la siguiente identidad. 1 más tangente cuadrado igual a 1 partido por coseno cuadrado. 00:44:59
Y siempre que nosotros tenemos que demostrar una identidad, vamos a apuntar las herramientas con las que contamos. Una de ellas es la relación fundamental de la trigonometría. 00:45:17
que es que seno al cuadrado más coseno al cuadrado de alfa es igual a 1. 00:45:29
¿Qué más conocemos? Que la tangente de alfa se puede expresar como el cociente del seno de alfa entre el coseno de alfa. 00:45:39
Y yo con estas dos herramientas tengo que tratar de resolver todas las identidades que me presenten para decir si son verdaderas o falsas. 00:45:48
Aquí me dicen que demuestre, ¿vale? Por lo tanto, se supone que esto es verdad, ¿no? Otras veces te dicen, indica si es correcta o incorrecta, si es verdadera o falsa. 00:45:57
Pues entonces yo no sé si va a ser cierta o incierta, pero aquí me dicen demuestra, luego se supone que es cierta, ¿vale? Bien, entonces, ¿qué es lo que puedo hacer? 00:46:08
lo primero que se me ocurre, pues sustituir la tangente por seno partido por coseno, ¿no? 00:46:18
Bien, pues lo hago. Uno más, aquí pongo seno de alfa partido por coseno de alfa. 00:46:23
Y está todo elevado al cuadrado. Uno más tangente cuadrado, esto es la tangente al cuadrado, 00:46:33
es igual a uno partido por coseno cuadrado de alfa. Punto y coma. 00:46:41
Esto es 1 más, y ahora elevo al cuadrado numerador y denominador. 00:46:45
Seno cuadrado de alfa partido por coseno cuadrado de alfa. 00:46:51
Y esto me dicen que es igual a 1 partido por coseno cuadrado de alfa. 00:46:56
Punto y coma. 00:47:00
Vale. 00:47:02
¿Ahora qué es lo que hago? 00:47:03
¿Tengo que quitar denominadores? 00:47:04
Bueno, alguno de vosotros lo que preferís es sumar las fracciones y luego igualar los numeradores. 00:47:06
Yo prefiero directamente multiplicar todo por el mínimo común múltiplo. 00:47:12
Multiplicamos por coseno cuadrado de alfa, para quitar los denominadores. 00:47:19
¿Y qué me va a quedar? 00:47:29
Coseno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa, 00:47:30
que multiplica a seno cuadrado de alfa partido por coseno cuadrado de alfa, 00:47:35
es igual a coseno cuadrado de alfa por 1 partido por coseno cuadrado de alfa, ¿vale? 00:47:41
Yo he multiplicado por coseno cuadrado de alfa en el miembro de la izquierda y en el miembro de la derecha, ¿vale? 00:47:50
Al primer término y al segundo término. Aquí en la derecha solo hay un término, ¿vale? 00:47:58
Este coseno cuadrado con este coseno cuadrado se va y este coseno cuadrado con este coseno cuadrado se va. 00:48:04
¿Y qué es lo que me queda? Que coseno cuadrado de alfa más seno cuadrado de alfa es igual a 1, que es la relación fundamental de la trigonometría, que sabemos que es cierta, porque la he apuntado aquí, ¿vale? 00:48:11
Por lo tanto, operando sobre esta igualdad, he llegado a algo que sé que es cierto. Por lo tanto, esta identidad tiene que ser cierta, ¿vale? Por lo tanto, la identidad de partida es cierta, es cierta, es correcta, ¿vale? 00:48:26
Bien, otro ejercicio que era sencillo. 00:49:02
Bien, vamos con el octavo ejercicio del examen, que dice, calcula el ángulo X en cada caso empleando las teclas de tu calculadora. 00:49:06
Expresa el ángulo en grados hexagesimales y da el resultado en forma compleja e incompleja. 00:49:14
Si hay algún valor imposible, razona por qué. 00:49:19
Bien, de acuerdo. 00:49:23
Entonces, lo primero que vamos a hacer es explicar cómo se calcula a partir de una razón trigonométrica dada, cómo se calcula el ángulo. 00:49:24
