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INVERSION 2 - Contenido educativo

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Subido el 20 de mayo de 2026 por Sara J.

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Dibujo Técnico II Inversión teoría y ejercicios

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Hola, buenas. En esta clase voy a ver los fundamentos de inversión más relevantes. 00:00:00
Voy a empezar directamente por los puntos que ya sabemos hacer la inversión de los mismos. 00:00:06
Los vimos en la sesión anterior, que es la clase de inversión 1. 00:00:14
Hay distintas maneras para calcular el inverso de los puntos. 00:00:20
nosotros vamos a ver dos de los mismos 00:00:25
así que el primer caso 00:00:28
utilizando las rectas antiparalelas 00:00:30
no lo vamos a ver 00:00:32
¿vale? porque 00:00:35
digamos que no lo vamos a necesitar 00:00:35
y así quitamos un poquito de teoría 00:00:38
vale 00:00:40
en este caso 00:00:42
vamos a hacer el inverso del punto B 00:00:45
empleando la circunferencia auxiliar 00:00:47
¿vale? esa circunferencia 00:00:50
auxiliar que llamamos 00:00:52
de autoinversión 00:00:54
¿Vale? Recordamos que si tenemos un centro de inversión, que aquí lo llama I, nosotros lo llamamos I normalmente, para no confundir con el centro de la circunferencia, tenemos dos puntos alineados a ese centro y un tercer punto. 00:00:55
por tanto, para encontrar la circunferencia de autoinversión y conocer cuál es el punto B' que estará dentro de la circunferencia, 00:01:13
pues vamos a hacer simplemente las mediatrices como ya hicimos en la teoría, ¿vale? 00:01:23
Para ver cómo se encuentran esos puntos, ¿vale? 00:01:31
Entonces este caso es tremendamente sencillo, lo hago para repasar los casos básicos, ¿vale? Hacemos una mediatriz y hacemos formando 90 grados, ¿vale? 00:01:37
Una segunda mediatriz y entonces hacemos esta circunferencia auxiliar que sería inversa de sí misma, por eso la llamo de autoinversión y que nos permite deducir utilizando la propiedad primera inversión, nos dice que los puntos siempre están alineados con el centro de inversión, tendríamos aquí el punto B'. 00:02:05
¿Vale? Siempre tenemos un punto de entrada y un punto de salida de la circunferencia. 00:02:39
En este caso, pues lo hacéis vosotros exactamente igual, 00:02:44
solo tendríamos que hacer las mediatrices y nos saldría el punto, pues, por aquí más o menos. 00:02:47
¿De acuerdo? 00:02:53
Bueno, en este siguiente caso sería hacer lo mismo, ¿vale? 00:02:55
Es invertir puntos, ¿vale? 00:03:00
Invertir puntos, invertir puntos. 00:03:02
Y en este caso, como veis, es exactamente el mismo ejercicio, 00:03:05
Lo que pasa es que lo vamos a resolver en lugar de por el método de la circunferencia de autoinversión o auxiliar, lo vamos a utilizar utilizando la circunferencia de los puntos dobles, o sea, la teoría de potencia. 00:03:08
Entonces, ¿esto cómo lo hacemos? Pues muy fácil, recordad que utilizamos siempre la recta que forma 90 grados 00:03:28
con respecto del punto más cercano en este caso, que es lo que llamaríamos la recta polar, este sería el polo, 00:03:36
y vamos a buscar el punto de tangencia que sabemos que tiene que formar justo 90 grados, ¿vale? 00:03:43
Aquí habría que hacer un arco capa de 90, ¿vale? En lugar de hacer el arco capa de 90 lo voy a marcar directamente 00:03:50
porque sale bastante preciso, ¿vale? Haríamos el arco capa de 90 y ahí encontraríamos esos 90 grados 00:03:57
y por tanto el punto doble de T' que nos permitiría dibujar la circunferencia de los puntos dobles 00:04:05
