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5. PRODUCTO ESCALAR - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Vamos a ver ahora el producto escalar de dos vectores. 00:00:02
La definición es la siguiente. 00:00:06
Dados dos vectores u y v pertenecientes al espacio vectorial v2, 00:00:08
se llama producto escalar de dichos dos vectores 00:00:14
al módulo del primero por el módulo del segundo 00:00:17
por el coseno del ángulo que forman, 00:00:20
entendiendo el ángulo que forman, 00:00:24
el ángulo menor que forman esos dos vectores, 00:00:27
es decir, este de aquí. 00:00:29
en lugar de este. Esta definición no depende de la base en la cual estén expresados u y v. 00:00:32
¿Por qué? Porque los módulos de los vectores u y v son longitudes, con lo cual esas longitudes van a ser invariantes 00:00:46
en cualquier base en la cual estén expresados y el coseno del ángulo que forman esos dos vectores también es un número. 00:00:57
El resultado de este producto es un escalar, por eso a este producto se le llama producto escalar de dos vectores. 00:01:05
El año que viene veréis el producto vectorial de dos vectores, cuyo resultado es un vector, por eso toma el nombre de producto vectorial. 00:01:14
Vamos a ver ahora una serie de consecuencias de esta definición. 00:01:27
La primera es la condición de ortogonalidad, que nos va a permitir ver cuántos dos vectores son ortogonales. 00:01:32
El prefijo orto significa perpendicular, cuántos dos vectores son perpendiculares. 00:01:42
Cuando dos vectores son perpendiculares, el ángulo que forman entre ellos es de 90. 00:01:49
Si u y v forman un ángulo de 90, como el coseno de 90 vale 0 00:01:55
aplicando la definición, tendríamos módulo de u por módulo de v 00:02:04
por el coseno de 90 que vale 0, ese producto escalar nos daría 0 00:02:09
Así que la condición de ortogonalidad nos la va a dar el producto escalar igualado a 0 00:02:14
otra definición importante, la de módulo de un vector 00:02:22
el módulo de un vector hemos visto al principio del tema 00:02:30
que lo vamos a calcular haciendo la raíz cuadrada 00:02:39
de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado 00:02:43
esto como veremos es una definición de módulo 00:02:49
pero que solamente es válida si las coordenadas de u están expresadas en una base que sea ortonormal 00:02:56
como por ejemplo la base canónica. 00:03:07
Como es la base que vamos a utilizar generalmente 00:03:10
estamos acostumbrados a decir que el módulo de un vector lo calculamos así. 00:03:13
Sin embargo la definición general, la que no depende de la base en la cual esté expresado u 00:03:19
es esta otra. En efecto, si yo multiplico un vector por sí mismo, esto sería el módulo de u por el módulo de u 00:03:24
otra vez, por el coseno de 0, porque un vector consigo mismo forma un ángulo de 0 grados. 00:03:36
Entonces, como el coseno de 0 vale 1, esto sería igual al módulo de u al cuadrado y de aquí despejando 00:03:43
tendríamos que el módulo de u es la raíz cuadrada positiva de dicho vector por sí mismo 00:03:52
el producto escalar de dicho vector por sí mismo 00:04:00
Bien, y otra definición importante que viene a partir del producto escalar de dos vectores 00:04:03
es la de proyección de un vector u sobre el vector v 00:04:11
Es decir, si yo tengo dos vectores u y v, llamamos proyección del vector u sobre v, 00:04:15
si aquí trazamos de forma perpendicular a la dirección de v una línea de trazos formando aquí un ángulo de 90 grados, 00:04:26
la proyección sería esta que estamos trazando 00:04:38
la que estaba en color verde y ahora estoy trazando en color rojo 00:04:44
esto sería la proyección de u sobre v 00:04:47
si os dais cuenta en el producto escalar de u por v 00:04:51
tenemos módulo de u por el módulo de v por el coseno de alfa 00:04:55
pero precisamente el módulo de u por el coseno del ángulo que forman 00:05:00
es el módulo de esa proyección, es decir, que esto lo puedo expresar como módulo de la proyección 00:05:07
por el módulo de V. Fijaros, coseno de alfa, coseno de este ángulo, aquí tenemos un triángulo rectángulo, 00:05:20
el coseno de alfa sería igual al cateto contiguo, módulo de la proyección, dividido por la hipotenusa 00:05:28
que sería el módulo de u, de ahí que el producto de módulo de u por el coseno sea igual a esto. 00:05:41
Es decir que de aquí despejando tendríamos que módulo de la proyección sería igual al producto escalar de u por v 00:05:52
dividido por el módulo de V. 00:06:06
Esto si estoy haciendo la proyección de U sobre V. 00:06:11
Si estuviéramos haciendo la proyección de V sobre U, 00:06:21
esa proyección sería proyectando de igual manera, 00:06:28
pero ahora sobre V sobre U, sería este vector azul la proyección, hasta aquí. 00:06:40
Y la proyección de V sobre U sería producto escalar de U por V dividido por el módulo de U. 00:06:52
Vamos a ver ahora la expresión analítica del producto escalar, partiendo de la más general a la más particular, 00:07:13
que ya hemos hablado de ella, es decir, que el producto escalar se puede calcular como u1 por v1 más u2 por v2. 00:07:21
Y vamos a ver que esa forma de calcular el producto escalar es válida si la base en la cual se expresan los vectores u y v 00:07:31
