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Corrección del examen de semejanza y trigonometría 4ºB-21-1-22 - Contenido educativo

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Subido el 27 de enero de 2022 por Pablo V.

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Bien, vamos a comenzar la resolución del problema del examen de semejanza de trigonometría que realizasteis el 21 de enero de 2022 00:00:01
y cuyo primer ejercicio dice lo siguiente. 00:00:12
Calcula las longitudes desconocidas x e y, indica cómo se llama al principio, teorema o fundamento que aplicas en un cero. 00:00:17
Nota, los segmentos de longitudes x y 5 son paralelos. 00:00:25
Bien, en primer lugar vamos a analizar la figura que nosotros tenemos aquí 00:00:28
Tenemos dos triángulos encajados, por lo tanto se encuentran en la posición de tales 00:00:36
Cuando dos triángulos están en la posición de tales, cuando tienen un ángulo en común 00:00:43
Este ángulo, vamos a suponer, y los lados opuestos 00:00:52
Esto ha quedado un poco mal 00:00:58
Y los lados opuestos 00:01:01
Al ángulo que comparten 00:01:03
Son paralelos 00:01:05
Esos son triángulos en posición de tales 00:01:07
Y esos triángulos son semejantes 00:01:10
¿Vale? 00:01:12
Por lo tanto nosotros aquí tenemos dos triángulos 00:01:13
En posición de tales 00:01:16
¿Vale? 00:01:17
Porque comparten este ángulo de aquí 00:01:19
Y estos dos lados son paralelos 00:01:21
Porque nos lo han dicho 00:01:23
Los paralelos se representan así 00:01:24
¿Vale? 00:01:26
lo dice el enunciado, que son paralelas 00:01:26
bien 00:01:29
por otro lado 00:01:31
nosotros aquí podríamos aplicar 00:01:33
el teorema de Tales 00:01:35
que dice que si dos o más rectas 00:01:36
paralelas, en este caso 00:01:39
las rectas paralelas serían las rectas 00:01:41
del segmento de 5 00:01:43
y del segmento X 00:01:44
dice que si dos o más rectas 00:01:46
paralelas son cortadas 00:01:49
por dos rectas transversales 00:01:51
que serían 00:01:53
estos lados, ¿vale? Los segmentos que se forman en cada uno de los lados son proporcionales 00:01:55
a los que se forman en el otro lado, ¿vale? Los segmentos que se forman en una recta son 00:02:01
proporcionales a los que se forman en la otra, es decir, este segmento de aquí que mide 00:02:09
1 sería proporcional a este otro que mide 1,5 y este otro segmento de aquí que mide 00:02:14
4,5 menos 1, 3,5 00:02:20
sería el proporcional a este segmento de aquí, que mide ahí 00:02:24
¿vale? entonces, en este ejercicio hay que tener 00:02:28
dos cosas muy claras 00:02:33
hay que tener en cuenta, si vamos a relacionar lados de un triángulo 00:02:35
con lados de un triángulo, ¿vale? por ejemplo, 3,5 00:02:41
con Y, son lados de un triángulo 00:02:44
o 4,5 con i más 1,5, o si vamos a relacionar partes de esta recta que no son lados de un triángulo, 00:02:47
con partes de un segmento o partes de un lado que no son lados de un triángulo. 00:03:01
Es muy importante. Si yo relaciono 1 con 1,5, estoy relacionando o estoy empleando el teorema de Tales. 00:03:08
No estoy empleando semejanza de triángulos, estoy empleando el teorema de Tales 00:03:16
Y por otro lado se relaciona 3,5 con I 00:03:21
Estoy relacionando lados por semejanza de triángulos y también por teorema de Tales 00:03:26
Estos dos lados de aquí, 3,5 e I, se relacionan tanto por el teorema de Tales como por triángulos semejantes 00:03:34
Pero este lado de aquí, 1 y 1,5, solo se relacionan por teoría de metales, ¿vale? 00:03:41
Entonces, vamos a ir a la parte más fácil. 00:03:47
Vamos a calcular y, ¿vale? 00:03:49
En primer lugar, y. 00:03:52
La x es un poco más difícil, ¿vale? 00:03:53
Entonces, bueno, voy a dejar eso ahí. 00:03:56
Lo voy a dejar. 00:04:00
Que no estorba, ¿vale? 00:04:02
Entonces, vamos a por la y. 00:04:04
Aquí podemos relacionar que 3,5 es a y. 00:04:06
No, tengo dos triángulos. Tengo este triángulo pequeño, los voy a separar para que se vea más fácilmente. 00:04:11
Este sería el triángulo Y, formado por Y, por el lado de 3,5 y por el lado de X. 00:04:21
Y por otro lado tendría el triángulo, no sé si lo estoy dibujando muy bien, más bien no, 00:04:30
Pero tampoco quiero dedicar mucho tiempo. Esto sería I más 1,5 y esto sería 4,5. ¿Vale? Tengo ahí dos segmentos semejantes. ¿No? Bien. 00:04:39
Pues entonces yo puedo relacionar I con I más 1,5 y 3,5 con 4,5, por ejemplo, ¿vale? 00:04:55
Vale, pues lo escribo, 3,5 es este lado, su homólogo es 4,5, 3,5 es a 4,5, como este lado de aquí, I es a I más 1,5. 00:05:05
Eso sería una relación posible, ¿vale? Pero hay más. Esto sería por semejanza de triángulos. 00:05:22
Por semejanza de triángulos. 00:05:30
Vamos a ver si podríamos hacerlo más sencillo por el teorema de Tales. 00:05:42
Por el teorema de Tales, ¿yo qué podría decir? Que 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 00:05:47
Porque 3,5 es un segmento definido en las dos rectas, o sea, lo que hemos dicho, la recta del segmento X y la recta del segmento 5 son paralelas. 00:05:54
Y si dos rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos que se definen en una de las rectas son proporcionales al otro, ¿vale? 00:06:08
Entonces, por tales, por el teorema de tales, ¿cómo sería esto? Sería 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 3,5 es ahí, como 1 es a 1,5, ¿vale? 00:06:18
Siempre estoy poniendo en los numeradores los segmentos de la recta superior y en el denominador, en los denominadores, la recta y los segmentos de la recta esta, que es un poco más vertical. 00:06:47
Por lo tanto, parece que es más sencillo despejar y de esta proporción más que de esta, porque aquí vamos a tener que trabajar un poco más, pero si queréis vemos que nos va a salir lo mismo. 00:07:00
Aquí haciendo producto de medios igual a producto de extremos nos queda que 3,5 por 1,5 es igual a i por 1, es decir, i por lo tanto i es igual a 5,25 y así ya lo tendríamos resuelto, ¿vale? 00:07:12
Vamos a ver que de esta proporción, recordad que esto es una igualdad entre razones, porque esto es una razón y esto es otra razón, vamos a obtener lo mismo. 00:07:34
Entonces, hacemos producto de medios igual a producto de extremos. 3,5 que multiplica a i más 1,5 es igual a 4,5i. 00:07:50
Y por lo que es lo mismo, 3,5Y más 3,5 por 1,5 es 5,25. 5,25 es igual a 4,5Y. 00:08:03
¿Vale? Y si de aquí pasamos el 3,5i restando hacia la derecha, nos queda 5,25 es igual a, ¿cuánto es 4,5 menos 3,5? Nos queda i. ¿Vale? Es decir, el resultado es el mismo, tanto si razonamos en estos dos por semejanza de triángulos, como si razonamos por el teorema de Tales con estos dos lados. 00:08:20
¿Vale? Luego el apartado, o sea, la X, la Y ya la tendríamos. Ahora nos faltaría encontrar la X. ¿Qué podemos hacer para encontrar la X? Para encontrar la X tenemos que recurrir, ya la única solución que tenemos es la semejanza de triángulos. ¿Vale? Aplicar semejanza de triángulos. 00:08:49
