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Ejercicio 1 1er parcial MAT II 25-26 - Contenido educativo

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Subido el 1 de noviembre de 2025 por Roberto A.

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Bueno, vamos a empezar a resolver el primer ejercicio del primer parcial de la primera evaluación de la parte de álgebra 00:00:00
donde nos dice que dado el siguiente sistema de ecuaciones, que depende de un parámetro, puedes discutirlo en función de ese parámetro real m 00:00:04
y también resolverlo cuando sea posible. El primer paso para esto es poner lo que es la matriza. 00:00:09
Nuestra matriza son los coeficientes que acompañan en este caso a la x, a la y y a la z. 00:00:14
De nuevo, en la segunda ecuación, a la x, a la y y a la z. Y aquí, a la x, a la y y a la z. 00:00:19
hay gente que pone también la ampliada 00:00:26
aquí a mí me gusta separarlo, yo prefiero que lo 00:00:29
separeis, tampoco perdemos mucho tiempo 00:00:31
esta parte efectivamente es exactamente igual 00:00:32
con lo cual ponemos los coeficientes 00:00:35
que acompañan a las incógnitas 00:00:36
x y z y aquí separado ponemos 00:00:38
los términos independientes del sistema 00:00:40
de ecuaciones, entonces yo lo primero que 00:00:42
hay que hacer es definir bien qué es a y definir bien 00:00:44
cuál es la matriz ampliada y ahora empezamos a discutirlo 00:00:46
para discutirlo nos vamos a basar precisamente 00:00:49
en el problema de Roche-Sobénio y para ello 00:00:51
vamos a hacer el rango, perdón, el determinante 00:00:53
de la matriz 00:00:55
Si aplicamos la regla de Sarbu, nosotros aquí tenemos un menos 1, le sumamos un 2 y luego tenemos menos m al cuadrado. 00:00:56
Y le tenemos que restar lo que es la diagonal principal, que es menos 1, menos 2m más m. 00:01:02
Con lo cual, el determinante de a, si no me he equivocado, el determinante de a es 1 menos m al cuadrado más 1 menos m más m. 00:01:08
entonces tenemos aquí menos m al cuadrado más m más 2 00:01:21
importante hacer el determinante así sin más 00:01:28
este es nuestro determinante de a ¿de acuerdo? 00:01:31
y ahora nosotros lo que vamos a hacer es 00:01:33
si el determinante de a es igual a 0 00:01:35
entonces menos m al cuadrado más m más 2 es igual a 0 00:01:38
y lo que tenemos aquí es una ecuación de segundo grado 00:01:42
donde vamos a hallar los valores de m que me hacen 0 esta ecuación 00:01:44
por lo tanto m es igual a menos b que es menos 1 00:01:47
más menos b al cuadrado que es 1 menos 4 por a por c es decir más 8 partido de 2 por menos 1 entonces 00:01:50
esto es menos 1 más menos 3 partido de menos 2 esto que es esto es 2 entre menos 2 es igual a menos 1 00:01:58
y aquí es menos 4 partido de menos 2 es igual a 2 y yo aquí me paro y lo compruebo es decir si este 00:02:05
determinante de a es menos m cuadrado más m más 2 pues yo si m es igual a 2 esto realmente es 0 00:02:11
pues entonces tengo un m, aquí tened cuidado porque el cuadrado no afecta al signo menos, m es 2 al cuadrado más 2 más 2 y esto efectivamente es menos 4 más 4 que es igual a 0. 00:02:18
Y luego si la m vale menos 1, pues igual tengo aquí el menos, menos 1 al cuadrado más menos 1 más 2 y esto que es menos 1 menos 1 más 2 que es igual a 0. 00:02:29
Por lo tanto, estos son los valores que me hacen cero el denominador. Es decir, yo ahora aquí tengo tres casos. Tengo el caso 1. En el caso 1, si m es distinto de menos 1 y, y aquí es muy importante, m es distinto de 2, resulta que el determinante de a es distinto de cero y eso implica que el rango de a es igual a 3, que además es igual al rango de la matriz ampliada. 00:02:39
Es, digamos, el caso más sencillo. Es decir, yo hago el determinante de mi matriz A lo igual a cero y esos valores sí que me hacen cero el determinante. 00:03:08
Cualquier otro valor no me hace cero el determinante. Por lo tanto, significa que las tres ecuaciones son linealmente independientes. 00:03:15
No es una combinación lineal una de las anteriores o entre ellas. Por lo tanto, por el teorema de Roche-Frobenius, 00:03:21
de Frobenius 00:03:30
como rango de A 00:03:33
es igual a 3 00:03:37
que es igual al rango 00:03:39
de A ampliada 00:03:41
y además es igual al número 00:03:42
