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Trigonometría: 37.Reducción 3 - Contenido educativo

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Subido el 7 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

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- Fórmulas de reducción al primer cuadrante. Ángulos del IV cuadrante.

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Continuamos explicando las fórmulas de reducción al primer cuadrante. 00:00:00
Vamos en este caso a trabajar con ángulos del cuarto cuadrante. 00:00:05
Tenemos los ángulos del cuarto cuadrante, nuestra circunferencia goniométrica de radio 1, 00:00:10
colocamos aquí los ángulos y vamos a trazar un ángulo del cuarto cuadrante. 00:00:15
Nuestra tarea será explicar qué ángulo del primer cuadrante vamos a escoger para relacionarlo con este ángulo beta. 00:00:21
Vamos a buscar un ángulo alfa del primer cuadrante a partir del cual podamos calcular las razones trigonométricas de beta. 00:00:30
¿En qué tenemos que fijarnos? 00:00:39
Si el ángulo beta pertenece al cuarto cuadrante, nosotros lo que nos vamos a fijar en este caso es 00:00:41
en cuánto le falta al ángulo beta para llegar a completar la circunferencia, 00:00:46
es decir, cuánto le falta al ángulo beta para llegar a valer 360º. 00:00:52
Tenemos entonces solamente que hacer una recta, que es quitar de 360º una determinada cantidad, 00:00:57
es decir, el ángulo beta va a ser igual a 360º menos una determinada cantidad, 00:01:04
que será lo que le falta para llegar a la circunferencia completa, es decir, completar una vuelta. 00:01:10
Entonces, si trabajamos en grados exagesimales, si trabajamos en radianes, sería 2pi menos alfa. 00:01:17
Ahí tendríamos entonces el ángulo alfa, que es lo que le falta a beta para llegar a valer 360º. 00:01:23
Estos ángulos, los ángulos de este tipo, se llaman ángulos que suman 360º o 2pi radianes. 00:01:31
También se llaman ángulos opuestos. Ahora, un poquito más adelante, lo vamos a ver sobre la circunferencia, 00:01:39
sobre el dibujo, sobre el gráfico, pero no es difícil de entender, puesto que ya hemos explicado antes esto, 00:01:45
que ese ángulo beta, tal y como está ahí, pues es equivalente a menos alfa. 00:01:52
Es decir, si ese ángulo alfa lo medimos en el sentido de las agujas del reloj, pues sería el mismo ángulo. 00:01:58
Beta sería igual que el ángulo menos alfa. Por tanto, entonces, este tipo de ángulos se llaman también ángulos opuestos. 00:02:05
Vamos a ver ejemplos. Si tenemos el ángulo de 330º, es decir, si beta vale 330º, el ángulo del cuarto cuadrante, 00:02:14
para saber lo que le falta a este ángulo para llegar a 360º, ¿qué tendríamos que hacer? 00:02:22
Pues simplemente rectar de 360º, como hemos visto antes, y eso nos daría para alfa 30º. 00:02:29
De manera que la pareja de ángulos que suman 360º o 2pi radianes, pues serían 330 y 30º. 00:02:35
Sería equivalente a tener el ángulo de 330, el ángulo de 330 es equivalente a menos 30º. 00:02:45
Es decir, si medimos 30º en el sentido negativo, pues sería también equivalente. 00:02:53
Si tenemos beta 300º, para llegar al alfa solamente tenemos que hacer esa recta y nos daría para alfa 60º. 00:02:59
Sería otra pareja que nos sirve de ejemplo. 00:03:07
Bien, entonces podemos escribir beta como 360º menos alfa o también, como hemos explicado, como menos alfa. 00:03:11
Eso se ve, ahí se ve todavía más claramente, si nos damos cuenta de que es equivalente el ángulo beta 00:03:21
a tener el ángulo alfa medido en el sentido negativo. 00:03:28
De manera que por eso se llaman también ángulos opuestos. 00:03:32
Es decir, es equivalente, por ejemplo, 300º a menos 60º, es equivalente 330º a menos 30º, 00:03:35
es equivalente 315º a menos 45º, por eso se llaman también ángulos opuestos. 00:03:45
De acuerdo, vamos a ver entonces el ángulo del primer cuadrante con el que vamos a relacionar a beta. 00:03:53
Simplemente lo que tendríamos que hacer es trazar el ángulo alfa sobre el primer cuadrante 00:04:00
y darnos cuenta de que este segmento nos daría la longitud del seno del ángulo beta, 00:04:05
este sería el coseno del ángulo beta, este sería el seno del ángulo alfa 00:04:11