Pues bien, como conocemos Y, tampoco nos haría falta, porque tenemos una pareja de lados homólogos, que los conocemos los dos lados, que es 3,5 y 4,5, y X y 5, los conocemos. 00:09:11
Entonces vamos a establecer una semejanza entre estos triángulos, pero haciendo intervenir a la x ahora, ¿vale? Pues decimos, igual que antes, 3,5 es a 4,5 como x es a 5. 00:09:29
Por lo tanto, x va a valer, el 5 que está dividiendo pasa multiplicando, es 3,5 por 5, dividido entre 4,5, y eso es igual a 3,8 periodo. 00:09:44
3,8 periodo, ¿vale? 00:10:02
Luego aquí tendríamos las dos soluciones, ¿vale? 00:10:06
Las voy a poner aquí, x es igual a 3,8 periodo y y es igual a 5,25 y con esto habríamos terminado, ¿vale? Ese sería el ejercicio número 1. Vamos ahora a por el ejercicio número 2, ¿vale? 00:10:09
Bien, pues ya tenemos aquí el enunciado del segundo problema, que dice, enuncia los tres criterios de semejanza de triángulos, di si los siguientes triángulos son o no semejantes y qué criterio justifica cada una de tus dos respuestas. 00:10:32
Bien, he copiado aquí en azul los criterios de semejanza de triángulos. El primero es que los dos triángulos tengan dos ángulos iguales. El segundo criterio dice que tengan tres lados proporcionales. 00:10:49
Y el tercer criterio dice que tengan un ángulo igual y los lados que forman dicho ángulo son proporcionales, ¿vale? 00:11:03
Vale, pues comenzamos con el apartado A, que nos da dos triángulos, uno más pequeño que otro, 00:11:12
y aquí es muy importante no fijarse o no dejarse engañar por la forma que tienen las figuras, 00:11:21
porque puede ser que las figuras estén deformadas, no estén a escala, los ángulos no estén proporcionales, 00:11:27
Lo que mandan son las medidas, ¿vale? Aquí nos fiamos solamente de las medidas. 00:11:33
Del triángulo de la izquierda conocemos el ángulo de 25 grados y los dos lados. 00:11:40
Por lo tanto, parece que el criterio candidato va a ser el número 3. 00:11:45
Pero en el triángulo de la derecha tenemos dos ángulos y ninguno es de 25 grados. 00:11:51
Pero podemos calcular cuánto meide el triángulo, el ángulo de la izquierda. 00:11:57
¿Cuánto va a medir ese ángulo? 00:12:04
Pues, si lo llamamos a ese ángulo alfa, ¿no? 00:12:07
Como los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados, 105 más 50 grados más alfa es igual a qué? 00:12:11
180 grados, ¿no? 00:12:24
Bien, por lo tanto, alfa es igual a ciento ochenta grados menos ciento cinco menos cincuenta, ¿vale? Menos cincuenta. ¿Y eso cuánto es? Eso es ciento ochenta menos ciento cincuenta y cinco, que es igual a veinticinco grados. 00:12:25
Esto vale 25 grados, ¿vale? Por lo tanto, ya sabemos que los dos triángulos tienen un ángulo igual. Ahora tenemos que ver si este lado es proporcional a uno de estos dos lados y este otro lado es proporcional al otro de los dos lados, ¿vale? 00:12:49
Entonces, aquí siempre hay que tener en cuenta cuál es el lado mayor. 4 es mayor que raíz de 3, y 4 raíz de 3 es mayor que 3, es decir, tengo que ver si 4 está relacionado con 4 raíz de 3 y raíz de 3 con 3. 00:13:10
Vamos a ver si es verdad. Yo digo raíz de 3 es a 3, si fueran proporcionales, lo pongo en interrogación, porque es lo que tengo que comprobar, si 4 es a 4 raíz de 3. 00:13:32
Haciendo producto de medios igual a producto de extremos, tendría que 4 raíz de 3 por raíz de 3 tendría que ser igual a 4 por 3, que es este otro producto cruzado. 00:13:50
Y vemos que raíz de 3 por raíz de 3 es 3, luego es cierto, es cierto y los dos triángulos de A son semejantes por el tercer criterio, ¿vale? 00:14:08
Bien, tienen un ángulo igual y los lados son proporcionales. 00:14:46
Es importante que siempre veáis quién es el mayor de los dos lados, porque si hubiéramos hecho, dice, no, si yo relaciono el mayor del de la izquierda, es decir, si yo digo 4 es a 3 como raíz de 3 es a 4 raíz de 3, esto no es cierto. 00:14:51
Siempre tengo que relacionar el mayor con el mayor y el menor con el menor, ¿vale? Bien. Vamos con el caso B. En la pareja de triángulos del apartado B, ¿qué es lo que conocemos? Los tres lados de cada uno de los triángulos. 00:15:19
Por lo tanto, está claro que el criterio que tenemos que probar es si los tres lados son proporcionales, ¿vale? Este era el apartado A y ahora vamos al apartado B, ¿no? Entonces, 4, 5, 6, yo tengo aquí los lados 4, 5, 6, ¿vale? 00:15:37
Y por otro lado tengo 5, 6, 7. Los tengo que poner en orden para guardar la comparación, para que no me equivoque. Y yo compare y mire si 4 está en proporción, en la razón 4, 5 es igual que la razón 5, 6 y es igual a la razón 5, 7. 00:15:57
Lo he ordenado para no equivocarme, para comparar siempre el menor con el menor, el mediano con el mediano, el mayor con el mayor. 00:16:16
Aquí es muy fácil porque han guardado la posición relativa y se ve muy bien que el 4 va con el 4, o sea, que el 4 va con el 5, pero no siempre es así, ¿vale? 00:16:23
El 5 con el 6 y el 6 con el 7. Me los podían haber girado y yo me podría confundir. 00:16:33
Entonces, para eso, como digo, siempre hay que ordenar de menor a mayor, ¿vale? 00:16:38
Entonces, ahora vamos a ver si 4 partido por 5 es igual a 5 partido por 6. 00:16:41
Hacemos producto de medios. 00:16:53
Vemos si es igual a producto de extremos. 00:16:56
4 por 6 es igual a 5 por 5. 00:16:58
No, porque esto es 4 por 5, 20 00:17:05
Y esto es 5 por 5, 25 00:17:09
Con que una razón sea distinta a otra razón, ya no son semejantes 00:17:12
No hace falta que comprobemos más 00:17:21
No son semejantes 00:17:23
Pero, no obstante, vamos a comprobar si las otras razones son iguales o no 00:17:26
5 sextos 00:17:32
Vamos a ver si 5 sextos es igual a 6 séptimos, ¿vale? 5 sextos es igual a 6 séptimos, hacemos producto de medios y vemos si es igual a producto de extremos. 00:17:33
5 por 7, 35, es distinto de 6 por 6, que es 36, lo que ya sabíamos. 00:17:53
Bueno, esta proporción podría haber salido igual, ¿vale? 00:18:04
Pero eso no cambiaría las cosas. 00:18:08
Aunque esta proporción hubiera salido igual, como la de la izquierda, la de 4, 5, comparada con 5, 6, no es igual, no son semejantes, ¿vale? 00:18:10
Basta con que una proporción no se cumpla, con una igualdad no se cumpla, para que no haya proporcionalidad. 00:18:25
Tienen que ser todas iguales, ¿vale? 00:18:34
Bien, vamos con el tercer problema. 00:18:37
Paro la grabación y continúo. 00:18:41
Bien, el tercer problema, no, el cuarto problema, no, es el cuarto porque el tercer lo puse al final porque tenía mucho enunciado. 00:18:45
Voy a hacer el cuarto antes que el tercero. 00:18:53
Dice, los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 centímetros y 71 centímetros. 00:18:56
Hallan los dos ángulos agudos expresando el resultado en grados sexagesimales, en forma compleja e incompleja. 00:19:02
Bien, vamos a comenzar dibujando el triángulo, que ha habido algunos de vosotros que se ha liado. 00:19:11
Los catetos son los lados que están tocando al ángulo recto y la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto. 00:19:17