¿Vale? Bien. 00:49:40
Para ello voy a utilizar el papel milimetrado que hemos utilizado en un ejercicio anterior. 00:49:42
He copiado aquí justo el ejercicio que hemos hecho antes 00:49:50
con el cuadrante de la circunferencia goniométrica 00:49:55
y el papel milimetrado 00:49:59
¿Por qué? Porque creo que es muy interesante para entender todo esto 00:50:01
Lo voy a ampliar aquí 00:50:04
Antes, ¿qué es lo que hemos hecho? 00:50:06
Antes hemos cogido el coseno 00:50:08
Nos decían, representa el ángulo de 71 grados empleando tu calculadora 00:50:10
Es decir, con la calculadora hemos sabido que el coseno de 71 era 0,8, ¿no? Bien, pues imaginad que nosotros no hubiéramos sabido que 0,8 era el coseno de 71, ¿no? 00:50:17
Pues yo, ¿qué es lo que hubiera hecho para saber el ángulo? Por cierto, estoy viendo que esto está mal. Esto está mal, lo he puesto mal en el ejercicio anterior, ¿vale? 00:50:32
Esto es el coseno de 71 y el otro es el coseno de 36, perdón, perdón, ¿vale? Me he dado cuenta ahora, esto es el coseno de 36, control Z, coseno de 36, corregidlo en el anterior ejercicio, ¿vale? 00:50:44
Porque lo he puesto mal. Vale, entonces suponed que yo no conozco el ángulo, lo único que sé es, vale, lo voy a quitar, suponed que a mí me dicen que yo tengo un ángulo cuyo coseno vale 0,8 y que lo calcule, que calcule el ángulo. 00:51:07
Pues entonces, ¿yo qué es lo que haría? Subiría esto hasta encontrarme con la circunferencia, trazaría esta recta, cogería el transportador de ángulos, mediría y diría, eso es 36 grados. 00:51:24
O si no, también podría construirme una regla, poner aquí muchas divisiones como si fuera esto un transportador de ángulos y subir aquí desde 0,8 y leer el ángulo que me está marcando aquí este cruce, este punto. 00:51:37
Es decir, la función arco coseno sería esta, meter por aquí el coseno, subir y leer cuál es el ángulo que nos está dando, ¿vale? 00:51:56
Pues eso es precisamente lo que hace la función arco coseno. 00:52:06
Si hubiera sido la función arco seno, pues entonces yo lo que haría sería entrar por aquí, es decir, me dicen que el seno de un ángulo vale 0,6, ¿vale? 00:52:10
Pues me voy hasta aquí, trazo esta recta, mido este ángulo y así sabría con un transportador cuál es el ángulo, que tiene por seno 0,6, ¿vale? Eso es lo que hacemos en las calculadoras con las funciones arco-seno, que son estas que aparecen aquí, ¿vale? 00:52:19
Estas que tenéis aquí con seno a la menos 1, ¿vale? Eso que tenéis ahí, que es la función seno a la menos 1, ¿vale? 00:52:39
Entonces, para calcular yo ahora mismo el ángulo cuyo seno vale 0,65, yo digo, si el seno de X es 0,65, X es igual al arco seno de 0,65. 00:52:53
¿Y eso cómo se hace? Pues voy a la calculadora y digo, tecla shift, ¿vale? Shift, lo voy a poner así, shift, y como yo lo que quiero es el seno, pues pongo shift, sin, porque en inglés seno se dice sinus, shift, sin, 00:53:16
Ahora pongo 0,65 y le daría a la igual, a la tecla igual, ¿no? Vale, y luego daría a la tecla igual y esto me daría, en ese caso, 40,54,16, etcétera, etcétera, ¿vale? 00:53:39
Con más decimales. Grados sexagesimales. Esta es la forma incompleja, ¿vale? Esta es la forma incompleja que me estaban pidiendo. Me estaban pidiendo la incompleja y la compleja. 00:54:03
¿Cuánto vale, o sea, cuál es la expresión compleja? Pues esa se hace dando a esta tecla, a la tecla de, si yo doy aquí a la tecla de grados, minutos y segundos, perdón, lo voy a dibujar primero, esto es la tecla de grados, minutos y segundos, ¿vale? 00:54:18
