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Conceptos básicos de funciones - Contenido educativo

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Subido el 5 de junio de 2024 por Oscar Angel C.

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En este vídeo desarrollamos con resúmenes y ejemplos breves los conceptos introductorios del bloque de funciones

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Hola, mirad, vamos a, os voy a dar las soluciones resueltas, así en la grabación esta que estoy haciendo, de los ejercicios que os mandé como tarea obligatoria. 00:00:01
Como los primeros ejercicios eran de dominios, pues aquí os tengo pues puesta la tabla de los dominios, ¿vale? 00:00:13
El dominio, vamos a recordar, era la región en el eje X perteneciente a R donde existe la función, ¿vale? 00:00:26
Donde hay función, donde la función pues va a tener gráfica. 00:00:38
Había cinco casos. 00:00:44
El primero era cuando la función era un polinomio, su dominio era todos los reales. 00:00:47
La gráfica estaba el dibujo en todos los reales en el eje x. 00:00:52
Cuando la función era un cociente de polinomios, ¿vale? Un cociente, el dominio es los reales menos donde se hace cero el denominador, ¿vale? 00:00:57
Dijimos que donde se hacía cero un denominador nunca existía la función. 00:01:09
El tercer caso es que la función sea la raíz enésima de otra, de g. 00:01:14
Pues cuando el índice n era impar, como la raíz cúbica, raíz quinta, raíz séptima, no restringía dominio, el dominio de la función era el dominio de la de dentro, ¿vale? Me fijaba en la de dentro y el dominio de la función era el dominio de la de dentro, de lo que se llama el argumento. 00:01:23
Cuando el índice era par, como la raíz cuadrada, raíz cuarta, el dominio de la función eran los puntos de R donde lo de dentro o argumento era mayor o igual que cero. 00:01:43
Pues donde lo de dentro era mayor o igual que cero, ahí era el dominio de la función. 00:02:00
El cuarto caso, que eran los logaritmos. 00:02:07
Logaritmos. Pues el logaritmo es prácticamente igual que cuando son raíces par. Fijaos, ¿vale? Raíces par. La raíz par es que lo de dentro sea mayor o igual que cero y un logaritmo, su dominio es que lo de dentro sea mayor que cero. 00:02:08
Para que un logaritmo esté perfectamente definido, exista, el argumento o interior de él tiene que ser estrictamente positivo. 00:02:26
Y luego, por último, las funciones exponenciales a elevado a g, recordad, pues 2 elevado a 3x más 1, e elevado a x cuadrado menos 1, y la función valor absoluto. 00:02:37
El valor absoluto es justamente lo último que vamos a explicar en el tema, así que ya la detallaremos, pero la función exponencial y la función valor absoluto, el dominio de f es la de g. 00:02:50
No restringe el dominio, el dominio de f es la de g. 00:03:03
por lo tanto, restricciones en los dominios 00:03:07
hay tres casos, los cocientes 00:03:12
el cociente para que esté definido 00:03:14
perdón, una función que tiene un cociente 00:03:17
no existe donde se haga cero el denominador 00:03:19
restringe también la raíz par 00:03:22
raíz cuadrada, cuarta 00:03:26
solo existe cuando lo de dentro es mayor o igual que cero 00:03:27
y la función logarítmica 00:03:31
Solo existe cuando lo de dentro es mayor que cero. Esas tres son las que hay que poner atención. 00:03:34
Bueno, pues vamos al ejercicio de la página 111, que había varios. 00:03:41
En todos ellos había que calcular el dominio. Venga, pues el dominio 1a, pues como veis que es un cociente, 00:03:48
el dominio, voy a llamar a la función f, son los reales menos donde se hace cero el denominador. 00:03:55