y el coseno del ángulo alfa que simplemente por construcción nos damos cuenta de que coincide exactamente con el coseno de beta. 00:04:17
Esto nos hace todavía ver como mucho más sencillo las fórmulas que ahora vamos a explicar. 00:04:25
En este caso los dos triángulos son iguales porque tienen dos ángulos iguales y además dos lados iguales, 00:04:31
es decir, los triángulos son exactamente iguales y prácticamente es como si se miraran en un espejo un triángulo con respecto al otro. 00:04:36
Ese sería el primer triángulo, el que nos da las razones trigonométricas de beta y este sería el otro. 00:04:46
Vemos que prácticamente es eso, como si se miraran en un espejo, como si se reflejaran. 00:04:54
El seno del ángulo beta, que sería el segmento que tenemos aquí, ese sería el seno del ángulo beta, 00:05:00
sería igual que este segmento con la diferencia de que, como ya hemos explicado otras veces, 00:05:08
el seno de beta es negativo, aunque las longitudes sean iguales, pero el seno de beta es negativo, 00:05:14
mientras que el seno de alfa es positivo, por lo tanto para poder igualarlos tenemos que cambiarle el signo al seno de alfa. 00:05:21
Hemos colocado ahí esas fórmulas para que nos acostumbremos a verlas de todas las maneras, 00:05:28
es decir, es lo mismo escribir seno de 360 grados menos alfa o seno de menos alfa sería equivalente a menos seno de alfa, 00:05:33
es decir, el seno del ángulo opuesto a alfa es igual que el seno del propio alfa pero cambiándole el signo. 00:05:43
Si ahora escribimos el coseno de beta o lo mismo que el coseno de 360 menos alfa o lo que es igual, 00:05:51
el coseno de menos alfa, el coseno del ángulo opuesto a alfa, resulta que por la misma construcción nos damos cuenta de que 00:05:59
ese sería el coseno de beta pero es que es exactamente el mismo segmento en la misma posición, mide exactamente igual, 00:06:07
por lo tanto coinciden exactamente el coseno de beta y el coseno de alfa, serían iguales, es decir, 00:06:14
un ángulo y su opuesto tienen el mismo coseno, ¿de acuerdo? Un ángulo y su opuesto tienen el mismo coseno. 00:06:20
La tangente de beta es la misma que la tangente de 360 grados menos alfa y por lo tanto, como ya hemos estado explicando, 00:06:30
es igual que la tangente de menos alfa. Si trazamos la tangente de beta o lo que sería la tangente de menos alfa, 00:06:36
ese sería lo que mediría, ese segmento, ahí lo tenemos, y si trazamos la tangente de alfa pues estaría ahí. 00:06:43
Nos damos cuenta de que miden también lo mismo, solamente que la tangente de beta es negativa mientras que la de alfa es positiva. 00:06:53
Por lo tanto, ¿para que coincidan? Pues tenemos que cambiar el signo de tangente de alfa, ¿de acuerdo? 00:07:01
Sería la única manera de conseguirlo y entonces tendríamos menos tangente de alfa, de manera que la tangente de beta es igual a menos tangente de alfa. 00:07:07
Esto también podría verse de los cocientes, ¿verdad?, trabajando con los cocientes. 00:07:18
Bueno, vamos a ver ahora entonces la secante. La secante sería igual a, escrita de esa manera, sería la secante de menos alfa 00:07:23
y puesto que la secante tiene que ver con el coseno y la embesa del coseno, ¿cómo los cosenos coinciden? 00:07:33
Pues entonces las secantes también van a coincidir. Con respecto a la cosecante, le va a pasar igual que al seno, 00:07:39
es decir, cambia el signo simplemente, la cosecante de beta con respecto a la de alfa, y la tangente va a pasar igual. 00:07:48
La cotangente de beta tiene que ser igual a cotangente de 360 menos alfa, igual a cotangente de menos alfa, que sería igual a menos la cotangente de alfa. 00:07:56
Tenemos por tanto resuelto el problema de cómo encontrar las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante 00:08:07
si conocemos las correspondientes del ángulo que hemos elegido de manera conveniente del primer cuadrante. 00:08:14
Y con esto hemos terminado los vídeos dedicados a la reducción de ángulos al primer cuadrante. 00:08:22
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1575
Fecha:
7 de noviembre de 2007 - 13:17
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
08′ 33″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
10.69 MBytes

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