que siempre la voy a hacer a trazos, ¿vale? Para no confundirme, ¿vale? 00:04:17
Aquí tendría el otro punto de tangencia y ahora voy a hacer lo mismo con respecto del otro punto. 00:04:24
Entonces como tengo el otro punto B, pues lo voy a hacer hacia el otro lado y voy a hacer esta polar, que con que haga la mitad valdría. 00:04:31
Espérate, me estoy confundiendo, perdón. 00:04:45
Me he confundido porque siempre los 90 grados hay que hacerlo con respecto de su propia línea. 00:04:49
¿vale? Entonces alineamos I y B, ¿vale? Entonces yo sé que el inverso me va a quedar en algún 00:04:54
punto de por aquí y ahora sí, perdón, hacemos los 90 grados, ¿vale? Y aquí tendríamos 00:05:02
dibujada, ¿vale? Pues su recta polar que va a tener como dos puntos dobles de tangencia. 00:05:15
Lo voy a hacer hacia este lado porque queda más limpio. Tendría T2 coincidente con T2 00:05:20
prima, vale, este lo vamos a llamar 1, y aquí, pues uniendo con I, vale, uno este punto y 00:05:26
ahora completaríamos con los 90 grados, vale, de manera que el punto inverso me sale, vale, 00:05:41
El resultado es aquí, B' 00:05:56
¿Vale? Como veis sale exactamente el mismo punto 00:05:59
¿Vale? Son dos maneras 00:06:03
de hacer lo mismo, ¿vale? En el caso de que sean tres puntos no alineados 00:06:04
es mucho más fácil hacerlo con la circunferencia auxiliar, pero bueno, para que 00:06:12
sepáis hacerlo, ¿vale? Entonces este ejercicio 00:06:16
os lo queréis igual practicarlo, recordad que estos ejercicios resueltos 00:06:21
los tenéis subidos en el aula virtual con todas las soluciones. 00:06:25
En este caso, que también lo vimos en los apuntes, tendríamos que calcular el inverso 00:06:34
de un punto que sí que están los tres alineados. 00:06:39
Esta sería lo que llamábamos la recta de autoinversión. 00:06:43
Si una recta R contiene el centro de inversión, su inversa va a ser ella misma. 00:06:48
Por tanto, sus puntos van a encontrarse todos ellos aquí. 00:07:00
Entonces, para encontrar, como no puedo dibujar esa circunferencia auxiliar de ninguna de las maneras, 00:07:06
pues voy a tener que utilizar otra vez la relación de potencia y la circunferencia de los puntos. 00:07:11
¿Vale? Entonces voy a dibujar esta recta en perpendicular, que es la que denominamos como recta polar, que forma justo 90 grados con la recta, hago la cocapa de 90, que os estoy haciendo versión rápido para ir un poquito más rápido, y aquí encontraría, ¿vale? El punto T coincidente con T'1, ¿vale? 00:07:19
Y aquí empezaría esa circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 00:07:50
Esa circunferencia de los puntos dobles con centro en O, que nosotros lo llamamos I normalmente, 00:07:56
para no confundirnos con circunferencias auxiliares, ¿vale? 00:08:04
Lo podéis cambiar siempre que queráis, un nombre, y haríamos esa circunferencia de los puntos dobles, ¿vale? 00:08:07
Voy a trazar aquí el arco un poquito más grande para que se vea bien. 00:08:17
Y lo hago a trazos, ¿vale? Para no confundirme nunca con la circunferencia de autoinversión o una circunferencia cualquiera. 00:08:20
Entonces aquí haríamos otra vez esta recta polar, ¿vale? Que es justo la que forma 90 grados. 00:08:27
Uniríamos con el centro de inversión, lo voy a hacer ahora en color para que se vea mejor, y terminaríamos con los 90 grados, ¿vale? 00:08:40
Completamos siempre los 90 grados y tendríamos el punto B', ¿vale? Subinverso, ¿vale? 00:08:50
Igual que aquí hacíamos los 90 grados. 00:08:59
Perfecto, ¿vale? Pues con esto vamos a poder hacer el inverso de cualquier punto que nos den, ¿vale? 00:09:02