de incógnita que es 3 00:03:45
para M 00:03:46
distinto de menos 1 y M 00:03:51
distinto de 2 es un sistema 00:03:53
sistema compatible 00:03:56
compatible 00:03:59
determinado 00:04:02
determinado 00:04:03
y tiene una solución única, como la lentilla, solución única, ¿de acuerdo? 00:04:05
Y es el caso, digamos, más sencillo. 00:04:14
Ahora nos vamos a ir al caso 2, donde m, si m, vale, el caso 2, es si m es igual a menos 1. 00:04:17
Entonces, aquí ocurre que si m es igual a menos 1, yo ya sé que el determinante de a es 0, 00:04:28
que lo comprobado antes por lo tanto el rango de a es menor o igual que 2 y eso que ocurre que el 00:04:33
rango de la ampliada puede ser menor o igual que 3 no lo tenemos que averiguar vale entonces yo 00:04:40
escribo la matriz para m igual a menos 1 resulta que a es igual a 1 menos 1 menos 12 1 menos 1 y 00:04:46
Y 1, menos 1, menos 1. 00:04:57
Fijaros aquí, que aquí ya veo que el determinante es 0. 00:04:59
¿Por qué? 00:05:02
Porque la primera fila y la tercera fila son iguales. 00:05:02
Entonces, una es una combinación lineal de otra. 00:05:06
No son linealmente independientes. 00:05:08
Por eso el determinante era 0. 00:05:09
Y ahora, ¿qué es lo que voy a hacer? 00:05:11
Voy a coger menores. 00:05:12
Si yo cojo este menor de aquí, 1 por 1, 00:05:12
si yo hago el determinante de 1, obtengo que es 1. 00:05:14
Que significa que tengo el determinante de un menor de orden 1, 00:05:17
cuyo determinante es distinto de 0. 00:05:22
Esto es distinto de 0. 00:05:24
Por lo tanto, el rango de A es mayor o igual que 1. Fijaros que yo aquí ya sé que es mayor o igual que 2. Por lo tanto, ya la posibilidad es o 1 o 2. 00:05:25
Y ahora, ¿qué voy a hacer? Pues voy a coger un menor de orden 2, por ejemplo, este de aquí, y le hago el determinante. 00:05:34
Y esto es 1 menos menos 2, que esto es igual a 1 más 2, que es igual a 3. Y entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:05:41
Que yo ya tengo un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0. ¿Y eso qué significa? Al ser esto distinto de 0, 00:05:47
esto implica que el rango de A es 2 00:05:53
3 no puede ser porque su determinante es 0 00:05:57
y en una matriz 3x3 tan solo tenemos un menor de orden 3 00:06:00
nada más, en una matriz 3x3 tan solo tenemos un menor de orden 3 00:06:03
que es precisamente el determinante de A 00:06:06
como he hecho al único menor de orden 3 00:06:08
le he hecho el determinante, me sale 0 00:06:10
el rango no puede ser 3 00:06:11
entonces me voy primero al determinante de un menor de orden 1 00:06:13
veo que cojo cualquier elemento, cualquier elemento que no sea 0 00:06:16
le hago su determinante, es el mismo 00:06:19
por lo tanto el rango de A es mayor o igual que 1 00:06:21
Luego cojo cualquier menor de orden 2, ¿vale? 00:06:22
Hago su determinante, si es distinto de 0, yo ya puedo afirmar que el rango de A es igual a 2, ¿vale? 00:06:26
Ahora lo que me voy a hacer es, voy a estudiar, voy a hacer aquí la copia para no perder nada. 00:06:30
Y ahora lo que voy a hacer, como estoy en el caso 2, voy a borrar esta parte de aquí, la voy a borrar, 00:06:37
voy a borrar también esta parte de aquí, porque ya lo hemos discutido, 00:06:46
y voy a subir lo que habíamos hecho en la otra página 00:06:49
para tenerlo todo junto, ¿vale? 00:06:52
Entonces esto lo subo, aquí creo que se me ha escapado un 2, 00:06:55
voy a intentar borrarlo, este 2, 00:06:58
y ahora me voy a ver cuál es el rango de mi matriz ampliada. 00:07:01
Que la matriz ampliada, me voy a fijar bien, 00:07:05
es 1, menos 1, menos 1, 1, 00:07:08
2, 1, 1, porque es menos menos 1, aquí un 2, 00:07:14
y aquí es un 1, menos 1, menos 1 00:07:17
y como m es menos 1, menos 1, menos 1, es menos 2. 00:07:20
Entonces, ¿qué ocurre? 00:07:23
Que fijaros que yo aquí tengo el mismo menor de orden 1 00:07:25
que la matriz A, porque la primera parte es la matriz A. 00:07:28
Por lo tanto, no tengo que hacer esto de aquí, 00:07:30
sino que me vale. 00:07:32
Yo ya tengo un menor de orden 1 00:07:33
que su determinante es distinto de 0, 00:07:34
por lo tanto, el rango de la ampliada es mayor o igual que 1. 00:07:36
Este menor también lo tengo en la ampliada 00:07:37
y es, yo ya tengo un menor de orden 2, 00:07:39
un menor de orden 2, 00:07:42