Que es esta tecla de aquí, esta de aquí, la voy a redondear, ¿vale? Pues esto me saldría directamente 40 grados, 32 minutos y 29 segundos, 29 segundos, ¿vale? 00:54:47
Bien, y así procederíamos con todos aplicando, apretando las teclas que correspondan. 00:55:07
Bien, pues de la misma manera tendríamos que calcular el ángulo cuyo coseno es 0,2876, ¿vale? 00:55:15
Haciendo eso, llegaríamos, y utilizando en vez de shift sin shift cos, llegaríamos a que el ángulo en forma incompleja es 73,2856 grados hexagesimales. 00:55:25
Y si lo pasamos a forma compleja, serían 73 grados, 7 minutos y, no, perdón, 17 minutos y 8 segundos, ¿vale? 00:55:45
Y lo mismo si hacemos shift, tan, llegaríamos a que el arco cuya tangente, arco y ángulo es lo mismo, ¿eh? 00:56:01
Aquel arco cuya tangente vale 1,2345 es 50,9909 grados, ¿vale? Y eso en forma compleja sería 50 grados, 59 minutos y 27 segundos, ¿vale? 00:56:10
Bien, y ahora nos piden que hallemos el ángulo o el arco cuyo seno vale 1,5 y esto es imposible, ¿vale? Esto es una trampa que nos han puesto ahí para que podamos decir, o sea, para pillarnos, porque el seno está comprendido entre menos 1 y 1, ¿vale? 00:56:37
Si veis la circunferencia goniométrica, que la he dibujado muy mal aquí, por cierto, me da vergüenza, la voy a dibujar un poquito mejor, ¿vale? 00:56:59
Bien, ¿el seno dónde está? El seno se representa en, como hemos dicho, si nosotros tenemos un ángulo aquí, el seno es este segmento vertical. 00:57:07
En este cuadrante sigue siendo positivo, y en este cuadrante es negativo, y en este cuadrante de aquí es negativo. 00:57:23
Pero en cualquier caso, siempre está comprendido entre 0 y 1, y entre 0 y menos 1, es decir, entre menos 1 y 1. 00:57:29
Es imposible que, o sea, no existe un ángulo cuyo seno valga 1,5, ¿de acuerdo? Bien, pues eso sería la solución completa a este ejercicio, ¿de acuerdo? Vale, vamos a por el último ejercicio ya. 00:57:36
Vale, ahora nos dice en el ejercicio, calcular la siguiente razón estereonométrica sin usar la calculadora. Emplea la circunferencia agonométrica y la reducción de ángulos al primer cuadrante. Dibuja cada ángulo en una circunferencia agonométrica y representa el seno y el coseno de cada uno de ellos indicando el signo. 00:57:52
¿Vale? Entonces, ¿dónde estará? Vamos con el primero. Nos piden el seno de 210 grados. ¿Dónde estará el seno de 210 grados? Vale. Pues esta es nuestra circunferencia goniométrica y sabemos que ahí está 0 grados. Ahí está 90 y aquí está 180. ¿Vale? Voy a bajar un poquito el ancho. Vale. Y aquí está 270. ¿Vale? 00:58:10
Por lo tanto, el ángulo 210, que es lo primero que tenemos que hacer, pasamos de 0, llegamos a 90, seguimos, seguimos hasta 180 y si seguimos vemos que llegaríamos a 270. 00:58:35
Luego tiene que estar en este cuadrante, que es el cuadrante número 3, porque este es el 1, el 2, el 3 y el 4. 00:58:53
¿Pero dónde estará exactamente? Pues estará aproximadamente en 180 más 30, aproximadamente no, exactamente, eso es 210 grados. 00:59:02
Porque 210 es 180 más 30 grados. Ese será nuestro ángulo. Ya lo tenemos situado. Vale. Pues entonces, ese sería el seno y ese sería el coseno. ¿No? 00:59:14
Ahí estaría el coseno. Voy a ampliar un poquito. Me están pidiendo el seno. El seno de 210. Vale. Ahí estaría el coseno de 210, que vemos que es negativo, porque este segmento queda hacia la izquierda y, sin embargo, el seno también sería negativo. 00:59:29