Dada una inversión, ¿vale? Pues vamos a continuar con un pelín de teoría. 00:09:07
Ahora lo que vamos a hacer es invertir figuras que no se autoinverten en sí mismas, ¿vale? 00:09:13
Hasta ahora hemos visto la circunferencia de autoinversión y la recta de autoinversión, ¿vale? 00:09:21
Vale, pues entonces vamos a ver todos los casos de figuras que se pueden invertir, ¿vale? 00:09:31
Entonces, lo que hemos comentado, repito, tenemos primero la recta de autoinversión, ¿vale? 00:09:37
Esta ya la hemos visto, ahora la voy a repetir para que queden los tres casos concretos que hay, ¿vale? 00:09:56
Bueno, realmente serían cinco porque uno se puede dividir en dos, ¿vale? 00:10:03
Lo vamos a llamar 1, 2, 3, 1, 3, 2 y 4, ¿vale? 00:10:07
Y luego tenemos la circunferencia de autoinversión y luego de tercero vamos a tener rectas inversas de circunferencias, ¿vale? 00:10:15
Con el caso de, primero, hacer la inversa de una recta, que va a ser una circunferencia, que se llama el caso 3.1, y va a ser el 3.2 de una circunferencia, que su inversa va a ser una recta, ¿vale? Ahora veremos en qué condiciones. 00:10:55
Y, por último, el caso cuarto, que vamos a tener circunferencias inversas, cuyo resultado sea de una circunferencia, la inversa es otra circunferencia de distinto tamaño. 00:11:16
Con estos cuatro casos vamos a poder resolver todos los ejercicios y los dos primeros ya los conocemos. 00:11:43
Vale, repaso y repito. Tengo una recta, tengo un centro de inversión y tengo un par de puntos inversos, está definida la inversión. 00:11:50
La inversa de una recta cuyo centro de inversión esté sobre la propia recta y sus puntos alineados, la inversa va a ser ella misma, ¿vale? 00:12:08
Por tanto, si quisiéramos sacar el inverso de un punto cualquiera, B, por ejemplo, 00:12:25
necesitaríamos hacer lo que hemos hecho antes de definir auxiliarmente la recta polar, 00:12:33
que la podemos hacer a un lado o a dos, hacer el arco capa de 90, 00:12:45
que lo estoy haciendo con la escuadra directamente para ir un poquito más rápido, 00:12:52
pierdo un poquito de precisión 00:12:57
pero sale bien 00:12:59
vale 00:13:01
ahí 00:13:10
y ahí 00:13:11
voy a ajustar un poquito el vértice 00:13:13
entonces 00:13:16
si este es el punto T 00:13:20
coincidente con T' 00:13:22
vale 00:13:25
digamos que 00:13:26
define la circunferencia de los puntos dobles 00:13:28
que la suelo 00:13:31
hacer así a trazos 00:13:33
vale, no habría 00:13:34
no daría falta trazarla entera, estoy trazando 00:13:43
todo lo que me cabe 00:13:45
vale, y el inverso del punto 00:13:46
B, bueno me ha vuelto a pasar que me queda 00:13:49
super pegado a la circunferencia de los puntos dobles 00:13:51
este punto sería el inverso 00:13:53
de sí mismo, por ejemplo N 00:13:57
coincidente con N' 00:13:58
vale, el punto doble y el punto 00:14:00
B, vale, pues 00:14:03
lo vamos a poner, tiene que quedar siempre 00:14:04
de aquí hacia atrás, ¿vale? 00:14:07
Entonces, el inverso del punto B, 00:14:12
pues por ejemplo aquí, ¿vale? 00:14:15
Vamos a considerar que B está aquí en lugar de aquí. 00:14:17
Bueno, lo voy a hacer hacia el otro lado. 00:14:30
Bueno, hacemos los 90 grados, 00:14:33
marco el punto de tangencia 00:14:36
y en sus 90 grados me va a definir el inverso de B, ¿vale? 00:14:38
Esto yo creo que ya lo he hecho suficientemente número de veces para que ya haya quedado claro que sé que al principio cuesta un poco. 00:14:44
Vale, entonces hemos quedado que la recta de autoinversión es una recta que tiene el centro de inversión en la propia recta y sus puntos A y A'. 00:14:53