cuyo determinante es distinto de 0, 00:07:43
por lo tanto, el rango de la ampliada también es 2. 00:07:45
Y ahora lo que tengo que buscar, y aquí es súper importante, 1, 2, 3, 4, estos son los números de fila, tengo que buscar un menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0. 00:07:47
Y en una matriz 3x4, en una matriz 3x4 yo tengo 4 menores, tengo 4 menores de orden 3. 00:07:55
Entonces tengo las columnas 1, 2 y 3, que esto es precisamente la matriz A, y luego si queréis podemos hacer como Kramer. 00:08:03
Para cuando hallamos Kramer en un sistema compatible determinado, ¿qué es lo que hacemos en la parte de arriba? 00:08:09
Pues ponemos la columna 4, que es los términos independientes, lo sustituyo de la 1 y mantengo la 2 y la 3. 00:08:14
Pues ese es un menor de orden 3. 00:08:20
Luego, para la i, donde yo ponía la fila 4, la columna 4 era donde estaba la segunda fila. 00:08:21
Tengo esto de aquí. 00:08:27
Y luego para la z, era donde yo tenía la tercera columna, pongo la de los términos independientes. 00:08:27
Estos son los 4 menores, no hay más, los 4 menores de una matriz 3x4. 00:08:33
Este de aquí yo ya sé que su determinante es 0 porque es lo primero que yo he hecho en el ejercicio. 00:08:38
Pues por ejemplo, voy a hacer, no sé, se me ocurre hacer este de aquí, el 1, 2, 4. Si yo hago el determinante, voy a hacerlo aquí recto para que se vea que es un determinante. 00:08:41
Y yo pongo aquí 1, 2, 1. Aquí pongo menos 1, 1, menos 1. Y yo aquí tengo el 1, 2, menos 2. Si yo hago el determinante de esto y me sale 0, yo tengo que continuar. 00:08:52
Tengo que continuar, por ejemplo, con este. Y si sale 0, tengo que continuar con este. Pero si alguno de estos tres subdeterminantes me sale distinto de 0, yo ya tengo un menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0. Y eso implica que el rango de la ampliada es 3. ¿Vale? Pues nada, opero. Y esto es menos 2. Esto es menos 2. Menos 2, menos 2. Menos 2. Menos. Esto es 1. Esto es menos 2. Esto es 1. Esto es menos 2. Y esto es más 4. 00:09:01
si no me equivoco, esto es menos 6 00:09:27
menos 5, menos 3 00:09:30
y esto da menos 9, que esto es 00:09:32
distinto de 0, ¿y qué significa que sea 00:09:34
distinto de 0? que el rango de la 00:09:36
ampliada 00:09:38
es igual a 3, entonces fijaros 00:09:38
donde estamos, entonces para 00:09:42
m igual 00:09:44
a menos 1 00:09:45
como 00:09:47
por el teorema, para m igual a menos 1 00:09:49
por el teorema de Rochefrobenius 00:09:52
teorema de Rochefrobenius 00:09:56
Como el rango de A es igual a 2, que es distinto de 3, que es igual al rango de la ampliada, entonces es un sistema incompatible. 00:09:59
Es un sistema incompatible, no tiene solución. 00:10:16
Incompatible. 00:10:21
No existe solución. 00:10:25
Y este caso ya lo hemos acabado. 00:10:27
Fijaros que yo lo que hago es siempre lo mismo. 00:10:30
Hayo el primero, el rango de A. 00:10:32
Cojo un menor de orden 1, me sale distinto de 0. 00:10:34
Bueno, pues ya sé que el rango de A es mayor o igual que 1. 00:10:36
Cojo un menor de orden 2, le hago su determinante. 00:10:38
Si me sale distinto de 0, ya sé que el rango de A es 2. 00:10:40
Si me hubiese salido 0, yo me voy a otro, a otro menor de orden 2. 00:10:42
Y luego me voy a otro también, así hasta que me aparezca un menor de orden 2, 00:10:45
cuyo determinante sea distinto de 0. 00:10:50
Entonces yo ya puedo afirmar que el rango de A es 2. 00:10:51
¿Qué ocurre con la ampliada? 00:10:53
Que la ampliada, al ser 3x4, tengo 4 menores de orden 3. 00:10:54
Mientras que en la matriz 3x3 tan solo tengo un menor de orden 3 que es este. 00:10:58
La matriz A es una matriz 3x3 y el único menor de orden 3 es la matriz A. 00:11:02
Pero sin embargo, en la ampliada yo tengo cuatro menores de orden 3. 00:11:06
Entonces yo tendría que hacer los determinantes de estos menores 00:11:09
y en el momento que uno de ellos sea distinto de cero, 00:11:12
pues yo ya puedo afirmar que el rango de la ampliada es 3, 00:11:16
que es lo que nos ha ocurrido aquí. 00:11:19
¿De acuerdo? 00:11:21
Entonces ya son distintos por el teorema de Roche-Frobeni, 00:11:21
como el rango de A es 2 es distinto de 3, 00:11:23
que es el rango de la ampliada, un sistema incompatible y no tiene solución. 00:11:25