¿Vale? Bien. Entonces, nos dicen que lo expresemos en función de, ¿qué es lo que nos decían exactamente? Dice, calcula las siguientes razones sin usar la calculadora. Emplea la circunferencia agonométrica y la reducción de ángulos del primer cuadrante. Dibuja cada ángulo en una circunferencia agonométrica. Vale. Bien. Entonces, nos están pidiendo, en concreto, el seno. ¿Vale? Voy a borrar el coseno porque como no me lo están pidiendo, voy a simplificar. ¿Vale? 00:59:54
Es decir, a mí esto no me lo están pidiendo, sino que me están pidiendo este segmento de aquí, que es el coseno, ¿vale? 01:00:21
Que es el seno, el que he dibujado ahí con una flecha, ¿vale? 01:00:34
Que lo voy a poner de color rojo porque además es negativa, ¿vale? 01:00:38
Bien, pues ese sería el coseno, no, el seno, perdón, ese es el seno de 210, ¿vale? 01:00:42
¿Con qué lo puedo relacionar yo? 01:01:01
Yo sé que este ángulo es 30, por lo tanto, si yo prolongo este eje, este ángulo es 30 grados también, ¿vale? 01:01:08
Porque son ángulos formados por las mismas rectas, ¿vale? 01:01:20
Esta recta y esta recta son la misma, por lo tanto, esos son ángulos opuestos y por el vértice, 01:01:24
y por lo tanto, este ángulo va a ser igual a este ángulo. 01:01:32
Y por lo tanto, el segmento que a mí me piden es el mismo que este. 01:01:35
Pero este segmento de aquí, ¿qué es? Esto es el seno de 210, lo que pasa que, perdón, es el seno de 30. 01:01:40
¿Vale? Lo que pasa es que es positivo. Luego, el seno de 210, que es lo que me están pidiendo a mí, es igual al seno de 30 en valor absoluto, pero le tengo que cambiar el signo. 01:01:50
¿Vale? El seno de 30, le cambio el signo y ya tengo este seno de 210. ¿Cuánto vale el seno de 30? Que me lo tengo que saber de memoria. 01:02:05
es un medio, pero como lleva 01:02:14
el signo menos, porque se lo he puesto aquí 01:02:17
se me convierte en 01:02:19
menos un medio 01:02:20
¿vale? vamos con el B 01:02:22
el B me dice la tangente de 01:02:24
150 ¿vale? 01:02:26
de acuerdo, esto es 0, esto es 90 01:02:28
esto es 01:02:31
180, luego ya 01:02:32
no puedo llegar aquí, ¿dónde estará? 01:02:34
en 80 menos 01:02:37
30 ¿vale? es decir 01:02:38
si yo me llevo 01:02:40
30 grados, si estos son 30 grados 01:02:41
hacia atrás, estos son 01:02:46
150 grados, ¿lo veis? o también puedo decir 01:02:50
que serían 90 más 60, yendo hacia adelante 01:02:55
¿vale? si estos son 60, también me daría 01:02:58
porque 90 más 60 es 150, y 180 menos 30 01:03:03
también es 150, ¿qué me están pidiendo? la tangente, vale 01:03:07
Esto es un poquito más complicado porque tengo que hacer el seno y el coseno. Tangente de 150 es igual al seno de 150 dividido entre el coseno de 150. Por lo tanto, yo voy a tener que hallar el seno de 150 y el coseno y relacionarlo con un ángulo del primer cuadrante. 01:03:11
¿Dónde está el seno de 150? Es este segmento, este de aquí. Que por cierto, algunos de vosotros me hacíais, voy a ampliar esto, me dibujáis las razones trigonométricas uniendo estos segmentos así, y no es correcto. 01:03:32
Los segmentos van en vertical, ¿vale? 01:03:51
Respecto a la línea horizontal y vertical. 01:03:56
Ese sería el seno de 150. 01:03:59
¿Y el coseno dónde estaría? 01:04:04
El coseno estaría ahí. 01:04:06
Este es el coseno de 150, ¿vale? 01:04:08
Que es negativo. 01:04:11
Este sería negativo. 01:04:13
Lo voy a marcar de rojo porque es negativo. 01:04:15
¿Vale? 01:04:18
Bien. 01:04:20