Si quisiera sacar su inverso, un punto inverso, pues lo tendría que hacer por potente. 00:15:05
Vale, entonces este es el caso 1. 00:15:09
Hago un esquemita aquí muy fácil. 00:15:11
vale, siempre nos tenemos que fijar en el punto de inversión 00:15:12
donde cae, vale, si cae en la propia recta 00:15:17
R, su inversa es coincidente con R' 00:15:21
vale, siguiente caso, lo mismo que hemos visto antes 00:15:24
tengo un centro de inversión 00:15:29
y una circunferencia, vale 00:15:32
y en el caso, aquí hay que fijaros muy bien, vale 00:15:42
De que el centro de inversión no esté en la circunferencia y sus dos puntos que definen la inversión sí que están sobre la circunferencia, ¿vale? 00:15:47
Pues se trata de un caso de circunferencia de autoinversión, ¿vale? Cualquier punto inverso que busquemos, ¿vale? Debe estar en B', ¿vale? 00:16:01
En esta circunferencia. De manera que esta circunferencia, su inversa es ella misma. Por eso se llama la circunferencia de autoinversión. 00:16:16
Entonces, en el esquemita lo que tenemos es una circunferencia, un punto de inversión que no está en la circunferencia, ¿vale? 00:16:30
Esto tiene siempre un centro y la inversión definida por dos de sus puntos, A y A'. 00:16:40
Fácil, ¿vale? A y A' que sí que están en la circunferencia. 00:16:48
Vale, pues ahora vamos a pasar al siguiente caso, rectas inversas de las circunferencias, ¿vale? 00:16:56
Voy a copiar la teoría para que la tengáis escrita, ¿vale? 00:17:03
Luego se entiende mucho mejor en la práctica, pero para que podáis volver a ella lo vamos a exhibir, ¿vale? 00:17:08
Entonces, el primer caso me dice que la inversa de una recta que no contiene ahí es una circunferencia que sí la contiene. 00:17:15
Y donde la recta o el segmento hoy forma 90 grados con la misma. 00:17:59
Aquí tenemos la definición de la inversa de una recta. 00:18:30
¿Vale? Entonces, fijaros 00:18:34
Tengo una recta cualquiera 00:18:37
¿Vale? La hago así un poco girada 00:18:42
Para que se entienda mejor 00:18:45
¿Vale? Y entonces 00:18:46
Imaginar que me dan el centro de inversión 00:18:49
Pon que está aquí 00:18:51
El centro de inversión 00:18:53
¿Vale? 00:18:54
Y me dan la inversión definida 00:18:56
De manera que tengo 00:18:58
Aquí A 00:19:00
Y aquí A' 00:19:03
¿Vale? 00:19:06
Pues ya sé, yo sé que el inverso de esta recta, que es la que estoy buscando, voy a marcar la figura en morado para que se vea, la inversa de esta recta va a ser una circunferencia, o sea que realmente R' va a ser en sí mismo una circunferencia. 00:19:09
Esto es un poco lo que a veces cuesta un poco de entender, que la inversión sea una figura totalmente distinta y que a su vez esa circunferencia va a tener siempre esta cualidad, que va a formar 90 grados respecto del centro de inversión y su centro va a estar también en este lugar geométrico. 00:19:31
Por tanto, tengo un primer lugar geométrico y tengo un punto por el que sé que tiene que pasar esa curva. 00:19:55
Por tanto, ¿vamos a resolver esto cómo? Pues muy fácilmente, simplemente haciendo una mediatriz. 00:20:01
Hacemos una mediatriz y no donde se una la mediatriz, sino en el punto, en el lugar geométrico, 00:20:15
donde se corte con esta perpendicular 00:20:24
voy a tener lo que sería R', ¿vale? 00:20:28
Que sea una circunferencia, ¿vale? 00:20:33
Que podéis llamarlo, bueno, voy a llamar, 00:20:35
perdona, voy a llamarlo O mejor, ¿vale? 00:20:39
Voy a trazar la circunferencia 00:20:43
y a la circunferencia es a la que voy a llamar R', ¿vale? 00:20:44
