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Trigonometría: 29.Problema del río y el árbol - Contenido educativo

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Subido el 6 de noviembre de 2007 por EducaMadrid

5655 visualizaciones

- Resolución de triángulos. El clásico problema del río y el árbol.

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En este vídeo vamos a explicar un problema típico dentro de la trigonometría, un problema clásico, 00:00:00
gracias al cual podemos entender mejor por qué se dice que la trigonometría es la ciencia de la medida indirecta. 00:00:09
El problema dice lo siguiente. 00:00:16
Queremos conocer la anchura de un río y la altura de un árbol que está en la orilla opuesta. 00:00:19
Para ello nos situamos frente al árbol y medimos el ángulo que forma la visual al punto más alto del árbol, 50º. 00:00:25
Nos alejamos en dirección perpendicular a la orilla 15 metros 00:00:34
y volvemos a medir el ángulo que forma la horizontal con el punto más alto del árbol, obteniendo ahora 32º. 00:00:39
De acuerdo, la solución del problema pasa por hacer un esquema, un pequeño dibujo que nos ayude a entender la situación. 00:00:47
Aquí tenemos el árbol y aquí tenemos el río. 00:00:56
Con sus pececitos y demás. 00:01:09
Bueno, borramos los peces. 00:01:11
Si llamamos x a la anchura del río, según nos dice el enunciado, 00:01:13
cuando medimos el ángulo que forma la visual al punto más alto, obtenemos un ángulo de 50º. 00:01:18
Vamos a llamar y a la altura del árbol y ese sería el planteamiento por un lado. 00:01:27
Ahora, si nos alejamos 15 metros y volvemos a medir la visual al punto más alto, 00:01:35
resulta que el ángulo ahora, claro, el ángulo baja y ahora es un ángulo de 32º. 00:01:44
Es importante, sobre todo, lo más importante de todo es darnos cuenta de que estamos haciendo medidas indirectamente. 00:01:49
Es decir, nosotros queremos medir la altura del árbol y la anchura del río de una forma indirecta. 00:01:58
Nosotros no podemos medir directamente la anchura del río y no podemos medir directamente la altura del árbol. 00:02:02
Todo esto lo estamos haciendo desde la orilla opuesta. 00:02:09
Es decir, nosotros estamos en la orilla opuesta al árbol. 00:02:12
Para resolver el problema, puesto que tenemos dos incógnitas, necesitamos dos ecuaciones. 00:02:17
Vamos a necesitar un sistema de dos ecuaciones para poder encontrar y resolver las dos incógnitas. 00:02:22
Vamos a fijarnos primero en ese triángulo que acabamos de resaltar en rojo. 00:02:28
Y si nos damos cuenta, en ese triángulo que acabamos de resaltar en rojo tenemos el ángulo de 50º y tenemos los dos catetos. 00:02:34
Luego está claro que todo eso lo que nos suena es A tangente. 00:02:41
De manera que la tangente de 50º sería igual a cateto opuesto dividido entre cateto contiguo. 00:02:46
Pues ahí sería, ¿eh? Y partido por X. 00:02:57
Volvemos al negro. 00:03:02
Si nos fijamos ahora en el otro triángulo que ahora hemos resaltado en amarillo, 00:03:03
nos damos cuenta de que para ese triángulo ahora la tangente de 32º sería igual a cateto opuesto también, 00:03:09
que el cateto opuesto sería el mismo de antes, 00:03:21
dividido entre el cateto contiguo, que ahora el cateto contiguo sería todo eso. 00:03:25
Es decir, X más 15, o 15 más X. 00:03:32
Por lo tanto, sería el cociente Y dividido entre X más 15. 00:03:36
¿De acuerdo? Ese sería el sistema. 00:03:41
Volvemos otra vez al negro. 00:03:43
Y ese sería el sistema, ¿de acuerdo? 00:03:45
Ahora vamos a resolver el sistema por igualación. 00:03:48
Lo que hacemos es que vamos a pasar X multiplicando A la tangente de 50º 00:03:50
y vamos a sustituir la tangente de 50º por su valor. 00:03:57
Si pasamos la X multiplicando A la tangente de 50º, nos quedará Y igual a 1,19 por X. 00:04:00
Cogemos un dedo a dos decimales. 00:04:06
Y esa sería la primera ecuación. 00:04:09
En la segunda ecuación hacemos algo parecido. 00:04:13
Vamos a pasar X más 15 multiplicando la tangente de 32. 00:04:16
Sustituimos la tangente de 32 por su valor. 00:04:21
Y tendríamos Y igual a 0,62 por X más 15. 00:04:24
Esas serían las dos ecuaciones del sistema. 00:04:29
Como esas son las dos ecuaciones del sistema, ya sabemos resolver sistemas bastante bien. 00:04:32
Lo que tenemos que hacer es seguir con el método de igualación. 00:04:36
Con el método de igualación igualamos 1,19X a 0,62 por X más 15. 00:04:41
Y resolvemos. 00:04:47
Quitamos paréntesis. 00:04:50
Multiplicamos 0,62 por X. 00:04:52
0,62 por 15. 00:04:55
0,62 por 15 da 9,3. 00:04:59
Y pasamos todo lo que son las X al primer miembro. 00:05:02
Que nos queda 1,19X menos 0,62X en el primer miembro igual a 9,3. 00:05:06
1,19 menos 0,62 son 0,57. 00:05:13
0,57X igual a 9,3. 00:05:18
Y despejamos X. 00:05:21
Que sería 9,3 dividido entre 0,57. 00:05:23
Que nos quedaría 16,32 metros. 00:05:26
Esa sería la anchura del RIB. 00:05:29
Ahora que tenemos el valor de X no tenemos más que sustituir ese valor de X en cualquiera de las dos primeras ecuaciones. 00:05:32
Y nosotros por ejemplo lo hemos sustituido en la primera. 00:05:38
Es decir, en Y igual a 1,19 por X. 00:05:43
De manera que Y sería igual a 1,19 por 16,32. 00:05:46
Y lo mismo, haciendo el retorno de dos decimales tenemos 19,42 metros para la altura del árbol. 00:05:50
Este problema es muy interesante. 00:05:57
Un problema clásico dentro de la trigonometría. 00:05:59
Y creo que nos hace entender bastante bien cómo podemos, gracias a la trigonometría, medir indirectamente. 00:06:01
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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          • Primer Curso
Autor/es:
José Antonio Ortega
Subido por:
EducaMadrid
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5655
Fecha:
6 de noviembre de 2007 - 10:59
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
José Antonio Ortega
Descripción ampliada:

Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).

Extraído de Open Trigo.
Duración:
06′ 12″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
800x600 píxeles
Tamaño:
9.77 MBytes

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