He dibujado este un poco más largo que este porque este mide 71 centímetros y este mide 48 centímetros. 00:19:35
¿Vale? Ya tenemos planteado el triángulo rectángulo que nos da. Vamos a leerlo otra vez por si acaso lo hubiéramos hecho mal. Dice, los dos catetos, los catetos son estos, los que tocan el ángulo recto, y esta es la hipotenusa, que no toca al ángulo recto, está opuesto. 00:19:46
Dice, los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 centímetros y 71 centímetros 00:20:02
Hayan los dos ángulos agudos 00:20:08
¿Quiénes son los dos ángulos agudos? 00:20:11
Pues los dos ángulos que no son el ángulo recto, ¿vale? 00:20:14
A este lo vamos a llamar alfa 00:20:17
Y a este de aquí lo vamos a llamar beta, ¿vale? 00:20:18
O sea, tenemos que hallar alfa-beta expresando el resultado en grados sexagesimales 00:20:24
En forma compleja e incompleja 00:20:28
La forma compleja es la de grados minutos y segundos y la incompleja es la que no tiene grados minutos y segundos, ¿vale? 00:20:31
Entonces, ¿qué es lo que se nos ocurre hacer aquí? ¿Qué se nos ocurre para hallar los ángulos? 00:20:39
Pues calcular alguna razón trigonométrica y después utilizar la función inversa de la calculadora, ¿no? 00:20:51
Vale, entonces, si nos centramos en el ángulo alfa, ¿qué razón trigonométrica puedo yo conocer haciendo una división directa sabiendo que conozco estos dos catetos? 00:21:00
El cateto opuesto y el cateto adyacente a alfa. 00:21:13
Parece evidente que la razón trigonométrica que tenemos que utilizar es la tangente, ¿no? 00:21:18
La tangente de alfa es igual, cateto opuesto, cateto opuesto es el que no toca al ángulo, cateto opuesto, 48 centímetros partido por cateto adyacente, 71 centímetros. 00:21:22
Lo pongo con unidades para que veáis que centímetros con centímetros se me va y por lo tanto la tangente es adimensional. 00:21:38
Todas las razones trigonométricas deben ser adimensionales. Por eso, si esto lo tenéis en metros y esto en centímetros, tenéis que hacer una conversión de unidades para dejarlo todo en la misma unidad. 00:21:46
Y así que se os vayan las unidades y os quede adimensional. Por lo tanto, la tangente vale, si hacemos eso con la calculadora, vale 0, 67, 60. 00:21:58
67, 60. ¿Cómo se calcula a partir de la razón trigonométrica el ángulo? Pues alfa es igual al arco cuya tangente vale 0,6760. 00:22:08
Es decir, alfa es el arco, o el ángulo, arco y ángulo significa lo mismo, el arco cuya tangente vale 0,6760. 00:22:28
Voy a copiar una imagen de otro problema y ahora vengo, un segundo. 00:22:41
Vale, ya estoy aquí de nuevo, he ido a copiar la imagen de la calculadora para que veáis las teclas que tenemos que apretar. 00:22:49
¿Vale? Entonces, yo una vez que haya hecho la tangente, ¿no? Es decir, yo aquí hubiera hecho, hubiera apretado la tecla de tangente, voy a seleccionar esto, F6, y aquí voy a seleccionar el color amarillo, porque creo que se ve mejor. 00:22:57
Hubiera dicho tangente, lo podemos hacer por ejemplo con paréntesis, tangente de, hubiera dicho 48 dividido entre 71, cierro paréntesis y le doy al igual. 00:23:24
me hubiera salido 0 6 7 6 0 vale bien y una vez que tengo eso que ya tengo metido aquí me hubiera 00:23:47
dicho 0 6 7 6 0 vale en ese caso lo siguiente que tengo que hacer es dar aquí a la tecla shift 00:23:57
que casi todas las calculadoras lo tenéis de una manera u otra 00:24:12
shift, tan 00:24:16
shift, tan 00:24:18
y tengo dos posibilidades 00:24:21
o bien tecleo 06760 00:24:23
o bien utilizo la tecla ans 00:24:27
¿vale? 00:24:30
porque la tecla ans lo que me hace es 00:24:31
recordarme, ponerme 00:24:34
utilizar el último resultado que a mí me ha salido 00:24:36
Y como mi último resultado era 0,6760, él me va a hacer el arco tangente de 0,6760, ¿vale? Pero si os liáis lo podéis hacer introduciendo el valor numérico que habéis utilizado ahí, ¿vale? 00:24:40
Lo voy a escribir por si acaso os liáis. Sería hacer tecla Shift, Shift, tecla Tan, de tangente, es decir, eso sería el arco tangente, Shift, Tan, y podéis hacer 0,6760 y le dais al igual. 00:25:00
Y en ese caso os diría que alfa es igual a 34,06,09 grados, siempre que tengáis la calculadora en modo D, ¿vale? 00:25:23
Es esta D aquí pequeñita que ya os expliqué cómo se cambiaba. 00:25:43
La D son grados sexagesimales. Si lo tuvierais en R, os lo daría en radianes. Este resultado sería en radianes, pero como lo tengo en D, mi resultado son grados sexagesimales y por eso pongo el circuito ahí arriba. 00:25:47
¿Vale? También podríais haber hecho Shift-Tan, Shift-Tan y haber dado a la tecla ANDS, siempre y cuando que vosotros tuvierais en pantalla el último resultado, el resultado anterior hubiera sido el 0,6760. 00:26:03
pero comprobadlo y veréis que os tiene que dar lo mismo, ¿vale? 00:26:27
Esta es la forma incompleja, y si la queremos pasar a compleja, con grados, minutos y segundos, 00:26:31
tendríamos que pulsar esta tecla de aquí, ¿vale? 00:26:40
Que, que, a ver, que no lo puedo coger, si lo vemos ampliado, dice esto, que es el símbolo de grados, minutos y segundos, ¿vale? Bien, pues ya tenemos el ángulo alfa. 00:26:44
¿Cómo calculamos el ángulo beta? Pues tenemos dos posibilidades, o repetir el mismo procedimiento de aquí, definiendo la tangente de beta, ¿vale? Un segundo, podemos decir que la tangente de beta es igual a cateto opuesto, sería 71 partido por 48. 00:27:04
No he puesto lo de centímetros, pero bueno, ya no es necesario, porque ya hemos visto que está en centímetros, ¿vale? Y beta sería, ¿no?, el arco cuya tangente vale, pues, lo que sea. 00:27:25
Pero hay una manera más fácil, ¿vale? ¿Cuál es? Pues nosotros sabemos que 180 grados es lo que suman los tres ángulos de un triángulo, ¿vale? Uno de los ángulos es recto, por lo tanto pongo aquí 90 grados más alfa más beta. 00:27:39
Yo ya conozco alfa, por lo tanto, yo lo que tengo que hacer es despejar beta. Vale, pues beta va a ser igual a 180 menos 90 menos alfa. Es decir, 180 menos 90 es 90 menos alfa, que vale 34,0609 grados. 00:27:58
Perdón, aquí se me ha olvidado expresar alfa en forma compleja, ¿vale? Que eso, como hemos dicho, se hacía apretando la tecla de grados, minutos y segundos, ¿vale? 00:28:24
Es decir, alfa es igual, si hiciéramos eso, a 34 grados, 34 grados, 3 minutos, 3 minutos, 39 segundos. 00:28:37
Luego hay un apartado que ya lo tendríamos, que es alfa, ¿vale? 00:28:54
Entonces, para hallar beta en forma incompleja sería 90 menos 34, 06, 09. 00:28:59
Y eso nos daría que beta es igual a 55, 93, 9, 0. 00:29:07
Y si apretamos la tecla de grados, minutos y segundos, esta de aquí nos daría 55 grados, 56 minutos, 20 segundos, ¿vale? 00:29:19
Bien, eso sería beta, en forma incompleja y compleja, ¿de acuerdo? 00:29:33
Y con eso habríamos terminado. 00:29:41
No obstante, voy a comentar que algunos de vosotros habéis calculado las razones trigonométricas recurriendo a la hipotenusa 00:29:43
No haría falta, pero bueno, lo voy a comentar también 00:29:55
Lo voy a empezar de nuevo, aquí abajo, ¿vale? 00:29:59