Y esto, pues la primera vez que se hace 00:20:51
por el grupo un poco lioso, pero luego es como 00:20:54
muy metódico, siempre lo mismo 00:20:56
¿vale? entonces 00:20:58
vemos que cumple que la inversa de una recta 00:21:00
que no contiene a I 00:21:03
o sea que I está aquí fuera 00:21:04
siempre hay que fijarse bien en I 00:21:06
es una circunferencia 00:21:08
que sí que lo contiene y donde 00:21:10
OI forma 90 grados 00:21:12
con la misma, ¿vale? y normalmente 00:21:14
queda I 00:21:16
bueno, no tiene porqué 00:21:17
puede estar aquí o puede estar aquí 00:21:20
en función de los casos 00:21:22
¿vale? entonces el centro 00:21:24
vale, lo hemos encontrado ahí, vale, entonces para reconocer este tipo de figuras, vale, pues el esquemita que nos vamos a hacer es una recta, vale, R, que no contiene ahí, vale, y que el centro de esa circunferencia va a estar siempre formando 90 grados, vale, 00:21:26
Vamos a tener esa circunferencia, un punto A y su inverso, ¿vale? 00:21:58
Perfecto. 00:22:08
Vale, pues me lo pueden dar al revés, que en lugar de darme la recta, lo que hagan es darme la circunferencia. 00:22:11
Pero ¿cómo tiene que ser esa circunferencia? 00:22:17
¿Para que su inversa sea una recta? 00:22:19
Pues tiene que estar el punto de inversión sobre la misma. 00:22:22
Entonces se dice que, recíprocamente, voy a poner aquí la siguiente definición, 00:22:25
La inversa de una circunferencia que contiene ahí, siendo ahí el centro de inversión, es una recta que forma 90 grados con el segmento OI, que sería el centro de la circunferencia con el centro de inversión. 00:22:32
Llevado al dibujo, que siempre se entiende mejor 00:23:26
Si tengo una circunferencia 00:23:30
Tengo un centro 00:23:32
Y obviamente me tienen que dar 00:23:38
Un centro de inversión 00:23:42
Que tiene que estar en la circunferencia 00:23:44
Porque si no la inversa 00:23:46
No sería una 00:23:47
Si no la inversa 00:23:50
No sería una recta 00:23:52
Esto va a pasar solo 00:23:54
Porque se considera como un punto impropio 00:23:55
De manera que la inversa es una recta infinita 00:23:58
es una circunferencia infinita y por tanto una recta 00:24:00
así lo podemos entender un poco mejor 00:24:04
y entonces voy a marcar 00:24:06
la inversión que me daría 00:24:08
que sería 00:24:12
uno de los puntos en este caso 00:24:12
que va a estar sobre la circunferencia 00:24:15
para facilitar un poco el ejercicio 00:24:17
y luego el siguiente punto 00:24:20
pues va a tener que estar por aquí 00:24:24
bueno, en este caso suele ser más fácil 00:24:26
porque lo único que tenemos que hacer es 00:24:28
hacer la recta 00:24:30
y como sé que tiene que formar 00:24:36
90 grados 00:24:38
vale, pues el resultado 00:24:39
sería 00:24:42
esta recta 00:24:43
que forma justo 90 grados 00:24:48
vale, de manera que si esto es C 00:24:50
esto es C' 00:24:52
vale, es esa 00:24:54
circunferencia abierta 00:24:56
hasta el infinito 00:24:58
y estos dos casos son 00:25:00
el mismo, ¿vale? Pero son recíprocos y se hacen de una manera, o sea, se hacen, bueno, 00:25:02
de formas parecidas, ¿vale? Suele ser más fácil si me dan la circunferencia, ¿vale? 00:25:08
Con estos dos casos salen mucho en los ejercicios de inversión que vamos a hacer, ¿vale? Y 00:25:13
este último caso también sale un poquito menos, ¿vale? Que sería el último caso 00:25:21
y es en el caso de tener una circunferencia 00:25:25
o un centro de inversión que no esté en la circunferencia tampoco. 00:25:33
Voy a ponerlo aquí, por ejemplo. 00:25:49
Y entonces me diréis, pero es que este es el primer caso. 00:25:54