Nos vamos a ir ahora al último caso, el último caso que es para m igual a 2, ¿verdad? 00:11:27
Entonces, lo que voy a hacer es, voy a coger todo esto y lo voy a borrar, lo voy a borrar. 00:11:35
Venga, vamos a irnos al caso m igual a 2. 00:11:50
Si m es igual a 2, resulta que mi matriz A, ¿cómo queda? 00:11:54
Mi matriz A es igual a 1, 2, menos 1, 1, 2, menos 1, 2, 1, menos 2, 1, menos 1, menos 1. 00:11:57
Y mi matriz A ampliada es 1, 2, menos 1, aquí un 2, aquí un 2, perdón, aquí un 1, un 2 y un 1. 00:12:05
Y esto es igual a 2, 1, menos 2, 1, menos 1, menos 1. 00:12:15
Pues nada, hacemos como antes. 00:12:19
Cojo un menor de orden 1. 00:12:21
Determinante de 1 es igual a 1, que es distinto de 0. 00:12:23
eso implica que el rango de a es mayor o igual que 1 00:12:25
cojo esto de aquí, este menor de orden 2 00:12:29
que es 1, 2, 2, 1 00:12:31
si yo hago el determinante, es 1 menos 4 00:12:33
que es igual a menos 3 00:12:35
como es distinto de 0, implica que el rango de a es igual a 2 00:12:36
yo sé que el rango de a no es 3, ¿por qué? 00:12:41
porque el determinante del único menor de orden 3 de a 00:12:43
es su propio determinante 00:12:46
y sabíamos que éramos 0 00:12:47
porque hemos hallado los valores de m que hacían 0 ese determinante 00:12:48
por lo tanto, yo ya puedo afirmar que el rango de a es 2 00:12:50
vámonos 00:12:53
Ahora, a hacer, pues de nuevo, tengo yo aquí, si os fijáis, tengo 1, 2, 3 y 4, y tengo, como es una matriz 3x4, tengo los menores de orden 3, 1, 2 y 3, tengo el 4, 2, 3, tengo el 1, el 4 y el 3, y tenemos el 1, el 2 y el 4. 00:12:53
Estos son los menores de orden 3 de la matriz 3x4, mientras que en una matriz 3x3, como ya hemos dicho, tan solo hay una. 00:13:10
Entonces, ¿qué ocurre? Que voy a utilizar, por ejemplo, el 4, 2, 3, ¿vale? Yo hago el 4, la columna 4, la 2 y la 3. 00:13:22
Voy a hacer su determinante y entonces, ¿qué es? Es 1, 2, 1 y ahora cojo el 2, 1, menos 1 y el menos 1, menos 2, menos 1. 00:13:29
Y yo no sé si os habéis dado cuenta, pero resulta que esta de aquí y esta son proporcionales, entonces tú puedes decir que esto es igual a 0 porque la columna 3 es igual a menos columna 1 y su determinante es 0, o si no hago el determinante sin problema. 00:13:37
Ahora voy a coger el menor de orden 3 formado por 1, 4 y 3, y 1, 4 y 3 es 1, 2, 1, el 4 es 1, 2, 1 también, el 3 es menos 1, menos 2 y menos 1, y de nuevo vemos que la columna 1 y la columna 2 son iguales, por lo tanto es 0 porque columna 1 es igual a columna 2. 00:13:54
Y hay una propiedad de los determinantes que nos dicen que cuando una matriz tiene dos columnas o dos filas proporcionales, 00:14:16
o iguales, es otro tipo de proporción, de proporción multiplica por 1, pues entonces el determinante es 0. 00:14:23
¿Qué ocurre? Que como yo tengo un menor de orden 3, 0, me tengo que ir al siguiente. 00:14:28
Y como los dos son igual a 0, me tengo que ir al tercer menor. 00:14:32
El tercer menor está formado por 1, 2, 4. 00:14:35
Entonces el determinante es formado por 1, 2, 1, 2, 1, menos 1, y por 1, 2, 1. 00:14:39
¿De acuerdo? Aquí tengo esto de aquí. 00:14:45
igual, pues nos ocurre esto de aquí, que es que la primera columna y la tercera columna son iguales, esto es igual a 0, porque columna 1 es columna 3, si no lo vemos, que aquí se ve bien, pues hay que hacer los determinantes, y los 3 determinantes van a salir 0, entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:14:46
Que el rango, yo ahora sí tengo la potencia de decir que el rango de la A ampliada es igual a 2, porque los 4 menores de orden 3 que tengo al acceso determinante de los 4 valen 0. 00:15:02
Por lo tanto, no tengo ningún menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de 0. 00:15:13
Entonces, ¿qué puedo decir? Que para M igual a 2 implica que el rango de A es igual a 2, que es igual al rango de la A ampliada, pero es distinto a 3, que es igual al número de incógnita. 00:15:17
Y entonces, ¿qué ocurre? Que por el teorema de Roche-Frobenius es un sistema compatible, pero indeterminado. Tengo infinitas soluciones, chavales. Aquí no lo escribo, porque como estoy haciendo el vídeo, si yo me salgo de esta línea de aquí, pues resulta que se sobrescribe. 00:15:33