De acuerdo, la flecha también se la voy a poner negativa, ¿vale? 01:04:21
Bien, ese también es negativo, ¿vale? 01:04:28
Todo rojito, ¿vale? 01:04:33
Bien, entonces ahora, ¿cómo puedo relacionar yo el seno y el coseno de 150? 01:04:35
Pues muy fácil, yo cojo y voy a trazar un ángulo de 30 grados en el primer cuadrante, ¿vale? 01:04:40
Vale, este me ha salido rojo, que no quería. 01:04:48
Entonces, si esto es 30 grados, ¿dónde va a estar el seno de 30? 01:04:50
El seno de 30 va a estar ahí, y el coseno de 30 va a estar ahí. 01:05:06
Este es el coseno de 30. 01:05:14
Y este es el seno de 30, ¿de acuerdo? Bien, voy a bajar un poquito el tamaño, el estilo de trazo, a ver, ¿de acuerdo? 01:05:43
vale, entonces 01:06:01
vamos a ver 01:06:03
este será el seno de 30 y el coseno de 30 01:06:04
por lo tanto 01:06:07
la tangente 01:06:08
que es lo que a mí me están pidiendo, será 01:06:11
tangente 01:06:12
de 150 01:06:25
un momento, vamos a poner 01:06:26
seno 01:06:28
de 150 01:06:30
es igual a qué? 01:06:32
al seno de 30 01:06:35
es igual al seno 01:06:36
de 30 grados, lo veis? 01:06:39
Porque este segmento de aquí tiene la misma magnitud que este de aquí y el mismo signo, porque estos triángulos son iguales, pero son un espejo. 01:06:40
Si yo trazo desde aquí una línea horizontal, veo que coinciden, porque los dos ángulos tienen 30 grados, ¿vale? 01:06:49
Y el coseno de 150 es igual en magnitud al coseno de 30, lo que pasa es que el signo está cambiado, ¿vale? 01:06:57
Porque este coseno queda hacia la izquierda y este queda hacia la derecha. 01:07:10
Bien, entonces, si yo ahora hago seno de 150 entre coseno de 150, eso es la tangente de 150, 01:07:14
Y por lo tanto, eso es igual a seno de 30 partido por menos coseno de 30, es decir, que es igual a menos tangente de 30 grados, ¿vale? 01:07:29
Luego ya tengo que la tangente de 150 es la menos tangente de 30, ¿vale? 01:07:49
Voy a subrayar aquí el resultado anterior, es que el seno de 210 es el menos seno de 30, ¿vale? 01:07:54
Bien, vamos con la letra C. 01:08:06
Ahora vamos, esta sería la A, esta sería la B y esta sería la C y aquí vamos a poner la D, ¿vale? 01:08:09
Bien, me piden el coseno de 300, ¿dónde está 300 grados? 01:08:20
0, 90, 180, 270 y esto es 360 también. 01:08:24
Si damos una vuelta entera sería en 360. 01:08:35
Luego 300 va a estar entre 270 y 360. 01:08:37
¿Cuánto? 01:08:41
Pues, como ya sabemos, esto va a ser 30 grados. 01:08:43
Si yo aquí me pinto 30 grados en sentido horario, voy a llegar a 300 grados. 01:08:49
Me están pidiendo el coseno. ¿El coseno cuál es? El coseno está aquí en el eje de abscisas. Esto es el coseno de 30. ¿Vale? 01:08:54
Vale, pero a la vez que esto es 30 grados, esto de aquí también es 60 grados, porque yo podría haber ido desde 360, restando 60 grados, habría llegado ahí, a 300 grados. 01:09:07
Luego, este ángulo de aquí, si yo lo trazo, casi no me queda sitio, esto serían 60 grados, y se ve claramente que el coseno de 300, que eso sería el coseno de 300 hacia arriba, coincide con el coseno de 60. 01:09:25
¿Vale? ¿Lo veis? Porque esto aquí yo tendría 60 grados. Voy a quitar esto de aquí para que se vea más claramente, porque he enguarrinado un poco el dibujo, sin necesidad. 01:09:55
Aquí estaría el coseno de 300 y el coseno de 60 01:10:11
Coinciden en valor absoluto y en signo 01:10:18
Por lo tanto, yo puedo escribir que el coseno de 300 grados 01:10:23
Es igual al coseno de 60 01:10:29
Ya sé que vosotros os sabéis los valores 01:10:33