Pero no, porque mirad, digamos que el centro de inversión 00:25:59
no está en la circunferencia, pero la inversión que la define, uno de los puntos está en la 00:26:02
circunferencia y otro de los puntos no está en la circunferencia. Y esta es la clave para 00:26:09
diferenciar. Entonces, en este caso, voy a marcar aquí el punto de inversión. En todos 00:26:17
los voy a poner en rosa porque en verdad la relación del punto de inversión es fundamental. 00:26:24
Aquí sí está sobre la circunferencia. 00:26:29
Aquí no está, pero están los puntos sobre la circunferencia. 00:26:33
Y aquí tenemos los puntos, uno dentro y otro fuera. 00:26:39
Por tanto, ¿qué va a ocurrir? 00:26:43
Pongo la definición. 00:26:46
Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión 00:26:48
y sus puntos A y A' no pertenecen a la misma circunferencia, 00:27:11
su inversa es otra circunferencia que se relaciona 00:27:42
Según una homotecia siendo y el centro homotético, ¿vale? 00:28:22
Bueno, aquí tenemos un porrón de texto por si lo tenéis que repasar, pero la práctica se ve muchísimo más rápido, ¿vale? 00:28:47
Entonces tenemos una circunferencia y estos dos puntos no están sobre la circunferencia, pues su inversa va a ser otra circunferencia cuyos puntos va a tener que pasar por aquí, la otra circunferencia, y se van a relacionar homotéticamente, ¿vale? 00:28:55
cómo va a pasar esto, ¿vale? Tenemos dos posibilidades, en el caso de que el centro 00:29:10
de inversión esté fuera de las dos curvas, ¿vale? Fijaros, yo siempre voy a unir con 00:29:15
el centro, ¿vale? Porque yo sé que O prima va a tener que estar en esta recta, ¿vale? 00:29:20
Y aquí os voy a enseñar un truco muy útil, ¿vale? Digamos que esta recta que va desde 00:29:30
Y hasta, digamos que aquí entra, ¿vale? 00:29:38
Y aquí sale, me da otro punto, me define otro punto, ¿vale? 00:29:41
Este punto lo voy a poner en otro color, lo voy a llamar C, ¿vale? 00:29:46
Y digamos que esta recta que entra por esta circunferencia, 00:29:52
por el punto A tiene que ser punto de salida de la otra circunferencia, ¿vale? 00:29:58
Entonces a este punto lo voy a llamar entra, ¿vale? 00:30:03
Y a este punto lo voy a llamar sale. 00:30:06
Entonces este punto C es un punto de salida, por lo tanto su inverso va a ser un punto de entrada. 00:30:09
Y lo que va a ocurrir es que para definir el punto O voy a utilizar siempre el radio contrario. 00:30:19
El radio contrario, de manera que hago una paralela con el punto de salida 00:30:28
y lo llevo en paralelo al otro punto de salida 00:30:35
con los radios contrarios. 00:30:40
De manera que tengo aquí 00:30:46
ya tendría la solución del ejercicio 00:30:47
que sería O'. 00:30:51
En este caso me han quedado montadas, 00:30:52
no tiene por qué quedar montadas, 00:30:56
pueden quedar totalmente separadas. 00:30:57
Bueno, pero sabéis que dos circunferencias montadas 00:31:02
también son homotétricas. 00:31:05
De manera que, para deducir cuál sería C', sería este punto de entrada, C', ¿vale? 00:31:06
Entra, sale, entra, sale, ¿vale? 00:31:20
Voy a marcar bien esta línea para que la veáis. 00:31:25
entra 00:31:28
sale 00:31:30
y con otro color 00:31:32
aquí entra 00:31:35
y aquí 00:31:36
sale 00:31:38
de la otra 00:31:41
¿vale? 00:31:42
bueno, fijaros, si nos guiáramos 00:31:44
un poco y lo quisiéramos hacer con radios 00:31:47
siempre paralelos, siempre podríamos buscar 00:31:49
justo el punto de tangencia 00:31:51
¿vale? 00:31:54
y ahí siempre vamos a tener radios paralelos 00:31:58
aquí no tengo problema ninguno, ¿vale? 00:32:01