Pero tenéis que ponerlo todo entero, ¿eh? Sistema compatible y determinado e infinitas soluciones. Y yo ya tengo aquí, fijaros, el apartado 1 resuelto. El apartado 1 resuelto que discutí, que bueno, yo llevo 25 minutos, pero porque me estoy deteniendo y explicándolo todo y cada una de las cosas que estoy haciendo. Pero esto nos debería de llevar más de 5 minutos en el examen, ¿de acuerdo? Ahora vamos a resolverlo. Tú ves, resolverlo, resolverlo, sí que es un poquito más laborioso. Pero ¿cuándo lo voy a resolver? Pues fijaros que cuando yo tenga solución única o cuando yo tenga infinitas soluciones. 00:16:02
Entonces, ahora nos vamos a ir al apartado B y lo que vamos a hacerlo es resolverlo cuando es un sistema compatible determinado. 00:16:31
Es decir, ahora nos vamos al B. 00:16:38
Entonces, sistema compatible determinado, por favor, ponedlo todo. 00:16:39
Tenemos solución única, solución única, cuando es cuando si m es distinto de 2 y m es distinto de menos 1. 00:16:42
¿Qué es lo que ocurre? Pues que yo puedo aplicar aquí Cramer. 00:16:50
Si yo aplico Cramer, resulta que la x es igual a, donde tengo la primera columna, en vez de poner la primera columna, pongo los términos independientes, es decir, 1, 2 y m menos 1. 00:16:52
Ahora pongo la segunda columna, que era m, 1 y menos 1, y ahora pongo la tercera columna, que es menos 1, menos m y menos 1. 00:17:04
Y abajo, que es lo que tengo que poner, el determinante de a, voy a recordar, era menos m cuadrado más m más 2. 00:17:12
Si yo ahora desarrollo esto, que es menos 1 más 2 menos m cuadrado que multiplica m menos 1, menos m más 1, menos 2m más m. 00:17:20
Todo ello partido por menos m cuadrado más m más 2. 00:17:35
Sigo, continúo. 00:17:42
Y aquí resulta que este se me da con este y con este, ¿no? 00:17:44
Ah, esto es menos m, esto perdón, es menos m. Aquí se me ha ido, esto es menos m, se me va con este. ¿Y qué me queda? Pues me queda 1 menos m al cubo más m al cuadrado más 2m menos 1. 00:17:49
Y todo ello partido de menos m al cuadrado más m más 2. 00:18:04
Resulta que x es igual a menos m al cubo más m al cuadrado más 2m. 00:18:11
Y todo ello partido por menos m al cuadrado más m más 2. 00:18:22
Y si nos fijamos arriba, yo saco factor común m, que tengo menos m al cuadrado más m más 2. 00:18:28
Y al dividirlo precisamente por menos m al cuadrado más m más 2, lo que me queda aquí es m. 00:18:33
Porque esto es un factor, aunque sea de aquí, es un factor y se me va con este. 00:18:40
Entonces x, x vale m directamente. 00:18:44
Me voy a ir a la y. Si yo me voy a la y, hago lo mismo. 00:18:49
Es decir, tengo el determinante formado por, lo diré, el determinante 1, 2, 1, 1, 2, 1. 00:18:52
aquí pongo el término independiente que es 1, 2, m-1 y aquí pongo menos 1, menos m, menos 1 00:18:59
si yo hago este determinante, que abajo es, pongo el determinante de a que es menos m cuadrado más m más 2 00:19:06
si yo lo desarrollo, si no me equivoco, esto es menos 2, menos 2m, más 2, menos m, menos, menos 2, menos 2, menos 2, menos m cuadrado, más m 00:19:13
Y abajo pues lo que tengo, menos m al cuadrado más m más 2. Y esto se me queda, si yo recopilo, me queda menos 3m más 4 más m al cuadrado menos m, me queda menos 3m más 4 más m al cuadrado menos m partido del determinante, que es menos m al cuadrado más m más 2. 00:19:24
Y esto aquí, si no me equivoco, es m cuadrado menos 4m cuadrado menos 4m más 4 partido de menos m cuadrado más m más 2. 00:19:53
Y aquí fijaros una cosa. Resulta que el numerador es una identidad notable que es m menos 2 al cuadrado. 00:20:06
y si os acordáis, y esto es muy importante, como empieza con un número negativo 00:20:14
el coeficiente del monomio de mayor grado es menos 1, yo tengo que poner aquí un menos 00:20:18
y ahora como las soluciones de mi determinante eran menos 1 y 2, pues esto es m menos 2 por m más 1 00:20:24
¿qué ocurre? que aquí podemos ver que este y uno de estos se me va 00:20:30
este menos es precisamente porque es el coeficiente del polinomio de segundo grado 00:20:34
y esto se me queda como m menos 2 partido de menos m más 1. 00:20:40
Realmente esto sería 2 menos m partido m más 1. 00:20:47
Este menos lo que he hecho es darle la vuelta a este de aquí. 00:20:51
Entonces esto es igual a la i. 00:20:54
Y ahora vamos a hacer la z. 00:20:57