Pues igualamos a cero el denominador y ese denominador igualado a cero, pues hay que calcularlo. 00:04:04
Venga, pues lo calculamos, x cuadrado menos 4x menos 3 igual a cero, lo resuelvo, más menos, perdón, x igual a menos b, raíz cuadrada de b al cuadrado que es 16, menos 4ac partido por 2a. 00:04:10
4 más menos raíz de 4 partido por 2 00:04:27
Que sale 4 más 2, 6 entre 2 a 3 00:04:31
Y 4 menos 2 a 2 entre 2 a 1 00:04:36
¿Vale? 00:04:39
Pues aquí el dominio son los reales menos el 3 y el 1 00:04:40
Pues eso sería la solución 00:04:46
El dominio de la función son todos los reales menos el 3 y el 1 00:04:48
Bajamos al B 00:04:53
Venga, pues el b es otro cociente de polinomios, pues donde no va a existir, donde se haga cero el denominador, pues el denominador lo iguales a cero, bueno, sería todos los reales, dominio, los reales, menos, donde se haga cero el denominador. 00:04:56
Lo que pasa es que al hacerlo cero saldrían raíces cuadradas de números negativos y esto no existe, que significa que el denominador nunca se hace cero, por lo tanto el dominio sería todos los reales, porque el denominador nunca es cero. 00:05:14
El 2, la raíz cuadrada de 3x más 9, pues una raíz cuadrada existe o su dominio sería, pues para todo x real tal que lo de dentro es mayor o igual que 0. 00:05:35
Esta es una inequación de grado 1, polinomio de grado 1, se resolvía como una ecuación, 3x mayor o igual que menos 9, el 3 lo paso dividiendo y quedaría x mayor o igual que menos 3, que sería desde el menos 3 hasta el infinito, y el menos 3 incluido. 00:05:57
Pues el dominio, pues ponéis que serían las x mayor o igual que menos 3 o de menos 3 a infinito. 00:06:25
Pues nada, vamos a poner que el dominio sería las x pertenecientes al intervalo menos 3 cerrado infinito abierto. 00:06:34
El b, aquí hay una doble restricción. 00:06:46
Aquí veis que en el b hay una raíz cuadrada y hay un cociente, entonces el dominio sería para todo x real, dominio de la función, para todo x real tal que la raíz esté definida, 00:06:51
Es decir, lo de dentro sea mayor o igual que cero, pero hay que quitar donde se haga cero el denominador. 00:07:13
El denominador es cero, como aquí veis que hay un cociente, pues menos donde se haga cero el denominador. 00:07:24
Pues se quita donde se haga cero la raíz cuadrada. 00:07:35
¿Vale? Bueno, como esta inequación es la de antes, ¿vale? Esta inequación veis que la de aquí arriba. Así que esta, su solución es para x mayor o igual que menos 3 o de menos 3 a infinito. 00:07:42
Pues nada, pues ponemos el dominio de f es igual a las x pertenecientes al intervalo desde menos 3 hasta infinito, pero hay que quitar donde se haga cero el denominador. 00:07:58
Claro, pero 0 el denominador, si lo resolvéis, pues raíz de 3x menos 9 igual a 0, se quita la raíz cuadrada, 3x menos 9 igual a 0, quedaría en x igual, 00:08:13
Ay, perdón, que no sé si he copiado aquí una cosa mal. Voy a mirar el... Ah, vale, sí, vieron. Es que pensaba que era la misma. Esto es más 9 y aquí es menos 9. Con lo cual, esta hay que plantearla. Perdón, pensaba que era la misma, así que esto lo borramos. 00:08:30
Borramos. Entonces, resuelvo la inequación 3x menos 9 mayor o igual que 0, 3x mayor o igual que 9, x mayor o igual que 3, que sería desde 3 hasta infinito. 00:08:50
Pues el dominio de f para todo x real, tal que x pertenece al intervalo 3 infinito, pero hay que quitar donde se haga 0 el denominador. 00:09:06
Y si el denominador lo hago 0, lo hago aquí debajo, 3x menos 9 igual a 0, quitáis la raíz cuadrada, 3x menos 9 igual a 0, quedaría x igual a 3. 00:09:22
Luego entonces sería el intervalo 3 infinito, pero hay que quitar el 3, con lo cual sería el intervalo 3 abierto, infinito abierto, eso sería el dominio, dominio de 3 a infinito. 00:09:32