Que el coseno de 60 es un medio 01:10:35
Pero como no me lo piden, simplemente me decían 01:10:38
En que pusiera el valor, pues lo voy a dejar así, ¿vale? 01:10:41
Aunque si queréis ponerlo, lo podéis poner. 01:10:45
Bien, y por último, ¿qué me pedían? 01:10:47
El seno de 1.350. 01:10:50
Seno de 1.350. 01:10:52
1.350 o 5, ¿qué era? 01:10:58
1.305. 01:11:01
Seno de 1.305. 01:11:03
Es evidente que este ángulo da varias vueltas a la circunferencia, ¿vale? 01:11:05
Porque es mayor de 360, se pasa, es más de una vuelta, ¿vale? 01:11:11
Bien, pues entonces vamos a hacer la división entera, que algunos de vosotros no estéis acostumbrados a lo que es la división entera. 01:11:16
La división entera es la que hace, la que no saca decimales, sino que hace, este es el dividendo, 1305, 01:11:24
hacemos como siempre, el divisor que va a ser 360, para ver cuántas vueltas dan. 01:11:36
Entonces, esto no cabe a 130, cogemos las cuatro cifras y probamos. 01:11:42
Va a caber a 3, ¿vale? 3 por 0 es 0, al 5, 5, 3 por 6, 18, al 20, 2, y me llevo 2, 3 por 3, 9, y 2, 11, al 13, 2, y 225, ya no cabe. 01:11:47
Luego esto es el resto. Esto es la división entera, expresar una división como un cociente y un resto, ¿vale? 01:12:02
Entonces, así podemos decir que 1.305 grados es igual a 3 vueltas completas, es decir, 3 por 360 grados, más el resto, que es 225 grados. 01:12:11
Es decir, que 1305 estaría en una, dos, tres vueltas y luego tenemos que sumar 225 grados. 01:12:25
¿Dónde está 225? Pasa de 90, pasa de 180 y hay que sumar ¿cuánto? Hay que sumar 45 grados. 01:12:34
Hay que sumar 45 grados y aquí estaría 225 grados o también coincide en el mismo lugar 1305 grados. 01:12:42
Están en el mismo sitio. 01:12:56
¿Y qué es lo que me estaban pidiendo? El seno. ¿Dónde está el seno de 1305? Está ahí. 01:12:58
bueno, lo he dibujado muy mal 01:13:04
control Z 01:13:06
vamos a desplazar el 45 01:13:06
un poquito 01:13:09
hacia 01:13:10
lo vamos a poner aquí, por ejemplo 01:13:12
este es el símbolo de los grados que me lo ha dejado 01:13:15
¿vale? bien 01:13:20
entonces, ¿dónde está el seno 01:13:22
de 1305? 01:13:24
aquí 01:13:29
¿vale? y es negativo 01:13:30
¿sí? lo voy a poner con rojo 01:13:32
para que se vea que es negativo 01:13:35
¿vale? 01:13:37
Entonces, ¿cómo lo puedo relacionar yo con otro ángulo? 01:13:38
Con un ángulo del primer cuadrante. 01:13:44
Bueno, pues es evidente, ¿no? 01:13:48
Con este ángulo. 01:13:50
Esto es 45 grados, ¿no? 01:13:51
Y el seno de 45 está aquí, ¿sí? 01:13:54
Y es igual. 01:14:00
Estos dos triángulos son iguales, lo que pasa es que he hecho unas simetrías. 01:14:01
Entonces, podemos decir, primero, el seno de 1.305 es igual al seno de 225 grados, porque coinciden el 225, o sea, 1.305 es 225, más 3 vueltas enteras, ¿vale? 01:14:05
Y además, esto es igual en valor absoluto al seno de 45 grados, ¿vale? 01:14:22
Solo que cambiándole el signo, porque el seno de 45 es positivo y nosotros lo necesitamos negativo, ¿vale? 01:14:31
Pues con eso habríamos terminado, ¿sí? 01:14:38
Aquí voy a resolver, o sea, resaltar los resultados para que nos quede todo igual. 01:14:43
y ese sería el último ejercicio 01:14:51
de este examen 01:14:53
¿vale? 01:14:57
de acuerdo 01:14:58
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
132
Fecha:
25 de enero de 2022 - 20:45
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
1h′ 15′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
210.36 MBytes

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