Pero yo creo que con lo de los radios opuestos se entiende muy bien, ¿vale? 00:32:05
Y este caso nos lo podemos encontrar así en esa dirección 00:32:09
o un caso, bueno, voy a explicar dos casos particulares, ¿vale? 00:32:12
En el caso de que el centro de inversión esté en el medio, ¿vale? 00:32:19
imaginamos que tenemos aquí 00:32:31
una circunferencia 00:32:34
y tenemos el punto 00:32:35
vale 00:32:37
tengo el punto 00:32:39
de inversión aquí 00:32:41
vale 00:32:48
y tengo aquí 00:32:51
el punto 00:32:53
A, vale, que es de entrada 00:32:55
vale 00:32:58
y ya que tengo el punto A de entrada 00:32:59
vale, su inverso me lo darían aquí 00:33:04
por ejemplo, A' 00:33:06
prima, y yo sé que va a ser punto de salida, ¿vale? Siempre en la dirección de la i, 00:33:07
¿vale? Aquí entra y aquí va a tener que salir, ¿vale? Siempre en la dirección de 00:33:13
la i, ¿vale? Entonces, pensar que esto tiene esta dirección y esto tiene esta. Vale, pues 00:33:17
entonces, como a y a prima no están sobre la misma circunferencia, sé que su circunferencia 00:33:23
va a ser una homotética. Entonces, con respecto del centro O, hago una recta y uno con el 00:33:30
radio opuesto. Y con el radio opuesto, que sería el de salida, que lo puedo llamar punto 00:33:39
B, hago una paralela, salida con salida, paralela, y aquí me sale O', que sería el inverso. 00:33:48
Y ya puedo definir, porque tengo un punto y su centro, puedo definir esa circunferencia 00:34:04
inversa, esta sería 00:34:16
CE y esta sería C' 00:34:21
perfecto, y por último 00:34:23
el último caso que es un caso muy particular 00:34:26
¿qué pasa? 00:34:29
¿qué pasa cuando el centro de inversión 00:34:33
está sobre el propio centro de la circunferencia? 00:34:36
lo voy a hacer aquí en pequeñito 00:34:42
¿vale? 00:34:44
¿Vale? Imaginar que tengo, esto es como un caso particular 00:34:46
Tengo una circunferencia y coincide o es coincidente con el centro de inversión 00:34:52
¿Vale? Obviamente I no está en la circunferencia 00:34:58
Está dentro de la circunferencia pero no está en la circunferencia 00:35:01
Y aquí tengo, por ejemplo, A y A' está fuera de la circunferencia 00:35:04
¿Cuál va a ser el inversor de esta circunferencia? 00:35:11
Pues como es una circunferencia homotética 00:35:14
pues lo que va a ocurrir es que simplemente van a ser circunferencias concéntricas, ¿vale? 00:35:16
Y esto a veces aparece en los ejercicios y resulta confuso, pero es muchísimo más fácil, ¿vale? 00:35:22
De manera que tengo C y C'. 00:35:28
Vale, pues con esta teoría vamos a poder resolver ya todos los ejercicios que tengamos, ¿vale? 00:35:31
Quedaría la teoría finiquitada. 00:35:38
Entonces, el próximo día voy a terminar de ver los elementos fundamentales de estas hojitas, que son casos específicos de recta-circunferencia, circunferencia-recta y circunferencia-circunferencia, para que los veáis y luego ya pasaremos a hacer los ejercicios en sí mismos, que son los casos de inversión, que este es el tipo de ejercicios que cae en el BAO y merece la pena practicar. 00:35:42
Bueno, pues cierro aquí la clase. 00:36:11
Gracias. 00:36:13
Idioma/s:
es
Materias:
Dibujo Técnico
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
SARA JIMENEZ
Subido por:
Sara J.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
9
Fecha:
20 de mayo de 2026 - 14:04
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LEON FELIPE
Descripción ampliada:
Dibujo Técnico II Inversión teoría y ejercicios
Duración:
36′ 14″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
364.54 MBytes

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