Bueno, pues vosotros lo veis despacio o paséis para atrás la grabación. 00:09:48
El 3, ¿vale? Venga, el 3, siguen con las raíces cuadradas aquí, pues una raíz cuadrada, venga, el dominio va a ser, pues para todo x real, tal que lo de dentro es mayor o igual que 0. 00:09:54
pues x cuadrado menos 5x mayor o igual que 0 00:10:13
venga, esta es una inequación de segundo grado, tercer grado, cuarto grado 00:10:18
venga, esta es que lo que se hacía 00:10:24
se llevaba todo a un lado y simplificado 00:10:25
ya está todo a un lado, lo voy a llamar p 00:10:29
y está todo a un lado y simplificado 00:10:31
lo que se hacía era p lo igualábamos a 0 00:10:34
y se resolvía 00:10:40
Pues x por x menos 5 igual a 0 y queda x0 y x5. Me pongo la recta real, menos infinito, infinito, intercalo el 0 y el 5 y estudiamos el signo de P. 00:10:42
Esto que estoy aquí marcando, ¿vale? El signo de P, venga. Pues el signo de P, pues cojo un punto aquí a la izquierda y lo metemos en P y veo el signo que tiene, si es positivo o negativo. 00:11:02
Pues cojo un punto aquí a la izquierda, lo voy a hacer directamente, yo lo hago, cojo aquí por ejemplo el menos 1 00:11:19
Menos 1 al cuadrado, que sería 1, y menos 5 por menos 1 más 5, sale positivo, pues ponemos positivo 00:11:26
De 0 a 5, de 0 a 5 el 1, por ejemplo, pues 1 al cuadrado menos 5 sale negativo 00:11:35
Y de 5 aquí a infinito cojo, por ejemplo, el 6. 6 al cuadrado 36 menos 30 positivo. Bueno, pues la solución de la inequación, míralo aquí, es donde p sea mayor o igual que 0. Pues mayor o igual que 0 va a ser este trozo incluido el 5 y este trozo incluido el 0. 00:11:44
se incluye los dos, así que lo vamos a pintar así, pues en otro color, vamos a coger otro color por aquí, 00:12:06
el color naranja, pues sería esta zona y el 5 incluido, esta zona y el 0 incluido, 00:12:13
y justamente donde P era mayor o igual que 0, ¿vale?, era la inequación mayor o igual que 0, eso era el dominio, 00:12:20
así que el dominio es lo que está pintado en naranja, lo pongo aquí arriba, 00:12:27
Lo pongo aquí arriba. El dominio de F es el intervalo de menos infinito a cero incluido unión 5 infinito. ¿Vale? 00:12:31
Bueno, ahora el b. Pues el b veis, el b vemos que aquí hay dos restricciones, hay un cociente y una raíz cuadrada. 00:12:43
Pues entonces, el dominio va a ser para todo x real que la raíz cuadrada esté definida, pues lo de dentro mayor o igual que cero, pero hay que quitar donde se haga cero el denominador. 00:13:01
¿Vale? Pues nada, que la raíz esté definida, lo de dentro mayor o igual que cero, pero se quitaría que haga cero el denominador, pues esto es un cociente, el denominador es lo de abajo. 00:13:19
Claro, lo de aquí arriba sí que coincide ahora con lo de aquí arriba, que es estos intervalos. Pues el dominio, copiado de antes, el dominio va a ser el intervalo de menos infinito a cero, unión, 5 infinito, menos, donde se haga cero, la raíz cuadrada. 00:13:32
Pero claro, la raíz cuadrada donde se hacía 0 es que lo hemos hecho antes. Esto se hacía 0, todo aquí, en x igual a 0 y x igual a 5. Así que excluimos el 0 y el 5, pues de menos infinito y el 0 que lo excluyo y el 5 que también lo excluimos, ¿vale? 00:13:53
bueno, lo vamos a remarcar así 00:14:12
bueno, esto ya viendo cómo funciona 00:14:15
lo podéis excluir directamente 00:14:19
es decir, como raíz cuadrada 00:14:21
donde sea mayor o igual que 0 lo de dentro 00:14:23
pero como cociente 00:14:27
hay que quitar donde se hace 0 la raíz cuadrada 00:14:30
que es justamente quitar los extremos 00:14:33
pues el 0 como extremo 00:14:35
el 5 como extremo 00:14:37
que si entraban en la raíz cuadrada 00:14:38
no van a entrar como cociente 00:14:41