Si yo hago la z resulta que la z es igual al determinante 1, 2, 1 que era la primera columna, 00:21:00
la segunda columna que era m1 menos 1 y en la tercera columna lo que pongo son los coeficientes 00:21:08
de los términos independientes y abajo era el determinante de a que recordemos que era menos 00:21:14
m cuadrado más m más 2 si yo hago este determinante resulta que tengo m menos 1 menos 2 más 2m menos 00:21:19
1 más 2m al cuadrado menos 2m menos 2 todo ello partido aquí partido por menos m cuadrado más m 00:21:29
más 2 y esto como se me queda pues se me queda como 3m menos 3 3m menos 3 menos 2m al cuadrado 00:21:42
Más 2m más 1 partido de menos m al cuadrado menos m al cuadrado más m más 2. 00:21:51
Por lo tanto, mi z es igual a qué? A menos 2m al cuadrado menos 2m al cuadrado más 5m menos 2. 00:22:01
Y todo ello partido por menos m al cuadrado más m más 2. 00:22:12
¿Vale? 00:22:21
pero que ocurre 00:22:22
que yo aquí 00:22:27
si yo hago la ecuación de segundo grado 00:22:28
de aquí, si yo hago menos 00:22:32
2m cuadrado más 5m 00:22:38
menos 2, la igual a 0 00:22:41
tengo que m es igual a menos b 00:22:42
más menos 00:22:44
b al cuadrado que es 25 00:22:46
menos 4 por a y por c 00:22:48
4 por 2 es 8, 2 por 8 es 16 00:22:50
partido de 2 por 2 00:22:52
2 por menos 2 que es menos 4 00:22:54
y esto queda igual 00:22:56
da menos 5 más menos 3 00:22:59
porque 25 menos 16 es 9 00:23:02
la raíz de 9 es 3 menos 4 00:23:03
y esto que me sale 00:23:05
me queda menos 2 partido de menos 4 00:23:05
es igual a 1 medio 00:23:07
y menos 8 partido de menos 4 es 2 00:23:08
¿qué significa esto? 00:23:12
pues que yo puedo poner la z 00:23:14
fijaros que tengo aquí un menos 2 00:23:15
pues entonces esto es menos 2 00:23:17
que multiplica a m 00:23:18
menos 1 medio 00:23:20
por m 00:23:22
menos 2 00:23:24
y abajo si os recordáis 00:23:26
abajo, voy a hacer aquí 00:23:29
esto bien, esto era 00:23:32
menos m más 1 00:23:33
por m menos 2 00:23:35
¿y esto qué me queda? pues me queda 00:23:37
2m, ah, esto es un medio 00:23:39
perdón, un medio, vale, esto es un medio 00:23:45
un momento, a ver, voy a poner 00:23:47
mejor 00:23:49
perdón por el fallo, a ver 00:23:50
esto es menos un medio 00:23:55
por m menos 2 00:23:57
entonces esto es, este menos 00:23:59
se va con este menos 00:24:03
un momento, voy a poner esto de aquí 00:24:04
este se me va con este, este menos 00:24:06
se me va con este y que es lo que me queda 00:24:12
vaya hombre 00:24:14
entonces me queda 2m 00:24:14
menos 1 00:24:19
2m menos 1 partido 00:24:21
precisamente m más 1 00:24:24
por lo tanto mi x y z 00:24:26
me queda 00:24:28
aquí la suquetilla 00:24:29
m, 2 menos m 00:24:31
partido de m más 1 00:24:34
y 2m menos 1 00:24:36
partido de m más 1. 00:24:38
La última parte no hay que hacerla, 00:24:41
además lo dije en el examen, 00:24:43
oye, si te da tiempo y demás, 00:24:43
pues es más bonito dejarlo así 00:24:44
que sin factorizar, ¿vale? 00:24:46
Pero que sepáis que se pueden factorizar 00:24:49
y además tienen raíces comunes 00:24:50
y es lo que me permite a mí 00:24:51
que yo pueda reducir 00:24:52
lo que son los valores de x y z. 00:24:54
Esto en el examen tampoco se pide, 00:24:56
pero ya que estamos, 00:24:58
podemos hacer la comprobación 00:24:59
de que las soluciones son correctas. 00:25:00
Podemos hacer esa comprobación. 00:25:03
Entonces, si yo me vuelvo a copiar 00:25:05
mi sistema original, 00:25:07
Voy a seleccionar esto de aquí. O mejor dicho, voy a hacer... Bueno, sí. Si yo recorto de aquí para quedarme tan solo el sistema de ecuaciones, que es más fácil. Vale. Selecciono X y me voy al final. Aquí es la comprobación. Pues si te das cuenta, si yo copio aquí, ¿cuánto vale Y? 00:25:08
Ahora, se me ha quedado un vídeo muy largo pero yo creo que está todo bien explicado 00:25:28
La x, la primera ecuación, pues la x ¿cuánto vale? 00:25:34
m más m ¿cuánto vale la y? 00:25:37
2 menos m partido m más 1 00:25:39
menos z y z resulta que es 2m menos 1 partido m más 1 00:25:41
y esto que es igual, como el mínimo común múltiplo es m más 1 00:25:47
voy a multiplicar la m por m más 1 00:25:50
más ya esto lo multiplico por esto y por esto y me queda 00:25:52
más 2m menos m al cuadrado 00:25:57
ten cuidado que este menos afecta a este 00:25:59