es una base ortonormal. Vamos a ir deduciéndolo. 00:07:40
¿Qué significa que el vector u tiene coordenadas u1, u2 en una base cualquiera de v2? 00:07:43
Es decir, t y s son dos vectores linealmente independientes únicamente, forman base 00:07:52
¿Qué significa que el vector u tiene estas componentes? 00:07:57
Pues significa que lo puedo expresar como combinación lineal de t y de s 00:08:02
es decir, u1 por t más u2 por s. 00:08:08
Igualmente el vector v tiene componentes o de coordenadas v1, v2 en esta base, 00:08:16
eso significa que se puede expresar como combinación lineal de t y s 00:08:23
y que los escalares que multiplican a esos vectores respectivamente serían v1 y v2. 00:08:29
Es decir, esto sería igual a V1 por T más V2 por S. 00:08:35
Ahora lo que vamos a hacer va a ser multiplicar escalarmente U y V. 00:08:46
U es todo esto y V como combinación lineal de T y de S es esa otra combinación. 00:08:54
Aquí tendremos que multiplicar estos dos sumandos por estos dos. 00:09:11
es decir, este por este, este por este, este por este y este por este 00:09:15
Vamos escribiendo cada uno de los sumandos 00:09:19
El primer sumando sería u1 por v1, t por t 00:09:22
Voy multiplicando primero los escalares y luego los vectores 00:09:29
más este por este nos quedaría u1 por v2 t por s 00:09:36
más este otro término por este otro sería u2 v1 s por t 00:09:47
y el último sumando sería multiplicar este por este 00:09:58
U2 por V2, S por S. 00:10:04
Recordando lo que hemos dicho del producto escalar, esto que tenemos aquí, 00:10:15
el producto de un vector por sí mismo sería módulo del primero por el módulo del segundo 00:10:23
por el coseno del ángulo que forman, pero es que como estoy multiplicando dos vectores que son iguales, 00:10:28
esto sería igual al módulo de t al cuadrado. 00:10:34
Sería módulo de t por el módulo de t por el coseno de 0 00:10:36
Igualmente para este otro 00:10:41
Esto sería el módulo de s al cuadrado 00:10:44
Bueno, supongamos ahora que la base es ortogonal 00:10:51
Si es ortogonal significa que t es perpendicular a s 00:11:06
es decir, que T por S escalarmente o S por T es igual a 0 00:11:16
de tal manera que estos dos sumandos que tenemos aquí se me van a ir 00:11:25
porque aquí aparecen los productos de T por S y de S por T 00:11:31
es decir, que si la base es ortogonal, la expresión analítica del producto escalar se simplifica 00:11:34
Me quedaría u1 por v1, módulo de t al cuadrado, más u2 por v2, módulo de s al cuadrado. 00:11:42
Ahora vamos a ver una simplificación más y es si la base b, formada por los vectores t y s, 00:11:58
además de ser ortogonal, es ortonormal. 00:12:09
Eso significa que entonces los vectores, además de ser perpendiculares, además de ser ortogonal, de cumplirse ya esto, los módulos de esos vectores son igual a 1, es decir, estos vectores son unitarios. 00:12:12
Si valen 1, esto de aquí vale 1 y esto de aquí vale 1 00:12:32
Es decir, que la expresión que nos queda para el producto escalar sería la que ya hemos comentado 00:12:37
Entonces, dos definiciones de producto escalar que vamos a utilizar en casi todos los ejercicios 00:12:47
Una es esta, que es independiente de la base en la cual están expresados u y v 00:12:59
Esta definición no depende de la base en la cual están expresados 00:13:13
Sin embargo, si los vectores u y v, como hemos visto en esta demostración 00:13:18
Están expresados en una base ortonormal 00:13:23
La expresión analítica del producto escalar se simplifica mucho 00:13:27
y nos queda reducida a esto, a multiplicar u1 por v1 más u2 por v2. 00:13:31
Según esto, si u y v tienen estas coordenadas en una base ortonormal, 00:13:53
el módulo de cualquiera de ellos, por ejemplo de u, 00:13:59
que habíamos dicho que era la definición, la raíz cuadrada positiva del producto escalar de u por sí mismo, 00:14:03
Esto sería igual, si u está expresado en una base ortonormal, a u sub 1 al cuadrado más u sub 2 al cuadrado 00:14:13
Igualmente para v 00:14:25
Dada esta definición que era la general, si v está expresado en una base ortonormal 00:14:28
Pues el módulo lo podemos calcular de esta forma en función de sus componentes 00:14:37
Otro resultado importante es que podemos calcular el ángulo formado por dos vectores 00:14:43
Es decir, si yo tengo las coordenadas de u y de v 00:14:55
Por un lado el producto escalar, la definición de producto escalar, la general 00:14:59
La definición general, dice que esto es igual al módulo de u por el módulo de v 00:15:05
Por el coseno del ángulo que forman 00:15:11
Es decir, siendo alfa este ángulo 00:15:14
Por otro lado, en la expresión analítica del producto escalar hemos visto que si v y v están expresadas en una base ortonormal, esto es igual a u1 por v1 más u2 por v2. 00:15:17
de tal manera que igualando estas dos expresiones y despejando coseno de alfa 00:15:35
podemos calcular el ángulo formado por esos dos vectores 00:15:54
donde el módulo de u y el módulo de v lo podremos calcular de esta forma 00:16:00
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
29 de julio de 2024 - 16:08
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
16′ 22″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
40.68 MBytes

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