Entonces voy a dibujar el triángulo de nuevo, que sería aproximadamente así, ¿vale? 00:30:02
Aquí tengo 71 centímetros y 48 centímetros. Esto es alfa, esto es beta. ¿Cuánto mediría la hipotenusa? Muy fácil, la hipotenusa mediría la raíz cuadrada de 71 al cuadrado más 48 al cuadrado. 00:30:12
Y eso es igual a 85,70 centímetros, ¿vale? 00:30:32
Y lo que hacíais vosotros, algunos de vosotros, es razonar con el seno. 00:30:41
Que veis que os complicáis porque tenéis un cálculo más. 00:30:47
Y algunos habéis dicho, seno de alfa es igual a cateto opuesto, 48 centímetros partido por la hipotenusa, 00:30:51
que es 85,70 centímetros, ¿vale? Centímetros con centímetros se van y me queda un seno adimensional, ¿vale? 00:31:01
¿Vale? Paro, que voy por la calculadora, que no la tengo. Vale, el resultado es, esta división es 0,56, 0,0, ¿vale? Vale, y una vez hecho eso, tendríamos que alfa es el arco seno, el arco cuyo seno vale 0,56, ¿vale? 00:31:14
Entonces, si yo hago shift, seno, ans, eso me da 34, 0, 6, 2, 2, 0, 6, 2, 2. 00:31:44
Que es un poquito diferente a lo que nos daba antes, pero es por la cuestión de los decimales que hemos perdido en la hipotenusa, porque no he sacado todos los decimales, ¿vale? 00:31:59
pero sería válido 00:32:10
también, si le damos a la tecla 00:32:14
de grados, minutos y segundos 00:32:16
nos tendríamos 00:32:17
34 grados 00:32:20
3 minutos 00:32:21
segundos, ¿vale? 00:32:25
y entonces beta se puede hacer restando 00:32:27
o también haciendo el seno de beta 00:32:30
o el coseno de beta 00:32:32
o lo que preferáis, ¿vale? 00:32:34
pero yo creo que es mucho mejor 00:32:35
no tener que sacar la 00:32:37
No sacar la hipotenusa porque te puedes confundir haciendo cálculos de la raíz cuadrada, pierdes precisión y todo lo demás. 00:32:39
Es mejor utilizar las razones que emplean los catetos que conocemos. 00:32:48
Vamos a por el siguiente ejercicio. 00:32:55
Vamos con el quinto ejercicio que dice lo siguiente. 00:33:00
En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37 grados y el cateto opuesto 87 metros. 00:33:05
Haya del otro cateto la hipotenusa. 00:33:12
Vale, pues igual que en el ejercicio anterior, vamos a hacerlo primero un esquema, una representación del triángulo. 00:33:15
Vale, me ha quedado ese un poco torcido. 00:33:25
Vale, eso ya está mejor. 00:33:28
Ese es el ángulo recto. 00:33:33
Y aquí pondríamos el ángulo de 37 grados, por ejemplo. 00:33:35
Entonces, el ángulo gudo mide 37 y el cateto opuesto 87 metros. 00:33:38
Pues entonces, este es el cateto opuesto al ángulo de 37 grados. 00:33:45
Estos son 87 metros. 00:33:49
Me piden el otro cateto, que lo voy a llamar X, y la hipotenusa, que la voy a llamar Y. 00:33:52
¿Vale? 00:34:00
¿Cómo podríamos hacer esto? 00:34:01
Aquí ha habido muchos... 00:34:05
No, perdón, me estaba equivocando. 00:34:06
Bien, ¿cómo se podría hacer esto? Nosotros conocemos el ángulo de 37 grados y conocemos el cateto opuesto y tenemos que hallar el cateto adyacente y la hipotenusa. 00:34:09
Bueno, pues vamos a ver qué razón trigonométrica del ángulo de 37 grados me relaciono, por ejemplo, el cateto opuesto con el cateto adyacente. 00:34:23
¿Cuál es esa razón trigonométrica? La tangente, ¿no? Bien, entonces vamos a escribir tangente de 37 grados igual a qué? Igual a 87 metros partido por x, que x va a estar en metros, ¿vale? 00:34:31
La x, si yo la despejo de aquí, x va a ser igual a, haciendo producto de medios igual a producto de extremos, lo voy a escribir bien, por si alguno tenéis dudas en esto, yo digo x por la tangente de 37 grados es igual a 87 metros, ¿vale? 00:34:47
Es decir, producto de medios igual a producto de extremos, producto cruzado, ¿vale? 00:35:11
Debajo de la tangente es como si hubiera un 1. 00:35:16
Bien, pues entonces ahora yo despejo la x, x es igual a 87 metros partido por la tangente de 37. 00:35:18
¿Y esto qué unidad va a tener todo ello? 00:35:28
Pues va a tener, la unidad van a ser metros. 00:35:31
¿Por qué? Porque la tangente es adimensional, todas las razones trigonométricas son adimensionales. 00:35:33
Bien, entonces, x es igual a, haciendo ese cálculo, 115,45 metros, ¿vale? Eso ya sería una solución, ¿no? 00:35:39
Para hacer esto en la calculadora, ¿qué es lo que tendríamos que hacer? Voy a copiarme la figura de la calculadora y la pego ahí. 00:35:57
A ver, yo lo que haría sería, voy a coger el color amarillo para que se vea mejor, 00:36:12
control F6, control F6, voy a coger el amarillo, 00:36:25
vale, sí, entonces para hacer 87 dividido entre la tangente de 37 yo lo que haría sería, 00:36:32
Primero, dar a la tecla tangente. Luego escribíamos 37 igual y ya tendríamos el resultado en pantalla de tangente de 37. 00:36:40
Y para tener 1 partido por tangente de 37 hay dos maneras. 00:36:53
Yo puedo hacer 87 dividido entre ans, que eso equivaldría a hacer 87 entre la tangente de 37, 00:36:59
porque yo aquí tendría el último resultado, habría sido tangente de 37. 00:37:14
Y ya lo tendría hecho. O si no, otra manera de hacerlo sería, yo hago tangente de 37, le doy a igual, y una vez que lo tengo, le doy a esta tecla de aquí, x elevado a menos 1. 00:37:19
que eso directamente me hace 1 partido 00:37:39
por x, es decir, 1 partido por 37 00:37:42
y luego ya lo siguiente sería multiplicar por 87 y ya lo tendríamos 00:37:47
¿vale? o sea que hay dos maneras, hay varias maneras de hacerlo 00:37:51
o también puedo hacer desde el principio 00:37:55
otra manera de hacerlo, por ejemplo, es decir 00:37:58
87 dividido y escribo 00:38:02
la tangente, tangente de 37. De todas esas maneras se puede hacer, ¿vale? Bien, entonces 00:38:07
vamos a ver cuál sería, ahora tenemos que calcular la I. ¿Cómo podemos calcular la 00:38:16
I? Pues muy sencillo. Tenemos ya el cateto opuesto, el cateto adyacente y nos falta la 00:38:23
hipotenusa? Pues podemos utilizar, y también podemos utilizar el teorema de Pitágoras, 00:38:32
porque ya tengo la X, que es el cateto adyacente, y el cateto opuesto. Es decir, yo puedo decir 00:38:38
que Y es la raíz cuadrada de X al cuadrado más 87 al cuadrado. De esta manera me saldría 00:38:45
La hipotenusa. Pero también lo puedo hacer diciendo que el seno de 37 grados es igual al cateto opuesto, que es 87 metros partido por I. 00:38:54
Y de aquí, despejando la I, haciendo producto de medios igual a producto extremos, seno de 37 grados por I es igual a 87 metros. 00:39:09
O lo que es lo mismo que I es igual a 87 metros partido por el seno de 37 grados, y eso es igual a 144,56 metros, ¿vale? 00:39:24
¿Y por qué metros? Pues porque el numerador está expresado en metros y el seno es adimensional, ¿vale? 00:39:44
Bien. Siguiente ejercicio. Vale. Ya estoy grabando de nuevo. Y el siguiente ejercicio dice, expresa los siguientes ángulos como ángulos comprendidos entre 0 y 360 grados. 00:39:51
Comprueba con la calculadora que, en cada caso, el seno y el coseno del ángulo dado son iguales al seno y al coseno del ángulo comprendido entre 0 y 360 grados que obtienes. 00:40:15
