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Primero de bachillerato ciencias naturales_herramientas básicas de la geometría_actividad 17 - Contenido educativo

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Subido el 28 de marzo de 2021 por Jose S.

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Vamos a hacer la actividad 17 de las herramientas básicas, dice obtener tres puntos, tres vectores, directores y la pendiente de la recta de ecuación paramétrica, o sea, tenemos dos apartados, A, B y C. 00:00:00

Bien, vamos a hacer el apartado A. Hice un punto, pues sería el punto de anclaje, por ejemplo, de coordenadas 5, 1, que sabemos que lo obtenemos de la propia ecuación. 00:00:16

Estas son las coordenadas del punto de anclaje. Pertenece a la recta. 00:00:30

¿Cómo obtengo otro punto más? Pues anclando en P, por ejemplo, anclando, puedo decir Q, punto Q, que es P más V, este pertenece a la recta, pero vamos, también puedo directamente dar valores de T, 00:00:36

Por ejemplo, t igual a 1 obtengo, sustituyendo aquí, pues obtengo un punto de la recta, x igual a 5 menos 3 por 1, que es 2, e y, igual a 1 más t, que es 1, igual a 2, pues el punto 2, 2, que es r. 00:01:03

Entonces, el punto de coordenadas 2, 2 pertenece a la recta R. 00:01:28

Otro punto, pues podemos evaluar, por ejemplo, t igual a 2. 00:01:41

También pueden ser valores negativos. 00:01:48

Vamos a dar valor t igual a menos 3, por dar valores negativos. 00:01:51

Pues nada, al sustituir en nuestra ecuación paramétrica el valor t igual a menos 3, 00:01:55

diríamos que 5x igual a 5 menos 3 por menos 3, 5 más 9, 14, e y igual a 1 más t, que es menos 3, menos 2. 00:02:01

Así que el punto 14 menos 2 pertenece a R. Ya tengo dos puntos. 00:02:21

me pide tres vectores directores 00:02:26

pues nada, el vector director es el que viene dado 00:02:29

en este caso por los coeficientes del parámetro 00:02:33

que son 3, menos 3 y 1 00:02:40

así que el vector director 00:02:41

un vector director de R 00:02:43

es el de coordenadas menos 3, 1 00:02:46

ya digo, se obtiene de aquí 00:02:48

y entonces, tres vectores directores 00:02:50

pues buscamos proporcionales a este vector 00:02:53

Multiplicándolo, por ejemplo, este sería un vector director 00:02:58

¿Otro? Pues, por ejemplo, W sub r podría ser 2 por V sub r 00:03:02

2 por menos 3, 1, que es el de coordenadas, menos 6, 2 00:03:13

¿Y otro vector director? Pues T sub r 00:03:20

Que podría ser multiplicar por 3, V sub r 00:03:24

hago 3 por menos 3, 1 00:03:28

que sería menos 9, 3 00:03:31

y lo mismo si me piden la pendiente de la ecuación de la recta 00:03:35

que es la tercera pregunta 00:03:40

pues lo que hacemos es obtener la pendiente, por ejemplo 00:03:42

la pendiente del vector director 00:03:45

como el vector director es este 00:03:48

pues podemos obtener la pendiente a partir de él, m sub v es 1, v sub 2 entre v sub 1, 00:03:57

menos 1 entre menos 3, que es igual a menos un tercio, esta es la pendiente de la recta también, 00:04:09

de acuerdo, lo mismo haríamos con el apartado b, ¿qué punto de anclaje han utilizado? 00:04:17

Pues el punto P sería 0, 1. Claro, porque aquí pone en realidad 0 más 0,5T. Por eso ni se ha puesto. Entonces, 0, 1. 00:04:27

Un vector director, ¿cómo lo obtenemos? Pues 0,5, 1. Bien, ¿cómo obtenemos puntos? Nos piden tres puntos. 00:04:40

Pues damos valores a t, t igual a 1, y obtengo x igual a 0,5 por 1, 0,5, e y igual a 1 más 1, que es 2. 00:04:51

Esto me dice que 0,52 pertenece a esta recta, la llamo s, pues a s. 00:05:05

¿De acuerdo? Otro punto lo tendría haciendo t igual a 2, por ejemplo. 00:05:13

Pues para t igual a 2, pues obtenemos que x, que hay aquí, es igual a 0,5 por 2, que es igual a 1, 00:05:21

e y sería igual a 1 más 2, que es 3. 00:05:32

Así que el punto 1, 3 pertenece a la recta S. 00:05:36

Ya tengo un punto y otro, y el de anclaje. 00:05:41

Ya tengo tres puntos. 00:05:47

Ya digo, se obtiene dando valores a t. 00:05:48

¿Cómo haríamos tres vectores directores? 00:05:50

Ya tengo un vector director 00:06:01

Por ejemplo, otro director de la recta S podría ser 2 por el vector director 00:06:03

V sub R lo llamamos así 00:06:14

Perdón, V sub S 00:06:18

La recta se llama S 00:06:20

Pues entonces, este es igual a 2 por 0,5, que es 1, y 2 por 1, 2. 00:06:24

Y finalmente, por ejemplo, k sub s, vector que, por ejemplo, puedo multiplicar por menos 1, v sub r, v sub s, perdón. 00:06:36

Entonces, tomo v sub s y lo multiplico por menos 1, es menos 0,5 menos 1. 00:06:52