y a este también, por lo tanto tengo menos 2m 00:26:01
más 1 00:26:03
y todo ello partido por 00:26:04
m más 1, lo único que he hecho es 00:26:07
poner el mínimo como múltiplo y sigo operando 00:26:09
y esto que me queda, esto es 00:26:11
m al cuadrado más m 00:26:13
este si lo veis 00:26:14
se me va esto con esto 00:26:17
me queda un menos m 00:26:18
cuadrado menos m 00:26:21
cuadrado más 1 00:26:25
menos m cuadrado más 1 y todo ello partido de m más 1 si os fijáis también este y este se me va y que me queda que m más 1 la primera m más 1 partido de m más 1 es igual al 1 que es lo que estábamos buscando que es esto de aquí 00:26:26
¿Lo veis? Si nos vamos a la segunda, voy a empezar aquí. La segunda sería 2 por x y la x vale m más y y la y que es 2 menos m partido m más 1 menos m por z y z que es 2m menos 1 partido m más 1. 00:26:44
Y eso todo tiene que ser igual a 2. Vamos a comprobarlo. Igual multiplico 2m por m más 1 para hacer el mínimo común múltiplo más 2 menos m menos 2m cuadrado más m, todo ello partido de m más 1. 00:27:01
Vamos a ver si esto realmente es, esto es m más 1, esto de aquí que es, esto es 2m cuadrado más 2m, aquí vemos que esto y esto se me van, me queda más 2 menos 2m cuadrado, el azul, más 2 menos 2m cuadrado, 00:27:14
Que esto realmente, no sé si lo estáis viendo ya, me queda m más 2, 2m más 2 que digo, que si yo, me refiero, este se me va con este, me queda 2m más 2, que si yo saco factor común es 2 por m más 1, que al dividirlo por m más 1 me queda el 2 que buscaba. 00:27:34
este 2 realmente es este 2 00:27:51
por lo tanto la primera se cumple 00:27:56
la segunda se cumple 00:27:58
y mucho cuidado porque en un sistema se tienen que cumplir las 3 00:27:59
vamos a ver si realmente también se cumple la tercera 00:28:02
en la tercera sería m menos 2 menos m partido m más 1 00:28:05
menos z que z es 2m menos 1 partido m más 1 00:28:10
y esto de aquí me tiene que salir al final m menos 1 00:28:15
vamos a comprobar 00:28:18
entonces m al cuadrado más m 00:28:18
ya he hecho la multiplicación de m por m más 1, menos 2 más m, porque este menos afecta a todo, 00:28:20
este menos también, entonces sería menos 2m más 1, y partido de m más 1. 00:28:27
A ver qué se pone aquí, aquí vemos que m más m menos 2m se me va, y me queda m cuadrado menos 2 más 1, 00:28:35
es menos 1 partido de m más 1. 00:28:47
¿Y qué ocurre? 00:28:49
Que m cuadrado menos 1 es una identidad notable 00:28:50
y esto se suma por 10 diferencias. 00:28:51
m más 1 por m menos 1 partido de m más 1. 00:28:53
Esto se me va. 00:28:57
Y fijaros que se me queda el m más 1, 00:28:58
que es este de aquí, me he equivocado, 00:29:03
me queda el m menos 1, 00:29:05
el m menos 1, que es el que está ahí. 00:29:06
¿De acuerdo? 00:29:09
Entonces, hasta aquí tenemos el sistema compartido determinado 00:29:10
que, bueno, yo he hecho la comprobación, 00:29:12
no hace falta, 00:29:13
pero que veamos que realmente esa es la solución. 00:29:14
Nos vamos a ir ahora al caso M igual a 2, que era un sistema compatible indeterminado, donde tengo infinitas soluciones. 00:29:16
Entonces, si la m vale 2, yo mi sistema, fijaros que me queda x más 2m menos z más 2m menos z es igual a 1, 2x más y menos 2m, 2z, perdón, menos 2z es igual a 2 y me queda aquí que x menos y, ay, perdón, esto es una, una y, x menos y menos z es igual a 2 menos 1, 1, 1. 00:29:36
vale 00:30:04
a ver si lo he hecho bien, yo creo que sí 00:30:06
para caso igual a 2 00:30:08
aquí mi chulerilla, un momentillo 00:30:10
en el caso, n igual a 2 00:30:19
bueno, pues no le damos ni la chulerilla, sigo 00:30:22
vamos a ver 00:30:26
si nos fijamos 00:30:28
la matriz era 1, 2 00:30:30
menos 1, esto era 2, 1 00:30:32
menos 2, 1, menos 1 00:30:34
menos 1 00:30:36
cuando estuvimos viendo el rango, vimos que este menor 00:30:37
era determinante distinto de 1 y este también 00:30:42
con lo cual yo lo que sí sé es que 00:30:44
tanto esta como esta 00:30:47
son linealmente independientes entre ellas 00:30:48
porque al hacer el menor cogido con la 00:30:50
primera ecuación y con la segunda ecuación 00:30:52
me sale que es distinto de 0 00:30:54
este determinante de hecho es 1 menos 2 menos 3 00:30:56
entonces ¿qué ocurre? que yo me voy a quedar 00:30:58