Para cada caso, dibuja una circunferencia agoniométrica y sitúa el ángulo aproximadamente y de dónde estarían su seno y su coseno. 00:40:26
Bien, vamos a comenzar con el ángulo A, que es un ángulo de 1837 grados. 00:40:33
Lógicamente este es un ángulo mayor que 360 grados, por lo tanto va a ser un número de vueltas completas más un ángulo que es el que nos están pidiendo. 00:40:52
Por lo tanto, yo voy a dividir, voy a hacer la división entera, la división entera no es nada más y nada menos que dividir una cantidad entre otra y no sacar decimales, sino dejarlo como un cociente y un resto. 00:41:01
Eso es la división entera. Entonces, si yo divido 1837 entre 360 grados, me cabe a 5, ¿vale? 5 por 0 es 0. Al 7, 7. No me llevo ninguna. 5 por 6, 30. Al 33, 3. Y me llevo 3. 5 por 3, 18. No, 5 por 3, 15. Y 3, 18. Al 18, 0. ¿Vale? Este sería el resto. 00:41:16
Es decir, 1837 grados es igual a 360 grados por 5 más 37 grados. 00:41:42
Por lo que es lo mismo, 5 vueltas completas más 37 grados. 00:41:56
Bien, entonces mi ángulo, el ángulo que a mí me están pidiendo entre 0 y 360 grados es 37 grados, ¿vale? 00:42:08
Y ahora me dicen que para cada caso dibuje una circunferencia goniométrica y sitúe el ángulo en 1837 y donde estarían su seno y su coseno. 00:42:19
Bien, pues para ello me he dibujado aquí una circunferencia goniométrica y vamos a dibujar sobre ella el ángulo que nos están pidiendo. 00:42:30
Voy a marcar qué ángulo tiene cada cuadrante, ¿vale? 00:42:41
Ese sería aquí, como sabéis, la circunferencia goniométrica empieza desde este eje abriéndose en sentido antihorario. 00:42:46
Eso sería 0 grados, eso sería 90 grados, eso serían 180 grados, esto serían 270 grados y esto volverían a ser 360 grados. 00:42:54
Y si hiciéramos vueltas completas, eso sería 720 grados, porque sería 360 más 360 y así seguiríamos. 00:43:09
Es decir, aquí, si pongo puntos suspensivos, tendríamos 5 vueltas completas en un momento dado que serían 1800 grados. 00:43:17
Aquí estaría en 1800º, que sería esto. Estos son 1800º cuando diéramos 5 vueltas completas y luego tendríamos el ángulo de 37º, que estaría aproximadamente ahí. 00:43:33
Porque 37 está en el es mayor que 0, pero menor que 90. 00:43:52
Y bueno, lo he dibujado aproximadamente igual al ángulo de 30º, que sabemos que es así. 00:43:57
Es decir, si esto es 37 grados y como esto es 1800, cuando 1800 grados, cuando se hayan dado 5 vueltas completas, aquí está 1800 más 37, eso sería 1837 grados, ¿vale? Ahí estaría yendo todo hacia la derecha. 00:44:01
Bien, y ahora me estaban preguntando, ya hemos dibujado el ángulo, comprueba con la calculadora que en cada caso el seno y el coseno del ángulo calentado son iguales al seno y al coseno del ángulo comprendido entre 0 y 360 grados que obtienes. 00:44:21
Para cada caso, dibuja una circunferencia goniométrica y sitúa el ángulo correspondiente y dónde estarían su seno y su coseno. 00:44:38
Entonces, nosotros sabemos que ese sería el seno de 1837 grados y eso es igual también al seno de 37 grados. 00:44:45
y lo vamos a comprobar con la calculadora 00:45:05
vale 00:45:07
entonces yo lo tengo por aquí 00:45:08
apuntado 00:45:11
eso es igual a 00:45:12
si lo hacemos con la calculadora 00:45:15
introduciendo los dos ángulos 00:45:17
a 0,6018 00:45:18
vale, hacerlo con la calculadora 00:45:23
y comprobar que 00:45:25
el seno de 1837 00:45:26
es igual a esa cantidad 00:45:30
que yo he puesto ahí 00:45:32
pero también si decimos seno de 37 00:45:32
es también esa cantidad que he indicado ahí 00:45:35
¿dónde estaría el coseno? 00:45:38
bueno, pues ya lo sabéis 00:45:40
el coseno es ese segmento de ahí 00:45:40
coseno de 1837 00:45:43
¿vale? 00:45:48
lo he dibujado un poco más 00:45:49
voy a hacer zoom 00:45:50
este sería el coseno 00:45:51
de 1837 grados 00:45:59
ese sería, ¿vale? 00:46:04
ese sería 00:46:07
Y vamos a comprobar, vamos a indicar, el coseno de 1837 grados es igual en valor absoluto y en signo al coseno de 37, no hay ningún cambio de signo, ¿vale? 00:46:07
Si lo hacéis con la calculadora, para los dos valores, obtendríais, ese no lo he calculado, ¿vale? Coseno 1837 es igual a 0,7986. 0,7986. Y si hago el coseno de 37, me va a dar lo mismo, ¿vale? 0,7986. 00:46:26
Bien, pues ese ya lo tendríais también 00:46:50
No nos pedía nada más, ¿no? 00:46:54
Vale, lo hemos comprobado con la calculadora 00:47:00
Está todo bien, ¿de acuerdo? 00:47:02
Bien, ahora vamos con el siguiente 00:47:04
Habríamos que hacer lo mismo para el ángulo B 00:47:07
Que es 3000 00:47:10
Esto es 3358 grados 00:47:12
Vamos a hacer la división entera, como hemos dicho 00:47:21
Es decir, que nos sacamos decimales. Si yo divido 3358 entre 360 grados, ¿qué voy a obtener? ¿Esto a cuánto cabe? Cabe a 9. 9 por 0 es 0. Al 8, 8. 9 por 6, 54. Al 55, 1. Y me llevo 5. 00:47:24
9 por 3, 27 00:47:47
y 5, 32 00:47:49
a 33, 1 00:47:51
y ya no me cabe más 00:47:54
¿vale? porque 118 es menor 00:47:55
luego esto sería el resto 00:47:57
entonces puedo expresar que 360 grados 00:47:58
es igual a 00:48:01
360 grados 00:48:03
por 9 00:48:05
más 118 00:48:07
grados, por lo que es lo mismo 00:48:10
esto está mal 00:48:12
Esto es el ángulo que me han dado, es decir, 3358 grados es igual a 9 vueltas completas más 118 grados. 00:48:17
De acuerdo, entonces ahora tenemos que representar en la circunferencia goniométrica donde está este ángulo de 118 grados, que será también donde caiga 3358, ¿vale? Voy a copiar esta circunferencia goniométrica de aquí, la pego, ¿vale? Y entonces ya podemos dibujar nuestro ángulo, ¿vale? 00:48:48
Si esto es 0 grados, esto es 90, esto es 180, otra vez lo dibujamos, y esto es 270 grados. 00:49:14
¿Dónde va a estar 118? Pues va a estar, yendo en sentido antihorario desde 0, va a pasar de 90 y va a estar aproximadamente, ¿dónde? 00:49:26
Va a estar aproximadamente, más o menos, más o menos, por ahí, porque estos serían unos 20 grados, más o menos, puede que sea eso, ¿vale? 00:49:37
Si estos son 18, estos serían 118, porque es 90 más 18, y aquí entonces estaría 3358 grados, ¿vale? 00:49:51
Y aquí tendríamos las 9 vueltas completas, ¿vale? 00:50:06
Porque si yo multiplico 360 por 9, eso es 3240. 00:50:11
Esto es 0, 360, 720, etcétera, etcétera, hasta llegar a 3240, ¿vale? 00:50:17
Que esto es 9 vueltas completas, 3240 grados, ¿vale? 00:50:27
Estos son nueve vueltas, nueve vueltas, ¿vale? De acuerdo, me está quedando el dibujo este 00:50:36
un poco chuchurrío, pero bueno, voy a mejorar un poquito, ampliando. Voy a hacer una ampliación, 00:50:48
voy a dibujar de aquí 00:50:56
más o menos 00:51:01
hasta ahí 00:51:02
vale, así lo he hecho recto 00:51:05
y este ángulo 00:51:08
lo voy a quitar la cabecera 00:51:10
porque me está molestando 00:51:12
ya queda bastante feo 00:51:13
ah, vale 00:51:16
bien 00:51:19
bien, entonces 00:51:22
estos serían 00:51:40
118 grados 00:51:41
estos son 18 grados 00:51:43
¿De acuerdo? Y esto de aquí sería el seno, este es el seno de 3.358 grados y este sería el coseno. 00:51:49