Este también es vector director de la recta S 00:06:58

Y ahora pues para encontrar la pendiente 00:07:05

Pues te coges cualquiera de estos tres vectores directores 00:07:08

Y calculas su pendiente 00:07:11

Como son proporcionales tiene que ser la misma 00:07:13

¿De acuerdo? 00:07:15

Entonces por ejemplo a partir de este vector director 00:07:17

Pues es 1 entre 00:07:22

La pendiente sería igual a 1 entre 0,5 00:07:24

que es igual a 2, por lo tanto la pendiente de esta recta es 2, ¿de acuerdo? 00:07:30

Haríamos lo mismo con el apartado C, pero observar una cosa, el punto de anclaje es el de coordenadas 2, 1 00:07:42

Y el vector director, esta ya le llamo recta t, de t sería 0, menos 1. 00:07:54

0 porque no hay coordenada, veis que no hay coeficiente en t, porque es 0 por t. 00:08:07

Y aquí es menos 1, ¿de acuerdo? Así que el vector director sería este. 00:08:14

Luego dando valores a t 00:08:20

O tendrías puntos 00:08:23

Ya hacemos lo mismo que antes 00:08:24

¿De acuerdo? 00:08:27

Solamente un matiz 00:08:28

Que en pendiente 00:08:29

Vamos a hacerlo 00:08:31

Lo he pasado aquí para tener más espacio 00:08:33

Estábamos haciendo el apartado t 00:08:39

Y lo que es el punto p 00:08:41

De coordenadas 2, 1 00:08:43

Que es el que viene dado 00:08:45

Por esta expresión 00:08:47

Por esta parte de la ecuación 00:08:48

Y el vector v, director, que son los coeficientes de los parámetros. 00:08:51

Aquí en realidad diríamos que pone más 0 por t. 00:08:57

Por eso las coordenadas son 0 menos 1. 00:09:06

La del vector director de t. 00:09:10

Pues bien, para hacer esta... 00:09:15

Si queremos, por ejemplo, nos piden 3 puntos. 00:09:22

Ya tenemos 1, para obtener otros 2, pues doy valores de t igual a 1, por ejemplo, entonces x es igual a 2, sustituyendo aquí, obtengo que x vale 2 e y vale 0, así que el punto 2, 0 pertenece a la recta t. 00:09:25

Otro punto, este lo he obtenido a partir de t igual a 1 00:09:52

Pues otro punto lo puedo obtener a partir de t igual a, pues el que quieras 00:09:57

Podría ser raíz de 2, pero bueno, voy a coger menos 2 00:10:01

Si voy a coger raíz de 2, pues ¿qué punto es? 00:10:05

Pues por ejemplo, sustituyo en la ecuación paramétrica 00:10:10

Digo x igual a 2 más 0t, o sea 2 00:10:14

E igual a 1 menos raíz de 2 00:10:22

Así que el punto de coordenadas 2, 1 menos raíz de 2 00:10:26

Pertenece a la recta T 00:10:31

Ya tendría el punto de anclaje 00:10:33

Otro punto que he obtenido haciéndote igual a 1 00:10:37

Y otro punto que he obtenido haciéndote igual a raíz de 2 00:10:41

He puesto raíz de 2, pues puedes poner que te valga lo que te dé la gana 00:10:43

¿Cómo obtener otros? 00:10:48

Dice, tres vectores directores, me piden 00:10:50

tres vectores directores, pues nada, ya tenemos uno 00:10:52

que es el con el que hemos construido la ecuación 00:10:55

que es este 00:10:58

entonces v sub t 00:11:00

ya digo que es el de coordenadas 0 menos 1 00:11:05

otro vector director de t 00:11:09

sería por ejemplo multiplicar v sub t por 2 00:11:12

y otro pues vector k sub t 00:11:16

vector director de t 00:11:25

por ejemplo, multiplicando por menos, podemos poner menos pi v sub t, lo hago para que veáis que realmente, entonces sería menos pi por 0 menos 1, que es 0 menos pi, este es un vector director también de t. 00:11:26

Y vamos a la pendiente. Este es delicado. La pendiente de la recta T tiene que ser igual a la pendiente de un vector director, por ejemplo, de v sub t. 00:11:52

Entonces calculemosla 00:12:06

Si v sub t es de coordenadas 0 menos 1 00:12:09

Sabemos que la pendiente va a ser 00:12:14

La pendiente de v sub t será menos 1 entre 0 00:12:18

Que esto es más menos infinito 00:12:23

Es que realmente la pendiente es 1 entre 0 es infinito 00:12:28

No existe como número 00:12:34

Entonces, ¿qué pasa? Que realmente la pendiente de esta recta es perpendicular, es una recta perpendicular, por eso no podemos calcular la pendiente porque la pendiente era, por ejemplo, de un vector, si tomamos el vector, pues es dividir, es la tangente de este ángulo, que es dividir esta componente entre esta, cateto opuesto partido cateto contiguo, que te daría la tangente. 00:12:36

Si este es v, este es v2 y este es v1, sabemos que la pendiente de v es v2 entre v1, que es la tangente de alfa. 00:13:10

También lo he visto de otra manera. 00:13:22

¿Qué pasa si es vertical? 00:13:24

Pues que la tangente de 90 grados, que es igual al seno de 90 partido coseno de 90, fíjate que da 1 partido 0, en fin, que es más menos infinito, ¿de acuerdo? 00:13:27

y aquí tenemos que esta expresión es más menos infinito. 00:14:04

Dicho esto, quiero que nos fijemos en esta peculiaridad. 00:14:08

Este vector, ¿cómo es en realidad? 00:14:13

La componente en x es 0 y la en y es menos 1. 00:14:15

Fijaos, es así. 00:14:19

Es que es vertical, por eso la pendiente es más menos infinito. 00:14:22

¿De acuerdo? 00:14:28