bueno, pues eso lo podéis poner directamente 00:14:44
pues ahora el 4, el logaritmo 00:14:46
el logaritmo recordad que es como la raíz cuadrada, es muy parecido 00:14:51
pues el dominio de la función 00:14:55
son los puntos tal que lo de dentro es estrictamente positivo 00:14:58
pues me resuelvo esa inequación 00:15:05
como es de primer grado, estas son las facilitas 00:15:10
vengan las de primer grado, el 20 lo pasáis al otro lado, el 5 dividiendo, x mayor que 4, que sería el intervalo de 4 a infinito, pues ese es el dominio, 00:15:12
El dominio va a ser, vamos a poner esto un poquito más hacia abajo, así, pues el dominio es el intervalo 4 infinito, 4 abierto, ¿vale? Así. 00:15:33
Y ahora la función b, lo mismo, es un logaritmo, en este caso logaritmo neperiano, el logaritmo neperiano, recordad que era el logaritmo en base e, eso sería el logaritmo neperiano, ¿vale? 00:15:54
Bueno, pues, ¿cuál es el dominio? Pues el dominio sería, el dominio es igual para todo x real tal que x cuadrado menos 5x sea mayor que 0. 00:16:08
Entonces, estrictamente mayor que cero 00:16:27
Pues esta me la hago 00:16:30
Esta, vamos a ver 00:16:31
Mirad, está por aquí hecha 00:16:33
Como está por aquí hecha, la resuelvo 00:16:36
X cuadrado menos 5X mayor o igual que cero 00:16:38
Era esta recta de aquí 00:16:41
Pues me lo voy a copiar, ¿vale? 00:16:44
Voy a coger y voy a copiarme esto 00:16:45
Es decir, voy a copiarme esto de aquí 00:16:48
Ya que lo tengo hecho de antes 00:16:49
Cogemos así 00:16:53
Claro, lo que pasa es que esta que era de antes, en esta que era de antes, veis que aquí era mayor. Perdón, ahora es mayor y antes era mayor igual. Va a ser esto mismo, pero el 0 y el 5 se van a excluir porque no entrarían, ¿vale? 00:17:01
Así que cogemos aquí, y aquí el 0 y el 5 pues lo excluimos, ¿vale? Pues sería, excluimos el 0 y el 5, así que aquí tenemos que el dominio, así que el dominio sería, 00:17:20
Venga, pues el dominio de la función sería el intervalo de menos infinito hasta cero abierto unión 5 a infinito. 00:18:04
Eso sería el dominio. 00:18:26
¿Vale? Así. 00:18:29
Venga, el 5. 00:18:32
Pues el 5, pues nada, ¿veis que esto sería? 00:18:34
o sea, es un cociente, pues el dominio de la función es para todos los números reales menos donde se haga cero el denominador, así, pues hay que resolver esa ecuación de tercer grado, 00:18:37
Venga, pues esa ecuación de tercer grado, pues la resolvemos, la resolvemos por aquí arriba, venga, pues igualo a cero, venga, igualamos a cero, resuelvo la ecuación, recordad, primero, si puedo factorizo, pues se puede factorizar, saco factor común a la x, perdón, si puedo sacar factor común a la x, o x cuadrado, lo sacamos. 00:19:11
Y ya aquí digo, pues esta ecuación, un producto igual a 0, que el primero valga 0, que el segundo valga 0, pues ya saco una solución que es x igual a 0. 00:19:40
Y luego resolvemos x al cuadrado menos 6x más 8 igual a 0. 00:19:51
Y esta ecuación de segundo grado, menos b, b al cuadrado, que es 36, menos 4ac, menos 32, partido por 2. 00:19:57
Y esto sale, 4, 2, sale 8 entre 2 a 4 y 2. Pues entonces, veis que en 0, en 4 y en 2, en esos tres puntos es donde la ecuación vale 0, que son los puntos que no son el dominio. 00:20:08
Venga, pues el dominio, lo pongo por aquí arriba, son los reales menos el 0, el 2 y el 4, ¿vale? Así. 00:20:32
Venga, pues cogemos, uy, esto más pequeño, así. 00:20:53
Y ahora hacemos el b. Una raíz cuadrada, pues la raíz cuadrada donde existe el dominio es para todo x real tal que lo de dentro es mayor o igual que 0. 00:21:01
Pues resuelvo la inequación. Inecuación de tercer grado. P mayor o igual que cero. P sería x cubo menos x al cuadrado. Lo igualo a cero. Pues P lo igualáis a cero. 00:21:22
