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AN3. 2.3 Función derivada. Derivadas sucesivas. Interpretaciones geométrica y física - Contenido educativo

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Subido el 18 de noviembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos la función 00:00:22
derivada, las derivadas sucesivas y sus interpretaciones geométrica y física. 00:00:34
En esta videoclase vamos a definir la función derivada, vamos a definir las derivadas sucesivas 00:00:39
y vamos a ver las interpretaciones geométrica y física. 00:00:52
Como veis, dada una cierta función real de variable real f, 00:00:55
vamos a definir la función derivada, su función derivada, de hecho, f', 00:00:59
como aquella que a cada valor de la variable independiente 00:01:04
le va a asignar la derivada de la función en ese valor de la variable independiente. 00:01:07
Así que si estamos pensando en la abstisa x0, 00:01:13
lo que va a hacer la función derivada es devolver la derivada de la función f en x0. 00:01:16
Fijaos en la forma en la que está definida. 00:01:22
Hablamos como la función derivada, aquella que a cada valor x0 perteneciente al dominio de f', su dominio. 00:01:24
Fijaos en que no estamos poniendo el dominio de f. 00:01:32
Y esto es porque para que la función derivada esté bien definida y devuelva un valor, es necesario que la derivada exista. 00:01:35
Esto es, necesitamos que x0 sea uno de esos puntos donde la función f sea derivable. 00:01:43
Esto es, existan las derivadas laterales y ambas coincidan. 00:01:49
Y ese valor común es lo que vamos a llamar la derivada y es lo que va a devolver esta función derivada. 00:01:53
Insisto en este detalle en el caso del dominio. 00:01:58
La función derivada a sí mismo es una función definida en su dominio. 00:02:04
Eso quiere decir que la función derivada tiene a su vez una función derivada. 00:02:09
Si pensamos en la función original, a esta la vamos a llamar derivada segunda de la función original, de la función f. 00:02:15
A la derivada de la derivada de f la llamamos derivada segunda y la vamos a representar así, f segunda de x. 00:02:23
Y aquí no tenemos dos palitos, no son dos comillas, tenemos el número romano 2, prima, número romano 1, 00:02:31
en realidad debería ser un palo que denota el número latino 1, aquí tenemos el número latino 2. 00:02:36
Igualmente, la función derivada segunda es una función susceptible de ser derivada. 00:02:42
La derivada de la derivada segunda, si volvemos a la función original, sería lo que llamaremos derivada tercera 00:02:47
y que representamos así f con este número 3 en romano. 00:02:53
Es la derivada de la derivada segunda. 00:02:56
Si hacemos este proceso n veces y llegamos a la derivada enésima, esta se va a representar así. 00:02:59
poniendo la letra n entre paréntesis. 00:03:05
Da la derivada enésima, que no es más que la derivada de la derivada n-1ésima. 00:03:10
Había notaciones alternativas para la función derivada. 00:03:16
No solamente la podemos poner como f', sino recordad que hablábamos de la derivada de f respecto de x. 00:03:19
O bien hablábamos de f con un punto encima. 00:03:25
Bien, pues las notaciones alternativas en este caso serían así. 00:03:28
Para la derivada segunda tenemos derivada segunda de f con respecto de x dos veces, o bien f con dos puntitos. 00:03:33
Para la derivada tercera tendríamos lo que se lee derivada tercera de f con respecto de x tres veces, o bien f con tres puntitos. 00:03:42
Como veis, f' es la función que devuelve la derivada de la función. 00:03:52
La derivada de la función era, en el fondo, la tasa de variación instantánea. 00:04:00
Y esta era, por definición, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en la abscisa donde nos encontráramos. 00:04:04
Pues bien, aquí tenemos la interpretación geométrica de la derivada. 00:04:12
Es la función que va a asignar a cada una de las abscisas de los valores de la variable independiente 00:04:15
la pendiente de la recta tangente a la función en dicha abscisa. 00:04:21
En lo que respecta a la interpretación física, en el caso en el que la función era la posición de un cierto móvil, la derivada primera nos daba la velocidad instantánea. 00:04:26
Bueno, pues la función derivada lo que nos da es la función velocidad, la que está asignada a esta función de posición. 00:04:41
Mientras que si la función era la velocidad, la derivada nos daba la aceleración. 00:04:50
Bueno, pues en este caso la función derivada de la función velocidad nos va a dar la función aceleración en función del tiempo. 00:04:58
Igualmente, puesto que la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad, o sea, la derivada de la derivada de la posición. 00:05:07
Así que aquí tenemos cómo la aceleración es, o puede definirse como la derivada segunda de la posición, en este caso con respecto del tiempo. 00:05:20
Así pues, aquí tenemos la interpretación geométrica de la función derivada y vemos la interpretación física de la primera y de la segunda derivada de la posición cuando estamos describiendo el movimiento de un móvil. 00:05:29
Con esto que hemos visto, ya podríamos determinar las derivadas de estas funciones de X. Lo haremos en clase, probablemente lo veremos en alguna videoclase posterior. 00:05:42
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios 00:05:53
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:06:01
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:06:06
Un saludo y hasta pronto 00:06:12
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
8
Fecha:
18 de noviembre de 2024 - 12:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
06′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
16.52 MBytes

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