¿Vale? Se ve muy mal, pero bueno, este es el coseno de 3.358 grados. 00:52:12
Bien, entonces, si yo expreso el seno de 3358 grados, sé que va a ser igual en valor absoluto y en signo, y el signo también a 118 grados. 00:52:19
Y eso es igual a 0,8829. Y el coseno de 3358 grados va a ser igual al coseno de 118 grados, que es igual a menos 0,4694. 00:52:41
¿Vale? Es negativo, pero es igual, comprobadlo, al coseno de 118, ¿vale? Menos 0,4694, ¿vale? Son iguales, las dos razones trigonométricas, ¿de acuerdo? Bien, pues ese sería el ejercicio. 00:53:10
Vamos a por el siguiente. El séptimo ejercicio dice, dibuja en la circunferencia goniométrica un ángulo de 240 grados así como su seno y su coseno. 00:53:27
Expresa el seno y el coseno de 240 en función del seno o del coseno de un ángulo del primer cuadrante del que conozcas de memoria y sus razones trigonométricas. 00:53:42
Vamos a empezar copiando esta circunferencia goniométrica, la vamos a poner aquí, dado que nos están pidiendo que expresemos todo con esta circunferencia. 00:53:51
Lo voy a hacer un poquito más grande. 00:54:04
Vamos a situar en primer lugar el ángulo de 240 grados. 00:54:09
Para ello, como siempre, voy a indicar qué ángulo tiene cada uno de los cuadrantes. 00:54:12
Eso es 0, 90 grados. Estos son 180 grados y estos son 270 grados. Y aquí volveríamos otra vez a 360 grados porque sería una vuelta completa. Y me están diciendo 240. ¿Dónde va a estar 240? Pues yendo desde aquí. 00:54:19
Esto sería 0, 90, 180, ¿vale? A 180 llegamos seguro, pero a 270 no. 00:54:37
Y en concreto, ¿dónde va a estar este ángulo? Pues va a estar aproximadamente por ahí. 00:54:47
¿Por qué? Porque esto es aproximadamente 30 grados. 00:54:58
Esto es aproximadamente 30 grados yendo en sentido horario. 00:55:04
Es decir, que estoy restando a 270, estoy restando 30, ¿vale? 00:55:10
O, visto de otra manera, este ángulo de aquí es 60 grados, porque 180 más 60 grados, yo aquí tendría 240 grados, ¿vale? 00:55:16
Si yo a 270 le resto 30, llego a 240. 00:55:29
Y si a 180 le sumo 60, llego igualmente a 240 grados. 00:55:33
Por lo tanto, aquí estaría mi ángulo. Ya habría cumplido con el primer apartado que me piden. Dicen, dibujan una circunferencia, un ángulo de 240 grados. Me falta el seno y el coseno. 00:55:40
¿Dónde estaría el seno? Pues el seno estaría, voy a retirar esto de aquí, eso sería 60 grados, voy a ponerlo aproximadamente ahí, ¿vale? 00:55:56
Y ahora el seno estaría ahí, como está la flecha hacia abajo, es decir, esto sería negativo, ¿no? 00:56:13
Luego lo tendremos que tener en cuenta, ese es el seno de 240 grados. 00:56:27
¿Y el coseno dónde va a estar? Ese va a ser el coseno de 240 grados. 00:56:34
Voy a quitar esta flecha para que no os moleste, ¿vale? Es decir, el coseno sería ese, esa flechita de ahí, ¿vale? 00:56:42
Y ese sería el seno. Pues ya los he dibujado. Expresa el seno y el coseno de 240 en función del seno y del coseno de un ángulo del primer cuadrante. 00:56:57
En este caso, por lo tanto, lo más fácil sería expresar esto así. 00:57:06
Si yo esto lo prolongo aproximadamente, ¿vale? 00:57:18
Este ángulo de aquí, ¿cuál sería? 00:57:25
Este ángulo sería 60 grados, ¿no? 00:57:28
¿Por qué? Porque es el opuesto a este ángulo. 00:57:33
este ángulo de aquí y este ángulo de aquí están formados por las mismas rectas, por la recta horizontal y por este diámetro, ¿vale? 00:57:38
Luego esto es 60 grados, de tal manera que yo aquí tendría el seno de 60 grados y aquí tendría el coseno de 60 grados, ¿vale? 00:57:46
Y el seno de 240 es igual en magnitud, en valor absoluto, al seno de 60. 00:58:08
Lo que pasa es que he cambiado de signo, ¿vale? 00:58:17
Yo puedo decir aquí que el seno de 240 grados es igual al menos el seno de 60 grados. 00:58:19
¿Lo veis? 00:58:34
Porque si este es negativo, este es positivo 00:58:35
Es decir, si este es positivo, vale lo mismo en valor absoluto este segmento de aquí que este de aquí 00:58:39
Pero los signos son cambiados porque esta flecha está hacia abajo y esta flecha está hacia arriba 00:58:47
Luego yo al seno de 60 le tengo que cambiar el signo para tener el mismo seno que a mí me están pidiendo 00:58:52
Y además ya aprovecho y digo y pongo el valor numérico del seno de 60 00:59:00
¿Cuánto es el seno de 60? 00:59:12
El seno de 60 es lo mismo que el coseno de 30 que vale raíz de 3 partido por 2 00:59:14
Que eso lo sabéis por la tabla 00:59:19
Ahora vamos por el coseno de 240 00:59:20
El coseno de 240 está aquí y es negativo 00:59:23
¿Vale? Esta es negativo porque está en el semieje, en la semirrecta negativa de las abscisas, en el semieje negativo de las abscisas. 00:59:30
La flecha va para la izquierda. 00:59:42
El coseno de 240 es lo mismo que el coseno de 60, pero al igual que nos pasaba con el seno, cambiado de signo. 00:59:44
Es igual a menos el coseno de 60 grados. Y eso es igual a menos un medio, porque sabéis que el coseno de 60 es lo mismo que el seno de 30 y es un medio. 00:59:51
¿Vale? Luego, con esto, habríamos terminado el séptimo ejercicio. ¿Vale? Si a alguien le cuesta ver esto, pues tiene que ver que estos dos triángulos son iguales. ¿Vale? ¿Por qué? Pues porque tienen dos ángulos iguales. 01:00:07
Este vale 90, este de aquí vale 90, este de aquí vale 60 grados. 01:00:26
Las hipotenusas son iguales porque estamos en la circunferencia goniométrica. 01:00:34
¿Cuánto mide el radio en la circunferencia goniométrica? 1. 01:00:38
Luego, los triángulos son iguales. 01:00:42
Ah, he olvidado decir una cosa, que también se podía hacer esto relacionándolo con el ángulo de 30 grados. 01:00:45
¿Cómo sería eso? Que algunos lo habéis hecho. 01:00:52
Voy a dibujarlo aquí. 01:00:53
Vale, voy a repetir todo esto otra vez, ¿vale? 01:00:56
Control F6, yo puedo poner aquí 0 grados, 90, 180, 360, no, perdón, 270, 360, vale. 01:01:04
Y entonces yo aquí tengo, un segundo, cojo esta herramienta y me vengo aquí más o menos. 01:01:19
Bien, y ahora cojo esta herramienta y digo, ah no, un segundo, que no era eso lo que quería hacer. 01:01:31
Y ahora, en vez de hacer lo que hemos hecho antes, voy a dibujar el ángulo de 30 grados aquí, que estaría ahí más o menos. 01:01:48
entonces, si estos son 30 grados hacia atrás 01:02:00
hemos dicho que ahí teníamos el ángulo de 240 01:02:07
porque estos son 30 grados 01:02:11
y ahora aquí he dibujado un triángulo diferente 01:02:14
aquí he cogido en vez de 60 grados 01:02:17
he cogido el ángulo de 30 grados 01:02:23
¿Sí? Por lo tanto, este triángulo y este son el mismo. Son dos triángulos rectángulos que tienen por hipotenusa la misma hipotenusa, que es 1, que es el radio. 01:02:26
Los dos tienen este ángulo recto, ¿sí? Por lo tanto, tienen un ángulo de 90, un ángulo de 30 y esto va a ser 60. 01:02:43
Los dos triángulos son iguales. Por lo tanto, el seno de 240 que está aquí, ¿vale? Este es el seno de 240 grados, ¿vale? Este lado, este segmento va a ser igual que este segmento y va a ser igual que el coseno de 30 en valor absoluto, ¿vale? 01:02:52