Como es un polinomio de tercer grado, saco factor común, si se puede, a x cuadrado. 00:21:42
Esto hay que tener un poco de rapidez, ¿eh? 00:21:48
Las ecuaciones, ya os dije yo que la unidad 3 era muy importante 00:21:50
porque tengo que tener manejo en todo este tipo de cosas a partir de esa unidad. 00:21:54
Es uno de los objetivos primordiales de este curso, 00:22:01
tener un manejo de las ecuaciones, de todos los tipos de ecuaciones. 00:22:04
Para el primero de bachillerato y para el segundo de bachillerato 00:22:07
Producto cero, igual a cero e igual a cero 00:22:11
Pues quedaría x cuadrado igual a cero, es decir, x igual a cero 00:22:15
Y x menos seis igual a cero, es decir, x igual a seis 00:22:22
¿Vale? Así que cogemos, entonces ponemos la recta real, ¿por qué? 00:22:26
recta real, menos infinito el infinito, sale el 0 y el 6, y ahora en el polinomio, en el polinomio, este de aquí, pues metemos un punto de cada intervalo, 00:22:32
venga, pues en el primer intervalo, por aquí, cojo un punto, pues el menos 1, menos 1 al cubo, bueno, queda negativo, ¿vale? 00:22:49
Cogéis, negativo. De 0 a 6, el 1. 1 al cubo menos 6 por 1, también negativo. Y de 6 e infinito, pues el 10. Pues 10 al cubo menos 6 por 10 al cuadrado, positivo. 00:23:00
Lo voy a revisar, ¿eh? Voy a revisar. Porque como... ¿Ves que no me ha quedado en la alterna? Casi siempre sale en la alterna, no tiene por qué, pero vamos a revisar por si me he confundido. 00:23:16
Cojo en el primer intervalo el menos 10. 00:23:31
Menos 10 al cubo, que sería menos... sale negativo, ¿eh? Negativo. 00:23:34
De 0 a 6, pues cojo el 1 o el 2, 2 al cubo. 00:23:40
2 al cubo, que sería 8, y 2 al cuadrado por menos 6, negativo. 00:23:45
Y aquí positivo, pues nada, pues sale con ese signo. 00:23:51
Entonces, la solución, recordad que es donde la inequación era mayor o igual que cero. 00:23:54
Mayor o igual que cero es aquí. 00:24:01
Lo vamos a marcar en color naranja. 00:24:03
Y como es mayor o igual, ah, bueno, sí, mayor o igual sería el 6 y también entraría el 0, ¿eh? 00:24:07
A ver, aquí hay que tener cuidado en este dominio. 00:24:14
Mirad, este dominio es muy interesante porque aquí sale mayor o igual que cero. 00:24:17
Zona positiva, positiva es esto de aquí 00:24:22
Pero, ¿dónde vale cero? 00:24:25
P era cero en cero y en seis 00:24:29
Y donde P vale cero, P vale positivo 00:24:34
Y cero entra, positivo 00:24:38
De seis a infinito, cero 00:24:40
El propio seis y el cero 00:24:43
Así que esto va a ser el dominio 00:24:46
Va a ser lo que está pintado aquí en naranja 00:24:48
Lo veis despacio, ¿eh? De 6 a infinito, el 6 entrando porque en 6 vale 0, pero el 0 también entra porque p valía 0, así que el dominio de la función sería el 0 como punto suelto, unión, el intervalo, 6, infinito. 00:24:51
Pues nada, como veis, el 0 como punto aislado se pone entre llaves y el intervalo de 6 es infinito 00:25:16
Pues este es interesante este dominio, ¿eh? Como inequación es interesante 00:25:24
Bueno, hacemos ahora el 6, venga, el 6 00:25:28
Pues aquí veis que hay dos funciones, esta y esta 00:25:33
Pero son dos cocientes de polinomios 00:25:39
La primera no existe donde se haga 0 el denominador 00:25:42
y la segunda no existe donde se haga cero el denominador. 00:25:45
No hace falta restarla ni nada. 00:25:49
Aquí sería dominio. 00:25:52
Los reales, menos donde se haga cero x más 1, punto y coma, donde se haga cero x menos 2. 00:25:55
Pues por aquí digo x más 1 igual a cero en menos 1. 00:26:08
x menos 2 igual a cero en 2. 00:26:13
Así que el dominio son los reales, menos el menos 1 y el 2. 00:26:16
Ya está. 00:26:24