con la primera ecuación que es 00:31:00
x más 2y menos z 00:31:02
es igual a 1 y 2x más 00:31:04
y menos 2z es igual a 2 00:31:06
descorto 00:31:09
la tercera 00:31:10
También no sé si veis que si yo precisamente multiplico la fila tercera, es la fila segunda menos la fila primera. 00:31:12
Entonces, tengo la fila tercera, pero esto es más complicado de ver. 00:31:22
Entonces, lo más fácil es, como yo te cojo estos dos menores, y este menor de aquí, perdona, de orden 2, me sale distinto de 0, 00:31:26
me quedo con la primera fila y la segunda fila. 00:31:31
¿Y qué ocurre? Que hay una fórmula que me dice, número de incógnitas menos número de ecuaciones es igual al número de grados de libertad. 00:31:32
Al final voy a hacer un vídeo de una hora. 00:31:45
Lo podéis poner a dos por... ¿Vale? 00:31:48
Entonces, ¿qué ocurre? ¿Cuántas incógnitas tengo? Tres. 00:31:50
¿Cuántas ecuaciones me han quedado? Son estas dos, esta, y esta que son linealmente independientes, dos. 00:31:52
Y entonces esto es que es igual a un grado de libertad. 00:31:57
¿Vale? Entonces tengo un grado de libertad. 00:31:59
Un grado de libertad. 00:32:04
Si yo elijo, por ejemplo, que z es igual a mu, que pertenece a los números reales, 00:32:05
pues mi ecuación que se queda x más 2y es igual a 1 más z, que z es realmente mu. 00:32:10
Y la segunda ecuación que es 2x más y, porque estoy cogiendo esta ecuación, he cogido esta de aquí, 00:32:17
he pasado la z al otro lado y tengo aquí x más 2y es 1 más z. 00:32:21
Y de aquí que tengo que 2x más y es igual a 2 más 2z. 00:32:25
Pero aquí ya me pongo una z con una mu y entonces esto es igual a 2 más 2mu. 00:32:28
Si yo aquí lo que hago es, esta la multiplico por 2, la fila 1 es 2 veces la fila 1, tengo 2x más 4y es igual a 2 más 2mu 00:32:32
Y esta la dejo igual, tengo 2x más y es igual a 2 más 2mu 00:32:43
Si yo ahora hago la ecuación 1, mira, la ecuación 2, si yo esto lo resto, ¿qué ocurre? 00:32:48
Que me queda que 3y es igual a 0, eso significa que y es igual a 0, no depende de mu 00:32:52
por lo tanto si yo ahora me voy a esta ecuación de aquí 00:33:00
si yo me voy a esta ecuación de aquí 00:33:03
resulta que x es igual a 1 más mu menos 2y 00:33:06
pero resulta que como y es 0 es igual a 1 más mu 00:33:09
entonces mis soluciones x, y, yz es igual a 1 más mu, 0 y mu 00:33:13
para todo mu que pertenece a los números reales 00:33:21
vamos a hacer rápido la comprobación a ver si es verdad 00:33:25
entonces la comprobación la voy a hacer aquí en negro 00:33:28
Igual, esto no habría que hacerlo, pero yo me quedo más tranquilo si lo hago. 00:33:32
X, ¿cuánto vale la primera ecuación? 00:33:36
La X, la X vale 1 más mu, más 2 por 0, 2Y, menos Z, que es mu. 00:33:39
¿Esto es verdad que es igual a 1? Pues lo vamos a comprobar. 00:33:45
1 más mu menos mu resulta que es 1. 00:33:48
Se confirma la primera ecuación. 00:33:50
La segunda ecuación es 2 por X, que es 1 más mu, más Y, que es 0, menos 2 por Z, que es Z, es mu. 00:33:53
¿Esto es verdad que es un 2? Vamos a ver. Esto es 2 más 2 mu menos 2 mu. Resulta que es 2 y está perfecto. 00:34:00
Y ya si nos vamos a la tercera ecuación, resulta que es x, que es 1 más mu, menos y, que es 0, menos z, que es mu. 00:34:08
Siempre todo lo que sustituyo lo pongo entre paréntesis. ¿Esto es verdad que es 1? Pues resulta que tengo 1 más mu menos 0, que me da igual, menos mu, pues me queda 1. 00:34:16
Por lo tanto, esta es la solución cuando estamos en un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones. 00:34:25
Aunque me ha quedado un vídeo bastante largo, espero que os quede claro todo lo que hay que hacer, todos los pasos que hay que llevar. 00:34:34
Es verdad que estamos aquí poco a poco explicándolo todo, por eso la demora, pero este ejercicio como tal no os debería de llevar como mucho, mucho, mucho, a lo sumo entre 15 y 20 minutos. 00:34:39
No debería de llevaros más. Entonces, si os lleva más, tenéis que practicar bien todo. ¿De acuerdo? 00:34:47
Venga, vamos ya por el siguiente. 00:34:51
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
24
Fecha:
1 de noviembre de 2025 - 23:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
34′ 53″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
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