Es el cateto mayor, ¿sí? 01:03:22
Porque el seno de 240 es esto, pero también es este segmento de aquí. 01:03:26
Bien, pues lo puedo escribir ya y tengo que estar atento a los signos. 01:03:31
El seno de 240 grados va a ser negativo, ¿eh? 01:03:36
Lo tengo negativo. Va a ser igual, es este segmento de aquí, al coseno de 30 cambiado de signo a menos el coseno de 30. 01:03:40
¿cuánto vale el coseno de 30? 01:03:51
pues vale raíz de 3 partido por 2 01:03:54
con el signo menos 01:03:57
y el coseno de 240 01:03:59
¿qué va a ser? 01:04:02
el coseno de 240 01:04:04
este es el coseno de 240 grados 01:04:06
es este segmento de aquí 01:04:12
que es igual que este segmento de aquí 01:04:15
Y es igual que este segmento de aquí, ¿no? 01:04:18
Entonces, lo que pasa es que es negativo y este segmento de aquí es positivo. 01:04:23
Luego, esto va a ser igual a el seno de 30 grados cambiado de signo, porque esto de aquí es el seno de 30 grados, ¿vale? 01:04:28
Repito, el coseno de 240 está aquí y es negativo. 01:04:43
Y es igual que este segmento de aquí. 01:04:48
Y este segmento de aquí es el cateto menor de este triángulo, es decir, este segmento vertical. 01:04:51
Pero este es negativo y este es positivo, por lo tanto, tengo que cambiar el signo. 01:04:59
Y digo, el coseno de 140 es igual al seno de 30 cambiado de signo. 01:05:05
Y esto es igual a qué? A menos un medio. 01:05:11
que es lo mismo que habíamos obtenido antes 01:05:13
menos raíz de 3 partido por 2 y menos 1 medio 01:05:17
¿vale? bien, vamos con el siguiente ejercicio 01:05:21
paro, bien, ya vamos con el tercer ejercicio 01:05:26
que lo habíamos dejado para el final porque el enunciado era largo 01:05:31
dice, explica que es una razón entre dos magnitudes o medidas 01:05:35
indica que es una proporción 01:05:38
Pues una razón entre dos magnitudes o medidas es la relación que existe, es su cociente. 01:05:40
Si yo tengo una medida A y una medida B, la razón que existe entre ellas es A entre B o bien B entre A, 01:05:49
dependiendo de cómo se esté redactando, qué es lo que estemos relacionando. 01:06:01
Si el mayor entre el menor o si son lados de un segmento, pues de qué manera estamos teniendo eso en cuenta, ¿vale? 01:06:04
¿Cuál de ellos? Pero vamos, es el cociente entre sus magnitudes. 01:06:14
Una razón es un concepto más amplio que el concepto de fracción, por ejemplo, porque todas las fracciones son razones, pero no todas las razones son fracciones. 01:06:19
Si yo tengo un triángulo, ABC, yo defino la razón A entre C, estos son segmentos, y no puedo decir que esto sea una fracción, pero sí que son razones. 01:06:34
La razón es un concepto superior y más amplio que las fracciones. 01:06:48
¿Y qué es una proporción? Pues una proporción es una igualdad. 01:06:55
Una fracción, una proporción, es una igualdad entre razones. 01:07:04
Por ejemplo, si tengo yo cuatro segmentos A, B, C, D, si yo puedo escribir que A es A, B, esta es la razón, A es A, B, 01:07:10
y la razón entre C y D es esta, C es A, D, o C entre D, y ambas razones son iguales, 01:07:23
yo puedo decir que los segmentos están en proporción, que A es AB, como C es AD. Esto es una proporción, una igualdad entre razones, ¿vale? 01:07:31
Bien, ahora nos dicen, ¿cuál es la razón aproximada entre la altura total del hombre de Vitruvio y la altura de su cabeza, de la cabeza? 01:07:42
¿Son iguales estas razones en la figura de la izquierda y en la figura de la derecha? ¿Están en proporción ambas figuras? 01:07:50
Bien, para eso he dibujado aquí el hombre de Vitruvio, el de la derecha, y he llevado la cabeza, porque me están diciendo la razón que existe entre la altura total y la altura de la cabeza, y me he llevado la cabeza varias veces, ¿vale? 01:07:56
Entonces, si contamos, eso sería 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. No se os pedía que lo hicierais tan exacto, ¿no? Pero es aproximadamente 7, ¿vale? 01:08:12
Luego la razón entre la altura, si esto fuera A, la altura total y la altura de la cabeza, y esto fuera B, ¿vale? A, perdón, A entre B es igual a 7, ¿vale? De acuerdo. 01:08:26
Luego me van a pedir, y lo voy a hacer ya, que me fije en esta foto de un bebé y que diga cuál es la razón entre la altura total del niño, ya sé que está con las piernas encogidas y es un poco más difícil de medirlo y de comparar, pero que calcule la misma razón que hemos calculado en el hombre vitruvio. 01:08:51
Es decir, la altura total entre la altura de la cabeza. Pues, en este caso, si la altura total del niño es C y la altura de la cabeza es D, eso es aproximadamente a 4 o 4,5. 01:09:13
¿Vale? 4,5. O 4, lo dejo. ¿Vale? He llevado aquí una cabeza, 2, 3, 4, como tiene las piernas encogidas sería más bien 4,5. 01:09:28
Pero bueno, aproximadamente, donde aquí se ve claramente que la razón en el bebé es muy diferente a la razón en el hombre vitruvio, ¿vale? Por eso se dice que los niños nacen con la cabeza grande, no es que sea grande, es grande en proporción. 01:09:37
Fijaros también en las manos, que pequeñitas son en comparación con la cabeza, mientras que en el hombre vitruvio la mano es prácticamente igual que la cara. Nosotros si nos tapamos la cara con la mano podemos taparnos prácticamente todo, pero un niño apenas llega a cubrirse la mejilla. La cabeza, por tener los humanos un cerebro tan grande, en el nacimiento se nota mucho esa desproporción. 01:09:55
De acuerdo, ya hemos respondido al B y al C. 01:10:25
No existe proporción entre la razón en el hombre de Vitruvio y la del bebé, ¿vale? 01:10:33
Luego me están diciendo, en la figura de la izquierda, el radio del círculo vale 0,75 metros, pues lo escribo, ¿vale? 01:10:37
Esto me están diciendo que este radio vale 0,75, ¿vale? 01:10:48
y el lado del cuadrado mide 1,22 metros. 01:10:55
Esos son 1,22 metros. 01:11:02
De acuerdo. 01:11:05
A la derecha hay una figura semejante. 01:11:05
Si el radio de la figura de la derecha mide un metro, 01:11:07
lo dibujo con el centro en el ombligo, 01:11:10
porque sabéis que el centro del círculo está en el ombligo, 01:11:13
aquí me están diciendo que esto es 1,22 metros, 01:11:17
No, perdón. Nos dicen que el radio vale un metro en la figura de la derecha. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado de la derecha? Me están pidiendo L, que L es este lado. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambas figuras? 01:11:20
vale, pues vamos con ello 01:11:45
como nos dicen que estas dos figuras son semejantes 01:11:48
nosotros sabemos 01:11:53
que si yo comparo una medida de la izquierda 01:11:55
con una medida de la derecha 01:11:59
es decir, si yo hago 1,22 01:12:02
entre n 01:12:06
esa razón va a ser igual 01:12:07
a la razón que existe entre el lado 01:12:11
O sea, el radio de la izquierda y el radio de la derecha, ¿vale? 0,75 metros es a un metro. Esto porque nos dicen que las figuras son semejantes y eso aquí va a ser igual a la razón de semejanza, ¿vale? 01:12:14
