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Problemas de Integral definida - Ejercicio 2 - Contenido educativo

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Subido el 15 de marzo de 2020 por Manuel D.

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Problemas de Integral definida - Ejercicio 2

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Bueno, vamos a ver otro problema de integral definida. 00:00:02
En realidad tiene mucho que ver con el anterior problema que hemos visto 00:00:11
del cálculo de la mitad de un círculo, el área de medio círculo de radio 1. 00:00:14
En este caso nos piden calcular el área de un círculo en realidad de radio r genérico. 00:00:18
Vamos a ver cómo se podría calcular e interpretar el problema geométricamente. 00:00:23
El problema va a ser muy similar en realidad. 00:00:28
Vamos a dibujarlo y vamos a utilizar de manera un poco más ágil las fórmulas que vimos en el problema anterior. 00:00:30
Entonces, nos están pidiendo exactamente que calculemos la siguiente integral. 00:00:36
Sería la integral entre menos r y r de la raíz cuadrada de r cuadrado menos x cuadrado diferencial de x. 00:00:41
Entonces, como decía, geométricamente, eso es. 00:00:56
El siguiente área es, pues vamos a tener un círculo en esta ocasión de radio r. 00:01:00
Y nos están pidiendo que integremos la función raíz cuadrada positiva, es decir, es la mitad superior de este círculo. 00:01:08
Esta función. 00:01:18
Y lo que estamos haciendo es calcular este área. 00:01:19
Es decir, que yo sé a priori cuánto tiene que valer el área del círculo es pi r cuadrado. 00:01:21
Así que esto me tiene que quedar, esto es lo que yo me estoy preguntando, pues pi r cuadrado partido por 2. Vamos a ver si eso es efectivamente así. 00:01:26
Para ello nos están dando ya el cambio de variable que tengo que utilizar. Me están diciendo que sustituya la función igual a raíz cuadrada de r cuadrado menos x cuadrado. Voy a sustituir la x por r seno de t. 00:01:38
Si yo hago este cambio aquí, en este valor, lo que voy a hacer al sustituir va a ser lo siguiente. Raíz cuadrada de r cuadrado menos r cuadrado seno de cuadrado de t. 00:01:57
y esto cuando yo saque factor común a la r, pues la r la voy a lograr sacar fuera de la raíz 00:02:11
y me va a quedar una integral muy parecida a la de antes. 00:02:26
¿Por qué? Porque 1 menos seno cuadrado es coseno cuadrado y la raíz de coseno cuadrado va a ser coseno de t. 00:02:31
Así que lo que yo voy a tener en realidad que integrar es coseno de t, la función coseno de t. 00:02:38
Y ahora, ¿qué quedaría? Pues quedaría por calcular para este cambio de variable el diferencial y, otra vez, cuidado con los límites de integración que me cambian, porque en una integral definida cambian los límites de integración. 00:02:44
Pues vamos con ello. El diferencial, ¿cuánto valdría el diferencial? Pues el diferencial de x habrá que derivar aquí, cuidado con la r, no os la olvidéis, sería r por coseno de t. 00:02:56
Bien, y los límites de integración, pues vamos a calcularlo. Si la x es menos r, aquí tenemos la x igual a menos r, significa que el seno de t, pues vamos a ver cuánto valdrá menos r igual a, este es el valor de la x, y hemos creado que la x es r seno de t. 00:03:08
pues significa que seno de t es igual a menos 1 00:03:28
es decir que aquí va a haber que poner un menos pi medios justo 00:03:35
es el valor de la t que hace que la x, el seno de t valga menos 1 00:03:39
y aquí por arriba pues sería lo mismo pero en positivo 00:03:45
porque pues exactamente vamos a ver donde lo ponemos para que quede ordenado 00:03:48
aquí tenemos esta parte y algo muy parecido vamos a tener con la r 00:03:54
Simplemente sería, lo pongo por aquí, que si la x es r, es decir, la r vale r por seno de t, que es la x, 00:04:00
entonces, pues seno de t es 1, con lo que t es pi medios. 00:04:08
Muy importante que calculemos estos dos límites, que no nos olvidemos de ellos. 00:04:13
Límite superior y límite inferior. Aquí los tenéis. 00:04:18
Entonces, pues seguimos. 00:04:23
Hemos calculado la función y ahora el diferencial de x, ¿dónde lo tengo aquí? 00:04:25
Pues tengo que añadir diferencial de x, es decir, el diferencial de t. 00:04:30
Y ahora esta integral es muy parecida a la que habíamos visto en el ejercicio anterior. 00:04:37
Exactamente la misma. 00:04:41
Así que vamos un poco más rápido porque ya no lo sabemos. 00:04:42
Sería la integral de coseno cuadrado de t. 00:04:47
y como vimos en el vídeo anterior, coseno cuadrado es 1 menos coseno del ángulo doble partido por 2, 00:04:48
así que aplícose esa fórmula directamente y ahora ya integro, de manera que eso, la integral va a quedar 00:04:56
r que multiplica a la integral, el 1 medio lo saco fuera, me va a quedar la integral de 1 menos coseno de 2t 00:05:08
diferencial de t entre menos pi medios y pi medios 00:05:18
y esto nos va a quedar 00:05:22
pues es repartido por dos que multiplica, vamos a integrar 00:05:25
la integral del uno t menos la integral del coseno de dos t 00:05:30
pues habíamos quedado en que hay que meter aquí un dos 00:05:34
y sacar un dos para que aquí tengamos 00:05:38
la derivada de lo de dentro, lo vimos en el vídeo anterior con más detalle, entonces eso 00:05:42
significa que sería seno de 2t entre menos pi medios y pi medios. Y ahora hay que sustituir 00:05:46
y ya está. R partido por 2 que multiplica a pi medios. Sustituimos en el pi medios 00:05:55
seno de 2 por pi medios es seno de pi que es 0. Así que eso es 0 menos. Ahora vamos 00:06:03
con la otra parte. Menos pi medios menos 0. ¿Por qué de nuevo? Pues seno de menos pi 00:06:08
es 0. Listo. Entonces esto es pi medios 00:06:15
menos menos pi medios es pi. Pues tendremos pi 00:06:19
por r partido por 2. Y ahora 00:06:23
pues ¿qué ha pasado? Que hay un sitio donde no se nos ha ido la r. Hay un sitio 00:06:27
donde tenemos, nos falta una r porque aquí tendría que haber quedado una r 00:06:31
una r al cuadrado. Entonces a ver quién es capaz de buscar 00:06:35
el error donde nos hemos comido la r. Efectivamente 00:06:39
justamente justo mirad aquí cuando yo hago este cambio la función que yo tengo que integrar es r coseno de t, no es coseno de t, así que aquí me estaba faltando, lo voy a poner con otro color, me estaba faltando una r, así que yo cuando saque de aquí voy a tener el r cuadrado y me va a quedar todo en r cuadrado la fórmula que yo conozco del círculo, bueno en realidad del medio círculo, porque el otro medio pues sería exactamente el mismo. 00:06:48
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
102
Fecha:
15 de marzo de 2020 - 11:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 23″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
191.45 MBytes

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