Y ahora falta, venga, ya el último de esta tanda sería este cociente. 00:26:26
Bueno, aquí hay dos, aquí hay varias restricciones. 00:26:33
Restricciones. 00:26:36
Tiene que estar definida la raíz, tiene que estar definido el logaritmo 00:26:39
y hay que excluir donde se haga cero el denominador. 00:26:43
Hay raíz cuadrada, logaritmo y un cociente. 00:26:48
Así que lo hago. 00:26:53
Dominio para todo x real tal que lo de dentro de la raíz cuadrada, 00:26:55
la raíz esté definida, lo de dentro de la raíz cuadrada sea mayor o igual que cero. 00:27:05
Punto y coma 00:27:10
Punto y coma 00:27:12
Lo he dentro del logaritmo sea mayor que cero 00:27:16
Y hay que quitar donde se haga cero el denominador 00:27:25
Bueno, en teoría hay que hacerse x mayor o igual que cero y x mayor que cero 00:27:32
Hay que hacerse por separado esta y esta 00:27:40
Y se coge lo común de ambas 00:27:43
Porque ambas desigualdades tienen que verificarse a la vez 00:27:46
La raíz y el logaritmo tienen que existir a la vez 00:27:49
Hombre, x mayor o igual que cero es de cero a infinito entrando 00:27:53
Y x mayor que cero es de cero a infinito sin entrar 00:27:57
Claro, pues de las dos, la que restringe más es de cero a infinito 00:28:01
Sería de cero a infinito 00:28:05
Pero aquí porque sale preparado para que coincidan 00:28:06
La raíz para que exista, lo de dentro tiene que ser mayor o igual que cero 00:28:09
El logaritmo para que exista, lo de dentro tiene que ser mayor que cero. 00:28:15
Pero claro, de ambas soluciones que son directas, estas dos, hay que coger que ambas valgan simultáneamente. 00:28:20
Pues ambas simultáneamente, es decir, lo más restrictivo es de cero infinito. 00:28:28
Así que el dominio de f es de cero infinito, pero hay que quitar donde se hace cero el logaritmo. 00:28:33
Pues logaritmo de x donde vale cero propiedad 00:28:42
Un logaritmo es cero cuando lo de dentro vale uno 00:28:48
En x igual a uno 00:28:55
O bien 00:28:56
El logaritmo cuando vale cero 00:28:56
El logaritmo en base a de x es igual a b 00:29:06
Entonces x es igual a elevado a b 00:29:11
Pues si el logaritmo en base 10 de x es igual a 0, 10 elevado a 0 es igual a x o x es igual a 1. 00:29:15
Pues recordad que a elevado a b es x. 00:29:25
10 elevado a 0 es x. 00:29:31
Otra forma, que os lo comenté en la última clase. 00:29:33
El logaritmo, por defecto, si no me dice nada, es en base 10. 00:29:38
Pues aplico, como es base 10, aplico exponencial en base 10 a la izquierda y aplico a la derecha. Pues aplico exponencial en base 10 al lado izquierdo y al lado derecho. 00:29:42
Y comenté como propiedad que tenéis que copiar que a elevado al logaritmo en base a de g es igual a g, así que 10 elevado al logaritmo de x es x, pues esto quedaría x igual a 10 elevado a 0 que sería 1. 00:29:57
Bueno, pues logaritmo igual a cero, un logaritmo es cero cuando lo de dentro vale uno, ya está, aplicando la definición de logaritmo que es esta, o aplicando como es logaritmo en base diez, aplico exponencial a la izquierda y exponencial en base diez a la derecha. 00:30:25
Y 10 elevado al logaritmo de el argumento es justamente lo que tenéis dentro. 00:30:45
Bueno, pues al final saldría que el dominio es de 0 a infinito menos el 1. 00:30:54
O lo que es lo mismo, de 0 a 1, unión 1 infinito. 00:31:01
Bueno, pues aquí termina esta grabación. 00:31:07
Idioma/s:
es
Autor/es:
Óscar Ángel Cano Sánchez
Subido por:
Oscar Angel C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
10
Fecha:
5 de junio de 2024 - 17:27
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES PABLO NERUDA
Duración:
31′ 12″
Relación de aspecto:
0.75:1
Resolución:
1440x1920 píxeles
Tamaño:
823.45 MBytes

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