O sea, que este planteamiento me va a servir para hallar L, que me lo están pidiendo, el lado del cuadrado de la derecha, y también me va a servir para hallar la razón de semejanza, ¿vale? La razón de semejanza ya la puedo ver directamente. 01:12:35
Voy a empezar con la segunda respuesta. K es igual a 0,75. ¿Vale? Adimensional. Pero como es menor que 1, ese es el coeficiente que yo tendría que aplicar para pasar de la figura de la derecha a la figura de la izquierda. 01:12:51
Es decir, que cada parte, cada medida lineal de la figura de la izquierda es tres cuartos la medida correspondiente de la figura de la derecha. 01:13:10
Si quisiera pasar, esto lo vamos a llamar caso 1, ¿vale? Caso 1. Porque estoy poniendo en el numerador las medidas pequeñas, las medidas de la izquierda. 01:13:25
Es decir, que si yo quiero pasar de las medidas grandes a las medidas pequeñas, tengo que multiplicar por K1. 01:13:38
Y si quiero pasar de las medidas pequeñas a las medidas grandes, a eso lo voy a llamar K2. 01:13:53
Y K2 sería 1 partido por K1. 01:13:59
Porque tendría que dar la vuelta a estos, al numerador y al denominador. 01:14:06
¿Vale? Eso sería 1 partido por 0,75. Pero como 1 partido por 0,75 es 3 cuartos, ¿vale? Esto sería 4 tercios, que es igual a qué? A 1,3 periodo. 01:14:11
Pero vamos, me daría igual que me hubiera citado caso 2 o caso 1, ¿vale? Me daría igual. ¿De acuerdo? Bien. Eso sería la razón de semejanza. Pero me faltaría el lado. ¿Cuál sería el lado? Lo voy a poner aquí. 01:14:31
Si hago en esta proporción producto de medios igual a producto de extremos, me quedaría L por 0,75 es igual a 1 por 1,22, ¿vale? 01:14:49
Lo tengo todo en metros, ¿vale? 01:15:05
L es igual a 1,22, voy a poner las unidades, voy a borrar todo para poner las unidades desde el principio, que me gusta trabajar con unidades. 01:15:09
Bien, vamos a ver. L, hay que trabajar siempre con unidades, L por 0,75 metros es igual a 1,22 metros por un metro. 01:15:21
Por lo tanto, L es igual a 1,22 metros por 1 metro dividido entre 0,75 metros, ¿vale? 01:15:49
Un metro por un metro se me va y la unidad, por lo tanto, van a ser metros. 01:16:02
Y si hago 1,22 entre 0,75 metros, me queda que él es 1,626 periodo, y esto que unidad tiene, metros, ¿vale? 01:16:07
Luego esto sería uno de los apartados que me piden, y este sería el otro apartado que me están pidiendo, ¿de acuerdo? 01:16:25
Es decir, que este lado de aquí es 1,6, no, perdón, perdón, no, es que lo he hecho mal, es que este valor lo he dejado bien, sí, esto está bien, perdón, te lo estaba poniendo. 01:16:32
El lado es 1,626 metros. 01:16:56
1,626 metros, ¿vale? 01:17:10
Ese es el lado. 01:17:16
Y la razón de semejanza es 1,3 o 0,75, dependiendo si vamos de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha. 01:17:18
1,3 periodo, ¿de acuerdo? 01:17:31
Vale, vamos con el siguiente apartado. 01:17:37
Dice, e, si hacemos una figura semejante a la de la izquierda, de mayor tamaño, 01:17:43
y razón de semejanza 3, ¿cuántas veces mayor será la superficie del círculo nuevo 01:17:48
respecto a la superficie del círculo original? 01:17:56
Es decir, si nosotros pasamos de un círculo de radio R, 01:17:59
lo voy a dibujar bonito, 01:18:05
yo paso el radio 01:18:06
aquí arriba, vale 0.75 01:18:22
pero bueno, eso me da igual 01:18:24
pero no obstante lo voy a dibujar 01:18:26
si yo paso de un radio 01:18:28
a un radio 01:18:33
copy 01:18:36
control V 01:18:42
supongamos que ese radio 01:18:43
que esa figura es 3 veces 01:18:47
¿vale? 01:18:49
y aquí le voy a decir 01:18:51
control F6 01:18:53
es decir, que de R paso 01:18:55
a 3R, me están diciendo 01:18:57
¿cuál? S es 01:19:01
S1, este es el radio 01:19:03
1 y esto es 3 veces 01:19:05
el radio 1, me están diciendo 01:19:07
que cuál será esta superficie 01:19:09
¿vale? si la razón de semejanza 01:19:12
es 3, porque yo he pasado de una medida lineal que es r1 a una medida lineal que es 3r1, 01:19:16
la superficie 2 va a ser igual a la razón de semejanza al cuadrado por la superficie 01:19:24
1, es decir, la razón entre las superficies va con el cuadrado de la razón de semejanza, 01:19:34
Por lo tanto, el círculo segundo será 3 al cuadrado la superficie del círculo 1. 01:19:43
Esta superficie será 9 veces la superficie 1. 01:19:57
Esto lo explicamos en clase muy fácilmente cuando dije que si teníamos, por ejemplo, 01:20:06
un círculo, un cuadrado de lado L y pasamos a un cuadrado de lado 2L, ¿qué le pasa a la superficie? 01:20:10
La superficie no es que se multiplique por 2, lo voy a dibujar mejor porque esto lo he dibujado mal, no está ni a escala. 01:20:26
¿Vale? No está en mi escala. O sea, no se parece en nada. ¿Vale? Si yo paso de L a 2L, ¿vale? Si esto es 2L y esto es 2L, porque he aplicado una razón de semejanza de K igual a 2, ¿qué le pasa a la superficie? 01:20:33
Pues yo aquí no es que vaya a tener dos cuadrados, voy a tener cuatro. Y si paso a 3L, y si la razón de semejanza es 3, como en el caso que me están diciendo, ¿cuántos cuadrados voy a tener? 01:21:00
Y esto es 3L. Y esto es 3L. Aquí voy a tener 1, 2, 3. No voy a tener un cuadrado. Si la razón de semejanza es 3, como en nuestro caso, voy a tener 9 cuadrados. 01:21:22
Voy a tener 3L por 3L, 3L al cuadrado, y eso es 9L al cuadrado, ¿vale? Luego, mi superficie, que inicialmente era L cuadrado, va a ser 9L cuadrado, ¿vale? Esto es 3 al cuadrado L cuadrado, ¿de acuerdo? 01:21:45
Luego la respuesta es que yo voy a tener un círculo de superficie nueve veces la superficie del círculo inicial, ¿vale? 01:22:13
Siguiente pregunta. 01:22:25
En la figura de la izquierda el ángulo formado por el brazo derecho dibujado en su posición elevada y en su posición horizontal es de 20 grados. 01:22:28
¿Cuánto mide este ángulo en la figura de la derecha y por qué? 01:22:36
¿Vale? 01:22:40
lo que me están diciendo es 01:22:41
voy a borrar todo esto 01:22:45
para mayor claridad 01:22:46
vale 01:22:49
estoy aquí 01:22:52
quitando esto, aunque no hace falta 01:23:06
es para que 01:23:08
se vea mejor 01:23:10
vaya 01:23:12
me he enredado 01:23:16
entonces, vale 01:23:18
un segundo 01:23:22
vale, entonces me están 01:23:24
diciendo que este ángulo 01:23:26
vale aproximadamente 20 grados. Y me están pidiendo que cuánto mide este ángulo de aquí, ¿vale? 01:23:27
Alfa. Esto lo vamos a llamar alfa, ¿no? Y si la figura de la izquierda no lo he formado, 01:23:51
¿cuánto mide este ángulo en la figura de la derecha y por qué? Pues la respuesta es 01:23:57
muy sencilla, el ángulo no varía. El ángulo es el mismo porque entre figuras semejantes 01:24:01
los ángulos, ¿no? 01:24:06
Valían, ¿vale? 01:24:08
Y con eso 01:24:11
habíamos terminado el examen. 01:24:12
¿De acuerdo? 01:24:14
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Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
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Fecha:
27 de enero de 2022 - 7:18
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
1h′ 24′ 19″
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